2023年人教版中学七7年级下册数学期末复习题(含解析).doc

2023年人教版中学七7年级下册数学期末复习题（含解析）
一、选择题
1．下列四幅图中，和是同位角的是（ ）

A．①② B．③④ C．①②④ D．②③④
2．下列现象中，（　　）是平移
A．“天问”探测器绕火星运动 B．篮球在空中飞行
C．电梯的上下移动 D．将一张纸对折
3．在平面直角坐标系中，下列各点在第二象限的是（ ）
A． B． C． D．
4．下列命题是假命题的是（ ）
A．三角形三个内角的和等于
B．对顶角相等
C．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行
D．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
5．如图，点E在BA的延长线上，能证明BE∥CD是(　　)

A．∠EAD=∠B B．∠BAD=∠BCD C．∠EAD=∠ADC D．∠BCD+∠D=180°
6．若，则的值是（ ）
A．1 B．-3 C．1或-3 D．-1或3
7．如图，已知，平分，，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
8．如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O1，O2，O3，… 组成一条平滑的曲线，点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2021秒时，点P的坐标是（ ）

A．(2020，0) B．(2021，-1) C．(2021，1) D．(2022，0)
九、填空题
9．比较大小，请在横线上填“＞”或“＜”或“＝”________.
十、填空题
10．点P关于y轴的对称点是(3，﹣2)，则P关于原点的对称点是__．
十一、填空题
11．如图，在中，，，是的角平分线，，垂足为，，则__________．

十二、填空题
12．如图，直线，，，则________．

十三、填空题
13．如图，把一张长方形纸片沿EF折叠后ED与BC的交点为G，D、C分别在M、N的位置上，若，则____________，____________．

十四、填空题
14．下列命题中，属于真命题的有______（填序号）：①互补的角是邻补角；②无理数是无限不循环小数；③同位角相等；④两条平行线的同旁内角的角平分线互相垂直；⑤如果，那么．
十五、填空题
15．如果点P（x，y）的坐标满足x+y＝xy，那么称点P为“美丽点”，若某个“美丽点”P到y轴的距离为2，则点P的坐标为___．
十六、填空题
16．在平面直角坐标系中，点A与原点重合，将点A向右平移1个单位长度得到点A1，将A1向上平移2个单位长度得到点A2，将A2向左平移3个单位长度得到A3，将A3向下平移4个单位长度得到A4，将A4向右平移5个单位长度得到A5…按此方法进行下去，则A2021点坐标为_______________．

十七、解答题
17．计算题
（1）. （2）；
十八、解答题
18．求下列各式中的值
（1）
（2）
十九、解答题
19．如图，点，分别是、上的点，，．

（1）对说明理由，将下列解题过程补充完整．
解：（已知）
________（________________________）
（已知）
___________（________________________）
（______________________________）
（2）若比大，求的度数．
二十、解答题
20．在平面坐标系中描出下列各点且标该点字母：
（1）点，，，；
（2）点在轴上，位于原点右侧，距离原点2个单位长度；
（3）点在轴下方，轴左侧，距离每条坐标轴都是3个单位长度．

二十一、解答题
21．如图①，将由5个边长为1的小正方形拼成的图形沿虚线剪开，将剪开后的图形拼成如图②所示的大正方形，设图②所示的大正方形的边长为a．

（1）求a的值；
（2）若a的整数部分为m，小数部分为n，试求式子的值．
二十二、解答题
22．喜欢探究的亮亮同学拿出形状分别是长方形和正方形的两块纸片，其中长方形纸片的长为，宽为，且两块纸片面积相等．

（1）亮亮想知道正方形纸片的边长，请你帮他求出正方形纸片的边长；（结果保留根号）
（2）在长方形纸片上截出两个完整的正方形纸片，面积分别为和，亮亮认为两个正方形纸片的面积之和小于长方形纸片的总面积，所以一定能截出符合要求的正方形纸片来，你同意亮亮的见解吗？为什么？（参考数据：，）
二十三、解答题
23．综合与实践
背景阅读：在同一平面内，两条不重合的直线的位置关系有相交、平行，若两条不重合的直线只有一个公共点，我们就说这两条直线相交，若两条直线不相交，我们就说这两条直线互相平行两条直线的位置关系的性质和判定是几何的重要知识，是初中阶段几何合情推理的基础．
已知：AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B．
问题解决：（1）如图1，直接写出∠A和∠C之间的数量关系；
（2）如图2，过点B作BD⊥AM于点D，求证：∠ABD＝∠C；
（3）如图3，在（2）问的条件下，点E、F在DM上，连接BE、BF、CF，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，若∠FCB+∠NCF＝180°，∠BFC＝3∠DBE，则∠EBC＝ ．

二十四、解答题
24．综合与探究（问题情境）
王老师组织同学们开展了探究三角之间数量关系的数学活动．
（1）如图1，EF∥MN，点A、B分别为直线EF、MN上的一点，点P为平行线间一点，请直接写出∠PAF、∠PBN和∠APB之间的数量关系；
（问题迁移）
（2）如图2，射线OM与射线ON交于点O，直线m∥n，直线m分别交OM、ON于点A、D，直线n分别交OM、ON于点B、C，点P在射线OM上运动．
①当点P在A、B（不与A、B重合）两点之间运动时，设∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．则∠CPD，∠α，∠β之间有何数量关系？请说明理由；
②若点P不在线段AB上运动时（点P与点A、B、O三点都不重合），请你画出满足条件的所有图形并直接写出∠CPD，∠α，∠β之间的数量关系．

二十五、解答题
25．在△ABC中，射线AG平分∠BAC交BC于点G，点D在BC边上运动（不与点G重合），过点D作DE∥AC交AB于点E．

（1）如图1，点D在线段CG上运动时，DF平分∠EDB
①若∠BAC＝100°，∠C＝30°，则∠AFD＝　　；若∠B＝40°，则∠AFD＝　　；
②试探究∠AFD与∠B之间的数量关系？请说明理由；
（2）点D在线段BG上运动时，∠BDE的角平分线所在直线与射线AG交于点F试探究∠AFD与∠B之间的数量关系，并说明理由
【参考答案】
一、选择题
1．C
解析：C
【分析】
根据两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样的一对角叫做同位角进行分析即可．
【详解】
解：根据同位角的定义可知：图①②④中，∠1和∠2是同位角；图③中，∠1和∠2不是同位角；
故选C．
【点睛】
本题主要考查同位角的定义，熟记同位角的定义是解决此题的关键．
2．C
【分析】
根据平移的定义，对选项进行一一分析，排除错误答案．在平面内，把一个图形整体沿某一的方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，简称平移．
【详解】
解：A. “天问”探测器绕火星运动不
解析：C
【分析】
根据平移的定义，对选项进行一一分析，排除错误答案．在平面内，把一个图形整体沿某一的方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，简称平移．
【详解】
解：A. “天问”探测器绕火星运动不是平移，故此选项不符合题意；
B. 篮球在空中飞行不是平移，故此选项不符合题意；
C. 电梯的上下移动是平移，故此选项符合题意；
D. 将一张纸对折不是平移，故此选项不符合题意
故选：C．
【点睛】
本题考查平移的概念，与实际生活相联系，注意分清与旋转、翻转的区别．
3．D
【分析】
根据在第二象限的点的特征进行判断，即可得到答案．
【详解】
解：∵第二象限的点特征是横坐标小于零，纵坐标大于零，
∴点（-3，7）在第二象限，
故选D．
【点睛】
本题考查了点的坐标，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．
4．D
【分析】
根据三角形内角和定理，对顶角的性质，平行线的判定和性质逐一判断即可.
【详解】
解：A、三角形三个内角的和等于180°，故此说法正确，是真命题；
B、对顶角相等，故此说法正确，是真命题；
C、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行两条，故此说法正确，是真命题；
D、两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，故此说法错误，是假命题.
故选D.
【点睛】
本题主要考查了命题的真假，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行判断求解.
5．C
【分析】
根据平行线的判定定理对四个选项进行逐一判断即可．
【详解】
解：A、若∠EAD=∠B，则AD∥BC，故此选项错误；
B、若∠BAD=∠BCD，不可能得到BE∥CD，故此选项错误；
C、若∠EAD=∠ADC，可得到BE∥CD，故此选项正确；
D、若∠BCD+∠D=180°，则BC∥AD，故此选项错误．
故选：C．
【点睛】
本题考查了平行线的判定定理，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键．
6．C
【分析】
根据题意，利用平方根，立方根的定义求出a，b的值，再代入求解即可．
【详解】
解：
，
当时，；
∴当时，．
故选：C．
【点睛】
本题考查的知识点是平方根以及立方根的定义，根据定义求出a，b的值是解此题的关键．
7．B
【分析】
利用平行线的性质，角平分线的定义即可解决问题．
【详解】
解：∵，，平分，
∴，，
∵，
∴，
故选：B．
【点睛】
本题考查平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
8．C
【分析】
根据图象可得移动4次图象完成一个循环，从而可得出点P的坐标．
【详解】
解：半径为1个单位长度的半圆的周长为×2π×1=π，
∵点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长
解析：C
【分析】
根据图象可得移动4次图象完成一个循环，从而可得出点P的坐标．
【详解】
解：半径为1个单位长度的半圆的周长为×2π×1=π，
∵点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，
∴点P每秒走个半圆，
∴当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为1秒时，点P的坐标为(1，1)，
当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为2秒时，点P的坐标为(2，0)，
当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为3秒时，点P的坐标为(3，-1)，
当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为4秒时，点P的坐标为(4，0)，
当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为5秒时，点P的坐标为(5，1)，
当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为6秒时，点P的坐标为(6，0)，
…，
∵2021÷4=505余1，
∴P的坐标是（2021，1），
故选：C．
【点睛】
此题考查了点的规律变化，解答本题的关键是仔细观察图象，得到点的变化规律，解决问题．
九、填空题
9．＝
【分析】
先根据算数平方根和立方根的定义进行化简，再根据实数大小的比较方法进行比较即可
【详解】
解：∵，
∴=
故答案为：＝
【点睛】
本题考查的是实数的大小比较以及算数平方根、立方根，熟练掌
解析：＝
【分析】
先根据算数平方根和立方根的定义进行化简，再根据实数大小的比较方法进行比较即可
【详解】
解：∵，
∴=
故答案为：＝
【点睛】
本题考查的是实数的大小比较以及算数平方根、立方根，熟练掌握相关的知识是解答此题的关键．
十、填空题
10．【分析】
直接利用关于y轴对称点的性质得出P点坐标，再利用关于原点对称点的性质得出答案．
【详解】
解：∵点P关于y轴的对称点是，
∴点，
则P关于原点的对称点是．
故答案为：．
【点睛】
本题考
解析：
【分析】
直接利用关于y轴对称点的性质得出P点坐标，再利用关于原点对称点的性质得出答案．
【详解】
解：∵点P关于y轴的对称点是，
∴点，
则P关于原点的对称点是．
故答案为：．
【点睛】
本题考查关于x轴、y轴对称的点的坐标求法、关于原点对称的点的坐标求法，牢记相关性质是解题关键．
十一、填空题
11．【解析】
已知∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，根据角平分线的性质可得DC=DE=1；因，根据30°直角三角形的性质可得BD=2DE=2，所以BC=CD+DB=1+2=3.
解析：【解析】
已知∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，根据角平分线的性质可得DC=DE=1；因，根据30°直角三角形的性质可得BD=2DE=2，所以BC=CD+DB=1+2=3.
十二、填空题
12．120°．
【分析】
延长AB交直线b于点E，可得，则 ，再由，可得 ，即可求解．
【详解】
解：如图，延长AB交直线b于点E，
∵，
∴，
∴ ，
∵，，
∴ ，
∴．
故答案为： ．
【点睛】
解析：120°．
【分析】
延长AB交直线b于点E，可得，则 ，再由，可得 ，即可求解．
【详解】
解：如图，延长AB交直线b于点E，

∵，
∴，
∴ ，
∵，，
∴ ，
∴．
故答案为： ．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键．
十三、填空题
13．68°； 112°．
【分析】
首先根据折叠的性质和平行线的性质求∠FED的度数，然后根据平角的定义求出∠1的度数，最后根据平行线的性质求出∠2的度数．
【详解】
解：∵延折叠得到，
解析：68°； 112°．
【分析】
首先根据折叠的性质和平行线的性质求∠FED的度数，然后根据平角的定义求出∠1的度数，最后根据平行线的性质求出∠2的度数．
【详解】
解：∵延折叠得到，
∴，
∵，，
∴（两直线平行，内错角相等），
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
综上，．
故答案为：68°；112°．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，翻折变换的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．
十四、填空题
14．②④⑤
【分析】
根据邻补角、无理数、平行线的性质和平方根进行判断即可．
【详解】
解：①邻补角一定互补，但互补的角不一定是邻补角，故错误，是假命题；
②无理数是无限不循环小数，正确，是真命题；
③
解析：②④⑤
【分析】
根据邻补角、无理数、平行线的性质和平方根进行判断即可．
【详解】
解：①邻补角一定互补，但互补的角不一定是邻补角，故错误，是假命题；
②无理数是无限不循环小数，正确，是真命题；
③两直线平行，同位角相等，故错误，是假命题；
④如图所示，直线a，b被直线c所截，且a//b，直线AB平分∠CAE，直线CD平分∠ACF，AB，CD相交于点G．求证：AB⊥CD．

证明：∵a//b，
∴∠CAE+∠ACF=180°．
又AB平分∠CAE，CD平分∠ACF，
所以∠1=∠CAE，∠2=∠ACF．
所以∠1+∠2=∠CAE+∠ACF
=(∠CAE+∠ACF)=×180°=90°．
又∵△ACG的内角和为180°，
∴∠AGC=180°-(∠1+∠2)=180°-90°=90°，
∴AB⊥CD．
∴两条平行线的同旁内角的角平分线互相垂直，正确，是真命题；
⑤如果，那么，正确，是真命题．
故答案为：②④⑤．
【点睛】
此题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的定义、性质定理及判定定理．
十五、填空题
15．（2，2），（-2，）
【分析】
直接利用某个“美丽点”到y轴的距离为2，得出x的值，进而求出y的值求出答案．
【详解】
解：∵某个“美丽点”到y轴的距离为2，
∴x＝±2，
∵x+y＝xy，
∴当
解析：（2，2），（-2，）
【分析】
直接利用某个“美丽点”到y轴的距离为2，得出x的值，进而求出y的值求出答案．
【详解】
解：∵某个“美丽点”到y轴的距离为2，
∴x＝±2，
∵x+y＝xy，
∴当x＝2时，
则y＋2＝2y，
解得：y＝2，
∴点P的坐标为（2，2），
当x＝－2时，
则y－2＝－2y，
解得：y＝，
∴点P的坐标为（－2，），
综上所述：点P的坐标为（2，2）或（－2，）．
故答案为：（2，2）或（－2，）．
【点睛】
此题主要考查了点的坐标，正确分类讨论是解题关键．
十六、填空题
16．（1011，﹣1010）
【分析】
求出A1（1，0），A5（3，﹣2），A9（5，﹣4），A13（7，﹣6），•••，探究规律可得A2021（1011，﹣1010）．
【详解】
解：由题意A1（1
解析：（1011，﹣1010）
【分析】
求出A1（1，0），A5（3，﹣2），A9（5，﹣4），A13（7，﹣6），•••，探究规律可得A2021（1011，﹣1010）．
【详解】
解：由题意A1（1，0），A5（3，﹣2），A9（5，﹣4），A13（7，﹣6），•••，
可以看出，3＝，5＝，7＝，各个点的纵坐标等于横坐标的相反数+1，
故＝1011，
∴A2021（1011，﹣1010），
故答案为：（1011，﹣1010）．
【点评】
本题考查坐标与图形变化平移，规律型问题，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．
十七、解答题
17．（1）1；（2）.
【分析】
（1）先根据绝对值的性质去绝对值符号，再进行加减运算即可；
（2）先根据算术平方根、立方根的性质化简，再进行加减运算即可.
【详解】
解：（1）原式=；
（2）原式=.
解析：（1）1；（2）.
【分析】
（1）先根据绝对值的性质去绝对值符号，再进行加减运算即可；
（2）先根据算术平方根、立方根的性质化简，再进行加减运算即可.
【详解】
解：（1）原式=；
（2）原式=.
【点睛】
本题考查绝对值、算术平方根、立方根的性质，熟练的掌握性质进行运算是解题的关键.
十八、解答题
18．（1）；（2）
【分析】
（1）先移项，再根据平方根的性质开平方即可得；
（2）方程变形后，再根据立方根的性质开立方可得关于x的方程，解之可得．
【详解】
解：（1）
∴
即
（2）
解得，
解析：（1）；（2）
【分析】
（1）先移项，再根据平方根的性质开平方即可得；
（2）方程变形后，再根据立方根的性质开立方可得关于x的方程，解之可得．
【详解】
解：（1）

∴
即
（2）

解得，
【点睛】
本题考查了立方根，平方根，解题的关键是熟练掌握平方根与立方根的性质．
十九、解答题
19．（1）∠BFD；两直线平行，同位角相等；∠BFD；等量代换；内错角相等，两直线平行；（2）70°
【分析】
（1）根据平行线的性质得出∠A＝∠BFD，求出∠BFD＝∠FDE，根据平行线的判定得出即可
解析：（1）∠BFD；两直线平行，同位角相等；∠BFD；等量代换；内错角相等，两直线平行；（2）70°
【分析】
（1）根据平行线的性质得出∠A＝∠BFD，求出∠BFD＝∠FDE，根据平行线的判定得出即可；
（2）根据平行线的性质得出∠A+∠AED＝180°，∠A＝∠BFD，再求出∠AED﹣∠A＝40°，即可求出答案．
【详解】
（1）证明：∵DFAC（已知），
∴∠A＝∠BFD（两直线平行，同位角相等），
∵∠A＝∠FDE（已知），
∴∠FDE＝∠BFD（等量代换），
∴DEAB（内错角相等，两直线平行）；
故答案为：∠BFD；两直线平行，同位角相等；∠BFD；等量代换；内错角相等，两直线平行；
（2）解：∵DFAC，
∴∠A＝∠BFD，
∵∠AED比∠BFD大40°，
∴∠AED﹣∠BFD＝40°，
∴∠AED﹣∠A＝40°，
∴∠AED＝40°+∠A，
∵DEAB，
∴∠A+∠AED＝180°，
∴∠A+40°+∠A＝180°，
∴∠A＝70°，
∴∠BFD＝70°．
【点睛】
本题考查了平行线的性质和判定，能熟练地运用定理进行推理是解此题的关键，注意：平行线的性质有：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然．
二十、解答题
20．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【分析】
（1）直接在平面直角坐标系内描出各点即可；
（2）根据题意确定点 的坐标，然后在平面直角坐标系内描出各点即可；
（3）根据题意确定点 的坐标，然后
解析：（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【分析】
（1）直接在平面直角坐标系内描出各点即可；
（2）根据题意确定点 的坐标，然后在平面直角坐标系内描出各点即可；
（3）根据题意确定点 的坐标，然后在平面直角坐标系内描出各点即可．
【详解】
解：（1）如图 ，

（2）∵点在轴上，位于原点右侧，距离原点2个单位长度，
∴点 ；
（3）点在轴下方，轴左侧，距离每条坐标轴都是3个单位长度，
∴点 ．
【点睛】
本题主要考查了平面直角坐标系内点的坐标，正确把握点的坐标的性质是解题的关键．
二十一、解答题
21．（1）；（2）1
【分析】
（1）分析图形得到大正方形的面积，从而得到边长a；
（2）估算出a的范围，得到整数部分和小数部分，代入计算即可．
【详解】
解：（1）由题意可得：
，
∵a＞0，
∴；
解析：（1）；（2）1
【分析】
（1）分析图形得到大正方形的面积，从而得到边长a；
（2）估算出a的范围，得到整数部分和小数部分，代入计算即可．
【详解】
解：（1）由题意可得：
，
∵a＞0，
∴；
（2）∵，
∴，
∴m=2，n=，
∴
=
=
=
=1
【点睛】
本题考查了算术平方根的应用，无理数的估算，解题的关键是能估算出的范围．
二十二、解答题
22．（1）；（2）不同意，理由见解析
【分析】
（1）设正方形边长为，根据两块纸片面积相等列出方程，再根据算术平方根的意义即可求出x的值；
（2）根据两个正方形纸片的面积计算出两个正方形的边长，计算两个
解析：（1）；（2）不同意，理由见解析
【分析】
（1）设正方形边长为，根据两块纸片面积相等列出方程，再根据算术平方根的意义即可求出x的值；
（2）根据两个正方形纸片的面积计算出两个正方形的边长，计算两个正方形边长的和，并与3比较即可解答．
【详解】
解：（1）设正方形边长为，则，由算术平方根的意义可知，
所以正方形的边长是．
（2）不同意．
因为：两个小正方形的面积分别为和，则它们的边长分别为和．，即两个正方形边长的和约为，
所以，即两个正方形边长的和大于长方形的长，
所以不能在长方形纸片上截出两个完整的面积分别为和的正方形纸片．
【点睛】
本题考查了算术平方根的应用，解题的关键是读懂题意并熟知算术平方根的概念．
二十三、解答题
23．（1）；（2）见解析；（3）105°
【分析】
（1）通过平行线性质和直角三角形内角关系即可求解．
（2）过点B作BG∥DM，根据平行线找角的联系即可求解．
（3）利用（2）的结论，结合角平分线性质
解析：（1）；（2）见解析；（3）105°
【分析】
（1）通过平行线性质和直角三角形内角关系即可求解．
（2）过点B作BG∥DM，根据平行线找角的联系即可求解．
（3）利用（2）的结论，结合角平分线性质即可求解．
【详解】
解：（1）如图1，设AM与BC交于点O,∵AM∥CN，
∴∠C＝∠AOB，
∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
∴∠A＋∠AOB＝90°，
∠A＋∠C＝90°，
故答案为：∠A＋∠C＝90°；
（2）证明：如图2，过点B作BG∥DM，

∵BD⊥AM，
∴DB⊥BG，
∴∠DBG＝90°，
∴∠ABD＋∠ABG＝90°，
∵AB⊥BC，
∴∠CBG＋∠ABG＝90°，
∴∠ABD＝∠CBG，
∵AM∥CN，
∴∠C＝∠CBG，
∴∠ABD＝∠C；
（3）如图3，过点B作BG∥DM，

∵BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，
∴∠DBF＝∠CBF，∠DBE＝∠ABE，
由（2）知∠ABD＝∠CBG，
∴∠ABF＝∠GBF，
设∠DBE＝α，∠ABF＝β，
则∠ABE＝α，∠ABD＝2α＝∠CBG，
∠GBF＝∠AFB＝β，
∠BFC＝3∠DBE＝3α，
∴∠AFC＝3α＋β，
∵∠AFC＋∠NCF＝180°，∠FCB＋∠NCF＝180°，
∴∠FCB＝∠AFC＝3α＋β，
△BCF中，由∠CBF＋∠BFC＋∠BCF＝180°得：2α＋β＋3α＋3α＋β＝180°，
∵AB⊥BC，
∴β＋β＋2α＝90°，
∴α＝15°，
∴∠ABE＝15°，
∴∠EBC＝∠ABE＋∠ABC＝15°＋90°＝105°．
故答案为：105°．
【点睛】
本题考查平行线性质，画辅助线，找到角的和差倍分关系是求解本题的关键．
二十四、解答题
24．（1）∠PAF＋∠PBN＋∠APB＝360°；（2）①，见解析；②或
【分析】
（1）作PC∥EF，如图1，由PC∥EF，EF∥MN得到PC∥MN，根据平行线的性质得∠PAF＋∠APC＝180°，∠
解析：（1）∠PAF＋∠PBN＋∠APB＝360°；（2）①，见解析；②或
【分析】
（1）作PC∥EF，如图1，由PC∥EF，EF∥MN得到PC∥MN，根据平行线的性质得∠PAF＋∠APC＝180°，∠PBN＋∠CPB＝180°，即有∠PAF＋∠PBN＋∠APB＝360°；
（2）①过P作PE∥AD交ON于E，根据平行线的性质，可得到，，于是；
②分两种情况：当P在OB之间时；当P在OA的延长线上时，仿照①的方法即可解答．
【详解】
解：（1）∠PAF＋∠PBN＋∠APB＝360°，理由如下：
作PC∥EF，如图1，

∵PC∥EF，EF∥MN，
∴PC∥MN，
∴∠PAF＋∠APC＝180°，∠PBN＋∠CPB＝180°，
∴∠PAF＋∠APC+∠PBN＋∠CPB＝360°,
∴∠PAF＋∠PBN＋∠APB＝360°；
（2）①，

理由如下：如答图，过P作PE∥AD交ON于E，
∵AD∥BC，
∴PE∥BC，
∴，，
∴
②当P在OB之间时，，理由如下：

如备用图1，过P作PE∥AD交ON于E，
∵AD∥BC，
∴PE∥BC，
∴，，
∴；
当P在OA的延长线上时，，理由如下：
如备用图2，过P作PE∥AD交ON于E，
∵AD∥BC，
∴PE∥BC，
∴，，
∴；
综上所述，∠CPD，∠α，∠β之间的数量关系是或.
【点睛】
本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补．难点是分类讨论作平行辅助线．
二十五、解答题
25．（1）①115°；110°；②；理由见解析；（2）；理由见解析
【分析】
（1）①若∠BAC=100°，∠C=30°，由三角形内角和定理求出∠B=50°，由平行线的性质得出∠EDB=∠C=30°，由
解析：（1）①115°；110°；②；理由见解析；（2）；理由见解析
【分析】
（1）①若∠BAC=100°，∠C=30°，由三角形内角和定理求出∠B=50°，由平行线的性质得出∠EDB=∠C=30°，由角平分线定义得出，，由三角形的外角性质得出∠DGF=100°，再由三角形的外角性质即可得出结果；若∠B=40°，则∠BAC+∠C=180°-40°=140°，由角平分线定义得出，，由三角形的外角性质即可得出结果；
②由①得：∠EDB=∠C，，，由三角形的外角性质得出∠DGF=∠B+∠BAG，再由三角形的外角性质即可得出结论；
（2）由（1）得：∠EDB=∠C，，,由三角形的外角性质和三角形内角和定理即可得出结论．
【详解】
（1）①若∠BAC=100°，∠C=30°，
则∠B=180°-100°-30°=50°，
∵DE∥AC，
∴∠EDB=∠C=30°，
∵AG平分∠BAC，DF平分∠EDB，
∴，，
∴∠DGF=∠B+∠BAG=50°+50°=100°，
∴∠AFD=∠DGF+∠FDG=100°+15°=115°；
若∠B=40°，则∠BAC+∠C=180°-40°=140°，
∵AG平分∠BAC，DF平分∠EDB，
∴，，
∵∠DGF=∠B+∠BAG，
∴∠AFD=∠DGF+∠FDG=∠B+∠BAG+∠FDG
=

故答案为：115°；110°；
②；
理由如下：由①得：∠EDB=∠C，，，
∵∠DGF=∠B+∠BAG，
∴∠AFD=∠DGF+∠FDG
=∠B+∠BAG+∠FDG
=

；
（2）如图2所示：；
理由如下：
由（1）得：∠EDB=∠C，，，
∵∠AHF=∠B+∠BDH，
∴∠AFD=180°-∠BAG-∠AHF

．
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理、三角形的外角性质、平行线的性质等知识；熟练掌握三角形内角和定理和三角形的外角性质是解题的关键．