人教版数学初二上册期末检测试题附解析(一).doc

人教版数学初二上册期末检测试题附解析（一）
一、选择题
1．剪纸是中国最古老的民间艺术之一，其在视觉上给人以透空的感觉和艺术享受．下列剪纸作品中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（       ）
A． B． C． D．
2．据报道，可见光的平均波长约为580纳米，已知1纳米＝0.000000001米，则580纳米用科学记数法表示为（       ）
A．58×10﹣6米 B．0.58×10﹣8米 C．5.8×10﹣8米 D．5.8×10﹣7米
3．已知，，则代数式值是（       ）
A．3 B．6 C．7 D．8
4．若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围为（     ）
A． B． C． D．
5．下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（       ）
A． B．
C． D．
6．下列分式变形一定成立的是（       ）
A． B． C． D．
7．如图，已知∠ABC＝∠BAD，再添加一个条件，仍不能判定△ABC≌△BAD的是（       ）

A．AC＝BD B．∠C＝∠D C．AD＝BC D．∠ABD＝∠BAC
8．若关于x的分式方程的根是正数，则实数m的取值范围是（       ）
A．，且 B．且，
C．，且 D．且，
9．如图所示、有三种卡片，其中边长为a的正方形卡片有1张，长为a，宽为b的矩形卡片有4张，边长为b的正方形卡片有4张，用这9张卡片刚好供成一个大正方形，则这个大正方形的边长为（　　）

A．a+2b B．2a+2b C．2a+b D．a+b
10．如图所示，锐角△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，△ADC≌，△AEB≌，且，BE、CD交于点F，若∠BAC=40°，则∠BFC的大小是（       ）

A．105° B．100° C．110° D．115°
二、填空题
11．若分式的值为0，则x的值为__________．
12．在平面直角坐标系中，点M(2，4)关于x轴的对称点的坐标为______，关于y轴的对称点的坐标为______．
13．已知非零实数x，y满足x﹣y＝2且﹣＝1，则x2y-xy2的值等于 _____．
14．计算的结果是______．
15．已知，点为射线上一点，点为的中点，且.当点在射线上运动时 ，则与和的最小值为_______．

16．如果多项式y2﹣4my+4是完全平方式，那么m的值是_______．
17．若，则的值是_________．
18．在学习完“探索三角形全等的条件”一节后，小丽总结出很多全等三角形的模型，她设计了以下问题给同桌解决：做一个“U”字形框架PABQ，其中AB＝20 cm，AP，BQ足够长，PA⊥AB于点A，QB⊥AB于点B，点M从B出发向A运动，点N从B出发向Q运动，速度之比为2：3，运动到某一瞬间两点同时停止，在AP上取点C，使△ACM与△BMN全等，则AC的长度为 _______ cm．

三、解答题
19．分解因式：
(1)．
(2)．
20．解分式方程．
21．如图，AB＝AC，∠BAD＝∠CAD，证明：△ABD≌△ACD

22．已知：直线，直线AD与直线BC交于点E，∠AEC＝110°．

(1)如图①，BF平分∠ABE交AD于F，DG平分∠CDE交BC于G，求∠AFB+∠CGD的度数；
(2)如图②，∠ABC＝30°，在∠BAE的平分线上取一点P，连接PC，当∠PCD＝∠PCB时，直接写出∠APC的度数．
23．【阅读材料】若分式A与分式B的差等于它们的积，即，则称分式B是分式A的“关联分式”．
例如与，
解：，
，
是的“关联分式”．
(1)【解决问题】已知分式，则 ，的“关联分式”（填“是”或“不是”）．
(2)和谐小组成员在求分式的“关联分式”时，用了以下方法：
解：设的“关联分式”为B，
则，
，
．
请你仿照和谐小组成员的方法求分式的“关联分式”．
(3)【拓展延伸】观察（1）（2）的结果，寻找规律直接写出分式的“关联分式”：________．
24．阅读下列材料：利用完全平方公式，可以将多项式变形为的形式，我们把这种变形方法，叫做配方法．运用配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解．例如：根据以上材料，解答下列问题：
（1）用配方法将化成的形式，则 ________；
（2）用配方法和平方差公式把多项式进行因式分解；
（3）对于任意实数x，y，多项式的值总为______（填序号）．
①正数②非负数 ③ 0
25．在平面直角坐标系中，点A(a，0)，点B(0，b)，已知a，b满足．

（1）求点A和点B的坐标；
（2）如图1，点E为线段OB的中点，连接AE，过点A在第二象限作，且，连接BF交x轴于点D，求点D和点F的坐标；：
（3）在（2）的条件下，如图2，过点E作交AB于点P，M是EP延长线上一点，且，连接MO，作，ON交BA的延长线于点N，连接MN，求点N的坐标．
26．在中，，点在边上，且是射线上一动点(不与点重合，且)，在射线上截取，连接．

当点在线段上时，
①若点与点重合时，请说明线段；
②如图2，若点不与点重合，请说明；

当点在线段的延长线上时，用等式表示线段之间的数量关系(直接写出结果，不需要证明)．
【参考答案】
一、选择题
2．A
解析：A
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】A、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；
C、不是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
3．D
解析：D
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，的值由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：580纳米=580×0.000000001米
米
米．
故选：D．
【点睛】本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中1≤|a|＜10，n的值由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
4．B
解析：B
【分析】根据可以得到然后再根据即可得到结果．
【详解】解：

两式相减，可得

故选：B．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法法则以及同底数幂的除法法则的运用、代数式求值，同底数幂相乘，底数不变，指数相加；同底数幂相除，底数不变，指数相减．
5．A
解析：A
【分析】根据二次根式的被开方数≥0和分式的分母≠0两个条件确定x的范围即可．
【详解】由二次根式的被开方数≥0，得
3x≥0，
∴x≥0．
由分式的分母≠0，得
x-2≠0，
∴x≠2，
∴x≥0 且x≠2．
故选A
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，二次根式的被开方数≥0时二次根式有意义，分式的分母≠0时分式有意义．掌握以上知识是解题的关键．
6．D
解析：D
【分析】根据因式分解的定义，因式分解是把一个多项式化为几个整式积的形式，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：A．原式是整式的乘法运算，不符合因式分解的定义，不是因式分解，故本选项符合题意；
B．原式不符合因式分解的定义，不是因式分解，故本选项不符合题意；
C．原式不符合因式分解的定义，不是因式分解，故本选项不符合题意；
D．原式符合因式分解的定义，是因式分解，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了因式分解的定义，因式分解与整式的乘法是互为逆运算，要注意区分．
7．B
解析：B
【分析】根据分式的基本性质，进行计算即可解答．
【详解】解：A、，故A不符合题意；
B、，故B符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：B
【点睛】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
8．A
解析：A
【分析】根据已知可以得到∠ABC＝∠BAD，AB＝BA，然后再分别判断各个选项中的条件能否使得△ABC≌△BAD即可．
【详解】解：∵∠ABC＝∠BAD，AB＝BA，
∴若添加条件AC＝BD，无法判定△ABC≌△BAD，故选项A符合题意；
若添加∠C＝∠D，则△ABC≌△BAD（AAS），故选项B不符合题意；
若添加AD＝BC，则△ABC≌△BAD（SAS），故选项C不符合题意；
若添加∠ABD＝∠BAC，则△ABC≌△BAD（ASA），故选项D不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
9．D
解析：D
【分析】利用解分式方程的一般步骤解出方程，根据题意列出不等式，解不等式即可．
【详解】解：方程两边同乘2（x﹣2）得：
m=2（x-1）﹣4（x-2），
解得：x=．
∵≠2，
∴m≠2，
由题意得：＞0，
解得：m＜6，
∴实数m的取值范围是：m＜6且m≠2．
故选：D．
【点睛】此题考查了分式方程的解、一元一次不等式的解法，解题的关键是掌握解分式方程的一般步骤、分式方程无解的判断方法．
10．A
解析：A
【分析】可以得出拼成的正方形的面积为a2+4ab+4b2，将a2+4ab+4b2写成（a+2b）2的形式，即可得出正方形的边长．
【详解】解：这9张卡片拼成一个正方形的面积为a2+4ab+4b2，
∵a2+4ab+4b2＝（a+2b）2，
∴这个正方形的边长为（a+2b），
故选：A．
【点睛】考查完全平方公式的几何意义，把面积写成完全平方式的形式是得出正确答案的关键．
11．B
解析：B
【分析】延长C′D交AB′于H．利用全等三角形的性质，平行线的性质，三角形的外角的性质证明∠BFC=∠C′+∠AHC′+∠CAD，再求出∠C′+∠AHC′即可解决问题．
【详解】解：延长C′D交AB′于H．

∵△AEB≌△AEB′，
∴∠ABE=∠B′，∠EAB=∠EAB′=40°，
∵C′H∥EB′，
∴∠AHC′=∠B′，
∵△ADC≌△ADC′，
∴∠C′=∠ACD，∠DAC=∠DAC′=40°，
∵∠BFC=∠DBF+∠BDF，∠BDF=∠CAD+∠ACD，
∴∠BFC=∠AHC′+∠C′+∠CAD，
∵∠DAC=∠DAC′=∠CAB′=40°，
∴∠C′AH=120°，
∴∠C′+∠AHC′=60°，
∴∠BFC=60°+40°=100°，
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，平行线的性质，三角形的内角和定理以及三角形外角的性质等知识，熟练掌握基本性质是解题的关键．
二、填空题
12．3
【分析】根据分式的值为0时分母≠0，且分子＝0两个条件求出x的值即可．
【详解】由x2-9=0，得
x=±3．
又∵x+3≠0，
∴x≠-3，
因此x=3．
故答案为3．
【点睛】本题考查了分式值为0时求字母的值．分式值为0时分子=0，分母≠0，两个条件缺一不可，掌握以上知识是解题的关键．
13．     (2，−4)     (−2，4)
【分析】根据关于x轴对称的点的规律，关于y轴对称的点的规律，可得答案．
【详解】解：在平面直角坐标系中，点M(2，4)，关于x轴的对称点坐标是(2，−4)，关于y轴对称的点的坐标为(−2，4)，
故答案为：(2，−4)，(−2，4)．
【点睛】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．
14．-4
【分析】根据已知条件式变形，求得，代入代数式求值即可求解．
【详解】解：∵x﹣y＝2且﹣＝1
∴，则
∴x2y-xy2 =xy（x-y）=-2×2=-4．
故答案为：-4．
【点睛】本题考查因式分解的应用，分式的性质，解题的关键是熟练运用因式分解，整体思想．
15．
【分析】先将（-0.25）2021化成（-0.25）×（-0.25）2020再逆用积的乘方运算法则计算即可．
【详解】解：原式=（-0.25）×（-0.25）2020×42020
=（-0.25）×(-0.25×4)2020
=（-0.25）×12020
=(-0.25）×1
=-0.25．
故答案为：-0.25．
【点睛】本题考查积的乘方运算的应用，逆用积的乘方运算法则是解题的关键．
16．【分析】作点D关于OA的对称点D′，连接CD′交OA于点P′，连接DP,，根据轴对称的性质得到P′D′=P′D，此时DP′+CP′=CD′即为PC+PD的最小值，根据已知条件计算求出结果即可．
解析：
【分析】作点D关于OA的对称点D′，连接CD′交OA于点P′，连接DP,，根据轴对称的性质得到P′D′=P′D，此时DP′+CP′=CD′即为PC+PD的最小值，根据已知条件计算求出结果即可．
【详解】解：作点D关于OA的对称点D′，连接CD′交OA于点P′，连接DP′，根据轴对称的性质得到P′D′=P′D，此时DP′+CP′=CD′即为PC+PD的最小值.
设DD′与OA交于点E，
∵∠O=30°，OD=3，由对称性可知∠DEO=90°,
∴∠ODE=60°，DE=OD=,
∴DD′=2DE=3,∴DD′=CD，
∴∠D′=∠DCD′=∠ODE=30°，∴∠EDP′=∠D′=30°，
∴∠ODP′=∠ODE+∠EDP′=90°，
∴在Rt△ODP′中，∠O=30°，OD=3，∴DP′=
∴CP′=2DP′=2
∴DP′+CP′=3
故与和的最小值为3

【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，两点之间线段最短的性质．得出动点所在的位置是解题的关键．
17．【分析】根据完全平方式的特点解答．
【详解】解：∵多项式y2﹣4my+4是完全平方式，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查完全平方式的构成：，正确掌握其特点并熟练应用是解题的关
解析：
【分析】根据完全平方式的特点解答．
【详解】解：∵多项式y2﹣4my+4是完全平方式，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查完全平方式的构成：，正确掌握其特点并熟练应用是解题的关键．
18．14
【分析】根据即可求得其值．
【详解】解：，
故答案为：14．
【点睛】本题考查了代数式求值问题，熟练掌握和运用代数式求值的方法是解决本题的关键．
解析：14
【分析】根据即可求得其值．
【详解】解：，

故答案为：14．
【点睛】本题考查了代数式求值问题，熟练掌握和运用代数式求值的方法是解决本题的关键．
19．8或15##15或8
【分析】设，则，使△ACM与△BMN全等，由可知，分两种情况讨论：当BM=AC，BN=AM时，列方程解得t的值即可得到AC的长；当BM=AM，BN=AC时，列方程解得t的值，
解析：8或15##15或8
【分析】设，则，使△ACM与△BMN全等，由可知，分两种情况讨论：当BM=AC，BN=AM时，列方程解得t的值即可得到AC的长；当BM=AM，BN=AC时，列方程解得t的值，可解得AC的长．
【详解】解：设cm，则cm，
，要使得△ACM与△BMN全等，可分两种情况讨论：
当BM=AC，BN=AM时，

解得
cm；
当BM=AM，BN=AC时，

解得
cm
故答案为：8或15．
【点睛】本题考查全等三角形的性质，涉及分类讨论法、列一元一次方程、解一元一次方程等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
三、解答题
20．(1)
(2)
【分析】（1）提取公因式，利用平方差公式因式分解；
（2）提取公因式，利用完全平方公式因式分解．
(1)
原式
．
(2)
原式
．
【点睛】本题考查因式分解及其
解析：(1)
(2)
【分析】（1）提取公因式，利用平方差公式因式分解；
（2）提取公因式，利用完全平方公式因式分解．
(1)
原式
．
(2)
原式
．
【点睛】本题考查因式分解及其解题技巧的运用能力．合理利用因式分解常用方法：先提公因式法，后公式法（平方差公式、完全平方差公式）是解本题的关键．
2【分析】按照去分母，解整式方程，检验的步骤解方程即可.
【详解】去分母得，
去括号合并同类项得，
系数化为1得，
经检验，是原分式方程的解.
【点睛】本题主要考查解分式方程，掌握解分
解析：
【分析】按照去分母，解整式方程，检验的步骤解方程即可.
【详解】去分母得，
去括号合并同类项得，
系数化为1得，
经检验，是原分式方程的解.
【点睛】本题主要考查解分式方程，掌握解分式方程的步骤并检验是否为增根是解题的关键.
22．见解析
【分析】由“”可证△ABD≌△ACD．
【详解】证明：在△ABD和△ACD 中，
∴△ABD≌△ACD(SAS)
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是
解析：见解析
【分析】由“”可证△ABD≌△ACD．
【详解】证明：在△ABD和△ACD 中，

∴△ABD≌△ACD(SAS)
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
23．(1)195°
(2)50°或10°
【分析】(1)过点E作MN∥AB．利用平行线的判定和性质并结合角平分线的概念分析求解；
(2)分P点在BC的左侧、P在BC的右侧且在CD上方、P在BC的右
解析：(1)195°
(2)50°或10°
【分析】(1)过点E作MN∥AB．利用平行线的判定和性质并结合角平分线的概念分析求解；
(2)分P点在BC的左侧、P在BC的右侧且在CD上方、P在BC的右侧且在CD下方三种情况讨论，结合角度的倍数关系和平行线的性质分析求解．
(1)
解：过点E作MN∥AB，如下图①所示：
∵AB∥CD，MN∥AB，
∴AB∥MN∥CD，
∴∠BAE=∠AEM，∠DCE=∠CEM，∠ABE=∠BEN，∠NED=∠EDC，
∵∠AEC=110°，
∴∠BED=110°，
∴∠BAE+∠DCE=∠AEM+∠CEM=∠AEC=110°，
∠ABE+∠CDE=∠BEN+∠NED=∠BED=110°，
∵BF平分∠ABE，DG平分∠CDE，
∴∠ABF=∠ABE，∠CDG=∠CDE，
∴∠AFB+∠CGD=180°-(∠BAE+∠ABF)+180°-(∠DCE+∠CDG)
=180°-∠BAE-∠ABE+180°-∠DCE-∠CDE
=360°-(∠BAE+∠DCE)-(∠ABE+∠CDE)
=360°-110°-×110°
=195°，
∴∠AFB+∠CGD的度数为195°．

(2)
解：分类讨论：
情况一：当点P位于BC左侧时，如下图②所示：
此时∠PCD=∠PCB不可能成立，故此情况不存在；
情况二：当点P位于BC右侧且位于CD上方时，过点P作PM∥AB，如下图③所示：
∵∠AEC=110°，∠ABC=30°，
∴∠BAE=110°-30°=80°，
∵AB∥CD，MP∥AB，
∴AB∥MP∥CD，
∴∠APM=∠BAP=∠BAE=40°，
∠ABC=∠BCD=30°，
又∵∠PCD=∠PCB，
∴∠PCD=∠BCD=10°，
∴∠MPC=∠PCD=10°，
∴∠APC=∠MPC+∠APM=10°+40°=50°；
情况三：当点P位于BC右侧且位于CD下方时，过点P作PM∥AB，如下图④所示：
∵∠AEC=110°，∠ABC=30°，
∴∠BAE=110°-30°=80°，
∵AB∥CD，MP∥AB，
∴AB∥MP∥CD，
∴∠APM=∠BAP=∠BAE=40°，
∠ABC=∠BCD=30°，
又∵∠PCD=∠PCB，
∴∠PCD=∠BCD=30°，
∴∠MPC=∠PCD=30°，
∴∠APC=∠APM-∠MPC=40°-30°=10°，
综上，∠APC的度数为50°或10°．

【点睛】本题考查平行线的判定和性质、三角形的外角性质、角平分线的定义、对顶角相等等知识，属于中考常考题型，掌握平行线的判定和性质，正确添加辅助线是解题关键．
24．(1)是
(2)
(3)
【分析】（1）根据关联分式的定义判断；
（2）仿照和谐小组成员的方法，设的关联分式是N，则，求出N即可；
（3）根据（1）（2）的结果找出规律，再利用规律求解．
解析：(1)是
(2)
(3)
【分析】（1）根据关联分式的定义判断；
（2）仿照和谐小组成员的方法，设的关联分式是N，则，求出N即可；
（3）根据（1）（2）的结果找出规律，再利用规律求解．
（1）
解：∵，
，
∴ 是的“关联分式”．
故答案为：是；
（2）
解：设的关联分式是N，则：

∴
∴
∴；
（3）
解：由（1）（2）知：的关联分式为：．
故答案为：．
【点睛】本题考查用新定义解决数学问题，熟练掌握分式混合运算法则是求解本题的基础．
25．（1）；（2）；（3）①
【分析】（1）根据材料所给方法解答即可；
（2）材料所给方法进行解答即可；
（3）局部进行因式分解，最后写成非负数的积的形式即可完成解答.
【详解】解：（1）
=
解析：（1）；（2）；（3）①
【分析】（1）根据材料所给方法解答即可；
（2）材料所给方法进行解答即可；
（3）局部进行因式分解，最后写成非负数的积的形式即可完成解答.
【详解】解：（1）
=
.
（2）原式=
=
=
=．
（3）
=
=
＞11
故答案为①.
【点睛】本题考查了配方法，根据材料学会配方法并灵活运用配方法解题是解答本题的关键.
26．（1），；（2）D(-1，0)，F(-2，4)；（3）N(-6，2)
【分析】（1）结合题意，根据绝对值和乘方的性质，得，，通过求解一元一次方程，得，；结合坐标的性质分析，即可得到答案；
（2）
解析：（1），；（2）D(-1，0)，F(-2，4)；（3）N(-6，2)
【分析】（1）结合题意，根据绝对值和乘方的性质，得，，通过求解一元一次方程，得，；结合坐标的性质分析，即可得到答案；
（2）如图，过点F作FH⊥AO于点H，根据全等三角形的性质，通过证明，得AH=EO=2，FH=AO=4，从而得OH =2，即可得点F坐标；通过证明，推导得HD=OD=1，即可得到答案；
（3）过点N分别作NQ⊥ON交OM的延长线于点Q，NG⊥PN交EM的延长线于点G，再分别过点Q和点N作QR⊥EG于点R，NS⊥EG于点S，根据余角和等腰三角形的性质，通过证明等腰和等腰，推导得，再根据全等三角形的性质，通过证明，得等腰，再通过证明，得NS=EM=4，MS=OE=2，即可完成求解．
【详解】（1）∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，．
（2）如图，过点F作FH⊥AO于点H

∵AF⊥AE
∴∠FHA=∠AOE=90°，
∵
∴∠AFH=∠EAO
又∵AF=AE，
在和中

∴
∴AH=EO=2，FH=AO=4
∴OH=AO-AH=2
∴F(-2，4)
∵OA=BO，
∴FH=BO
在和中

∴
∴HD=OD
∵
∴HD=OD=1
∴D(-1，0)
∴D(-1，0)，F(-2，4)；
（3）如图，过点N分别作NQ⊥ON交OM的延长线于点Q，NG⊥PN交EM的延长线于点G，再分别过点Q和点N作QR⊥EG于点R，NS⊥EG于点S

∴
∴，
∴
∴
∴
∴等腰
∴NQ=NO，
∵NG⊥PN, NS⊥EG
∴
∴，
∴
∵，
∴
∵点E为线段OB的中点
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴等腰
∴NG=NP，
∵
∴
∴∠QNG=∠ONP
在和中

∴
∴∠NGQ=∠NPO，GQ=PO
∵，
∴PO=PB
∴∠POE=∠PBE=45°
∴∠NPO=90°
∴∠NGQ=90°
∴∠QGR=45°.
在和中

∴．
∴QR=OE
在和中

∴
∴QM=OM.
∵NQ=NO，
∴NM⊥OQ
∵
∴等腰
∴
∵
∴
在和中

∴
∴NS=EM=4，MS=OE=2
∴N(-6，2)．
【点睛】本题考查了直角坐标系、全等三角形、直角三角形、等腰三角形、绝对值、乘方的知识；解题的关键是熟练掌握直角坐标系、全等三角形、等腰三角形的性质，从而完成求解．
27．（1）①证明见解析；②证明见解析；（2）BF＝AE-CD
【分析】（1）①根据等边对等角，求到，再由含有60°角的等腰三角形是等边三角形得到是等边三角形，之后根据等边三角形的性质以及邻补角的性质得
解析：（1）①证明见解析；②证明见解析；（2）BF＝AE-CD
【分析】（1）①根据等边对等角，求到，再由含有60°角的等腰三角形是等边三角形得到是等边三角形，之后根据等边三角形的性质以及邻补角的性质得到，推出，根据全等三角形的性质即可得出结论；②过点A做AG∥EF交BC于点G，由△DEF为等边三角形得到DA＝DG，再推出AE＝GF，根据线段的和差即可整理出结论；
（2）根据题意画出图形，作出AG，由（1）可知，AE=GF，DC=BG，再由线段的和差和等量代换即可得到结论．
【详解】（1）①证明：

，且E与A重合，
是等边三角形

在和中

②如图2，过点A做AG∥EF交BC于点G，

∵∠ADB＝60°　DE＝DF　　
∴△DEF为等边三角形
∵AG∥EF
∴∠DAG＝∠DEF＝60°，∠AGD＝∠EFD＝60°
∴∠DAG＝∠AGD　　
∴DA＝DG
∴DA－DE＝DG－DF，即AE＝GF
由①易证△AGB≌△ADC　　
∴BG＝CD
∴BF＝BG＋GF＝CD＋AE
（2）如图3，和（1）中②相同，过点A做AG∥EF交BC于点G，

由（1）可知，AE=GF，DC=BG，

故．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．