资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．如图，正方形的边长为，点在边上．四边形也为正方形，设的面积为，则（ ）
A．S=2 B．S=2.4
C．S=4 D．S与BE长度有关
2．把二次函数y=2x2的图象向右平移3个单位，再向上平移2个单位后的函数关系式是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC垂足为F，交BC于点E，BE=2EC，连接AE．则tan∠CAE的值为（ ）
A． B． C． D．
4．在正方形、矩形、菱形、平行四边形中，其中是中心对称图形的个数为（ ）
A． B． C． D．
5．已知⊙O的半径为1,点P到圆心的距离为d，若关于x的方程x-2x+d=0有实数根,则点P ( )
A．在⊙O的内部 B．在⊙O的外部 C．在⊙O上 D．在⊙O上或⊙O内部
6．某商品原价为180元，连续两次提价后售价为300元，设这两次提价的年平均增长率为x，那么下面列出的方程正确的是（ ）
A．180（1+x）＝300 B．180（1+x）2＝300
C．180（1﹣x）＝300 D．180（1﹣x）2＝300
7．我们把宽与长的比等于黄金比的矩形称为黄金矩形.如图，在黄金矩形中，的平分线交边于点，于点，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
8．下面四组线段中不能成比例线段的是（ ）
A．、、、 B．、、、 C．、、、 D．、、、
9．如图是一个正八边形，向其内部投一枚飞镖，投中阴影部分的概率是（ ）
A． B． C． D．
10．将抛物线向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
11．小丽参加学校“庆元旦，迎新年演唱比赛，赛后小丽把七位评委所合的分数进行处理，得到平均数、中位数，众数，方差，如果把这七个数据去掉一个最高分和一个最低分，则数据一定不发发生变化的是 （ ）
A．平均数 B．众数 C．方差 D．中位数
12．在单词probability（概率）中任意选择一个字母，选中字母“i”的概率是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题4分，共24分）
13．方程2x2-x=0的根是______.
14．如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部（点O）20米的A处，则小明的影子AM长为 米．
15．计算：sin45°·cos30°+3tan60°= _______________.
16．如图，△ABC与△DEF均为等边三角形，O为BC、EF的中点，则AD：BE的值为________．
17．如图，BA,BC是⊙O的两条弦，以点B为圆心任意长为半径画弧，分别交BA,BC于点M,N：分别以点M,N为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于点P，连接BP并延长交于点D；连接OD,OC．若，则等于__________.
18．一个密码箱的密码，每个数位上的数都是从0到9的自然数，若要使一次拨对的概率小于，则密码的位数至少要设置___位．
三、解答题（共78分）
19．（8分）有甲乙两个不透明的布袋，甲布袋装有个形状和重量完全相同的小球，分别标有数字和；乙布袋装有个形状和重量完全相同的小球，分别标有数字，和．先从甲布袋中随机取出一个小球，将小球上标有的数字记作；再从乙布袋中随机取出一个小球，再将小球标有的数字记作．
（1）用画树状图或列表法写出两次摸球的数字可能出现的所有结果；
（2）若从甲、乙两布袋中取出的小球上面的数记作点的坐标，求点在一次函数图象上的概率是多少？
20．（8分）某学校为了了解名初中毕业生体育考试成绩的情况（满分分，得分为整数），从中随机抽取了部分学生的体育考试成绩，制成如下图所示的频数分布直方图.已知成绩在这一组的频率为.请回答下列问题：
（1）在这个调查中，样本容量是______________；平均成绩是_________________；
（2）请补全成绩在这一组的频数分布直方图；
（3）若经过两年的练习，该校的体育平均成绩提高到了分，求该校学生体育成绩的年平均增长率.
21．（8分）如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于两点，且点的横坐标为 .
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求点的坐标.
22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三点，点P是直线BC下方抛物线上一动点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）是否存在点P，使△POC是以OC为底边的等腰三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；
（3）动点P运动到什么位置时，△PBC面积最大，求出此时P点坐标和△PBC的最大面积．
23．（10分）长城公司为希望小学捐赠甲、乙两种品牌的体育器材，甲品牌有A、B、C三种型号，乙品牌有D、E两种型号，现要从甲、乙两种品牌的器材中各选购一种型号进行捐赠．
（1）写出所有的选购方案（用列表法或树状图）；
（2）如果在上述选购方案中，每种方案被选中的可能性相同，那么A型器材被选中的概率是多少．
24．（10分）某公司研制出新产品，该产品的成本为每件2400元．在试销期间，购买不超过10件时，每件销售价为3000元；购买超过10件时，每多购买一件，所购产品的销售单价均降低5元，但最低销售单价为2600元。请解决下列问题：
（1）直接写出：购买这种产品 ________件时，销售单价恰好为2600元；
（2）设购买这种产品x件(其中x>10，且x为整数)，该公司所获利润为y元，求y与x之间的函数表达式；
（3）该公司的销售人员发现：当购买产品的件数超过10件时，会出现随着数量的增多，公司所获利润反而减少这一情况．为使购买数量越多，公司所获利润越大，公司应将最低销售单价调整为多少元？(其它销售条件不变)
25．（12分）如图，已知点在反比例函数的图像上．
（1）求a的值；
（2）如果直线y=x+b也经过点A，且与x轴交于点C，连接AO，求的面积．
26．已知二次函数与轴交于、（在的左侧）与轴交于点，连接、.
（1）如图1，点是直线上方抛物线上一点，当面积最大时，点分别为轴上的动点，连接、、，求的周长最小值；
（2）如图2，点关于轴的对称点为点，将抛物线沿射线的方向平移得到新的拋物线，使得交轴于点（在的左侧）. 将绕点顺时针旋转至. 抛物线的对称轴上有—动点，坐标系内是否存在一点，使得以、、、为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由.
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、A
【分析】连接FB，根据已知可得到⇒△ABC与△AFC是同底等高的三角形，由已知可求得△ABC的面积为大正方形面积的一半，从而不难求得S的值．
【详解】解：连接FB，
∵四边形EFGB为正方形
∴∠FBA＝∠BAC＝45°，
∴FB∥AC，
∴△ABC与△AFC是同底等高的三角形，
∵2S△ABC＝S正ABCD，S正ABCD＝2×2＝4，
∴S＝2
故选A．
【点睛】
本题利用了正方形的性质，内错角相等，两直线平行的判定方法，及同底等高的三角形的面积相等的性质求解．
2、A
【解析】将二次函数的图象向右平移3个单位，再向上平移2个单位后的函数关系式为：.
故选A.
3、C
【分析】证明△AFD∽△CFE，得出，由△CFE∽△DFC，得出，设EF=x，则DE=3x，再由三角函数定义即可得出答案．
【详解】解： 设EC=x，∵BE=2EC=2x，∴BC=BE+CE=3x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=3x，AD∥EC，
∴△AFD∽△CFE，
∴ ，
，设CF=n，设EF=m，
∴DF=3EF=3m，AF=3CF=3n，
∵△ECD是直角三角形，，
∴△CFE∽△DFC，
∴，
∴，即，
∴，∵，
∴tan∠CAE=，
故选：C．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，三角函数等知识；熟练掌握矩形的性质，证明三角形相似是解题的关键．
4、D
【解析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可直接选出答案．
【详解】在正方形、矩形、菱形、平行四边形中，其中都是中心对称图形，故共有个中心对称图形．
故选D．
【点睛】
本题考查了中心对称图形，正确掌握中心对称图形的性质是解题的关键．
5、D
【分析】先根据条件x 2 -2x+d=0有实根得出判别式大于或等于0，求出d的范围，进而得出d与r的数量关系，即可判断点P和⊙O的关系..
【详解】解：∵关于x的方程x 2 -2x+d=0有实根，
∴根的判别式△=（-2） 2 -4×d≥0，
解得d≤1，
∵⊙O的半径为r=1,
∴d≤r
∴点P在圆内或在圆上.
故选：D.
【点睛】
本题考查了点和圆的位置关系，由点到圆心的距离和半径的数量关系对点和圆的位置关系作出判断是解答此题的重要途径，即当d>r时，点在圆外，当d=r时，点在圆上，当d<r时，点在圆内.
6、B
【分析】本题可先用x表示出第一次提价后商品的售价，再根据题意表示出第二次提价后的售价，然后根据已知条件得到关于x的方程．
【详解】当商品第一次提价后，其售价为：180（1+x）；
当商品第二次提价后，其售价为：180（1+x）1．
∴180（1+x）1＝2．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的应用，要根据题意表示出第一次提价后商品的售价，再根据题意列出第二次提价后售价的方程，令其等于2即可．
7、C
【分析】设，则，根据黄金矩形的概念结合图形计算，据此判断即可．
【详解】因为矩形宽与长的比等于黄金比，
因此，设，则，
则选项A.，B.，D.正确，
C.选项中等式， ，
∴；
故选：C.
【点睛】
本题考查的是黄金分割、矩形的性质，掌握黄金比值为是解题的关键．
8、B
【分析】根据成比例线段的概念，对选项进行一一分析，即可得出答案．
【详解】A．2×6=3×4，能成比例；
B．4×10≠5×6，不能成比例；
C．1×=×，能成比例；
D．2×=×，能成比例．
故选B．
【点睛】
本题考查了成比例线段的概念．在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段．
9、B
【分析】根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．根据正八边形性质求出阴影部分面积占总面积之比，进而可得到答案
【详解】解：由正八边形性质可知∠EFB=∠FED=135°，故可作出正方形．
则是等腰直角三角形，设，则，，正八边形的边长是．
则正方形的边长是．
则正八边形的面积是：，
阴影部分的面积是：．
飞镖落在阴影部分的概率是，
故选：．
【点睛】
本题考查了几何概率的求法：一般用阴影区域表示所求事件（A）；首先根据题意将代数关系用面积表示出来；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．同时也考查了正多边形的计算，根据正八边形性质构造正方形求面积比是关键．
10、B
【分析】根据函数图象向上平移加，向右平移减，可得函数解析式．
【详解】解：将抛物线向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为：．
故选：B．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与几何变换，函数图象的平移规律是：左加右减，上加下减．
11、D
【分析】根据中位数的定义即位于中间位置或中间两数的平均数可以得到去掉一个最高分和一个最低分不影响中位数进行分析即可．
【详解】解：去掉一个最高分和一个最低分对中位数没有影响，
故选：D．
【点睛】
本题考查统计量的选择，解题的关键是了解中位数的定义，难度较小．
12、A
【解析】字母“i”出现的次数占字母总个数的比即为选中字母“i”的概率.
【详解】解：共有11个字母，每个字母出现的可能性是相同的，字母i出现两次，其概率为．
故选：A．
【点睛】
本题考查简单事件的概率，利用概率公式求解是解答此题的关键.
二、填空题（每题4分，共24分）
13、x1=, x2=0
【分析】利用因式分解法解方程即可.
【详解】2x2-x=0，
x（2x-1）=0，
x=0或2x-1=0，
∴x1=， x2=0.
故答案为x1=， x2=0.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解法-因式分解法，熟练运用因式分解法将方程化为x（2x-1）=0是解决问题的关键.
14、1．
【解析】根据题意，易得△MBA∽△MCO，
根据相似三角形的性质可知，即，解得AM=1．
∴小明的影长为1米．
15、
【分析】先求出各个特殊角度的三角函数值，然后计算即可
【详解】∵
∴原式=
故答案为
【点睛】
本题考查特殊角度的三角函数值，熟记特殊角度的三角函数值是解题的关键。
16、
【详解】连接OA、OD，
∵△ABC与△DEF均为等边三角形，O为BC、EF的中点，
∴AO⊥BC，DO⊥EF，∠EDO=30°，∠BAO=30°，
∴OD：OE=OA：OB=：1，
∵∠DOE+∠EOA=∠BOA+∠EOA ，即∠DOA=∠EOB，
∴△DOA∽△EOB，
∴OD：OE=OA：OB=AD：BE=：1=，
故答案为
考点：1.相似三角形的判定与性质；2.等边三角形的性质
17、
【分析】根据作图描述可知BD平分∠ABC，然后利用同弧所对的圆周角是圆心角的一半可求出∠CBD的度数，由∠ABD=∠CBD即可得出答案.
【详解】根据作图描述可知BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD
∵∠COD=70°
∴∠BCD=∠COD=35°
∴∠ABD=35°
故答案为：35°.
【点睛】
本题考查了角平分线的作法，圆周角定理，判断出BD为角平分线，熟练掌握同弧所对的圆周角是圆心角的一半是解题的关键.
18、1．
【分析】分别求出取一位数、两位数、三位数、四位数时一次就拨对密码的概率，再根据所在的范围解答即可．
【详解】因为取一位数时一次就拨对密码的概率为；
取两位数时一次就拨对密码的概率为；
取三位数时一次就拨对密码的概率为；
取四位数时一次就拨对密码的概率为．
故一次就拨对的概率小于，密码的位数至少需要1位．
故答案为1．
【点睛】
本题考查概率的求法与运用，一般方法为：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
三、解答题（共78分）
19、（1）（1，﹣1），（1，0），（1，﹣3），（2，﹣1），（2，0），（2，﹣3）；（2）
【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果；
（2）由（1）可求得点（x，y）在一次函数y=-2x+1图象上的情况，然后直接利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】解：（1）画树状图得：
则点可能出现的所有坐标：
（1，﹣1），（1，0），（1，﹣3），（2，﹣1），（2，0），（2，﹣3）；
（2）∵在所有的6种等可能结果中，落在y=﹣2x+1图象上的有
（1，﹣1）、（2，﹣3）两种结果，
∴点（x，y）在一次函数y=﹣2x+1图象上的概率是
【点睛】
本题考查了列表法和树状图法求概率，一次函数图象上点的坐标特征，正确的画出树状图是解题的关键．
20、（1），分；（2）见解析；（3）.
【分析】（1）根据样本容量的定义和平均数的求法答题即可；
（2）计算出21.5至24.5这一组的频数后，再补全分布直方图；
（3）设年平均增长率为，列出一元二次方程求解即可.
【详解】（1）样本容量：;
总成绩平均成绩分
（2）∵组别人数人
∴补全频数分布直方图如下：
（3）设年平均增长率为，由题意得
解得，（不符合题意，舍去）.
两年的年平均增长率为
答：该校学生体育成绩的年平均增长率为10%.
【点睛】
本题考查了读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力，利用统计图获取信息时，必需认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题，同时还考查了一元二次方程的应用.
21、（1）反比例函数的解析式是y=；（2）（﹣1，﹣6）．
【分析】（1）把x=3代入一次函数解析式求得A的坐标，利用待定系数法求得反比例函数解析式；
（2）解一次函数与反比例函数解析式组成的方程组求得B的坐标．
【详解】（1）把x=3代入y=2x﹣4得y=6﹣4=2，
则A的坐标是（3，2）．
把（3，2）代入y=得k=6，
则反比例函数的解析式是y=；
（2）根据题意得2x﹣4=，
解得x=3或﹣1，
把x=﹣1代入y=2x﹣4得y=﹣6，则B的坐标是（﹣1，﹣6）．
考点：反比例函数与一次函数的交点问题．
22、（1）y=x2﹣3x﹣4；（2）存在，P（，﹣2）；（3）当P点坐标为（2，﹣6）时，△PBC的最大面积为1．
【详解】试题分析：（1）由A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）由题意可知点P在线段OC的垂直平分线上，则可求得P点纵坐标，代入抛物线解析式可求得P点坐标；（3）过P作PE⊥x轴，交x轴于点E，交直线BC于点F，用P点坐标可表示出PF的长，则可表示出△PBC的面积，利用二次函数的性质可求得△PBC面积的最大值及P点的坐标．
试题解析：（1）设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，
把A、B、C三点坐标代入可得，解得，
∴抛物线解析式为y=x2﹣3x﹣4；
（2）作OC的垂直平分线DP，交OC于点D，交BC下方抛物线于点P，如图1，
∴PO=PD，此时P点即为满足条件的点，∵C（0，﹣4），∴D（0，﹣2），∴P点纵坐标为﹣2，
代入抛物线解析式可得x2﹣3x﹣4=﹣2，解得x=（小于0，舍去）或x=，
∴存在满足条件的P点，其坐标为（，﹣2）；
（3）∵点P在抛物线上，∴可设P（t，t2﹣3t﹣4），
过P作PE⊥x轴于点E，交直线BC于点F，如图2，
∵B（4，0），C（0，﹣4），∴直线BC解析式为y=x﹣4，∴F（t，t﹣4），
∴PF=（t﹣4）﹣（t2﹣3t﹣4）=﹣t2+4t，
∴S△PBC=S△PFC+S△PFB=PF•OE+PF•BE=PF•（OE+BE）=PF•OB=（﹣t2+4t）×4=﹣2（t﹣2）2+1，∴当t=2时，S△PBC最大值为1，此时t2﹣3t﹣4=﹣6，
∴当P点坐标为（2，﹣6）时，△PBC的最大面积为1．
考点：二次函数综合题．
23、（1）答案见解析；（2）
【分析】（1）画出树状图即可；
（2）根据树状图可以直观的得到共有6种情况，选中A的情况有2种，进而得到概率．
【详解】解：（1）如图所示：
（2）所有的情况有6种，
A型器材被选中情况有2种中，
概率是．
【点睛】
本题考查概率公式，即如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
24、（1）90；（2）；（3）公司应将最低销售单价调整为2725元．
【分析】（1）设购买产品x件，因为销售单间2600元，所以一定超过10件，根据题意列方程可解；
（2）分10<x≤90，x>90两种情况讨论，由利润=（销售单价-成本单价）×件数列出函数关系；（3）由（2）的函数关系式，利用函数的性质求出最大值，并求出最大值时x的值，可确定销售单价。
【详解】（1）设购买产品x件，根据题意列方程3000-5(x-10)=2600，解得x=90。所以购买这种产品 90件时，销售单价恰好为2600元.
（2）解：当10<x≤90时，y=[3000-5(x-10)-2400]·x=-5x2+650x，
当x>90时，y=(2600-2400)·x=200x，
即
（3）解：因为要满足购买数量越多，所获利润越大，所以ν随x增大而增大
函数y=200x是y随x增大而增大，
而函数y=-5x2+650x=-5(x-65)2+21125，
当10≤x≤65时，y随x增大而增大，当65<x≤90时，y随x增大而减小，
若一次购买65件时，设置为最低售价，则可避免y随x增大而减小的情况发生，故
当x=65时，设置最低售价为3000-5×(65-10)=2725(元)，
答：公司应将最低销售单价调整为2725元．
【点睛】
本题考察分段函数的实际应用，需要熟练掌握根据题意列一次函数与二次函数，并根据函数性质求最值。
25、（1）2；（2）1
【分析】（1）将A坐标代入反比例函数解析式中，即可求出a的值；
（2）由（1）求出的a值，确定出A坐标，代入直线解析式中求出b的值，令直线解析式中y=0求出x的值，确定出OC的长，△AOC以OC为底，A纵坐标为高，利用三角形面积公式求出即可．
【详解】（1）将A(1，a)代入反比例解析式得：；
（2）由a=2，得到A(1，2)，代入直线解析式得：1+b=2，
解得：b=1，即直线解析式为y=x+1，
令y=0，解得：x=-1，
即C(-1，0)，OC=1，
则S△AOC=×1×2=1．
【点睛】
此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，涉及的知识有：坐标与图形性质，待定系数法确定函数解析式，三角形的面积求法，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
26、（1）；（1）存在，理由见解析；，，，，
【分析】（1）利用待定系数法求出A，B，C的坐标，如图1中，作PQ∥y轴交BC于Q，设P，则Q，构建二次函数确定点P的坐标，作P关于y轴的对称点P1（-2，6），作P关于x轴的对称点P1（2，-6），的周长最小，其周长等于线段的长，由此即可解决问题．
（1）首先求出平移后的抛物线的解析式，确定点H，点C′的坐标，分三种情形，当OC′=C′S时，可得菱形OC′S1K1，菱形OC′S1K1．当OC′=OS时，可得菱形OC′K3S3，菱形OC′K2S2．当OC′是菱形的对角线时，分别求解即可解决问题．
【详解】解：（1）如图，，
过点作轴平行线，交线段于点，
设，
=-（m1-2）1+2，
∵，
∴m=2时，△PBC的面积最大，此时P（2，6）
作点关于轴的对称点，点关于轴的对称点，连接交轴、轴分别为，
此时的周长最小，其周长等于线段的长；
∵，
∴.
（1）如图，
∵E（0，-2），平移后的抛物线经过E，B，
∴抛物线的解析式为y=-x1+bx-2，把B（8，0）代入得到b=2，
∴平移后的抛物线的解析式为y=-x+2x-2=-（x-1）（x-8），
令y=0，得到x=1或8，
∴H（1，0），
∵△CHB绕点H顺时针旋转90°至△C′HB′，
∴C′（6，1），
当OC′=C′S时，可得菱形OC′S1K1，菱形OC′S1K1，
∵OC′=C′S==1，
∴可得S1（5，1-），S1（5，1+），
∵点C′向左平移一个单位，向下平移得到S1，
∴点O向左平移一个单位，向下平移个单位得到K1，
∴K1（-1，-），同法可得K1（-1，），
当OC′=OS时，可得菱形OC′K3S3，菱形OC′K2S2，
同法可得K3（11，1-），K2（11，1+），
当OC′是菱形的对角线时，设S5（5，m），则有51+m1=11+（1-m）1，
解得m=-5，
∴S5（5，-5），
∵点O向右平移5个单位，向下平移5个单位得到S5，
∴C′向上平移5个单位，向左平移5个单位得到K5，
∴K5（1，7），
综上所述，满足条件的点K的坐标为（-1，-）或（-1，）或（11，1-）或（11，1+）或（1，7）．
【点睛】
本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，平移变换，翻折变换，菱形的判定和性质，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，学会用分类讨论的思想思考问题.
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