资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．某简易房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，则坡屋顶上弦杆AB的长为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
2．已知正多边形的一个内角是135°，则这个正多边形的边数是（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
3．一元二次方程的一次项系数和常数项依次是( )
A．-1和1 B．1和1 C．2和1 D．0和1
4．如图，与相似，且，则下列比例式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．已知半径为5的圆，其圆心到直线的距离是3，此时直线和圆的位置关系为（ ）．
A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定
6．如图，传送带和地面成一斜坡，它把物体从地面送到离地面5米高的地方，物体所经过路程是13米，那么斜坡的坡度为（ ）
A．1：2.6 B．1: C．1：2.4 D．1:
7．将抛物线先向上平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度可得抛物线（ ）
A． B．
C． D．
8．如图．已知的半径为3，，点为上一动点．以为边作等边，则线段的长的最大值为（ ）
A．9 B．11 C．12 D．14
9．在同一时刻，身高1.6m的小强在阳光下的影长为0.8m，一棵大树的影长为4.8m，则树的高度为（ ）
A．4.8m B．6.4m C．9.6m D．10m
10．若函数其几对对应值如下表，则方程（，，为常数）根的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．1或2
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．圆锥的底面半径是4，母线长是9，则它的侧面展开图的圆心角的度数为______ ．
12．将半径为12，圆心角为的扇形围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的底面圆的半径为____．
13．一种药品原价每盒25元，两次降价后每盒16元．设两次降价的百分率都为x，可列方程________．
14．某一时刻，测得身高1.6的同学在阳光下的影长为2.8，同时测得教学楼在阳光下的影长为25.2，则教学楼的高为__________.
15．把一个小球以20米/秒的速度竖直向上弹出，它在空中的高度h（米）与时间t（秒），满足关系：h=20t-5t2，当小球达到最高点时，小球的运动时间为第_________秒时．
16．已知三点A（0，0），B（5，12），C（14，0），则△ABC内心的坐标为____．
17．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的
位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE=40cm，EF=20cm，测得边DF离地面的高度AC=1.5 m，CD=8 m，则树高AB= ▲ ．
18．三角形的两边长分别是3和4，第三边长是方程x2﹣13x+40=0的根，则该三角形的周长为 ．
三、解答题(共66分)
19．（10分）某超市销售一种商品，成本每千克30元，规定每千克售价不低于成本，且不高于70元，经市场调查，每天的销售量y（千克）与每千克售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表：
售价x（元/千克）
40
50
60
销售量y（千克）
100
80
60
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）设商品每天的总利润为W（元），求W与x之间的函数表达式（利润=收入−成本）；
（3）试说明（2）中总利润W随售价x的变化而变化的情况，并指出售价为多少元时获得最大利润，最大利润是多少？
20．（6分）欢欢放学回家看到桌上有三个礼包，是爸爸送给欢欢和姐姐的礼物，其中礼包是芭比娃娃，和礼包都是智能对话机器人.这些礼包用外表一样的包装盒装着，看不到里面的礼物.
（1）欢欢随机地从桌上取出一个礼包，取出的是芭比娃娃的概率是多少？
（2）请用树状图或列表法表示欢欢随机地从桌上取出两个礼包的所有可能结果，并求取出的两个礼包都是智能对话机器人的概率.
21．（6分）甲、乙、丙、丁4位同学进行一次乒乓球单打比赛，要从中选出两位同学打第一场比赛．
（1）若已确定甲打第一场，再从其余3位同学中随机选取1位，则恰好选中乙同学的概率是 ．
（2）请用画树状图或列表的方法，求恰好选中甲、乙两位同学的概率．
22．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，连接对角线AC，延长AB至点E，使，连接DE，分别交BC，AC交于点F，G．
(1)求证：；
(2)若，，求FG的长．
23．（8分）如图，为的直径，、为上两点，且点为的中点，过点作的垂线，交的延长线于点，交的延长线于点.
（1）求证：是的切线；
（2）当，时，求的长.
24．（8分）如图，抛物线与轴交于，两点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若抛物线交轴于点，在该抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由
25．（10分）先化简，再求值：，其中.
26．（10分）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为（6,4），（4,0），（2,0）.
（1）在轴左侧，以为位似中心，画出，使它与的相似比为1:2；
（2）根据（1）的作图，= .
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、B
【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后利用锐角三角函数即可表示出AB的长．
【详解】解：作AD⊥BC于点D，
则BD＝＋0.3＝，
∵cosα＝，
∴cosα＝，
解得，AB＝米，
故选B．
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用、轴对称图形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
2、D
【分析】根据正多边形的一个内角是135°，则知该正多边形的一个外角为45°，再根据多边形的外角之和为360°，即可求出正多边形的边数．
【详解】解：∵正多边形的一个内角是135°，
∴该正多边形的一个外角为45°，
∵多边形的外角之和为360°，
∴边数＝，
∴这个正多边形的边数是1．
故选：D．
【点睛】
本题考查了正多边形的内角和与外角和的知识，知道正多边形的外角之和为360°是解题关键．
3、A
【分析】找出2x2-x+1的一次项-x、和常数项+1，再确定一次项的系数即可．
【详解】2x2-x+1的一次项是-x，系数是-1，常数项是1．
故选A.
【点睛】
本题考查一元二次方程的一般形式．
4、D
【分析】利用相似三角形性质：对应角相等、对应边成比例，可得结论.
【详解】由题意可得，，所以，
故选D.
【点睛】
在书写两个三角形相似时，注意顶点的位置要对应，即若，则说明点A的对应点为点，点B的对应点，点C的对应点为点.
5、C
【解析】试题分析：半径r=5，圆心到直线的距离d=3，∵5＞3，即r＞d，∴直线和圆相交，故选C．
【考点】直线与圆的位置关系．
6、C
【解析】根据题意作出合适的辅助线，由坡度的定义可知，坡度等于坡角对边与邻边的比值，根据题目中的数据可以得到坡度，本题得以解决．
【详解】如图
据题意得;AB=13、AC=5，
则BC=,
∴斜坡的坡度i=tan∠ABC==1∶2.4,
故选C.
7、A
【分析】根据抛物线平移的规律：上加下减，左加右减，即可得解.
【详解】平移后的抛物线为
故答案为A.
【点睛】
此题主要考查抛物线平移的性质，熟练掌握，即可解题.
8、B
【分析】以OP为边向下作等边△POH，连接AH，根据等边三角形的性质通过“边角边”证明△HPA≌△OPM，则AH=OM，然后根据AH≤OH+AO即可得解.
【详解】解：如图，以OP为边向下作等边△POH，连接AH，
∵△POH，△PAM都是等边三角形，
∴PH=PO，PA=PM，∠PHO=∠APM=60°，
∴∠HPA=∠OPM，
∴△HPA≌△OPM（SAS），
∴AH=OM，
∵AH≤OH+AO，即AH≤11，
∴AH的最大值为11，
则OM的最大值为11.
故选B.
【点睛】
本题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质等，解此题的关键在于熟练掌握其知识点，难点在于作辅助线构造等边三角形.
9、C
【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．
【详解】设树高为x米，
所以
x=4.8×2=9.6.
这棵树的高度为9.6米
故选C.
【点睛】
考查相似三角形的应用，掌握同一时刻物高和影长成正比是解题的关键.
10、C
【分析】先根据表格得出二次函数的图象与x轴的交点个数，再根据二次函数与一元二次方程的关系即可得出答案．
【详解】由表格可得，二次函数的图象与x轴有2个交点
则其对应的一元二次方程根的个数为2
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象、二次函数与一元二次方程的关系，掌握理解二次函数的图象特点是解题关键．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、
【分析】首先求得圆锥的底面周长，即扇形的弧长，然后根据弧长的计算公式即可求得圆心角的度数．
【详解】解：圆锥的底面周长是：，
设圆心角的度数是，则，
解得：．
故侧面展开图的圆心角的度数是．
故答案是：．
【点睛】
此题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
12、1
【分析】设圆锥的底面圆的半径为r，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式可得到关于r的方程，然后解方程即可．
【详解】设圆锥的底面圆的半径为r，
根据题意得
解得r=1，即这个圆锥的底面圆的半径为1．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了圆锥的计算，熟练掌握弧长公式，根据扇形的弧长等于圆锥底面的周长建立方程是解题的关键.
13、25(1－x)²＝16
【解析】试题分析：对于增长率和降低率问题的一般公式为：增长前数量×=增长后的数量，降低前数量×=降低后的数量，故本题的答案为：
14、11.1
【分析】根据题意可知，，代入数据可得出答案．
【详解】解：由题意得出：，
即，
解得，教学楼高=11.1．
故答案为：11.1．
【点睛】
本题考查的知识点是相似三角形的应用以及平行投影，熟记同一时刻物高与影长成正比是解此题的关键．
15、1
【解析】h=10t-5t1=-5（t-1）1+10，
∵-5＜0，∴函数有最大值，
则当t=1时，球的高度最高．
故答案为1．
16、（6，4）．
【分析】作BQ⊥AC于点Q，由题意可得BQ=12，根据勾股定理分别求出BC、AB的长，继而利用三角形面积，可得△OAB内切圆半径，过点P作PD⊥AC于D，PF⊥AB于F，PE⊥BC于E，设AD=AF=x，则CD=CE=14-x，BF=13-x，BE=BC-CE=15-（14-x）=1+x，由BF=BE可得13-x=1+x，解之求出x的值，从而得出点P的坐标，即可得出答案．
【详解】解：如图，过点B作BQ⊥AC于点Q，
则AQ=5，BQ=12，
∴AB=，CQ=AC-AQ=9，
∴BC=
设⊙P的半径为r，根据三角形的面积可得：r=
过点P作PD⊥AC于D，PF⊥AB于F，PE⊥BC于E，
设AD=AF=x，则CD=CE=14-x，BF=13-x，
∴BE=BC-CE=15-（14-x）=1+x，
由BF=BE可得13-x=1+x，
解得：x=6，
∴点P的坐标为（6，4），
故答案为：（6，4）．
【点睛】
本题主要考查勾股定理、三角形的内切圆半径公式及切线长定理，根据三角形的内切圆半径公式及切线长定理求出点P的坐标是解题的关键．
17、5.5
【解析】试题分析：在△DEF和△DBC中，，
∴△DEF∽△DBC，
∴=，
即=，
解得BC=4，
∵AC=1.5m，
∴AB=AC+BC=1.5+4=5.5m
考点：相似三角形
18、1．
【解析】试题分析：解方程x2-13x+40=0，（x-5）（x-8）=0，∴x1=5，x2=8，∵3+4=7＜8，∴x=5.∴周长为3+4+5=1.
故答案为1.
考点：1一元二次方程；2三角形.
三、解答题(共66分)
19、（1）y=﹣2x+180；（2）W=﹣2x2+240x﹣5400；（3）当x=60时，W取得最大值，此时W=1．
【分析】（1）待定系数法求解可得；
（2）根据“总利润=每千克利润×销售量”可得函数解析式；
（3）将所得函数解析式配方成顶点式即可得最值情况．
【详解】（1）设y与x之间的函数解析式为y=kx+b，
则 ，
解得k=-2,b=180.
即y与x之间的函数表达式是y=﹣2x+180；
（2）由题意可得，W=（x﹣30）（﹣2x+180）=﹣2x2+240x﹣5400，
即W与x之间的函数表达式是W=﹣2x2+240x﹣5400；
（3）∵W=﹣2x2+240x﹣5400=﹣2（x﹣60）2+1，30≤x≤70，
∴当30≤x≤60时，W随x的增大而增大；
当60≤x≤70时，W随x的增大而减小；
当x=60时，W取得最大值，此时W=1．
【点睛】
考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及二次函数的性质．
20、（1）；（2）
【分析】（1）根据一共三个礼包，芭比娃娃的礼包占一种即可计算概率；
（2）列出所有可能的结果，再找到符合要求的个数，即可得到概率.
【详解】（1）根据题意，可知取出的是芭比娃娃的概率是.
（2）
结果：，，，，，，
由图可知，共有6种等可能的结果，而符合要求的是，两种，
∴取出的两个礼包都是智能机器人的概率是.
【点睛】
本题考查了列表法或树状法求概率，正确列出所有可能结果是解题的关键.
21、（1）；（2）
【分析】（1）确定甲打第一场，再从乙、丙、丁3位同学中随机选取1位，根据概率的性质分析，即可得到答案；
（2）结合题意，根据树状图的性质分析，即可完成求解．
【详解】（1）确定甲打第一场
∴从其余3位同学中随机选取1位，选中乙同学的概率为
故答案为：；
（2）树状图如下：
共有12种情况，所选2名同学中有甲、乙两位同学的有2种结果
∴恰好选中甲、乙两位同学的概率为：．
【点睛】
本题考查了概率的知识；解题的关键是熟练掌握概率定义和树状图的性质，从而完成求解．
22、 (1)证明见解析；(2)FG=2.
【解析】(1)由平行四边形的性质可得，，进而得，根据相似三角形的性质即可求得答案；
(2)由平行四边形的性质可得，进而可得，根据相似三角形的性质即可求得答案.
【详解】(1)四边形ABCD是平行四边形，
，，
，
∴，
∵BE=AB，AE=AB+BE，
，
，
；
(2)四边形ABCD是平行四边形，
，
，
，即，
解得，．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定定理与性质定理是解题的关键.
23、（1）详见解析；（2）.
【分析】（1）连接，如图，由点为的中点可得，根据可得，可得，于是，进一步即可得出，进而可证得结论；
（2）在中，利用解直角三角形的知识可求得半径的长，进而可得AD的长，然后在中利用∠D的正弦即可求出结果.
【详解】解：（1）连接，如图，∵点为的中点，∴，∴.
∵，∴，∴.
∴.
∵，∴.
∴，即.
∴是的切线；
（2）在中，∵，∴设，则，
则，解得：.
∴，，∴.
在中，∵，∴.
【点睛】
本题考查了圆的切线的判定、等腰三角形的性质、平行线的判定和性质以及解直角三角形的知识，属于中档题型，熟练掌握上述知识是解题的关键.
24、（1）；（2）存在，当的周长最小时，点的坐标为．
【分析】（1）直接利用待定系数求出二次函数解析式即可；
（2）首先求出直线BC的解析式，再利用轴对称求最短路线的方法得出答案.
【详解】（1）抛物线与轴交于两点
解得：
该抛物线的解析式为
（2）该抛物线的对称轴上存在点，使得的周长最小．
如解图所示，作点关于抛物线对称轴的对称点，连接，
交对称轴于点，连接，
点关于抛物线对称轴的对称点，且，交对称轴于点
，
的周长为，
为抛物线对称轴上一点，
的周长，
当点处在解图位置时，的周长最小．
在中，当时，，
，
，
抛物线的对称轴为直线，
点是点关于抛物线对称轴直线的对称点，且．
设过点两点的直线的解析式为：，
在直线上，
，解得：，
直线的解析式为：，
抛物线对称轴为直线，且直线与抛物线对称轴交于点，
在中，当时，，
，
在该抛物线的对称轴上存在点，使得的周长最小，当的周长最小时，点的坐标为
【点睛】
此题主要考查了二次函数综合应用以及待定系数法求一次函数、二次函数解析式等知识，能正确理解题意是解题关键．
25、；.
【分析】根据分式的运算法则即可化简，再代入a即可求解.
【详解】解:原式
把代入上式，得:原式
【点睛】
此题主要考查分式的运算，解题的关键是熟知分式运算法则.
26、（1）见解析；（2）-2
【分析】（1）连接AO并延长至，使，同理作出点B，C的对应点，再顺次连接即可；
（2）先根据图象找出三点的坐标，再利用正切函数的定义求解即可．
【详解】（1）如图；
（2）根据题意可得出，，，
设与x轴的夹角为，
∴．
【点睛】
本题考查的知识点是在坐标系中画位似图形，掌握位似图形的关于概念是解此题的关键．
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