重庆市某重点中学2009年四季度公开招聘教师数学专业知识考核试题.doc

重庆市某重点中学2009年四季度公开招聘教师数学专业知识考核试题
（满分100分，时间60分钟）
一． 选择题:本大题共3小题,每小题5分,共15分
1．已知函数．规定：给定一个实数，赋值，若x1≤244，则继续赋值，…，以此类推，若≤244，则，否则停止赋值，如果得到称为赋值了n次．已知赋值k后该过程停止，则的取值范围是
A． B． C． D．
2．已知是方程的解, 是方程的解,函数，则
A. B. C. D.
3．已知二次函数f(x)＝ax2＋x(a∈R),对任意总有，则实数a的最大整数值为
A．-2 B．0 C．2 D．4
二．填空题：本大题共3小题，共15分．
4．已知依次成等比数列，则在区间[0，)内满足条件的x的集合为　 　．
5．定义，设
则函数的最大值是 ；
6．已知命题
①函数在上是减函数；
②函数的定义域为R，是为极值点的既不充分也不必要条件；
③函数的最小正周期为；
④在平面内，到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线；
⑤已知则在方向上的投影为。
其中，正确命题的序号是 。（把你认为正确命题的序号都填上）
三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.学科
7．(本大题满分12分)已知函数的图象经过点A(0，1)．B(，1)，
且当时，的最大值为．
(1)求的解析式；
(2)是否存在向量m，使得将的图象按照向量m平移后可以得到一个奇函数的图象？若存在，
请求出满足条件的一个m；若不存在，请说明理由．

8．（本小题满分12分）在奥运会射箭决赛中，参赛号码为1~4号的四名射箭运动员参加射箭比赛。
（1）通过抽签将他们安排到1~4号靶位，试求恰有两名运动员所抽靶位号与其参赛号码相同的概率；
（2）记1号、2号射箭运动员射箭的环数为（所有取值为0，1，2，3．．．，10）分别为、.根据教练员提供的资料，其概率分布如下表：

0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

0
0
0
0
0.06
0.04
0.06
0.3
0.2
0.3
0.04

0
0
0
0
0.04
0.05
0.05
0.2
0.32
0.32
0.02

①若1，2号运动员各射箭一次，求两人中至少有一人命中9环的概率；
②判断1号，2号射箭运动员谁射箭的水平高？并说明理由．
9．(本大题满分12分)某种出口产品的关税税率t．市场价格x(单位：千元)与市场供应量p(单位：万件)之间近似满足关系式：，其中k．b均为常数．当关税税率为75%时，若市场价格为5千元，则市场供应量约为1万件；若市场价格为7千元，则市场供应量约为2万件．
(1)试确定k．b的值；
(2)市场需求量q(单位：万件)与市场价格x近似满足关系式：．P = q时，市场价格称为市场
平衡价格．当市场平衡价格不超过4千元时，试确定关税税率的最大值．
10．（本题满分12分）等差数列中，，为其前n项和，等比数列的公比q满足，为其前n项和，若 又
(1)求、的通项公式；
(2)若，求的表达式；
(3)若，求证。
11．（本小题满分12分）设椭圆的一个顶点与抛物线的焦点重合，分别是椭圆的左、右焦点，且离心率且过椭圆右焦点的直线与椭圆C交于两点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)是否存在直线，使得.若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.
(3)若AB是椭圆C经过原点O的弦， MNAB，求证：为定值．
12.（本小题满分12分）已知函数定义域为(),
设.
(1)试确定的取值范围,使得函数在上为单调函数；
(2)求证:；
(3)求证:对于任意的,总存在,满足,并确定这样的的个数.
参考答案
1．C 2．A 3．C
4． 5． 6 网 6．②③
7．(1)由得：，
即b = c = 1－a，
　　当时，，
　　当1－a > 0，即a < 1时，，得a = －1
　　当1－a < 0，即a > 1时，，无解
当1－a = 0，即a = 1时，，矛盾．
故
(2)解：∵是奇函数，且将的图象先向右平移个单位，再向上平移1个单位，可以得到的图象，∴是满足条件的一个平移向量．
8．（1）从4名运动员中任取两名，其靶位号与参赛号相同，有种方法，另2名运动员靶位号与参赛号均不相同的方法有1种，所以恰有一名运动员所抽靶位号与参赛号相同的概率为
（2）①由表可知，两人各射击一次，都未击中9环的概率为P=（1-0.3）（1-0.32）=0.476至少有一人命中9环的概率为p=1-0.476=0.524

所以2号射箭运动员的射箭水平高.
9．(1)解：由已知，
　　解得b = 5，k = 1
(2)当p = q时， 6分
∴
而在(0，4]上单调递减
∴当x = 4时，f (x)有最大值
故当x = 4时，关税税率的最大值为500%．
10．（1）设{an}的公差d,为{bn}的公比为q,则

…
（2）{Cn}的前n-1项中共有{an}中的1+2+3+…(n-1)=个项
且{an}的第项为，故{Cn}是首项为，公差为2，项数为n的等差数列的和。

（3）

…
本题第（3）问还可用数学归纳法做.

11. 解：椭圆的顶点为，即
，所以， 椭圆的标准方程为
（2）由题可知,直线与椭圆必相交.
①当直线斜率不存在时，经检验不合题意。
②设存在直线为，且，.
由得，
，，

=
所以，故直线的方程为或 7分
（3）设,
由（2）可得： |MN|=
=.
由消去y，并整理得： ，
|AB|=，∴ 为定值
12. (1)解:因为
由；由,所以在上递增,在 上递减
欲在上为单调函数,则
(2)证:因为在上递增,在上递减,所以在处取得极小值
又,所以在上的最小值为
从而当时,,即………………7分
(3)证:因为,所以即为,
令,从而问题转化为证明方程=0
在上有解,并讨论解的个数
因为,,所以
①当时,,所以在上有解,且只有一解
②当时,,但由于,
所以在上有解,且有两解
③当时,,所以在上有且只有一解；
当时,,
所以在上也有且只有一解
综上所述, 对于任意的,总存在,满足,
且当时,有唯一的适合题意；当时,有两个适合题意．