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部编版八年级下册数学期末试卷测试卷(解析版).doc

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部编版八年级下册数学期末试卷测试卷(解析版) 一、选择题 1.二次根式中,x的取值范围是(  ) A.x≥3 B.x≥1 C.1≤x≤3 D.不能确定 2.下列各组数中,不能构成直角三角形的一组是 ( ) A.7,24,25 B.,4,5 C.3,4,5 D.4,5,6 3.如图,E是的边延长线上一点,连结交于点F,连结,,添加以下条件,不能判定四边形为平行四边形的是( ) A. B. C. D. 4.某次竞赛每个学生的综合成绩得分(x)与该学生对应的评价等次如表. 综合成绩(x)=预赛成绩×30%+决赛成绩×70% x≥90 80≤x<90 评价等次 优秀 良好 小华同学预赛成绩为80,综合成绩位于良好等次,他决赛的成绩可能为( )A.71 B.79 C.87 D.95 5.△ABC的三边长分别为a,b,c,下列条件:①∠A=∠B-∠C;②∠A:∠B:∠C=3:4:5;③a2=(b+c)(b-c);④a:b:c=5:12:13其中能判断△ABC是直角三角形的个数有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 6.如图,在平行四边形纸片ABCD中,对角线AC与BD相交于点E,∠AEB=45°,BD=4,将纸片沿对角线AC对折,使得点B落在点B′的位置,连接DB',则DB'的长为(  ) A.2 B.2 C.4 D.15 7.如图,在中,,,是的角平分线交于点,若,则的面积是( ) A. B.75 C. D. 8.如图,直线l:y=﹣x++3与x轴交于点A,与经过点B(﹣2,0)的直线m交于第一象限内一点C,点E为直线l上一点,点D为点B关于y轴的对称点,连接DC、DE、BE,若∠DEC=2∠DCE,∠DBE=∠DEB,则CD2的值为(  ) A.20+4 B.44+4 C.20+4或44﹣4 D.20﹣4或44+4 二、填空题 9.式子在实数范围内有意义,则实数x的取值范围是________. 10.如图,在菱形ABCD中对角线AC、BD相交于点O,若AB=3,BD=4,则菱形ABCD的面积为_____. 11.在中,,,,则长为______. 12.如图,在中,,,,为边上一动点,于,于,为的中点,则的最小值为________. 13.若一次函数(为常数)的图象经过点(,9),则____. 14.如图,在平面直角坐标系中,矩形的顶点、的坐标分别为,,点是的中点,点在上运动,点是坐标平面内的任意一点.若以、、、为顶点的四边形是边长为5的菱形时,则点的坐标为__________. 15.如图1,在长方形中,动点P从点A出发,沿方向运动至D点处停止,设点P出发时的速度为每秒,a秒后点P改变速度,以每秒向点D运动,直到停止.图2是的面积与时间的图像,则b的值是_________. 16.如图,长方形纸片ABCD中,AB=8cm,BC=17cm,点O在边BC上,且OB=10cm.将纸片沿过点O的直线折叠,若点B恰好落在边AD上的点F处,则AF的长为 _____cm. 三、解答题 17.计算 (1) (2)(+)(-) (3) (4) 18.在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题:“平地秋千未起,踏板一尺离地.送行二步与人齐,五尺人高曾记.仕女佳人争蹴,终朝笑语欢嬉.良工高士素好奇,算出索长有几”.此问题可理解为:如图,有一架秋千,当它静止时,踏板离地的距离AB的长度为1尺.将它往前推送,当水平距离为10尺时.即尺,则此时秋千的踏板离地的距离就和身高5尺的人一样高.若运动过程中秋千的绳索始终拉得很直,求绳索OA的长. 19.如图,在平面直角坐标系中,网格中每一个小正方形的边长都是1个单位长度. (1)画出△ABC关于y轴对称的图形△A′B′C′,写出C的坐标; (2)求△ABC中AC边上的高. 20.如图,在矩形ABCD中,点E在边BC上,点F在BC的延长线上,且BE=CF.求证: (1)△ABE≌DCF; (2)四边形AEFD是平行四边形;探究:连结DE,若DE平分∠AEC,直接写出此时四边形AEFD的形状. 21.观察下列等式: ①;②;③;…… 回答下列问题: (1)利用你观察到的规律,化简: (2)计算: +++……+ 22.一辆汽车油箱内有油a升,从某地出发,每行驶1小时耗油6升,若设剩余油量为Q升,行驶时间为t小时,根据以上信息回答下列问题: (1)开始时,汽车的油量a=   升; (2)在行驶了    小时汽车加油,加了    升; (3)根据图象求加油前Q与t之间的关系式,并写出t的取值范围. 23.已知:如图,平行四边形ABCD中,AB=5,BD=8,点E、F分别在边BC、CD上(点E、F与平行四边形ABCD的顶点不重合),CE=CF,AE=AF. (1)求证:四边形ABCD是菱形; (2)设BE=x,AF=y,求y关于x的函数解析式,并写出定义域; (3)如果AE=5,点P在直线AF上,△ABP是以AB为腰的等腰三角形,那么△ABP的底边长为    .(请将答案直接填写在空格内) 24.已知:直线与轴、轴分别相交于点和点,点在线段上.将沿折叠后,点恰好落在边上点处. (1)直接写出点、点的坐标: (2)求的长; (3)点为平面内一动点,且满足以、、、为顶点的四边形为平行四边形,请直接回答: ①符合要求的点有几个? ②写出一个符合要求的点坐标. 25.(1)问题探究:如图①,在四边形ABCD中,AB∥CD,E是BC的中点,AE是∠BAD的平分线,则线段AB,AD,DC之间的等量关系为   ; (2)方法迁移:如图②,在四边形ABCD中,AB∥CD,AF与DC的延长线交于点F,E是BC的中点,AE是∠BAF的平分线,试探究线段AB,AF,CF之间的等量关系,并证明你的结论; (3)联想拓展:如图③,AB∥CF,E是BC的中点,点D在线段AE上,∠EDF=∠BAE,试探究线段AB,DF,CF之间的数量关系,并证明你的结论. 【参考答案】 一、选择题 1.A 解析:A 【分析】 根据二次根式的被开方数为非负数可计算求解. 【详解】 解:由题意得且, 解得, 故选:A. 【点睛】 本题主要考查二次根式有意义的条件,掌握二次根式有意义的条件是解题的关键. 2.D 解析:D 【分析】 根据勾股定理的逆定理:如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形.如果没有这种关系,这个三角形就不是直角三角形. 【详解】 解:A、72+242=252,能构成直角三角形,故此选项不符合题意; B、42+52=()2,能构成直角三角形,故此选项不符合题意; C、32+42=52,能构成直角三角形,故此选项不符合题意; D、52+42≠62,不能构成直角三角形,故此选项符合题意. 故选:D. 【点睛】 本题考查了勾股定理的逆定理,在应用勾股定理的逆定理时,应先认真分析所给边的大小关系,确定最大边后,再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系,进而作出判断. 3.B 解析:B 【解析】 【分析】 根据平行四边形的判定定理逐项推理证明即可. 【详解】 解:∵ DE∥BC, ∴∠DEF=∠CBF, ∠DEF=∠CBF, 在△DEF与△CBF中, ∴△DEF≌△CBF(ASA), ∴DF=CF, ∵EF=BF, ∴四边形BCED为平行四边形,故A不符合题意; ∵AE∥BC, ∴∠AEB=∠CBF, ∵∠AEB=∠BCD, ∴∠CBF=∠BCD, ∴CF=BF, 同理,EF=DF, ∴不能判定四边形BCED为平行四边形; 故B符合题意; ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴ .AD∥BC,AB∥CD, ∴DE∥CE,∠ABD=∠CDB, 又∵∠ABD=∠DCE, ∴∠DCE=∠CDB, ∴BD∥CE, ∴四边形BCED为平行四边形, 故C不符合题意; ∵AE∥BC, ∴∠DEC+∠BCE=∠EDB+∠DBC=180°, ∵∠AEC=∠CBD, ∴∠BDE=∠BCE, ∴四边形BCED为平行四边形, 故D不符合题意. 故选:B. 【点睛】 本题考查了平行四边形的判定和性质,全等三角形的判定和性质,熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键. 4.C 解析:C 【解析】 【分析】 设他决赛的成绩为x分,根据综合成绩所处位次得出80≤80×30%+70%x<90,解之求出x的范围即可得出答案. 【详解】 解:设他决赛的成绩为x分, 根据题意,得:80≤80×30%+70%x<90, 解得80≤x<94, ∴各选项中符合此范围要求的只有87, 故选:C. 【点睛】 本题主要考查加权平均数,解题的关键是根据加权平均数的定义及综合成绩位次列出关于x的不等式组. 5.C 解析:C 【解析】 【分析】 根据三角形的内角和定理和勾股定理的逆定理分析判断即可. 【详解】 解:①∵∠A=∠B﹣∠C, ∴∠A+∠C=∠B, ∵∠A+∠B+∠C=180°, ∴2∠B=180°, ∴∠B=90°, ∴△ABC是直角三角形, ∴①正确; ②a2=(b+c)(b﹣c), ∴a2=b2﹣c2, ∴a2+c2=b2, ∴△BAC是直角三角形, ∴②正确; ③∵a:b:c=3:4:5, ∴设a=3k,b=4k,c=5k, ∵a2+b2=25k2,c2=25k2, ∴a2+b2=c2, ∴△ABC是直角三角形, ∴③正确; 故选:D. 【点睛】 直角三角形的判定是本题的考点,熟练运用勾股定理的逆定理和三角形的内角和定理是解题的关键,此类题型属于基础题. 6.A 解析:A 【解析】 【分析】 先利用平行四边形的性质得到,再由折叠的性质得到,,由此可得到,再利用勾股定理求解即可. 【详解】 解:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴, 由折叠的性质可知:,, ∴, ∴, ∴在直角三角形中, 故选A. 【点睛】 本题主要考查了平行四边形的性质,折叠的性质,勾股定理,解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 7.C 解析:C 【解析】 【分析】 先利用勾股定理和含30度的直角三角形的性质求出,再由角平分线的定义得到,即可求得,,再由进行求解即可. 【详解】 解:∵∠C=90°,∠CAB=60°, ∴∠B=30°, ∴AB=2AC=30, ∴, ∵AD平分∠CAB, ∴, ∴AD=2CD, ∵, ∴, ∴, ∴, ∴, 故选C. 【点睛】 本题主要考查了勾股定理,含30度角的直角三角形的性质,解题的关键在于能够熟练张相关知识进行求解. 8.C 解析:C 【分析】 过点D作DF⊥l于点F,延长FD交y轴于点G,求出DF的解析式,联立方程组,求出点F的坐标,分点E在点F的上方和下方两种情况结合勾股定理求出结论即可. 【详解】 解:过点D作DF⊥l于点F,延长FD交y轴于点G, ∵点B(﹣2,0),且点D为点B关于y轴的对称点, ∴D(2,0) ∴BD=4 又∠DBE=∠DEB, ∴DE=BD=4 对于直线l:y=﹣x++3,当x=0时,y=+3;当y=0时,x=+3 ∴OH=+3,AO=+3 ∴ ∴ ∴ ∴ 又 ∴, ∴ ∴ 设直线DF所在直线解析式为 把,D(2,0)代入得, 解得, ∴直线DF所在直线解析式为 联立, 解得, ∴F(,) ∴ 在Rt△DFE中, ∴ ①当E在F下方时,如图1,在E点下方直线l上取一点M,使EM=DE=4,连接DM, ∵EM=DE ∴ 又∵ ∴ 又∵ ∴ ∴DC=DM 在Rt△DFM中, ∴ ②当点E在F的上方时,如图2,在E点下方直线l上取一点M,使EM=DE=4,连接DM, ∵EM=DE ∴ 又∵, ∴ ∴DC=DM ∴ 在Rt△DFM中, ∴ 综上所述,或 故选:C 【点睛】 本题是一次函数的综合题;灵活应用勾股定理,熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键. 二、填空题 9.x≥﹣3 【解析】 【分析】 根据二次根式有意义的条件,根号内的式子必需大于等于0,即可求出答案. 【详解】 解:式子在实数范围内有意义,则3+x≥0, 解得:x≥﹣3. 故答案为:x≥﹣3. 【点睛】 本题主要考查了二次根式有意义,熟练其要求是解决本题的关键. 10.A 解析: 【解析】 【分析】 根据勾股定理求出对角线AC的长,然后利用菱形面积公式计算即可. 【详解】 解:四边形ABCD是菱形,, , , , , 则S菱形ABCD, 故答案为:. 【点睛】 本题主要考查了菱形的性质,勾股定理,菱形的面积公式等知识点,利用勾股定理求出AC是关键. 11.A 解析: 【解析】 【分析】 直接利用勾股定理求出AB的长进而得出答案. 【详解】 解:如图所示:∵∠ACB=90°,,, ∴AB的长为:=, 故答案为:. 【点睛】 此题主要考查了勾股定理,熟练应用勾股定理是解题关键. 12.B 解析: 【分析】 根据勾股定理的逆定理可以证明∠BAC=90°;根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,则AM=EF,要求AM的最小值,即求EF的最小值;根据三个角都是直角的四边形是矩形,得四边形AEPF是矩形,根据矩形的对角线相等,得EF=AP,则EF的最小值即为AP的最小值,根据垂线段最短,知:AP的最小值即等于直角三角形ABC斜边上的高. 【详解】 解:如图,连接AP, ∵在△ABC中,AB=3,AC=4,BC=5, ∴AB2+AC2=BC2, 即∠BAC=90°. 设Rt△ABC的斜边BC上的高为h. ∴h=, 又∵PE⊥AB于E,PF⊥AC于F, ∴四边形AEPF是矩形, ∴EF=AP. ∵M是EF的中点, ∴AM=EF=AP. 因为AP的最小值即为直角三角形ABC斜边上的高,即等于, ∴AM的最小值是×=. 故答案为:. 【点睛】 本题综合运用了勾股定理的逆定理、矩形的判定及性质、直角三角形的性质.要能够把要求的线段的最小值转换为便于分析其最小值的线段. 13.3 【分析】 把点(,9)代入函数解析式,即可求解. 【详解】 ∵一次函数(为常数)的图象经过点(,9), ∴,解得:b=3, 故答案是:3. 【点睛】 本题主要考查一次函数图象上的点的坐标特征,掌握待定系数法,是解题的关键. 14.D 解析:或或 【分析】 因为点是坐标平面内的任意一点.若以、、、为顶点的四边形是边长为5的菱形时,始终有△ODP是腰长为5的等腰三角形,而△ODP是腰长为5的等腰三角形有三种情况,要分类讨论求解即可. 【详解】 解:由题意,若以、、、为顶点的四边形是边长为5的菱形时,始终有△ODP是腰长为5的等腰三角形,而当△ODP是腰长为5的等腰三角形时,有三种情况: (1)如答图①所示,PD=OD=5,点P在点D的左侧. 过点P作PE⊥x轴于点E,则PE=4. 在Rt△PDE中,由勾股定理得:DE=, ∴OE=OD-DE=5-3=2, ∴此时点P坐标为(2,4); (2)如答图②所示,OP=OD=5. 过点P作PE⊥x轴于点E,则PE=4. 在Rt△POE中,由勾股定理得:OE=, ∴此时点P坐标为(3,4); (3)如答图③所示,PD=OD=5,点P在点D的右侧. 过点P作PE⊥x轴于点E,则PE=4. 在Rt△PDE中,由勾股定理得:DE= ∴OE=OD+DE=5+3=8, ∴此时点P坐标为(8,4). 综上所述,点P的坐标为:(2,4)或(3,4)或(8,4); 故答案为:(2,4)或(3,4)或(8,4); 【点睛】 本题考查了分类讨论思想在几何图形中的应用,符合题意的等腰三角形有三种情形,注意不要遗漏. 15.【分析】 根据图像,结合题意,先求出AD的长,再根据三角形的面积公式求出a,即可求出b的值. 【详解】 解:由函数图像可知:时,点P在AB上,,点P在BC上,时,点P在CD上, ∴, ∵, ∴解得 解析: 【分析】 根据图像,结合题意,先求出AD的长,再根据三角形的面积公式求出a,即可求出b的值. 【详解】 解:由函数图像可知:时,点P在AB上,,点P在BC上,时,点P在CD上, ∴, ∵, ∴解得, 又∵,即 ∴, 故答案为:. 【点睛】 本题主要考查了动点问题的函数图像,解题的关键在于能够准确从函数图像中获取信息求解. 16.16 【分析】 过点F作FE⊥BC于点E,则EF=AB=8cm,AF=BE,根据折叠知识,可得OF=OB=10cm.在 中,由勾股定理,可得OE=6cm,即可求解. 【详解】 解:如图,过点F作FE 解析:16 【分析】 过点F作FE⊥BC于点E,则EF=AB=8cm,AF=BE,根据折叠知识,可得OF=OB=10cm.在 中,由勾股定理,可得OE=6cm,即可求解. 【详解】 解:如图,过点F作FE⊥BC于点E,则EF=AB=8cm,AF=BE, 在长方形ABCD中,CD=AB=8cm, 根据题意得:OF=OB=10cm. 在 中,由勾股定理得: , ∴AF=BE=OB+OE=16cm. 故答案为:16 【点睛】 本题主要考查了勾股定理,图形的折叠,熟练掌握勾股定理,图形折叠前后,对应线段相等,对应角相等是解题的关键. 三、解答题 17.(1)3;(2)﹣1;(3)2;(4)3-1. 【分析】 (1)先计算二次根式的乘法再算减法; (2)利用平方差公式计算; (3)先算乘法和完全平方公式计算,最后算加减; (4)先化简最简二次根式和 解析:(1)3;(2)﹣1;(3)2;(4)3-1. 【分析】 (1)先计算二次根式的乘法再算减法; (2)利用平方差公式计算; (3)先算乘法和完全平方公式计算,最后算加减; (4)先化简最简二次根式和去绝对值,最后算加减. 【详解】 解:(1)原式==8-5=3; (2)原式=; (3)原式=1+2-(1-2+2)=3-3+2=2; (4)原式==3-1. 【点睛】 本题考查了二次根式的混合运算、平方差公式、完全平方公式以及零次幂,熟练掌握各运算法则是解题的关键. 18.绳索OA的长为14.5尺. 【分析】 设绳索OA的长为x尺,根据题意知,可列出关于 的方程,即可求解. 【详解】 解:由题意可知: 尺, 设绳索OA的长为x尺,根据题意得 , 解得. 答:绳索OA的 解析:绳索OA的长为14.5尺. 【分析】 设绳索OA的长为x尺,根据题意知,可列出关于 的方程,即可求解. 【详解】 解:由题意可知: 尺, 设绳索OA的长为x尺,根据题意得 , 解得. 答:绳索OA的长为14.5尺. 【点睛】 本题主要考查了勾股定理的应用,明确题意,列出方程是解题的关键. 19.(1)作图见解析,点C的坐标为(-1,1);(2)AC边上的高为. 【解析】 【分析】 (1)分别作出A,B,C的对应点A′,B′,C′即可. (2)利用面积法求解即可. 【详解】 解:(1)如图, 解析:(1)作图见解析,点C的坐标为(-1,1);(2)AC边上的高为. 【解析】 【分析】 (1)分别作出A,B,C的对应点A′,B′,C′即可. (2)利用面积法求解即可. 【详解】 解:(1)如图,△A′B′C′即为所求作. 点C的坐标为(-1,1); (2)设△ABC边上的高为h, ∵AB==,BC==,AC==, , ∴,且AB=BC, ∴△ABC是等腰直角三角形,且AC为斜边, ∴××=××h, ∴h=. 即AC边上的高为. 【点睛】 本题考查作图-轴对称变换,勾股定理等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型. 20.(1)见解析;(2)证明见解析;探究:菱形 【分析】 (1)根据矩形性质直接根据边角边证明△ABE≌DCF即可; (2)证明AE∥DF,AE=DF,可得结论; 探究:证明FD=FE,可得结论. 【详 解析:(1)见解析;(2)证明见解析;探究:菱形 【分析】 (1)根据矩形性质直接根据边角边证明△ABE≌DCF即可; (2)证明AE∥DF,AE=DF,可得结论; 探究:证明FD=FE,可得结论. 【详解】 .证明:(1)∵四边形ABCD为矩形, ∴AB=DC,∠B=∠DCF, ∵BE=CF, ∴△ABE≌DCF; (2)∵△ABE≌DCF, ∴∠AEB=∠F,AE=DF, ∴AE∥DF, ∴AE=DF, ∴四边形AEFD是平行四边形. (3)此时四边形AEFD是菱形. 理由:如图1中,连接DE. ∵DE平分∠AEC, ∴∠AED=∠DEF, ∵AD∥EF, ∴∠ADE=∠DEF, ∴∠ADE=∠AED, ∴AD=AE, ∵四边形AEFD是平行四边形, ∴四边形AEFD是菱形. 【点睛】 本题属于四边形综合题,考查了矩形的性质,平行四边形的判定和性质,菱形的判定等知识,解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题,属于中考常考题型. 21.(1)- (2)9 【解析】 【分析】 (1)根据已知的3个等式发现规律:,把n=22代入即可求解;(2)先利用上题的规律将每一个分数化为两个二次根式的差的形式,再计算即可. 【详解】 解:(1 解析:(1)- (2)9 【解析】 【分析】 (1)根据已知的3个等式发现规律:,把n=22代入即可求解;(2)先利用上题的规律将每一个分数化为两个二次根式的差的形式,再计算即可. 【详解】 解:(1); (2)计算: = = =10-1 =9. 22.(1)42;(2)5,24;(3)Q=﹣6t+42,(0≤t≤5) 【分析】 (1)根据图象开始时Q的值即可得出结论; (2)根据图象,中途Q增大的位置即可得出结论; (3)根据图象上的两个点,用待 解析:(1)42;(2)5,24;(3)Q=﹣6t+42,(0≤t≤5) 【分析】 (1)根据图象开始时Q的值即可得出结论; (2)根据图象,中途Q增大的位置即可得出结论; (3)根据图象上的两个点,用待定系数法即可. 【详解】 解:(1)由图象知,t=0时,Q=42, ∴开始时,汽车的油量a=42升, 故答案为42; (2)当t=5时,Q的值增大, ∴在行驶5小时时加油,加油量为36﹣12=24升, 故答案为5,24; (3)加油前,图像上有两点(0,42),(5,12), 设Q与t的关系式为Q=kt+b, 代入(0,42),(5,12),得: , 解得, ∴Q=﹣6t+42,(0≤t≤5). 【点睛】 本题主要考查一次函数的应用,关键是要会用待定系数法求一次函数的解析式. 23.(1)见解析;(2);(3)8或或6 【分析】 (1)连结,证明,得到相等的角,再由平行线的性质证明,从而得,由菱形的定义判定四边形是菱形; (2)连结,交于点,作于点,由菱形的面积及边长求出菱形的 解析:(1)见解析;(2);(3)8或或6 【分析】 (1)连结,证明,得到相等的角,再由平行线的性质证明,从而得,由菱形的定义判定四边形是菱形; (2)连结,交于点,作于点,由菱形的面积及边长求出菱形的高,再求的长,由勾股定理列出关于、的等式,整理得到关于的函数解析式; (3)以为腰的等腰三角形分三种情况,其中有两种情况是等腰三角形与或全等,另一种情况可由(2)中求得的菱形的高求出的长,再求等腰三角形的底边长. 【详解】 解:(1)证明:如图1,连结, ,,, , , 即; 四边形是平行四边形, , , , , 四边形是菱形 (2)如图2,连结,交于点,作于点,则, 由(1)得,四边形是菱形, , , ,, , , , 由,且,得, 解得; , , 由,且,得, 点在边上且不与点、重合, , 关于的函数解析式为, (3)如图3,,且点在的延长线上, ,, , , , , , , , , , , , ,, , , 即等腰三角形的底边长为8; 如图4,,作于点,于点,则, , , , , , 由(2)得,, , , 即等腰三角形的底边长为; 如图5,,点与点重合,连结, ,,, , , 即, 等腰三角形的底边长为6. 综上所述,以为腰的等腰三角形的底边长为8或或6, 故答案为:8或或6. 【点睛】 此题重点考查菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理、求与几何图形有关的函数关系式等知识与方法,在解第(3)题时,需要进行分类讨论,求出所有符合条件的值,以免丢解. 24.(1)A(-8,0)、B(0,6);(2)5;(3)①3个;②(-5,6)或(-11,-6)或(5,6). 【解析】 【分析】 (1)利用待定系数法解决问题即可. (2)由翻折不变性可知,OC=CD 解析:(1)A(-8,0)、B(0,6);(2)5;(3)①3个;②(-5,6)或(-11,-6)或(5,6). 【解析】 【分析】 (1)利用待定系数法解决问题即可. (2)由翻折不变性可知,OC=CD,OB=BD=6,∠ODB=∠BOC=90°,推出AD=AB-BD=4,设CD=OC=x,在Rt△ADC中,根据AD2+CD2=AC2,构建方程即可解决问题. (3)①根据平行四边形的定义画出图形即可判断. ②利用平行四边形的性质求解即可解决问题. 【详解】 解:(1)对于直线,令x=0,得到y=6, ∴B(0,6), 令y=0,得到x=, ∴A(,0); (2)∵A(,0),B(0,6), ∴OA=8,OB=6, ∵∠AOB=90°, ∴, 由翻折不变性可知,OC=CD,OB=BD=6,∠ODB=∠BOC=90°, ∴AD=AB-BD=4,设CD=OC=x, 在Rt△ADC中,∵∠ADC=90°, ∴AD2+CD2=AC2, ∴42+x2=(8-x)2, 解得:x=3, ∴OC=3,AC=OAOC=83=5. (3)①符合条件的点P有3个,如图所示: ②∵A(-8,0),C(-3,0),B(0,6), 当AB为对角线时,, 由平行四边形的性质,得, ∴P1(-5,6); 当AB为边时,,点P在第三象限时,有 点B向下平移6个单位,向左平移3个单位得到点C, ∴点A向下平移6个单位,向左平移3个单位得到点P2, ∴P2(-11,-6); 点P在第二象限时,有 , ∴P3(5,6); ∴点P的坐标为:(-5,6)或(-11,-6)或(5,6). 【点睛】 本题属于一次函数综合题,考查了待定系数法,解直角三角形,平行四边形的判定和性质等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,学会用分类讨论的思想思考问题,属于中考常考题型. 25.(1)AD=AB+DC;(2)AB=AF+CF,证明详见解析;(3)AB=DF+CF,证明详见解析. 【分析】 (1)结论:AD=AB+DC.延长AE,DC交于点F,证明△ABE≌△FEC(AAS) 解析:(1)AD=AB+DC;(2)AB=AF+CF,证明详见解析;(3)AB=DF+CF,证明详见解析. 【分析】 (1)结论:AD=AB+DC.延长AE,DC交于点F,证明△ABE≌△FEC(AAS),即可推出AB=CF,再证明DA=DF,即可解决问题. (2)结论:AB=AF+CF,如图②,延长AE交DF的延长线于点G,证明方法类似(1). (3)结论;AB=DF+CF.如图③,延长AE交CF的延长线于点G,证明方法类似(1). 【详解】 解:(1)探究问题:结论:AD=AB+DC. 理由:如图①中,延长AE,DC交于点F, ∵AB∥CD, ∴∠BAF=∠F, 在△ABE和△FCE中, CE=BE,∠BAF=∠F,∠AEB=∠FEC, ∴△ABE≌△FEC(AAS), ∴CF=AB, ∵AE是∠BAD的平分线, ∴∠BAF=∠FAD, ∴∠FAD=∠F, ∴AD=DF, ∵DC+CF=DF, ∴DC+AB=AD. 故答案为AD=AB+DC. (2)方法迁移:结论:AB=AF+CF. 证明:如图②,延长AE交DF的延长线于点G, ∵E是BC的中点, ∴CE=BE, ∵AB∥DC, ∴∠BAE=∠G.且BE=CE,∠AEB=∠GEC ∴△AEB≌△GEC(AAS) ∴AB=GC ∵AE是∠BAF的平分线 ∴∠BAG=∠FAG, ∵∠BAG∠G, ∴∠FAG=∠G, ∴FA=FG, ∵CG=CF+FG, ∴AB=AF+CF. (3)联想拓展:结论;AB=DF+CF. 证明:如图③,延长AE交CF的延长线于点G, ∵E是BC的中点, ∴CE=BE, ∵AB∥CF, ∴∠BAE=∠G, 在△AEB和△GEC中, , ∴△AEB≌△GEC, ∴AB=GC, ∵∠EDF=∠BAE, ∴∠FDG=∠G, ∴FD=FG, ∴AB=DF+CF. 【点睛】 本题是四边形的综合问题,考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质、三角形三边关系等知识点,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题.
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