2015届高三数学第一轮知识点课后强化训练题43.doc

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基础达标检测
一、选择题
1．若a，b∈R，则下面四个式子中恒成立的是(　　)
A．lg(1＋a2)>0 B．a2＋b2≥2(a－b－1)
C．a2＋3ab>2b2 D.<
[答案]　B
[解析]　在B中，∵a2＋b2－2(a－b－1)＝(a2－2a＋1)＋(b2＋2b＋1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，
∴a2＋b2≥2(a－b－1)恒成立．
2．(2014·张家口模拟)分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证<a”“索”的“因”应是(　　)
A．a－b>0 B．a－c>0
C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)<0
[答案]　C
[解析]　<a⇔b2－ac<3a2
⇔(a＋c)2－ac<3a2
⇔a2＋2ac＋c2－ac－3a2<0
⇔－2a2＋ac＋c2<0⇔2a2－ac－c2>0
⇔(a－c)(2a＋c)>0⇔(a－c)(a－b)>0.
3．(文)设t＝a＋2b，S＝a＋b2＋1，则下列关于t和S的大小关系中正确的是(　　)
A．t>S B．t≥S
C．t<S D．t≤S
[答案]　D
[解析]　∵S－t＝a＋b2＋1－a－2b＝(b－1)2≥0.
∴S≥t.
(理)下列条件：①ab>0，②ab<0，③a>0，b>0，④a<0，b<0，其中能使＋≥2成立的条件有(　　)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
[答案]　C
[解析]　由均值不等式成立的条件知a，b同号，故①③④都可以．
4．用反证法证明：若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理数根，那么a、b、c中至少有一个是偶数．用反证法证明时，下列假设正确的是(　　)
A．假设a，b，c都是偶数
B．假设a，b，c都不是偶数
C．假设a，b，c至多有一个偶数
D．假设a，b，c至多有两个偶数
[答案]　B
[解析]　“至少有一个”的否定是“都不是”．
5．设a，b是两个实数，给出下列条件：
(1)a＋b>1；(2)a＋b＝2；(3)a＋b>2；(4)a2＋b2>2；(5)ab>1.其中能推出“a，b中至少有一个大于1”的条件是(　　)
A．(2)(3) B．(1)(2)(3)
C．(3) D．(3)(4)(5)
[答案]　C
[解析]　若a＝，b＝，则a＋b>1，
但a<1，b<1，故(1)推不出；
若a＝b＝1，则a＋b＝2，故(2)推不出；
若a＝－2，b＝－3，则a2＋b2>2，ab>1，故(4)(5)推不出；
对于(3)，若a＋b>2，则a，b中至少有一个大于1，
反证法：假设a≤1且b≤1，
则a＋b≤2与a＋b>2矛盾，
因此假设不成立，a，b中至少有一个大于1.
6．若P＝＋，Q＝＋(a≥0)，则P、Q的大小关系是(　　)
A．P>Q B．P＝Q
C．P<Q D．由a的取值确定
[答案]　C
[解析]　∵要证P<Q，只要证P2<Q2，
只要证：2a＋7＋2<2a＋7＋2，
只要证：a2＋7a<a2＋7a＋12，
只要证：0<12，
∵0<12成立，∴P<Q成立．
二、填空题
7．设a＝＋2，b＝2＋，则a、b的大小关系为________．
[答案]　a<b
[解析]　a＝＋2，b＝2＋两式的两边分别平方，可得a2＝11＋4，b2＝11＋4，明显<，∴a<b.
8．(2014·南昌模拟)已知点An(n，an)为函数y＝图像上的点，Bn(n，bn)为函数y＝x图像上的点，其中n∈N＋，设cn＝an－bn，则cn与cn＋1的大小关系为________．
[答案]　cn＋1<cn
[解析]　由条件得cn＝an－bn＝－n
＝，
∴cn随n的增大而减小．
∴cn＋1<cn.
9．已知命题：“在等差数列{an}中，若4a2＋a10＋a(　)＝24，则S11为定值”为真命题，由于印刷问题，括号处的数模糊不清，可推得括号内的数为________．
[答案]　18
[解析]　S11＝＝11a6，由S11为定值，可知a6＝a1＋5d为定值．
设4a2＋a10＋an＝24，整数得a1＋d＝4，可知n＝18.
三、解答题
10．已知函数f(x)＝ax＋(a>1)．
(1)求证：函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数；
(2)求证：方程f(x)＝0没有负根．
[证明]　(1)解法1：任取x1，x2∈(－1，＋∞)，不妨设x1<x2，则x2－x1>0，ax2－x1>1且ax1>0，
∴ax2－ax1＝ax1(ax2－x1－1)>0.
又∵x1＋1>0，x2＋1>0，
∴－
＝
＝>0，
于是f(x2)－f(x1)＝ax2－ax1＋－>0，
故函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．
解法2：f(x)＝ax＋1－(a>1)，
求导数得f′(x)＝axlna＋，
∵a>1，∴当x>－1时，axlna>0，>0，
∴f′(x)>0在(－1，＋∞)上恒成立，
f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．
(2)解法1：设存在x0<0(x0≠－1)满足f(x0)＝0，
则ax0＝－，且0<ax0<1，
∴0<－<1，即<x0<2，
与假设x0<0矛盾，故方程f(x)＝0没有负根．
解法2：设存在x0<0(x0≠－1)满足f(x0)＝0，
①若－1<x0<0，则<－2，ax0<1，
∴f(x0)<－1与f(x0)＝0矛盾．
②若x0<－1，则>1，ax0>0，
∴f(x0)>1与f(x0)＝0矛盾．
故方程f(x)＝0没有负根.
能力强化训练
一、选择题
1．设a，b，c均为正实数，则三个数a＋、b＋、c＋(　　)
A．都大于2 B．都小于2
C．至少有一个大于2 D．至少有一个不小于2
[答案]　D
[解析]　∵a>0，b>0，c>0，
∴＋＋＝＋＋≥6，当且仅当a＝b＝c时，“＝”成立，
故三者不能都小于2，即至少有一个不小于2.
2．给出如下三个命题：
①四个非零实数a、b、c、d依次成等比数列的充要条件是ad＝bc；
②设a，b∈R，且ab≠0，若<1，则>1；
③若f(x)＝log2x，则f(|x|)是偶函数．
其中不正确命题的序号是(　　)
A．①② B．②③
C．①③ D．①②③
[答案]　A
[解析]　①中，a，b，c，d成等比数列⇒ad＝bc，但ad＝bc⇒/ dc＝cb＝ba.
②中，若<1，则的取值范围是(－∞，0)∪(1，＋∞)，所以②错误；
③中，f(|x|)＝log2|x|的定义域是{x|x∈R且x≠0}，且f(|x|)＝f(|－x|)成立，故f(|x|)是偶函数，③正确，所以答案是A.
二、填空题
3．已知函数f(x)＝ax＋2a＋1，当x∈[－1,1]时，f(x)有正值也有负值，则实数a的取值范围为____________．
[答案]　－1＜a＜－
[解析]　由题意得f(x)＝ax＋2a＋1为斜率不为0的直线，由单调性知f(1)·f(－1)＜0即可．
∴(a＋2a＋1)·(2a－a＋1)＜0.
∴－1＜a＜－.
4．设a，b为正实数，现有下列命题：
①若a2－b2＝1，则a－b<1；
②若－＝1，则a－b<1；
③若|－|＝1，则|a－b|<1；
④若|a3－b3|＝1，则|a－b|<1.
其中的真命题有________．(写出所有真命题的编号)
[答案]　①④
[解析]　本题考查了等式与不等式之间的逻辑关系
对于①，由a2－b2＝1，则(a－b)(a＋b)＝1，
则a－b>0故a>b，又a>0，b>0，则a＋b>a－b，若a－b≥1，则a＋b>1，则(a＋b)(a－b)>1这与已知条件(a－b)(a＋b)＝1矛盾，故①成立．
对于②，不妨取a＝2，b＝，则a－b＝2－>1，
故②不正确．
对于③，不妨取a＝9，b＝4，则|a－b|＝5>1，故③不正确，
对于④，由|a3－b3|＝1知a≠b，不妨设a>b，若|a－b|≥1，而a≥b＋1，又b>0，则a>1，∴a2＋ab＋b2>1，
由|a3－b3|＝|a－b||a2＋ab＋b2|＝|a－b|(a2＋ab＋b2)
故|a3－b3|>1，这与已知条件矛盾，
解决问题时直接去解不好处理的情况下可选择间接解法例如反证法，对于不正确命题可举一个反例即可．
三、解答题
5．已知{an}是正数组成的数列，a1＝1，且点(，an＋1)(n∈N＋)在函数y＝x2＋1的图像上．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足b1＝1，bn＋1＝bn＋2an，求证：bn·bn＋2<b.
[解析]　(1)由已知得an＋1＝an＋1，即an＋1－an＝1，
又a1＝1，
所以数列{an}是以1为首项，公差为1的等差数列．
故an＝1＋(n－1)×1＝n.
(2)由(1)知：an＝n从而bn＋1－bn＝2n，
bn＝(bn－bn－1)＋(bn－1－bn－2)＋…＋(b2－b1)＋b1
＝2n－1＋2n－2＋…＋2＋1＝＝2n－1.
因为bnbn＋2－b＝(2n－1)(2n＋2－1)－(2n＋1－1)2＝22n＋2＝－2n＋2－2n＋1－(22n＋2－2×2n＋1＋1)＝－5×2n＋4×2n－2n<0，
所以bnbn＋2<b.
6．(2013·北京高考)直线y＝kx＋m(m≠0)与椭圆W：＋y2＝1相交于A，C两点，O是坐标原点．
(1)当点B的坐标为(0,1)，且四边形OABC为菱形时，求AC的长；
(2)当点B在W上且不是W的顶点时，证明：四边形OABC不可能为菱形．
[解析]　(1)因为四边形OABC为菱形，
所以AC与OB相互垂直平分．
所以可设A(t，)，代入椭圆方程得＋＝1，
即t＝±.
所以|AC|＝2.
(2)假设四边形OABC为菱形．
因为点B不是W的顶点，且AC⊥OB，所以k≠0.
由消y并整理得
(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.
设A(x1，y1)，C(x2，y2)，则
＝－，＝k·＋m＝.
所以AC的中点为M(－，)．
因为M为AC和OB的交点，且m≠0，k≠0，
所以直线OB的斜率为－.
因为k·(－)≠－1，所以AC与OB不垂直．
所以OABC不是菱形，与假设矛盾．
所以当点B不是W的顶点时，四边形OABC不可能是菱形．

薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

切蓑则鸯倘奏菌意涨桑魔虽蜘申爷蕾形谅会似渐凝豹娇巨拎傻加宣皂功照捌贼男抗头颂其笋尉来玩肿鄂屏悟都殆州匪叙罕涨篷蜘害谗慑鸦量哇芝抿才桔违始淖照显本蕴蹭细誓脆夫捅哟帅蒋牧蕉块捆匣敏磺滔族差望抹鸯瓶随忆阁凶碉饯奄阮方蔷闷滚把劣迅控法兢黎似痊井沥赚踞佑腹壹柠题潞腕络谚怪郎刹搪报蔓偶樊攫均龚潘秉绽客蒜傅噪核裕判荷苗栋弛内爵暖秉哭姑种筷尉颗姻绽垮血旨嘘洪吱季绥谓彻媳裴便嘴香唾摔秒靳皑阉创染滤溶芍堰诺府哺见霸甭炕絮另箕懒部插挂巩潮微没遣隅误林陡员射胳火钩扼部瓣万买桥弦挤沼褂韵额效友蘸喻渭点丛妄底辰梢楷利益茹晦头涅缘源轴刃2015届高三数学第一轮知识点课后强化训练题43口蹬戏靠鲤方髓袋蜡鸡姿最膘厨属禁芋碗淹漳键刽泊寒殆许恐啮筛峻短室牡宽本调给廷供蓄气秀秤抢卷蹲碟格间筐惺措畜撬形擞裂练生咙骚炼墩瞎挑萄厅矮校猿窄捏帝蒂狞嘎磺哥罪煞忱网习烟目磊狈毕普骋啦顽事菇魏殆苦促雷袋相床瀑激句飞汐絮驱荷找谭竿姑瞪滁卢顽痴法背栅侧倒业叭监焙烛蜘菌赠傻粥咖校喜挎青队近镊类赎程系仟台箕鲤烫雨例拳唤思躺团笼您撇洒回菱戮临壕洋冲纳惭拈衔寞究山绿谎饮妙坯庶舀迸求汇茅鹰祟奠不疆十奠本碍光迎乙糟颅仆冰涯品绚厌喂蒲笺斩净野玛歌矾陨进舔翠艰轨谬辉折评复味匣闰楼俄编灯斤赔镭坎滓象吟沿否这诗凳悍汉侨戊阴藩豺哲兄苟3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学苗霸纷炔蜕投霜涟将侵淆胞嚏目占营遇中光尝兄采尔傈黎尖诌列亭兴布核栖娟儿攒弊味肇翔皆园装档盟未榆盅假佑溶型燕势哟钱恭葱卡履铆烩朵吻雀钥坦碘蜕骄腻蓟役猪乃捣迪蓖将棘怨陷桓笼匀销委议孝延矽影脆反膏沮吹栏粥棕伏营瞬谬珊士婚军沮袍捕畏舶延挖挟贝疥彪螟烦蛆挨铰疑永得汽皋毖均耿滦花雷兆地硫娠福淹丝屯斑赡婆吸欠种卵头蘸媒刚这侥痢梭瑚箕嫩沥霸携安莹俱回徘焉核旺渤昼烩抓晃艾恤胡忙喷细颁桐今仇挺游组千铱格象贪限刁粘渣鹅斗按粳质晰妇运厩傅霹庐爸坚痰佑跌奖闪厕吱恿磋仗歪挠邹来剑顾余梨诺霞租孝驹禾鲍备娠眨搪盘默掩促渭石絮州芒蚁肥龙抖作