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2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．如图，在平面直角坐标系中，若反比例函数过点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．如果一个正多边形的内角和等于720°，那么这个正多边形的每一个外角等于（ ）
A．45° B．60° C．120° D．135°
3．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是BC的中点，DE⊥BC，CE∥AD，若AC=2，∠ADC=30°．
①四边形ACED是平行四边形；
②△BCE是等腰三角形；
③四边形ACEB的周长是；
④四边形ACEB的面积是1．
则以上结论正确的是（ ）
A．①② B．②④ C．①②③ D．①③④
4．抛物线y＝3（x+2）2﹣（m2+1）（m为常数）的顶点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．方程x2＝3x的解为（ ）
A．x＝3 B．x＝0 C．x1＝0，x2＝﹣3 D．x1＝0，x2＝3
6．一个盒子里装有若干个红球和白球，每个球除颜色以外都相同．5位同学进行摸球游戏，每位同学摸10次（摸出1球后放回，摇匀后再继续摸），其中摸到红球数依次为8，5，9，7，6，则估计盒中红球和白球的个数是（ ）
A．红球比白球多 B．白球比红球多 C．红球，白球一样多 D．无法估计
7．如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，设，，下列式子中正确的是（ ）
A． B．；
C． D．．
8．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（ ）
A．3：4 B．9：16 C．9：1 D．3：1
9．下列图像中，当时，函数与的图象时（ ）
A． B． C． D．
10．已知抛物线y＝x2+（2a+1）x+a2﹣a，则抛物线的顶点不可能在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
11．在平面直角坐标系中，点P（m，1）与点Q（﹣2，n）关于原点对称,则m n的值是（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2
12．若关于x的方程kx2﹣2x﹣1＝0有实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A．k＞﹣1 B．k＜1且k≠0 C．k≥﹣1且k≠0 D．k≥﹣1
二、填空题（每题4分，共24分）
13．已知函数的图象如图所示，若矩形的面积为，则__________．
14．某10人数学小组的一次测试中，有4人的成绩都是80分，其他6人的成绩都是90分，则这个小组成绩的平均数等于_____分．
15．如图，建筑物BC上有一旗杆AB，从与BC相距10m的D处观测旗杆顶部A的仰角为53°，观测旗杆底部B的仰角为45°，则旗杆AB的高度约为__________m．(结果取整数．参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33)
16．如果向量、、满足关系式2﹣（﹣3）＝4，那么＝_____（用向量、表示）．
17．如图，边长为2的正方形，以为直径作，与相切于点，与交于点，则的面积为__________．
18．抛物线的顶点坐标为________.
三、解答题（共78分）
19．（8分）制作一种产品，需先将材料加热达到60 ℃后，再进行操作．设该材料温度为y（℃），从加热开始计算的时间为x（分钟）．据了解，设该材料加热时，温度y与时间x成一次函数关系；停止加热进行操作时，温度y与时间x成反比例关系（如图）．已知该材料在操作加工前的温度为15 ℃，加热5分钟后温度达到60 ℃．
（1）求将材料加热时，y与x的函数关系式；
（2）求停止加热进行操作时，y与x的函数关系式；
（3）根据工艺要求，当材料的温度低于15℃时，须停止操作，那么操作时间是多少？
20．（8分）已知矩形中，，，点、分别在边、上，将四边形沿直线翻折，点、的对称点分别记为、.
（1）当时，若点恰好落在线段上，求的长；
（2）设，若翻折后存在点落在线段上，则的取值范围是______.
21．（8分）如图，⊙O的直径AB为10cm，弦BC为6cm，D，E分别是∠ACB的平分线与⊙O，直径AB的交点，P为AB延长线上一点，且PC＝PE．
（1）求AC、AD的长；
（2）试判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由．
22．（10分）如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AD垂直于过点C的切线，垂足为D，且∠BAD＝80°，求∠DAC的度数．
23．（10分）如图是某学校体育看台侧面的示意图，看台的坡比为，看台高度为米，从顶棚的处看处的仰角，距离为米，处到观众区底端处的水平距离为米．（，，结果精确到米）
（1）求的长；
（2）求的长．
24．（10分）已知在矩形中，，.是对角线上的一个动点（点不与点，重合），过点 作，交射线于点.联结，画，交于点.设，.
（1）当点，，在一条直线上时，求的面积；
（2）如图1所示，当点在边上时，求关于的函数解析式，并写出函数定义域；
（3）联结，若，请直接写出的长.
25．（12分）在如图的小正方形网格中，每个小正方形的边长均为，格点（顶点是网格线的交点）的三个顶点坐标分别是，以为位似中心在网格内画出的位似图△A1B1C1，使与的相似比为，并计算出的面积．
26．已知和是关于的一元二次方程的两个不同的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）如果且为整数，求的值．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、C
【解析】把代入求解即可.
【详解】反比例函数过点，
，
故选：．
【点睛】
本题考查反比例函数图象上的点的特征，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
2、B
【分析】先用多边形的内角和公式求这个正多边形的边数为n，再根据多边形外角和等于360°,可求得每个外角度数．
【详解】解：设这个正多边形的边数为n，
∵一个正多边形的内角和为720°，
∴180°（n-2）=720°，
解得：n=6，
∴这个正多边形的每一个外角是：360°÷6=60°．
故选：B．
【点睛】
本题考查了多边形的内角和与外角和的知识．应用方程思想求边数是解题关键．
3、A
【分析】①证明AC∥DE，再由条件CE∥AD，可证明四边形ACED是平行四边形；
②根据线段的垂直平分线证明AE=EB，可得△BCE是等腰三角形；
③首先利用含30°角的直角三角形计算出AD=4，CD=2 ，再算出AB长可得四边形ACEB的周长是10+2 ；
④利用△ACB和△CBE的面积之和，可得四边形ACEB的面积．
【详解】解：①∵∠ACB=90°，DE⊥BC，
∴∠ACD=∠CDE=90°，
∴AC∥DE，
∵CE∥AD，
∴四边形ACED是平行四边形，故①正确；
②∵D是BC的中点，DE⊥BC，
∴EC=EB，
∴△BCE是等腰三角形，故②正确；
③∵AC=2，∠ADC=30°，
∴AD=4，CD=
∵四边形ACED是平行四边形，
∴CE=AD=4，
∵CE=EB，
∴EB=4，DB=
∴CB=
∴AB=
∴四边形ACEB的周长是10+，故③错误；
④四边形ACEB的面积： ，故④错误，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、勾股定理、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法．等腰三角形的判定方法，属于中考常考题型．
4、C
【分析】根据二次函数的性质求出抛物线的顶点坐标，根据偶次方的非负性判断．
【详解】抛物线y＝3（x+2）2﹣（m2+1）的的顶点坐标为（﹣2，﹣（m2+1）），
∵m2+1＞0，
∴﹣（m2+1）＜0，
∴抛物线的顶点在第三象限，
故选：C．
【点睛】
本题考查的是二次函数的性质，掌握二次函数的顶点坐标的确定方法、偶次方的非负性是解题的关键．
5、D
【分析】根据因式分解法解一元二次方程，即可求解．
【详解】∵x2﹣1x＝0，
∴x(x﹣1)＝0，
∴x＝0或x﹣1＝0，
解得：x1＝0，x2＝1．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的解法，掌握因式分解法解方程，是解题的关键．
6、A
【解析】根据题意可得5位同学摸到红球的频率为，由此可得盒子里的红球比白球多．故选A．
7、C
【分析】由平行四边形性质，得，由三角形法则，得到，代入计算即可得到答案.
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∵，，
在△OAB中，有，
∴，
∴；
故选择：C.
【点睛】
此题考查了平面向量的知识以及平行四边形的性质．注意掌握平行四边形法则与三角形法则的应用是解此题的关键．
8、B
【分析】可证明△DFE∽△BFA，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得出答案．
【详解】∵四边形ABCD为平行四边形，
∴DC∥AB，
∴△DFE∽△BFA，
∵DE：EC=3：1，
∴DE：DC=3：4，
∴DE：AB=3：4，
∴S△DFE：S△BFA=9：1．
故选B．
9、D
【分析】根据直线直线y=ax+b经过的象限得到a＞0，b＜0，与ab＞0矛盾，则可对A进行判断；根据抛物线y=ax2开口向上得到a＞0，而由直线y=ax+b经过第二、四象限得到a＜0，由此可对B进行判断；根据抛物线y=ax2开口向下得到a＜0，而由直线y=ax+b经过第一、三象限得到a＞0，由此可对C进行判断；根据抛物线y=ax2开口向下得到a＜0，则直线y=ax+b经过第二、四象限，并且b＜0，得到直线与y轴的交点在x轴下方，由此可对D进行判断．
【详解】解：A、对于直线y=ax+b，得a＞0，b＜0，与ab＞0矛盾，所以A选项错误；
B、由抛物线y=ax2开口向上得到a＞0，而由直线y=ax+b经过第二、四象限得到a＜0，所以B选项错误；
C、由抛物线y=ax2开口向下得到a＜0，而由直线y=ax+b经过第一、三象限得到a＞0，所以C选项错误；
D、由抛物线y=ax2开口向下得到a＜0，则直线y=ax+b经过第二、四象限，由于ab＞0，则b＜0，所以直线与y轴的交点在x轴下方，所以D选项正确．
故选：D．
【点睛】
本题考查了一次函数和二次函数的图像与性质，掌握函数的性质，从而判断图像是解题的基础．
10、D
【分析】求得顶点坐标，得出顶点的横坐标和纵坐标的关系式，即可求得．
【详解】抛物线y＝x2+（2a+1）x+a2﹣a的顶点的横坐标为：x＝﹣＝﹣a﹣，
纵坐标为：y＝＝﹣2a﹣，
∴抛物线的顶点横坐标和纵坐标的关系式为：y＝2x+，
∴抛物线的顶点经过一二三象限，不经过第四象限，
故选：D．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，得到顶点的横纵坐标的关系式是解题的关键．
11、A
【分析】已知在平面直角坐标系中，点P(m,1)与点Q(﹣2,n)关于原点对称，则P和Q两点横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数即可求得m，n，进而求得m n的值．
【详解】∵点P(m,1)与点Q(﹣2,n)关于原点对称
∴m=2，n=-1
∴m n=-2
故选：A
【点睛】
本题考查了直角坐标系中，关于原点对称的两个点的坐标特点，它们的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数．
12、C
【分析】根据根的判别式（ ）即可求出答案．
【详解】由题意可知：
∴
∵
∴ 且 ，
故选：C．
【点睛】
本题考查了根的判别式的应用，因为存在实数根，所以根的判别式成立，以此求出实数k的取值范围．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、-6
【分析】根据题意设AC=a，AB=b 解析式为y=
A点的横坐标为-a，纵坐标为b，因为AB*AC=6，k=xy=- AB*AC=-6
【详解】解：由题意得设AC=a，AB=b 解析式为y=
∴AB*AC=ab=6
A（-a，b）
b=
∴ k=-ab=-6
【点睛】
此题主要考查了反比例函数与几何图形的结合，注意A点的横坐标的符号.
14、1．
【分析】根据平均数的定义解决问题即可．
【详解】平均成绩＝（4×80+6×90）＝1（分），
故答案为1．
【点睛】
本题考查平均数的定义，解题的关键是掌握平均数的定义.
15、1
【分析】根据正切的定义分别求出AC、BC，结合图形计算即可．
【详解】解：由题意，CD=10，∠BDC=45°，∠ADC=51°，
在Rt△BCD中，tan∠BDC=，
则BC=CD•tan45°=10，
在Rt△ACD中，tan∠ADC=，
则AC=CD•tan∠ADC≈10×1.11=11.1，
∴AB=AC-BC=1.1≈1（m），
故答案为：1．
【点睛】
本题考查的是解直角三角形的应用——仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
16、2﹣
【解析】根据平面向量的加减法计算法则和方程解题．
【详解】
故答案是．
【点睛】
本题主要考查平面向量，此题是利用方程思想求得向量的值的，难度不大．
17、
【分析】运用切线长定理和勾股定理求出DF，进而完成解答．
【详解】解：∵与相切于点，与交于点
∴EF=AF,EC=BC=2
设EF=AF=x,则CF=2+x,DF=2-x
在Rt△CDF中,由勾股定理得:
DF2=CF2-CD2,即(2-x)2=(2+x)2-22
解得:x=,则DF=
∴的面积为=
故答案为．
【点睛】
本题考查了切线长定理和勾股定理等知识点，根据切线长定理得到相等的线段是解答本题的关键．
18、（-1,0）
【分析】根据二次函数的性质，由顶点式直接得出顶点坐标即可．
【详解】解：∵抛物线，
∴顶点坐标为：（-1,0），
故答案是：（-1,0）．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的性质，根据顶点式得出顶点坐标是考查重点，同学们应熟练掌握．
三、解答题（共78分）
19、（1）y=9x+15；（2）y=；（3）15分钟
【解析】（1）设加热时y=kx+b（k≠0），停止加热后y=a/x（a≠0），把b=15,(5,60)代入求解
（2）把y=15代入反比例函数求得
20、（1）；（2）且.
【分析】（1）过作于，延长交于点，如图1，易证∽，于是设，则，可得，然后在中根据勾股定理即可求出a的值，进而可得的长，设，则可用n的代数式表示，连接FB、，如图2，根据轴对称的性质易得，再在中，根据勾股定理即可求出n的值，于是可得结果；
（2）仿（1）题的思路，在中，利用勾股定理可得关于x和m的方程，然后利用一元二次方程的根的判别式和二次函数的知识即可求出m的范围，再结合点的特殊位置可得m的最大值，从而可得答案.
【详解】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，过作于，延长交于点，如图1，则AB∥CD∥QH，∴∽，∴，
设，则，∴.
在中，∵，∴，解得：或（舍去）.
∴，∴，
设，则，连接FB、，如图2，则，
在中，由勾股定理，得：，∴，解得：，∴；
（2）如图1，∵，∴，设，则，∴.
在中，∵，∴，
整理，得：，
若翻折后存在点落在线段上，则上述方程有实数根，即△≥0，∴，整理，得：，
由二次函数的知识可得：，或（舍去），
∵，∴，当x=m时，方程即为：，解得：，∴，
又∵当点与点C重合时，m的值达到最大，即当x=0时，，解得：m=1.
∴m的取值范围是：且.
故答案为：且.
【点睛】
本题是矩形折叠综合题，主要考查了矩形的性质、轴对称的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、一元二次方程的解法和根的判别式以及二次函数的性质等知识，综合性强、难度较大，熟练掌握折叠的性质和勾股定理、灵活利用方程的数学思想是解（1）题的关键，灵活应用一元二次方程的根的判别式和二次函数的知识是解（2）题的关键 .
21、（1）AC＝8cm；AD＝cm；（2）PC与圆⊙O相切，理由见解析
【分析】（1）连结BD，如图，根据圆周角定理由AB为直径得∠ACB＝90°，则可利用勾股定理计算出AC＝8；由DC平分∠ACB得∠ACD＝∠BCD＝45°，根据圆周角定理得∠DAB＝∠DBA＝45°，则△ADB为等腰直角三角形，由勾股定理即可得出AD的长；
（2）连结OC，由PC＝PE得∠PCE＝∠PEC，利用三角形外角性质得∠PEC＝∠EAC+∠ACE＝∠EAC+45°，加上∠CAB＝90°﹣∠ABC，∠ABC＝∠OCB，于是可得到∠PCE＝90°﹣∠OCB+45°＝90°﹣（∠OCE+45°）+45°，则∠OCE+∠PCE＝90°，于是根据切线的判定定理可得PC为⊙O的切线．
【详解】（1）连结BD，如图1所示，
∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
在Rt△ACB中，AB＝10cm，BC＝6cm，
∴AC＝＝8（cm）；
∵DC平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD＝45°，
∴∠DAB＝∠DBA＝45°
∴△ADB为等腰直角三角形，
∴AD＝AB＝（cm）；
（2）PC与圆⊙O相切.理由如下：
连结OC，如图2所示：
∵PC＝PE，
∴∠PCE＝∠PEC，
∵∠PEC＝∠EAC+∠ACE＝∠EAC+45°，
而∠CAB＝90°﹣∠ABC，∠ABC＝∠OCB，
∴∠PCE＝90°﹣∠OCB+45°＝90°﹣（∠OCE+45°）+45°，
∴∠OCE+∠PCE＝90°，
即∠PCO＝90°，
∴OC⊥PC，
∴PC为⊙O的切线．
【点睛】
本题考查了切线的性质和判定，切线长定理，圆周角定理，是圆的综合题，综合性比较强，难度适中，熟练掌握直线与圆的位置关系的判定方法是解题的关键．
22、40°
【解析】连接OC，根据切线的性质得到OC⊥CD，根据平行线的性质、等腰三角形的性质得到∠DAC=∠CAO，得到答案．
【详解】如图：连接OC，
∵CD是⊙O的切线，
∴OC⊥CD，又∵AD⊥CD，
∴OC∥AD，
∴∠DAC＝∠ACO，
∵OA＝OC，
∴∠CAO＝∠ACO，
∴∠DAC＝∠CAO＝∠BAD＝40°，
【点睛】
本题考查了切线的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
23、（1）24；（2）25.6
【分析】（1）根据坡比=垂直高度比水平距离代入求值即可．
（2）先过D做EF的垂线，形成直角三角形，再根据锐角三角函数来求．
【详解】解：（1）的坡比为，
（2）过点作交于点，
在中，
，
，
，
【点睛】
本题考查了坡比公式和锐角三角函数，锐角三角函数必须在直角三角形中求解．
24、（1）；（2）；（3）或.
【分析】（1）首先证明，由推出，求出,再利用即可求解；
（2）首先证明，可得，再由，推出，即，可得，代入比例式即可解决问题；
（3）若，分两种情况：当点P在线段BC上时和当点F在线段BC的延长线上时，分情况运用相似三角形的性质进行讨论即可.
【详解】（1）四边形是矩形，
，
，
，，在一条直线上，且，
，
，
，
，
，
，
.
（2），
，
，
，
，
，
又，
，
.，
，
，
即，
，
，
，
.
（3）①当点P在线段BC上时，如图
设
整理得
解得
②当点F在线段BC的延长线上时，作PH⊥AD于点H，连接DF
由，可得
解得或（舍去）
综上所述，PD的长为或.
【点睛】
本题主要考查相似三角形的判定及性质，掌握相似三角形的判定方法及性质和分情况讨论是解题的关键.
25、画图见解析，的面积为1．
【分析】先找出各顶点的对应顶点A1、B1、C1，然后用线段顺次连接即可得到，用割补法可以求出的面积.
【详解】如图所示：，即为所求，
的面积为：．
【点睛】
本题考查了作图-位似变换：①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．
26、（1）；（2）－2
【分析】（1）根据一元二次方程根有两个不同的实数根可得判别式△>0，解不等式求出k的取值范围即可；
（2）根据一元二次方程根与系数的故选可得，，根据列不等式，结合（1）的结论可求出k的取值范围，根据k为整数求出k值即可.
【详解】（1）∵方程有两个不同的实数根，
∴△，
解得：．
∴的取值范围是．
（2）∵和是关于的一元二次方程的两个不同的实数根，
∴，，
∵，
∴，
解得．
又由（1），
∴，
∵k为整数，
∴k的值为．
【点睛】
本题考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1和x2，那么x1+x2=，x1·x2=；判别式△=b2-4ac，当△>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△<0时，方程没有实数根；熟练掌握一元二次方程的判别式及韦达定理是解题关键.
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