固体物理习题3.ppt

第三章第三章 晶格振动晶格振动 3.1 原子质量为原子质量为m，间距为，间距为a的一维单原子链，如果原子的振动的一维单原子链，如果原子的振动位移为位移为试求：试求：（1）格波的色散关系；）格波的色散关系；（2）每个原子对时间平均的总能量。）每个原子对时间平均的总能量。解：解：(1)式中，式中，为原子位移；为原子位移；为恢复力常数。为恢复力常数。个原子的运动方程可写成个原子的运动方程可写成（1）在单原子晶格中，若只计相邻原子的互作用，第）在单原子晶格中，若只计相邻原子的互作用，第n依题设，原子的振动位移可表示为依题设，原子的振动位移可表示为(2)将将(2)式代入式代入(1)式，得式，得因为因为因此因此故得格波的色散关系为故得格波的色散关系为（2）原子链上总能量可写为原子链上总能量可写为其中求和遍及链上的所有原子。其中求和遍及链上的所有原子。又因为一维单原子链的色散关系为又因为一维单原子链的色散关系为或者或者所以所以得平均总能量得平均总能量3.2 证明：在由两种不同质量证明：在由两种不同质量M、m(Mm)的原子所组成的一维的原子所组成的一维复式格子中，如果波矢复式格子中，如果波矢q取边界值取边界值 (a为相邻原子间为相邻原子间距距)，则在声学支上，质量为，则在声学支上，质量为m的轻原子全部保持不动；在光学的轻原子全部保持不动；在光学支上，质量为支上，质量为M的重原子保持不动。的重原子保持不动。证明：如图所示，设质量为证明：如图所示，设质量为m的轻原子位于的轻原子位于2n-1，2n+2，2n+3，.各点；设质量为各点；设质量为M的轻原子位于的轻原子位于2n-2，2n，2n+2，各点。各点。a am mM M2n-32n-32n-22n-22n-12n-12n2n2n+12n+12n+22n+22n+32n+3设试探解为设试探解为和和 式中，式中，A为轻原子的振幅；为轻原子的振幅；B为重原子的振幅；为重原子的振幅；为角频率；为角频率；为波矢。为波矢。令令 表示原子间的恢复力系数，运动方程写为表示原子间的恢复力系数，运动方程写为将试探解代入运动方程有将试探解代入运动方程有 经整理变成经整理变成 (1)(1)要要A、B有不全为零的解，方程有不全为零的解，方程(1)的系数行列式必须等于零，的系数行列式必须等于零，从中解得从中解得(2)(2)式中的式中的“+”“”分别给出两种频率，对应光学支格波和声学支分别给出两种频率，对应光学支格波和声学支格波。上式表明，格波。上式表明，是是q的周期函数的周期函数，边界值，即边界值，即。当。当q取取 时，从时，从(2)式得式得 将将和和依次代入依次代入(1)式，得到两种原子的振幅比分别为式，得到两种原子的振幅比分别为光学支：光学支：声学支：声学支：因为因为 而且而且 当当 时，时，cosaq=cosaq=0 0 由上式得到由上式得到由此可见，当波矢由此可见，当波矢q取边界值时，声学支中轻原子保持不动取边界值时，声学支中轻原子保持不动(A=0)，光学支中重原子也保持不动，光学支中重原子也保持不动(B=0)。3.3 一维复式格子，原子质量都为一维复式格子，原子质量都为m,晶格常数为晶格常数为a，任一个原，任一个原子与最近邻原子的间距为子与最近邻原子的间距为b,若原子与最近邻原子和次近邻原子若原子与最近邻原子和次近邻原子的恢复力常数为的恢复力常数为 和和 ，试列出原子的运动方程并求出色散，试列出原子的运动方程并求出色散关系。关系。123n-1nn+1 n+2N-1Na解：解：此题为一维双原子链。此题为一维双原子链。设第设第个原子的个原子的位移分别为位移分别为。第第与第与第个原子属个原子属于同一原子，第于同一原子，第与第与第个原子属于同一原子，个原子属于同一原子，于是于是第第和第和第原子受的力分别为原子受的力分别为其运动方程分别为其运动方程分别为设格波的解分别为设格波的解分别为代入运动方程，得代入运动方程，得整理得整理得由于由于A和和B不可能同时为零，因此其系数行列式必定为零，即不可能同时为零，因此其系数行列式必定为零，即解上式可得解上式可得由上式可知，存在两种独立的格波。由上式可知，存在两种独立的格波。声学格波的色散关系为声学格波的色散关系为光学格波的色散关系为光学格波的色散关系为3.4 由原子质量分别为由原子质量分别为 两种原子相间排列组成的一维复两种原子相间排列组成的一维复式格子，晶格常数为式格子，晶格常数为 ，任一个原子与最近邻原子的间距为，任一个原子与最近邻原子的间距为 ，恢复力常数为，恢复力常数为 ，与次近邻原子间的恢复力常数，与次近邻原子间的恢复力常数 ，试求，试求（1）格波的色散关系；）格波的色散关系；（2）求出光学波和声学波的频率最大值和最小值。）求出光学波和声学波的频率最大值和最小值。解：解：（1）只考虑最近邻原子的相互作用）只考虑最近邻原子的相互作用得得将将 的值代回方程得到色散关系的值代回方程得到色散关系（2）（a）当上式取）当上式取+号时为光学号时为光学波波当当 时：时：当当 时：时：（b）当取）当取-号时为声学波号时为声学波当当 时：时：当当 时：时：3.5 证明由证明由N个质量为个质量为m的相同原子组成的一维单原子晶格，每的相同原子组成的一维单原子晶格，每单位频率间隔内的振动模式数为单位频率间隔内的振动模式数为证明：证明：一维单原子链只有一支格波一维单原子链只有一支格波据模式密度的一般表示式据模式密度的一般表示式（1）因为对一维单原子链波矢空间的波矢密度因为对一维单原子链波矢空间的波矢密度，且只有一支，且只有一支格波。格波。所以由（所以由（1）式得）式得得得3.6 设有一维连续介质，介质的弹性模量为设有一维连续介质，介质的弹性模量为E，线密度为，线密度为试建立一维波动方程并求弹性波传播的相速度。试建立一维波动方程并求弹性波传播的相速度。，解：设有一坐标为解：设有一坐标为x与与x+dx间的介质元间的介质元,t 时刻时刻x点处的位移为点处的位移为u=u(x,t),x+dx点处的位移为点处的位移为u+du。于是，应变为。于是，应变为以以E表示弹性模量，按定义，表示弹性模量，按定义，式中式中f是引起形变的力。作用在介质元是引起形变的力。作用在介质元dx上的净力为上的净力为设介质的线密度为设介质的线密度为，介质元的质量为，介质元的质量为，则有，则有 即即(1)(1)这就是连续介质的波动方程，其解为这就是连续介质的波动方程，其解为式中，式中，为介质弹性波的角频率；为介质弹性波的角频率；为波矢；为波矢；是波长。是波长。将将u(x,t)代入代入(1)式，得到式，得到即即 因此，一维介质弹性波传播的相速度为因此，一维介质弹性波传播的相速度为3.7 证明一维单原子链的运动方程，在长波近似下，可以化成证明一维单原子链的运动方程，在长波近似下，可以化成弹性波方程弹性波方程解：解：如果只计及近邻原子间的相互作用，第如果只计及近邻原子间的相互作用，第n个原子的运动方程个原子的运动方程为为因为因为所以第所以第n个原子的运动方程化为个原子的运动方程化为在长波近似下，在长波近似下，运动方程又化为运动方程又化为（1）在长波近似下，当在长波近似下，当l为有限整数时，为有限整数时，上式说明，上式说明，在长波近似下，邻近（在半波长范围内）的若干原子在长波近似下，邻近（在半波长范围内）的若干原子以相同的振幅、相同的位相做集体运动。以相同的振幅、相同的位相做集体运动。因此（因此（1）式可统一写成）式可统一写成第二章中固体弹性理论所说的宏观的质点运动，正是由这些第二章中固体弹性理论所说的宏观的质点运动，正是由这些原子的整体的运动所构成。原子的整体的运动所构成。这些原子偏离平衡位置的位移这些原子偏离平衡位置的位移，即是宏观上的质点位移，即是宏观上的质点位移。从宏观上看，原子的位置从宏观上看，原子的位置可视为准连续的，原子的分离可视为准连续的，原子的分离可视为连续坐标可视为连续坐标x，即，即于是于是（2）式化为）式化为其中其中是用微观参数表示的弹性波的波速。是用微观参数表示的弹性波的波速。3.8 设有一个由相同原子组成的二维正方点阵，原子质量为设有一个由相同原子组成的二维正方点阵，原子质量为M，晶格常数为晶格常数为a，取近邻原子间的恢复力系数为，取近邻原子间的恢复力系数为 ，设原子只作垂，设原子只作垂直表面的横向振动。试求直表面的横向振动。试求2)长波极限下格波的传播速度。长波极限下格波的传播速度。1)横向晶格振动的色散关系；横向晶格振动的色散关系；解：解：1)设设 垂直于晶格平面的位移，如图所示。当只考虑最近邻原子间的垂直于晶格平面的位移，如图所示。当只考虑最近邻原子间的互相作用时，由于（互相作用时，由于（l+1，m）原子对它的作用力）原子对它的作用力代表第（代表第（l，m）个原子（第）个原子（第l行、行、m列的原子）列的原子）第（第（l1，m）原子对它的作用力）原子对它的作用力而而和和方向是相反的。方向是相反的。（l，m1）原子对（）原子对（l，m）原子的）原子的和和 得第（得第（l，m）个原子所受的力）个原子所受的力，于是，于是 同样处理（同样处理（l，m+1）原子和）原子和作用力作用力a aa a把把(1)式代入运动方程式代入运动方程(2)(2)并把试探解并把试探解据此得色散关系据此得色散关系(3)(3)2)长波极限下，长波极限下，都是小量都是小量 同时代入，消去公因子后得同时代入，消去公因子后得所以所以 格波的传播速度格波的传播速度 可见，在长波极限下，格波的传播速度与波矢可见，在长波极限下，格波的传播速度与波矢q无关。无关。(3)式变为式变为3.9 一维单原子链，原子质量为一维单原子链，原子质量为m，原子间距为，原子间距为a。计及所有原。计及所有原子间的长程作用，且最近邻、子间的长程作用，且最近邻、次近邻、次次近邻次近邻、次次近邻原子间原子间恢复力恢复力常数依次为常数依次为1）求格波的色散关系；）求格波的色散关系；2）若恢复力常数取）若恢复力常数取式中，式中，常常”现象：当现象：当解：解：1)设第设第n个原子对平衡位置的位移为个原子对平衡位置的位移为，第，第n+p和和n-p个个原子的位移分别记为原子的位移分别记为 和和，则第，则第n+p 为常数，为常数，p遍取所有的整数值，试证明遍取所有的整数值，试证明“科恩科恩(Kohn)反反。和第和第np个原子对第个原子对第n个原子的作用力可写成个原子的作用力可写成链上每个原子与第链上每个原子与第n个原子都有相互作用，故第个原子都有相互作用，故第n个原子的运动个原子的运动方程应为方程应为设试探解为设试探解为代入运动方程可得代入运动方程可得故格波的色散关系为故格波的色散关系为(1)2)2)若若 代入代入(1)(1)式得式得当当 时，由上式得到时，由上式得到 (2)(2)因为因为，(2)式的求和对无穷原子系列进行，故式的求和对无穷原子系列进行，故必有必有或或 对对q的关系曲线在的关系曲线在 处有一条垂直的切线，即处有一条垂直的切线，即曲线在曲线在点处扭折，这就是点处扭折，这就是“科恩反常科恩反常”现象。现象。3.10 设晶格中每个振子的零点振动能为设晶格中每个振子的零点振动能为，试用德拜模型，试用德拜模型求晶体的零点振动能。求晶体的零点振动能。解：解：由由所以所以3.11 已知一个频率为已知一个频率为的简谐振动在温度的简谐振动在温度T下的平均能量为下的平均能量为试用爱因斯坦模型求出由试用爱因斯坦模型求出由N个原子组成的单原子晶体晶格振个原子组成的单原子晶体晶格振动的总能量，并求其在高温和低温极限情况下的表达式。动的总能量，并求其在高温和低温极限情况下的表达式。解：由解：由N个原子组成的单原子晶体共有个原子组成的单原子晶体共有3N个自由度，独立晶格个自由度，独立晶格振动方式数也等于振动方式数也等于3N，晶体振动的总能量便等于晶体振动的总，晶体振动的总能量便等于晶体振动的总能量便等于这能量便等于这3N个谐振动的能量之和，即个谐振动的能量之和，即依照爱因斯坦模型，依照爱因斯坦模型，于是上式变为，于是上式变为 (1)(1)；式中式中 是爱因斯坦是爱因斯坦特征温度。特征温度。在高温极限下，在高温极限下，x1，从，从(1)式得式得 3.12 试用德拜模型求试用德拜模型求 解上题。解上题。解：按照德拜模型，频率在解：按照德拜模型，频率在之间的独立振动方式之间的独立振动方式数等于数等于(1)(1)式中式中 是德拜截止频率。因为单原子晶体晶格振动的总能量是德拜截止频率。因为单原子晶体晶格振动的总能量 当当N很大时，格波的频率分布是准连续的，故上式可用下列很大时，格波的频率分布是准连续的，故上式可用下列积分计算：积分计算：，令令 （是德拜特征温度）将是德拜特征温度）将上式化简为上式化简为(2)(2)对于高温极限，对于高温极限，x1，(2)式中的积分上限式中的积分上限，而且，而且此时此时(2)式中的积分变为式中的积分变为因此，从因此，从(2)式求得式求得上式表示，在德拜模型中，低温时晶格振动能与温度的上式表示，在德拜模型中，低温时晶格振动能与温度的4次方次方成正比。成正比。3.13 求频率在求频率在 到到间隔内的声子数，并写出固体振动间隔内的声子数，并写出固体振动能的表达式。能的表达式。解：按照德拜理论，在频率解：按照德拜理论，在频率 间隔内的独立振动方式间隔内的独立振动方式数为数为式中，式中，为截止频率；为截止频率；N为晶体包含的原子数。达到热平衡时，为晶体包含的原子数。达到热平衡时，频率为频率为v的振动在温度的振动在温度T时平均激发的声子数时平均激发的声子数。因此，在频率因此，在频率 间隔内的声子数为间隔内的声子数为 每个声子的能量等于每个声子的能量等于hv，个声子所具有的总能量个声子所具有的总能量由此求得晶体总振动能（略去零点能）由此求得晶体总振动能（略去零点能）式中式中，（，（是德拜温度）。是德拜温度）。上式中的积分一般的不能用解析方法求得，但在极限的情况下，上式中的积分一般的不能用解析方法求得，但在极限的情况下，它有如下简单的结果：它有如下简单的结果：在高温极限下：在高温极限下：在低温极限下：在低温极限下：代入上式，得到晶体在高温极限下的总振动能代入上式，得到晶体在高温极限下的总振动能 低温极限下的总振动能低温极限下的总振动能3.17 3.17 对于对于NaClNaCl晶体，已知恢复力常数晶体，已知恢复力常数 ，试分别求出试分别求出NaClNaCl晶体中光学支格波和声学支格波的最高频率和晶体中光学支格波和声学支格波的最高频率和最低频率。（已知最低频率。（已知ClCl和和NaNa的原子量分别为的原子量分别为35.535.5和和23.023.0）解：因为一维双原子晶体的色散关系为解：因为一维双原子晶体的色散关系为在本题设下，式中在本题设下，式中m、M分别代表分别代表Na、CL原子的质量。当括号原子的质量。当括号内取内取“+”号时代表光学支号时代表光学支 ，取，取“”号时代表声学支号时代表声学支 。从。从上式得知，光学支的最大频率是上式得知，光学支的最大频率是 由于由于 ，因而得，因而得 而光学支的最小频率是而光学支的最小频率是声学支的最大频率是声学支的最大频率是 （1）NaCl的恢复力常数；的恢复力常数；（2）长声学波的波速；）长声学波的波速；（3）NaCl的弹性模量。的弹性模量。已知已知Cl和和Na的原子量分别为的原子量分别为35.5和和23.0。3.18 对对 于于 NaCl 晶晶 体，测体，测 知知 其其 密密 度度 ，正，正 负负 离离子子 的的 平平 衡衡 距距 离离 ，光，光 学学 支支 格格 波波 的的 最最 高高 频频 率率为为 。试以一维双原子晶链模型计算：。试以一维双原子晶链模型计算：解：解：(1)对于一维双原子链，格波光学支的最高频率为对于一维双原子链，格波光学支的最高频率为(1)式中，式中，为原子间的恢复力常数；为原子间的恢复力常数；m、M分别代表两种原子的质分别代表两种原子的质量。对于量。对于NaCL，已知，已知Na原子质量原子质量 ，CL原原子质量子质量 ，平衡时，平衡时，和和 的距离为的距离为 ，。因此，从。因此，从(1)式可得其式可得其恢复力常数恢复力常数(2)(2)对于声学波，在长波极限下，其传播速度为对于声学波，在长波极限下，其传播速度为 所以所以(3)(3)有弹性波理论知道，波速有弹性波理论知道，波速 式中，式中，E E是介质的弹性模量；是介质的弹性模量；为介质密度。为介质密度。，故有故有 已知已知3.19 设一维晶链由二价正离子组成，晶键靠离子之间的相互设一维晶链由二价正离子组成，晶键靠离子之间的相互斥力而达到平衡。离子的质量为斥力而达到平衡。离子的质量为，平衡时的离子，平衡时的离子 间距为间距为。试求纵向格波的最高频率和最大波速。试求纵向格波的最高频率和最大波速。解：解：表示；表示；如图所示，离子的坐标由如图所示，离子的坐标由na由于热由于热运动，运动，。库仑定律，两粒子间的互相斥力为库仑定律，两粒子间的互相斥力为式中，式中，k k为静电衡量；为静电衡量；r r为离子间距。为离子间距。(1)(1)因为离子偏离平衡位置的热动动只是一种微振动，可将因为离子偏离平衡位置的热动动只是一种微振动，可将(1)(1)式式括号中的项在平衡位置附近按泰勒级数展开，并只计及一次项括号中的项在平衡位置附近按泰勒级数展开，并只计及一次项它们离开平衡位置的位移记为它们离开平衡位置的位移记为根据根据相互作用，运动方程可表述为相互作用，运动方程可表述为如果只考虑相邻离子间的如果只考虑相邻离子间的则有则有令试探解为令试探解为（2 2）式中，式中，A、q分别为振幅、角频率和波矢。分别为振幅、角频率和波矢。式得出式得出即即式中式中 为格波的最高角频率：为格波的最高角频率：（3）把上式代入把上式代入(2)把下列数据代入：把下列数据代入：得到得到最大波速对应于长波极限下的波速。最大波速对应于长波极限下的波速。此时此时q q很小，很小，(3)(3)式给出式给出 于是，得到最大波速为于是，得到最大波速为3.21 试用一维单原子链模型证明：格林爱森系数试用一维单原子链模型证明：格林爱森系数 是一是一 个常数。个常数。证明：对于一维单原子链，格波的色散关系为证明：对于一维单原子链，格波的色散关系为 (1)式中，式中，为晶链近邻原子间的恢复力常数；为晶链近邻原子间的恢复力常数；m为晶格原子的质为晶格原子的质 量；量；a是原子间距；是原子间距；q为格波的波矢。为格波的波矢。因而因而aq=S/N是一个与原子间距是一个与原子间距a无关的参量，可以把无关的参量，可以把(1)式写成式写成矢矢q只能取分立值只能取分立值，且，且（S为整数），为整数），设晶链包含设晶链包含N个原子，波个原子，波(2)此处此处是一个与是一个与a无关的量，频率无关的量，频率 对原子间距对原子间距a的关系是通过恢复力的关系是通过恢复力 常数常数 相关联的。相关联的。对于一维单原子链，格林爱森常数对于一维单原子链，格林爱森常数(3)由由(2)式得式得Na为晶链的长度。把为晶链的长度。把(3)式代入即得式代入即得(4)注意到恢复力常数注意到恢复力常数 是晶格原子互作用能是晶格原子互作用能U的二次微商，的二次微商，即即 因而因而 故故(4)(4)式可写作式可写作因为对于已知晶格，因为对于已知晶格，和和 是确定的数，因此是确定的数，因此 也是确定也是确定的常数。此外，的常数。此外，的出现是由于互作用能中的非谐项引起的，的出现是由于互作用能中的非谐项引起的，如果晶体做严格的谐振动，则如果晶体做严格的谐振动，则 ，必有，必有 。3.22 3.22 证明：固体的体胀系数证明：固体的体胀系数 ，体积，体积V V和体积弹性模量和体积弹性模量K K间间满足格林爱森关系：满足格林爱森关系：。式中，。式中，为固体的定容为固体的定容热容量；热容量；是格林爱森常数。是格林爱森常数。证明：按定义，晶体的体胀系数证明：按定义，晶体的体胀系数使用熟知的循环关系式使用熟知的循环关系式 上式化为上式化为(1)(1)式中式中 是体积弹性模量。是体积弹性模量。对于晶体，有格林爱森常数状态方程：对于晶体，有格林爱森常数状态方程：(2)式中，式中，U(V)是是0K时晶体的互作用能，时晶体的互作用能，为晶体热振动的平均为晶体热振动的平均 总能量；总能量；是格林爱森常数。是格林爱森常数。代回代回(1)式即得式即得 无关，则有无关，则有 对对(2)式求微商，由于式求微商，由于U(V)与温度与温度 3.23 由正负离子构成的一维离子链，离子间距为由正负离子构成的一维离子链，离子间距为 ，离子质量，离子质量都为都为 ，电荷交替变化，即第，电荷交替变化，即第 个离子的电荷个离子的电荷 ，原子间的互作用势是两种作用势之和，其一为近邻两原子的短程原子间的互作用势是两种作用势之和，其一为近邻两原子的短程作用，力系数为作用，力系数为 ；其二是所有离子间的库仑作用。证明：；其二是所有离子间的库仑作用。证明：（1）库仑力对力常数的贡献为）库仑力对力常数的贡献为（2）色散关系为）色散关系为其中其中（3）时，格波为软模。时，格波为软模。证明：证明：（1）设离子链沿水平方向。）设离子链沿水平方向。第第 个离子右端的第个离子右端的第 个个 离子与第离子与第 个离子间的库仑力为个离子间的库仑力为上式右端加一负号，是我们规定坐标的正方向指向右端。上式右端加一负号，是我们规定坐标的正方向指向右端。考虑到考虑到可将上式展成可将上式展成级数，级数，取一级近似得取一级近似得第第 个离子左端的第个离子左端的第 个离子与第个离子与第 个离子间的库仑力为个离子间的库仑力为取一级近似得取一级近似得第第 个离子和第个离子和第 个离子对第个离子对第 个离子间的库仑合力为个离子间的库仑合力为可见库仑力对力常数的贡献为可见库仑力对力常数的贡献为（2）第第 个离子的运动方程为个离子的运动方程为设格波解设格波解则由离子的运动方程得则由离子的运动方程得令令可得可得（3）当当有有记记则有则有由此知，当由此知，当时，时，由于格波的频率由于格波的频率因此因此说明说明此振动模式对应的恢复力系数此振动模式对应的恢复力系数相当于弹簧振子系统相当于弹簧振子系统的弹簧丧失了弹性。的弹簧丧失了弹性。所以称所以称 的振动模式为软模。的振动模式为软模。