数学八年级下册数学期末试卷测试卷(解析版).doc

数学八年级下册数学期末试卷测试卷（解析版）
一、选择题
1．要使有意义，则x的取值范围为（　　）
A．x≠100 B．x＞2 C．x≥2 D．x≤2
2．下列几组数中，能作为直角三角形三边长的是（　　）
A．2，4，5 B．3，4，5 C．4，4，5 D．5，4，5
3．四边形中，．要判别四边形是平行四边形，还需满足条件（ ）

A． B．
C． D．
4．在某次读书知识比赛中育才中学参赛选手比赛成绩的方差计算公式为： S2＝ [（x188）2+（x288）2+…+（x888）2]，以下说法不一定正确的是（　　）
A．育才中学参赛选手的平均成绩为88分
B．育才中学一共派出了八名选手参加
C．育才中学参赛选手的中位数为88分
D．育才中学参赛选手比赛成绩团体总分为704分
5．如图，正方形ABCD的边长为4，点M在AB上，且AM＝1，N是BD上一动点，则AN+MN的最小值为（ ）

A．4 B． C．5 D．4
6．如图，菱形ABCD中，，点E、F分别在边BC、CD上，且，则为（ ）

A． B． C． D．
7．如图，在中，垂直平分于点E，，，则的对角线的长为（ ）

A． B． C． D．
8．如图，菱形的边长为，，且为的中点，是对角线上的一动点，则的最小值为（ ）

A． B． C． D．
二、填空题
9．若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是____．
10．菱形的一条对角线长为12cm，另一条对角线长为16cm，则菱形的面积为_____．
11．如图，以的两条直角边和斜边为边长分别作正方形，其中正方形、正方形的面积分别为25、144，则阴影部分的面积为______．

12．如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，为的中点，则的最小值为________．

13．写出一个具备y随x增大而减小且图象经过点（1，﹣3）的一次函数表达式_________．
14．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB=5cm，BC=12cm，则△AEF的周长为_______________．

15．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（1，3），（3，3），若直线y＝kx与线段AB有公共点，则k的取值范围为___．

16．如图，长方形ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在点C′处，BC′交AD于点E，若，，则△BED的周长为_____．

三、解答题
17．计算下列各式的值
（1）
（2）
（3）
（4）
18．有一架米长的梯子搭在墙上，刚好与墙 头对齐，此时梯脚与墙的距离是米

（1）求墙的高度？
（2）若梯子的顶端下滑米，底端将水平动多少米？
19．如图，在4×4的网格直角坐标系中（图中小正方形的边长代表一个单位长），已知点A（﹣1，﹣1），B（2，2）．
（1）线段AB的长为 　　；
（2）在小正方形的顶点上找一点C，连接AC，BC，使得S△ABC＝．
①用直尺画出一个满足条件的△ABC；
②写出所有符合条件的点C的坐标．

20．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点，作CF∥BD，DF∥AC．求证：四边形DECF为菱形．

21．阅读材料：规定初中考试不能使用计算器后，小明是这样解决问题的：已知a=,求的值.
他是这样分析与解的：∵a==，
∴, ∴
∴, ∴=2（=.
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
（1）若a=,直接写出的值是 .
（2）使用以上方法化简：
22．某种子站销售一种玉米种子，单价为5元千克，为惠民促销，推出以下销售方案：付款金额（元）与购买种子数量（千克）之间的函数关系如图所示．
（1）当时，求与之间的的函数关系式：
（2）徐大爷付款20元能购买这种玉米种子多少千克？

23．如图1，四边形ACBD中，AC=AD，BC=BD．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图2，在“筝形”ACBD中，对角线AB=CD，过点B作BE⊥AC于E点，F为线段BE上一点，连接FA、FD，FA=FB．
（1）求证：△ABF≌△CDA；
（2）如图3，FA、FD分别交CD、AB于点M、N，若AM=MF，求证：BN=CM+MN．

24．在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2，若P，Q为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P，Q的“合成矩形”．如图为点P，Q的“合成矩形”的示意图．

（1）若A点坐标为（2，0），
①当B点坐标为（5，1）时，点A，B的“合成矩形”的面积是 　 　；
②若点C在直线x＝4上，且点A，C的“合成矩形”为正方形，求直线AC的表达式；
③若点P在直线y＝﹣2x＋2上，且点A，P的“合成矩形”为正方形，直接写出P点的坐标；
（2）点O的坐标为（0，0），点D为直线y＝x＋b（b≠0）上一动点，若O，D的“合成矩形”为正方形，且此正方形面积不小于2时，求b的取值范围．
25．在直角坐标系中，四边形是矩形，点在轴上，点在轴的正半轴上，点，分别在第一，二象限，且，．
（1）如图1，延长交轴负半轴于点，若．

①求证：四边形为平行四边形
②求点的坐标．
（2）如图2，为上一点，为的中点，若点恰好落在轴上，且平分，求的长．

（3）如图3，轴负半轴上的点与点关于直线对称，且，若的面积为矩形面积的，则的长可为______（写出所有可能的答案）．

【参考答案】
一、选择题
1．C
解析：C
【分析】
根据二次根式有意义的条件可知，解不等式即可．
【详解】
有意义，
，
解得：．
故选C．
【点睛】
本题考查了二次根式有意义的条件，理解二次根式有意义的条件是解题的关键．
2．B
解析：B
【分析】
如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．根据勾股定理的逆定理即可判断．
【详解】
解：A、22+42≠52，根据勾股定理的逆定理可知三角形不是直角三角形，故不合题意；
B、32+42＝52，根据勾股定理的逆定理可知三角形是直角三角形，故符合题意；
C、42+42≠52，根据勾股定理的逆定理可知三角形不是直角三角形，故不合题意；
D、42+52≠52，根据勾股定理的逆定理可知三角形不是直角三角形，故不合题意；
故选：B．
【点睛】
此题考查了勾股定理的逆定理和直角三角形的性质，如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
3．D
解析：D
【解析】
【分析】
四边形ABCD中，已经具备AD∥BC，再根据选项，选择条件，推出AB∥CD即可．
【详解】
∵AD∥BC，
∴∠A＋∠B＝180°，
∵，
∴∠B=∠C，
∴这样的四边形是等腰梯形，不是平行四边形，故A选项不符合题意，
∵AD∥BC，
∴∠A＋∠B＝180°，
∴添加∠A＋∠B＝180°不能判别四边形是平行四边形，故B选项不符合题意，
∵，，
∴这样的四边形是等腰梯形，不是平行四边形，故C选项不符合题意，
∵AD∥BC，
∴∠A＋∠B＝180°，
∵，
∴∠A+∠D=180°，
∴AB//CD，
∴四边形是平行四边形，故D选项符合题意，
故选：D．
【点睛】
本题考查平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题关键．
4．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据方差的计算公式中各数据的具体意义逐一分析求解即可．
【详解】
解：∵参赛选手比赛成绩的方差计算公式为：S2＝ [（x1−88）2＋（x2−88）2＋…＋（x8−88）2]，
∴育才中学参赛选手的平均成绩为88分，一共派出了八名选手参加，育才中学参赛选手比赛成绩团体总分为88×8＝704（分），由于不能知道具体的数据，所以参赛选手的中位数不能确定，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的定义和计算公式．
5．C
解析：C
【分析】
连接AC，则直线AC即为BD的垂直平分线，点A与点C关于直线BD对称，连CM交BD于点N，则此时AN+MN的值最小，连接AN，根据垂直平分线的性质
可得AN=CN，从而得出AN+MN=CN+MN=CM，再根据勾股定理得出CM的长即可解决问题．
【详解】
解：在正方形ABCD中连接AC，则点A与点C是关于直线BD为对称轴的对称点，
∴连接MC交BD于点N，则此时AN+MN的值最小，
连接AN，
∵直线AC即为BD的垂直平分线，
∴AN=NC
∴AN+MN=CN+MN=CM，
∵四边形ABCD为正方形，AM=1
∴BC=4，BM=4-1=3，∠CBM=90°，
∴，
∴AN+MN的最小值是5．
故选：C．

【点睛】
本题考查了轴对称-最短路线问题，正方形的性质，勾股定理等知识点，此题的难点在于利用轴对称的方法确定满足条件的点N的位置．
6．C
解析：C
【解析】
【分析】
利用菱形的性质和等边三角形的判定和性质，根据SAS证明△BAE≌△CAF，即可求解．
【详解】
解：连接AC，

∵在菱形ABCD中，∠BAD=120°，
∴∠B=60°，AB=BC，
∴△ABC为等边三角形，
∴AB=AC，∠BCA=60°，∠ACD=120°-∠BCA=60°，
∵BE=CF，∠B=∠ACF=60°，AB=AC，
∴△BAE≌△CAF(SAS) ，
∴∠BAE=∠CAF，
∴∠EAC-∠BAE =∠EAC-∠CAF=60°，
即∴∠EAF=60°．
故选：C．
【点睛】
本题考查了菱形的性质、全等三角形判定与性质及等边三角形的判定和性质，求证△BAE≌△CAF是解题的关键，难度适中．
7．A
解析：A
【解析】
【分析】
连接BD交AC于点F，根据平行四边形和线段垂直平分线的性质可以推出，即可推出，先利用勾股定理求出AF的长，即可求出AC的长．
【详解】
解：如图，连接BD交AC于点F．
∵BE垂直平分CD，
∴，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴，BF=DF，AC=2AF
∴，
∴
∵，
∴，
∴．
在中，由勾股定理得，，
∴，
故选A．

【点睛】
本题主要考查了平行四边形的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
8．D
解析：D
【分析】
根据菱形的性质，得知A、C关于BD对称，根据轴对称的性质，将PM+PC转化为AP+PM，再根据两点之间线段最短得知AM为PM+PC的最小值．
【详解】
∵四边形ABCD为菱形，
∴A、C关于BD对称，
∴连AM交BD于P，
则PM+PC=PM+AP=AM，
根据两点之间线段最短，AM的长即为PM+PC的最小值．
连接AC，∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，
又∵∠ABC=60°，
∴△ABC为等边三角形，
又∵BM=CM，
∴AM⊥BC，
∴AM=，
故选D.

【点睛】
本题考查了轴对称---最短路径问题，解答过程要利用菱形的性质及等腰三角形的性质，转化为两点之间线段最短的问题来解．
二、填空题
9．
【解析】
【分析】
根据二次根式有意义的条件可直接进行求解．
【详解】
解：由二次根式在实数范围内有意义可得：
，解得：；
故答案为．
【点睛】
本题主要考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
10．96cm2
【解析】
【分析】
根据菱形的面积等于两对角线的积的一半求解即可．
【详解】
由已知可得，这个菱形的面积()，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了菱形的性质，解答此题的关键是掌握菱形的面积等于两对角线的积的一半．
11．B
解析：139
【解析】
【分析】
根据勾股定理可得正方形BCMN的面积为25+144=169，再求出Rt△ABC的面积，即可求解．
【详解】
如图，∵正方形、正方形的面积分别为25、144，
∴正方形BCMN的面积为25+144=169，AB=5，AC=12
∴阴影部分的面积为169-×5×12=169-30=139
故答案为：139．

【点睛】
此题主要考查勾股定理，解题的关键是熟知勾股定理几何证明方法．
12．B
解析：
【分析】
根据勾股定理的逆定理可以证明∠BAC＝90°；根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，则AM＝EF，要求AM的最小值，即求EF的最小值；根据三个角都是直角的四边形是矩形，得四边形AEPF是矩形，根据矩形的对角线相等，得EF＝AP，则EF的最小值即为AP的最小值，根据垂线段最短，知：AP的最小值即等于直角三角形ABC斜边上的高．
【详解】
解：如图，连接AP，
∵在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，
∴AB2＋AC2＝BC2，
即∠BAC＝90°．
设Rt△ABC的斜边BC上的高为h．
∴h＝，
又∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，
∴四边形AEPF是矩形，
∴EF＝AP．
∵M是EF的中点，
∴AM＝EF＝AP．
因为AP的最小值即为直角三角形ABC斜边上的高，即等于，
∴AM的最小值是×=．
故答案为：．

【点睛】
本题综合运用了勾股定理的逆定理、矩形的判定及性质、直角三角形的性质．要能够把要求的线段的最小值转换为便于分析其最小值的线段．
13．y＝﹣3x
【分析】
根据y随着x的增大而减小推断出k与0的关系，再可以利用过点（1，﹣3）来确定函数的解析式，答案不唯一．
【详解】
解：∵y随着x的增大而减小，
∴k＜0，
又∵直线过点（1，﹣3），
则解析式为y＝﹣3x或y＝﹣2x﹣1或y＝﹣x﹣2等．
故答案为：y＝﹣3x．
【点睛】
本题主要考查对一次函数的性质、用待定系数法求一次函数的解析式等知识点的理解和掌握，能理解一次函数的性质是解此题的关键．
14．A
解析：5cm．
【详解】
试题分析：在Rt△ABC中，
∵AB=5cm，BC=12cm，
∴AC=13cm，
∵点E、F分别是AO、AD的中点，
∴EF是△AOD的中位线，
EF=OD=BD=AC=3.25cm，
AF=AD=BC=6cm，
AE=AO=AC=3.25cm，
∴△AEF的周长=AE+AF+EF=3.25+6+3.25=12.5（cm）．
故答案是12.5cm．
考点：1.三角形中位线定理2.矩形的性质．
15．1≤k≤3
【分析】
把点A、B的坐标分别代入一次函数解析式，求得k的最大值和最小值，易得k的取值范围．
【详解】
解：把（1，3）代入y=kx，得k=3．
把（3，3）代入y=kx，得3k=3，解
解析：1≤k≤3
【分析】
把点A、B的坐标分别代入一次函数解析式，求得k的最大值和最小值，易得k的取值范围．
【详解】
解：把（1，3）代入y=kx，得k=3．
把（3，3）代入y=kx，得3k=3，解得k=1．
故k的取值范围为1≤k≤3．
故答案是：1≤k≤3．
【点睛】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，用一次函数图象上点的坐标特征，找出关于k的最值是解题的关键．
16．+
【分析】
先推出BE=DE，设BE=DE=x，则AE=2-x，利用勾股定理列出关于x的方程，求出BD的长，进而求解．
【详解】
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD，
∵长方形ABCD沿对角线B
解析：+
【分析】
先推出BE=DE，设BE=DE=x，则AE=2-x，利用勾股定理列出关于x的方程，求出BD的长，进而求解．
【详解】
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD，
∵长方形ABCD沿对角线BD折叠，
∴∠EBD=∠CBD，
∴∠ADB=∠EBD，
∴BE=DE，
设BE=DE=x，则AE=2-x，
在Rt∆ABE中，(2-x)2+12=x2，解得：x=，
在Rt∆ABD中，BD==，
∴△BED的周长=++=+．
【点睛】
本题主要考查矩形的性质，等腰三角形的判定定理，折叠的性质以及勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
三、解答题
17．（1）；（2）；（3）0；（4）或
【分析】
（1）根据二次根式的乘除计算法则求解即可；
（2）先利用二次根式的性质化简，然后根据二次根式的加减计算法则求解即可；
（3）先根据二次根式的性质化简，然
解析：（1）；（2）；（3）0；（4）或
【分析】
（1）根据二次根式的乘除计算法则求解即可；
（2）先利用二次根式的性质化简，然后根据二次根式的加减计算法则求解即可；
（3）先根据二次根式的性质化简，然后根据二次根式的混合计算法则求解即可；
（4）根据求平方根的方法解方程即可．
【详解】
（1）

；
（2）

；
（3）

；
（4）∵，
∴或，
解得或．
【点睛】
本题主要考查了利用二次根式的性质化简，二次根式的乘除计算，二次根式的混合计算，二次根式的加减计算，求平方根法解方程，熟知相关计算法则是解题的关键．
18．（1）4米；（2）1米
【分析】
（1）利用勾股定理可以得出梯子的顶端距离地面的高度．
（2）由（1）可以得出梯子的初始高度，下滑4米后，可得出梯子的顶端距离地面的高度，再次使用勾股定理，已知梯子的
解析：（1）4米；（2）1米
【分析】
（1）利用勾股定理可以得出梯子的顶端距离地面的高度．
（2）由（1）可以得出梯子的初始高度，下滑4米后，可得出梯子的顶端距离地面的高度，再次使用勾股定理，已知梯子的底端距离墙的距离为7米，可以得出，梯子底端水平方向上滑行的距离．
【详解】
解：（1）根据勾股定理：
墙的高度（米；
（2）梯子下滑了1米，即梯子距离地面的高度（米．
根据勾股定理：（米
则（米，即底端将水平动1米．
答：（1）墙的高度是4米；
（2）若梯子的顶端下滑1米，底端将水平动1米．
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用，要求熟练掌握利用勾股定理求直角三角形边长．
19．（1）3；（2）①见解析；②C1（2，﹣1），C2（﹣1，2），C3（﹣2，1），C4（1，﹣2）．
【解析】
【分析】
（1）直接利用勾股定理求出AB的长度即可；
（2）①根据三角形ABC的面积画
解析：（1）3；（2）①见解析；②C1（2，﹣1），C2（﹣1，2），C3（﹣2，1），C4（1，﹣2）．
【解析】
【分析】
（1）直接利用勾股定理求出AB的长度即可；
（2）①根据三角形ABC的面积画出对应的三角形即可；
②根据点C的位置，写出点C的坐标即可.
【详解】
解：（1）如图所示
在Rt△ACB中，∠P=90°，AP=3，BP=3
∴

（2）①如图所示
Rt△ACB中，∠C=90°，AC=3，BC=3
∴

②C1（2，﹣1），C2（﹣1，2），C3（﹣2，1），C4（1，﹣2）．
满足条件的三角形如图所示．

C1（2，﹣1），C2（﹣1，2），C3（﹣2，1），C4（1，﹣2）．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理，三角形的面积，点的坐标，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识点进行求解.
20．见解析
【分析】
根据DF∥AC，CF∥BD，即可证出四边形EDFC是平行四边形，又知四边形ABCD是矩形，故可得ED=BD=AC=EC，即可证出四边形EDFC是菱形．
【详解】
证明：∵DF∥AC
解析：见解析
【分析】
根据DF∥AC，CF∥BD，即可证出四边形EDFC是平行四边形，又知四边形ABCD是矩形，故可得ED=BD=AC=EC，即可证出四边形EDFC是菱形．
【详解】
证明：∵DF∥AC，CF∥BD
∴四边形EDFC是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴ED=BD=AC=EC，
∴四边形EDFC是菱形．
【点睛】
本题主要考查矩形性质和菱形的判定的知识点，解答本题的关键是熟练掌握菱形的判定定理，此题比较简单．
21．（1）5；（2）5.
【解析】
【详解】
试题分析: 根据平方差公式，可分母有理化，根据整体代入，可得答案．
试题解析：（1）∵a=，
∴4a2-8a+1
=4×()2-8×（）+1
=5；
（2）
解析：（1）5；（2）5.
【解析】
【详解】
试题分析: 根据平方差公式，可分母有理化，根据整体代入，可得答案．
试题解析：（1）∵a=，
∴4a2-8a+1
=4×()2-8×（）+1
=5；
（2）原式=×（−1+−+−+…+−）
=×（-1）
=×10
=5.
点睛：本题主要考查了分母有理化，利用分母有理化化简是解答此题的关键．
22．（1）；（2）4.5千克．
【分析】
（1）当x≥2时函数为一次函数，用待定系数法求函数解析式；
（2）把y＝20代入（1）中解析式求解即可.
【详解】
解：（1）当时，设与之间的的函数关系式为，
解析：（1）；（2）4.5千克．
【分析】
（1）当x≥2时函数为一次函数，用待定系数法求函数解析式；
（2）把y＝20代入（1）中解析式求解即可.
【详解】
解：（1）当时，设与之间的的函数关系式为，
将点，带入解析式得
解得
∴．
（2）将时，带入中解得千克．
答：徐大爷付款20元能购买这种玉米种子4.5千克．
【点睛】
本题考查一次函数的应用，关键是用待定系数法求函数解析式．
23．（1）证明见解析；（2）证明见解析
【分析】
（1）根据已知条件可得△ABC≌△ABD，再根据∠AOC+∠AOD=180°，进而可证得AB⊥CD，进而得到∠ACO=∠ABE，进而证得△ABF≌△CD
解析：（1）证明见解析；（2）证明见解析
【分析】
（1）根据已知条件可得△ABC≌△ABD，再根据∠AOC+∠AOD=180°，进而可证得AB⊥CD，进而得到∠ACO=∠ABE，进而证得△ABF≌△CDA；
（2）取AB中点H，根据已知条件可知MO为△AFH的中位线，进而可证得△AFH≌△DAO，进一步得到△AFD为等腰直角三角形，然后过点F作FI⊥AF交AB于点I，取CD上点G使MG=MN，连接AG，先证△AFI≌△DAM，而后△FMN≌△FIN，得到∠FIN =∠FMN，进而可证△AMG≌△FMN，得到∠AGM=∠FNM，进而证得△ACG≌△FBN，得到BN=CG，再根据CG=CM+MG，得到BN=CM+MG，又MG=MN，继而得到BN=CM+MN．
【详解】
证明：（1）∵AC=AD，BC=BD，AB=AB，
∴△ABC≌△ABD，
∴∠CAO=∠DAO，
又∵∠ACO=∠ADO，
∴∠AOC=∠AOD，
又∵∠AOC+∠AOD=180°，
∴∠AOC=∠AOD=90°，
∴AB⊥CD，
在Rt△AOC中，∠ACO+∠CAO=90°，
在Rt△AEB中，∠ABE+∠CAO=90°，
∴∠ACO=∠ABE，
又∵AC=AD，FA=FB，
∴∠ACO=∠ADO=∠ABF=∠FAB，
∵，
∴△ABF≌△CDA；
（2）如图，取AB中点H，

∵△ABF是等腰三角形，
∴FH⊥AB，
∵AM=MF且MO⊥AB，
∴MO为△AFH的中位线，
∴AO=OH=，
又∵AH===DO，
由△ABF≌△CDA，可知：AF=BF=AC=AD，
∴△AFH≌△DAO，
∴∠AFH=∠DAO，
∵∠FAH+∠AFH=90°，
∴∠FAH+∠DAO=90°，
∴∠FAD=90°，
∴△AFD为等腰直角三角形，
过点F作FI⊥AF交AB于点I，取CD上点G使MG=MN，连接AG，
由△AFH≌△DAO可得∠FAI=∠ADM，
又∵AD=AF，
∴△AFI≌△DAM，
∴FI=AM，
又∵AM=MF，
∴FI=MF，
由FI⊥AF可知∠AFI=90°，∠AFN=45°，
∴∠NFI=∠AFI-∠AFN=90°-45°=45°，
∴∠MFN=∠NFI，又∵FI=FM，
∴△FMN≌△FIN，
∴∠FIN =∠FMN，
又∵∠AMD=∠FIA，
∴∠AMD=∠FMN，
又∵AM=FM，MG=MN，
∴△AMG≌△FMN，
∴∠AGM=∠FNM，
又∵∠FNM=∠FNB，
∴∠AGM=∠FNB，
又∵∠ACG=∠FBN，AC=FB,
∴△ACG≌△FBN，
∴BN=CG，
又∵CG=CM++MG，
∴BN=CM+MG，
又∵MG=MN，
∴BN=CM+MN．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、中位线等知识，解题的关键是综合运用相关知识解题．
24．（1）①3；②或；③，；（2）或
【解析】
【分析】
（1）①由的坐标为，的坐标为，得出“合成矩形”的长为3，宽为1，求出面积；
②分两种情况画图，得到正方形边长为2，可知点的坐标，待定系数法求的函
解析：（1）①3；②或；③，；（2）或
【解析】
【分析】
（1）①由的坐标为，的坐标为，得出“合成矩形”的长为3，宽为1，求出面积；
②分两种情况画图，得到正方形边长为2，可知点的坐标，待定系数法求的函数关系式；
③根据正方形的边长相等，建立的方程求解；
（2）根据正方形面积公式，求出点 的坐标，代入函数表达式，求的取值范围．
【详解】
解：（1）①点，的“合成矩形”如图1，
的坐标为，的坐标为，
，．
点，的“合成矩形” 的面积．
故答案为：3．

②如图2，
的坐标为，
点在直线上，
且点，的“合成矩形”为正方形时，
当在轴上方时，
点，
．
点，的“合成矩形”为正方形，
，
，
设直线解析式为，
将，代入表达式得：
，
解得．
直线解析式为．
同理可得当在轴下方时，
，
此时解析式为．
综上所述，点，的“合成矩形”为正方形，直线的表达式为或；

③如图3，当点在直线上，
设点．
当点在轴上方时，
点，的“合成矩形”为正方形，
则正方形的边长为和，
可得方程，
解得，
点的坐标为．
同理可得，当点在轴下方时，
，的横坐标相同，
则．
点在直线上，且点，的“合成矩形”为正方形时，点的坐标为，．

（2）点的坐标为，
如图4，，的“合成矩形”为正方形时，
且点在轴上，点在轴上．
当点在轴的上方，
且正方形面积等于2时，
．
，．
点代入直线得：
．
正方形面积不小于2，
的取值范围为．
同理可得，
当点在轴下方时，
的取值范围为．
综上，的取值范围为或．

【点睛】
本题是阅读理解题，考查了学生对新定义的理解和运用能力、正方形的性质、以及一次函数的图象和性质，待定系数法求直线解析式等知识，综合性较强，有一定的难度，利用数形结合解决此类问题是非常有效的方法．
25．（1）①见解析；②；（2）；（3）或
【分析】
（1）①利用三线合一定理证明ED=CD，即可得到ED=AB，由矩形的性质可以得到AE=AC=BD，即可证明；②设A（a，0），C（0，b），利用勾股定
解析：（1）①见解析；②；（2）；（3）或
【分析】
（1）①利用三线合一定理证明ED=CD，即可得到ED=AB，由矩形的性质可以得到AE=AC=BD，即可证明；②设A（a，0），C（0，b），利用勾股定理求出，则CE=CD+DE=6，E（a-5，0），则，，由此即可求解；
（2）延长BA到M于y轴交于M，先证明△DGC≌△AGM，得到∠DCG=∠AMG，AM=CD=AB=3，再由角平分线的定义即可推出CF=MF，设AF=m，则CF=MF=3+m，BF=AB-AF=3-m，
由，得到，解方程即可；
（3）分Q在矩形ABCD内部和外部两种情况求解即可．
【详解】
解：（1）①∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°，AC=BD，DC=AB
∵AC=AE，
∴CD=ED，AE=BD
∴ED=AB，
∴四边形ABDE是平行四边形；
②设A（a，0），C（0，b），
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，CD=AB=DE=3，
∴，CE=CD+DE=6，
∴E（a-5,0），
∴，，
∴，
解得，
∴；

（2）如图，延长BA到M于y轴交于M，
∵G为AD中点，
∴AG=DG，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠DAB=∠GAM=∠B=90°，
又∵∠DGC=∠AGM，
∴△DGC≌△AGM（ASA），
∴∠DCG=∠AMG，AM=CD=AB=3
∵CG平分∠DCF，
∴∠DCG=∠FCM=∠AMG，
∴CF=MF，
设AF=m，则CF=MF=3+m，BF=AB-AF=3-m，
∵，
∴
解得，
∴；

（3）当Q在矩形内部时，如图所示，过点Q作QE⊥BC于E，延长EQ交AD于F，连接AQ
∵，
∴；
∵BC∥AD，EF⊥AD，BA⊥AD，
∴EF∥AB，
∴四边形ABEF是矩形，
∴EF=AB=3，BE=AF，
∴，
∵点P与点Q关于直线AD对称，且AP=AD，
∴AP=AD=AQ=4
∴，，
∴；

当Q在矩形ABCD的外部时，如图所示过点Q作QE⊥BC于E，延长QE交AD于F，连接AQ

同理求得，，
∴，
∴，
∴，
∴综上所述，或，
故答案为：或．
【点睛】
本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，两点距离公式，等腰三角形的性质与判定，平行四边形的判定等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．