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第一章 集合与充要条件第一章集合与充要条件第一章集合与充要条件 第一节第一节第一节第一节集合及其概念集合及其概念集合及其概念集合及其概念 第二节第二节第二节第二节集合的基本运算集合的基本运算集合的基本运算集合的基本运算 第三节第三节第三节第三节充要条件充要条件充要条件充要条件考试要求考试要求考试要求考试要求知识解读知识解读实操演练实操演练巩固练习巩固练习知识解读知识解读实操演练实操演练巩固练习巩固练习知识解读知识解读实操演练实操演练巩固练习巩固练习21理解集合、元素及其关系，理解空集的概念理解集合、元素及其关系，理解空集的概念考试要求考试要求2掌握集合的表示法及子集、真子集、相等之间的关系掌握集合的表示法及子集、真子集、相等之间的关系 3理解交集、并集和补集等运算理解交集、并集和补集等运算4了解充要条件的含义了解充要条件的含义知识解读知识解读知识解读知识解读实操演练实操演练实操演练实操演练巩固练习巩固练习巩固练习巩固练习第一节集合及其概念第一节集合及其概念一、集合的有关概念一、集合的有关概念一、集合的有关概念一、集合的有关概念（一）含义（一）含义（一）含义（一）含义把一些确定的对象看成一个整体就形成了一个把一些确定的对象看成一个整体就形成了一个集合集合知识解读知识解读构成集合的每个对象叫做构成集合的每个对象叫做集合的元素集合的元素一般用大写字母一般用大写字母 表示集合，表示集合，用小写字母用小写字母 表示元素表示元素集合中的元素具有确定性、互异性、无序性三个特征集合中的元素具有确定性、互异性、无序性三个特征（二）元素与集合的关系（二）元素与集合的关系（二）元素与集合的关系（二）元素与集合的关系若若 是集合是集合 的元素，就说的元素，就说 属于属于 ，记作，记作 若若 不是集合不是集合 的元素，就说的元素，就说 不属于不属于 ，记作，记作 .（三）表示法（三）表示法（三）表示法（三）表示法把集合的元素一一列举出来，并用逗号隔开写在大括号内，这种表示集合的方把集合的元素一一列举出来，并用逗号隔开写在大括号内，这种表示集合的方法叫做法叫做列举法列举法一般形式为一般形式为 .把集合中的元素的共同特性描述出来，写在大括号内，这种表示集合的方法叫把集合中的元素的共同特性描述出来，写在大括号内，这种表示集合的方法叫做做描述法描述法一般形式为一般形式为 或或.（四）特殊的集合（四）特殊的集合（四）特殊的集合（四）特殊的集合不含有任何元素的集合叫做不含有任何元素的集合叫做空集空集，用，用表示表示只含有一个元素的集合叫做只含有一个元素的集合叫做单元素集单元素集记为记为.（五）常见数集（五）常见数集（五）常见数集（五）常见数集全体自然数的集合叫做全体自然数的集合叫做自然数集自然数集，常用，常用 表示表示全体整数的集合叫做全体整数的集合叫做整数集整数集，常用，常用 表示表示全体有理数的集合叫做全体有理数的集合叫做有理数集有理数集，常用，常用 表示表示全体实数的集合叫做全体实数的集合叫做实数集实数集，常用，常用 表示表示有时用有时用 表示正实数集，用表示正实数集，用 表示负实数集，表示负实数集，或或 表示非零自然数集表示非零自然数集大家有疑问的，可以询问和交流大家有疑问的，可以询问和交流大家有疑问的，可以询问和交流大家有疑问的，可以询问和交流可以互相讨论下，但要小声点可以互相讨论下，但要小声点可以互相讨论下，但要小声点可以互相讨论下，但要小声点（六）分类（六）分类（六）分类（六）分类含有有限个元素的集合叫做含有有限个元素的集合叫做有限集有限集.含有无限个元素的集合叫做含有无限个元素的集合叫做无限集无限集.二、集合与集合的关系二、集合与集合的关系二、集合与集合的关系二、集合与集合的关系（一）子集（一）子集（一）子集（一）子集如果集合如果集合 的任一个元素都是集合的任一个元素都是集合 中的元素，那么集合中的元素，那么集合 叫做集合叫做集合 的的子子集集记作记作 或或，读作，读作“真包含于真包含于”或或“真包含真包含”由子集的定义可知：由子集的定义可知：；，.（二）真子集（二）真子集（二）真子集（二）真子集如如果果集集合合 是是集集合合 的的子子集集，并并且且 中中至至少少有有一一个个元元素素不不属属于于 ，那那么么集集合合 叫做集合叫做集合 的的真子集真子集记作记作 或或 由真子集的定义可知：由真子集的定义可知：；，（三）集合的相等（三）集合的相等（三）集合的相等（三）集合的相等如果两个集合如果两个集合、的元素完全相同，那么就说这两个的元素完全相同，那么就说这两个集合相等集合相等记作记作 ，读作，读作“等于等于”性质：性质：含有含有 个元素的集合个元素的集合 的所有子集个数为的所有子集个数为 ，真子集个数，真子集个数为为.如：集合如：集合 的子集个数为的子集个数为 ，真子集个数为，真子集个数为 ，非空真子集个数为，非空真子集个数为 评评 析析演示用适当的方法表示下列集合演示用适当的方法表示下列集合演示用适当的方法表示下列集合演示用适当的方法表示下列集合.（1）大于）大于 且小于且小于 的自然数集；的自然数集；（2）绝对值大于）绝对值大于 的数；的数；（3）全体奇数构成的集合；）全体奇数构成的集合；（4）方程组）方程组 的解集的解集实操演练实操演练解解（1）；）；（2）；）；（3）；）；（4）.有限集常用列举法表示，无有限集常用列举法表示，无限集常用描述法表示，用描述法限集常用描述法表示，用描述法表示集合过程中需要注意书写格表示集合过程中需要注意书写格式问题式问题解题方法解题方法练习用描述法表示下列集合练习用描述法表示下列集合练习用描述法表示下列集合练习用描述法表示下列集合.（1 1）绝）绝对值不大于对值不大于 的整数的全体；的整数的全体；（2）不等式）不等式 的解集；的解集；（3）矩形全体构成的集合；）矩形全体构成的集合；（4）方程）方程 的解集的解集.演示用适当的符号填空演示用适当的符号填空演示用适当的符号填空演示用适当的符号填空.（1）；（2）；）；（3）；）；（4）；）；（5）；）；（6）.分析分析（1）因为）因为 为元素，为元素，为集合，所以应填为集合，所以应填；（3）因为）因为 为元素，为元素，为空集，所以应填为为空集，所以应填为；（4）因为，所以；）因为，所以；（2）因为）因为、均为集合，且均为集合，且 的元素都在的元素都在 内，内，且且 中的元素中的元素 不在不在 内，所以应填内，所以应填（6）因为方程）因为方程 的实数解为的实数解为，故故.集合集合 的元素都在的元素都在 内，的元素内，的元素 不在不在 内，所以应内，所以应 .（5）因为方程）因为方程 无实数根，故；无实数根，故；判断元素与集合或集合与集合的关系的常规方法是首先分清是元素与判断元素与集合或集合与集合的关系的常规方法是首先分清是元素与集合关系还是集合与集合关系集合关系还是集合与集合关系如果是元素与集合关系，则关键看元素是否在集合内或满足集合的如果是元素与集合关系，则关键看元素是否在集合内或满足集合的特性特性【如演示如演示1（1）（）（4）】；如果是集合与集合关系，则根据子集、真子集与相等的概念来判断如果是集合与集合关系，则根据子集、真子集与相等的概念来判断【如演示如演示1（2）（）（3）（）（5）（）（6）】.解题方法解题方法练习用适当的符号填空练习用适当的符号填空练习用适当的符号填空练习用适当的符号填空.（1 1）；（2）；）；（3）；）；（4）；）；（5）；（6）演示写出集合演示写出集合演示写出集合演示写出集合 的所有子集和真子集的所有子集和真子集的所有子集和真子集的所有子集和真子集.由子集与真子集的概念可知，除空集外，集合由子集与真子集的概念可知，除空集外，集合 的子集、真子的子集、真子集与非空真子集的元素必需是集与非空真子集的元素必需是，据此按规律写出所有的子集、真，据此按规律写出所有的子集、真子集与非空真子集子集与非空真子集分析分析集合集合 的所有子集为：的所有子集为：，；集合的所有真子集为：集合的所有真子集为：，；集合的所有非空真子集为：集合的所有非空真子集为：解解，.写出有限集合的子集与真子集的常规方法是已知有限集合的部分或全部元写出有限集合的子集与真子集的常规方法是已知有限集合的部分或全部元素组成的新集合即为此有限集合的所有子集，但写出子集的过程中，应从空素组成的新集合即为此有限集合的所有子集，但写出子集的过程中，应从空集开始，分别有规律地选取一个元素、二个元素集开始，分别有规律地选取一个元素、二个元素直到本身为止直到本身为止上述所有子集，除了本身其余的集合即为有限集合的真子集，再除掉空上述所有子集，除了本身其余的集合即为有限集合的真子集，再除掉空集，余下的即为非空真子集集，余下的即为非空真子集解题方法解题方法练习已知：练习已知：练习已知：练习已知：，写出满足条件的所有集合，写出满足条件的所有集合，写出满足条件的所有集合，写出满足条件的所有集合 .1.用适当的方法表示下列集合用适当的方法表示下列集合.（1）大于等于）大于等于 且小于且小于 的整数集；的整数集；（2）绝对值不小于的数；）绝对值不小于的数；（3）全体偶数构成的集合；）全体偶数构成的集合；（4）直角平面坐标中第一象限的点集）直角平面坐标中第一象限的点集2.用适当的符号用适当的符号 填空填空.（1）；（2）；巩固练习巩固练习（3）；（4）；（5）；（6）.3.写出集合满足写出集合满足 的集合的集合 .第二节集合的基本运算第二节集合的基本运算知识解读知识解读知识解读知识解读实操演练实操演练实操演练实操演练巩固练习巩固练习巩固练习巩固练习一、交集一、交集一、交集一、交集对于对于 、两个给定的集合，由既属于两个给定的集合，由既属于 又属于的所有公共元素所构成的集又属于的所有公共元素所构成的集合，叫做合，叫做 、的的交集交集，记作，即，记作，即 .知识解读知识解读由交集的定义可知：由交集的定义可知：；若若 ，则，则 二、并集二、并集二、并集二、并集对于对于 、两个给定的集合，两个给定的集合，把它们所有的元素合并在一起构成的集合把它们所有的元素合并在一起构成的集合，叫做，叫做、的的并集并集，记作，即，记作，即 .由交集的定义可知：由交集的定义可知：；若若 ，则，则 三、补集三、补集三、补集三、补集在研究集合与集合之间的关系时，如果一些集合都是某一给定集合的子集，那在研究集合与集合之间的关系时，如果一些集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为这些集合的么称这个给定的集合为这些集合的全集全集，通常用，通常用 表示表示如果如果 是全集是全集 的一个子集，由的一个子集，由 中的所有不属于中的所有不属于 的元素构成的集合，的元素构成的集合，叫做叫做 在在 中的补集，记作，即中的补集，记作，即 由补集的定义可知：由补集的定义可知：；，为了集合运算简便，常用公式为了集合运算简便，常用公式：；.评析评析演示设全集演示设全集 ，求求 ，.由交集、并集和补集的概由交集、并集和补集的概念来求念来求分析分析实操演练实操演练解解因为因为，所以，所以，又因，又因，所以，所以，或或求数集的交集的常规方法是求两个集合的公共元素；求数集的交集的常规方法是求两个集合的公共元素；求数集的并集的常规方法是求两个集合的所有元素，重求数集的并集的常规方法是求两个集合的所有元素，重复的元素只写一次；复的元素只写一次；求一个集合的补集的常规方法是全集中除了该集合元素求一个集合的补集的常规方法是全集中除了该集合元素所剩余的元素所剩余的元素.解题方法解题方法练习设全集，练习设全集，练习设全集，练习设全集，求；求；求；求；.演示设全集求演示设全集求演示设全集求演示设全集求，.借助数轴可求得集合的交、并、借助数轴可求得集合的交、并、补集补集分析分析解解图图图图图图图图，（如图所示），（如图所示），（如图所示），（如图所示），（如图所示），（如图所示），（如图所示），（如图所示）常利用数轴求不等式的解集的交集、并集与补集常利用数轴求不等式的解集的交集、并集与补集不等式解集的交集就是数轴上表示两个集合的两条不等式解集的交集就是数轴上表示两个集合的两条线重叠覆盖的区间部分；线重叠覆盖的区间部分；不等式解集的并集就是数轴上表示两个集合的所有不等式解集的并集就是数轴上表示两个集合的所有直线覆盖的区间部分；直线覆盖的区间部分；不等式解集的补集就是数轴上无线覆盖的区间部分不等式解集的补集就是数轴上无线覆盖的区间部分.解题方法解题方法在写出交集、并集与补集的过程中需要注意端点是否包括在写出交集、并集与补集的过程中需要注意端点是否包括注意注意练习设全集练习设全集练习设全集练习设全集 ，求求求求 ，及，及，及，及.演示已知全集演示已知全集演示已知全集演示已知全集 ，由补集的性质由补集的性质 可得可得，故，故 且且，即可求出，即可求出 值值分析分析，求，求，求，求.解解首先根据补集的性质（首先根据补集的性质（）及集合相等的概念）及集合相等的概念建立方程或方程组，然后解这个方程或方程组，便可确定集合建立方程或方程组，然后解这个方程或方程组，便可确定集合中未知的元素中未知的元素.解题方法解题方法，解得解得.练习已知全集，练习已知全集，练习已知全集，练习已知全集，求求求求.演示演示演示演示4 4已知集合，已知集合，已知集合，已知集合，求求求求.解解求二元一次方程的交集的常规方法是求由二元一次方程构成求二元一次方程的交集的常规方法是求由二元一次方程构成的方程组的解集的方程组的解集解题方法解题方法练习练习练习练习4 4已知全集已知全集已知全集已知全集 ，求求求求 .1.设全集设全集 ，求求，.2.已知全集，设已知全集，设 ，求求 ，.3.已知全集已知全集 ，设，设 ，求，求，.巩固练习巩固练习4.已知全集已知全集 ，求求 .5.已知集合已知集合 ，求求 .6.如右图所示，用交集、并集、补集表示图中的阴影部分如右图所示，用交集、并集、补集表示图中的阴影部分.7.设，方程设，方程，且，且，求求.第题第三节充要条件第三节充要条件知识解读知识解读知识解读知识解读实操演练实操演练实操演练实操演练巩固练习巩固练习巩固练习巩固练习一、充分条件与必要条件一、充分条件与必要条件一、充分条件与必要条件一、充分条件与必要条件如果条件如果条件 成立能推出结论成立能推出结论 成立，就说条件成立，就说条件 是结论是结论 的的充分条件充分条件，记作，记作，读作，读作“推出推出”知识解读知识解读如果结论如果结论 成立能推出条件成立能推出条件 成立，就说条件成立，就说条件 是结论是结论 的的必要条件必要条件，记，记作作，读作，读作“推出推出”.二、充要条件二、充要条件二、充要条件二、充要条件如果，且，那么就说是的充分且必要条件，简称如果，且，那么就说是的充分且必要条件，简称充充要条件要条件，记作，记作 如果如果 是是 的充要条件，那么的充要条件，那么 也是也是 的充要条件；的充要条件；评析评析 是是 的充要条件，又常常说成的充要条件，又常常说成 当且仅当当且仅当，或，或 与与 等价等价.以上三句表以上三句表示的是同一个意义示的是同一个意义.如果如果，那么，那么.演示演示演示演示 用充分条件、必要条件、充要条件填空用充分条件、必要条件、充要条件填空用充分条件、必要条件、充要条件填空用充分条件、必要条件、充要条件填空.（1）是是 的的；（2）是是 的的；（3）是）是的的；（4）是）是的的；（5）两个三角形的三组对边成比例是两个三角形全等的）两个三角形的三组对边成比例是两个三角形全等的；实操演练实操演练答案答案（1）由条件由条件“”成立能推出成立能推出“”成立，并且由结论成立，并且由结论“”成立也能推出成立也能推出“”，所以应填充要条件；，所以应填充要条件；（2）等价于等价于 或或，等价于等价于 且且，由，由条件条件“”成立不能推出结论成立不能推出结论“”，而由结论，而由结论“”成立能推出条件成立能推出条件“”成立，所以应填必要条件；成立，所以应填必要条件；（3）由条件由条件“”成立能推出结论成立能推出结论“”，但由结论，但由结论“”成立成立不能推出条件不能推出条件“”成立，所以应填充分条件；成立，所以应填充分条件；（4）由条件由条件“”成立能推出结论成立能推出结论“”成立，而成立，而 等价于等价于 或或，由结论，由结论“”成立不能推出条件成立不能推出条件“”成立，所以应填充成立，所以应填充分条件；分条件；（5）根据三角形全等的判定定理与性质定理可知，由条件根据三角形全等的判定定理与性质定理可知，由条件“两个三角形的三组两个三角形的三组对应边成比例对应边成比例”不能推出结论不能推出结论“两个三角形全等两个三角形全等”成立，但由结论成立，但由结论“两个三角形两个三角形全等全等”成立能推出条件成立能推出条件“两个三角形的三组对应边成比例两个三角形的三组对应边成比例”，所以填必要条件，所以填必要条件如果由条件如果由条件 成立能推出结论成立能推出结论 成立，但由结论成立，但由结论 成立不能推出条件成立不能推出条件 成立，那么条件成立，那么条件 就是结论就是结论 的充分条件；的充分条件；如果由结论如果由结论 成立能推出条件成立能推出条件 成立，但由条件成立，但由条件 成立不能推出结论成立不能推出结论 成立，那么条件成立，那么条件 就是结论就是结论 的必要条件；的必要条件；如果由条件如果由条件 成立能推出结论成立能推出结论 成立，且由结论成立，且由结论 成立能推出条件成立能推出条件 成立，那么条件成立，那么条件 就是结论就是结论 的充要条件的充要条件解题方法解题方法练习练习练习练习 用充分条件、必要条件、充要条件或既非充分也非必要条件填空用充分条件、必要条件、充要条件或既非充分也非必要条件填空用充分条件、必要条件、充要条件或既非充分也非必要条件填空用充分条件、必要条件、充要条件或既非充分也非必要条件填空.（1）是是 的的；（2）是是 的的；（3）方程）方程 是有实数解是判别式是有实数解是判别式的的；（4）是）是的的；（5）有一内角为直角的平行四边形是矩形的）有一内角为直角的平行四边形是矩形的；演示演示演示演示 已知已知已知已知 是是是是 的必要条件，的必要条件，的必要条件，的必要条件，是是是是 的充要条件，的充要条件，的充要条件，的充要条件，是是是是 的充的充的充的充分条件，求分条件，求分条件，求分条件，求 与与与与 的关系的关系的关系的关系.根据已知可得根据已知可得 解解 ，.即即 是是 的充分条件，的充分条件，是是 的必要条件的必要条件 根据已知条件及充分条件、必要条件与充要条件的概念，并采用递推的方式可根据已知条件及充分条件、必要条件与充要条件的概念，并采用递推的方式可判断两个命题的关系判断两个命题的关系解题方法解题方法练习练习练习练习 已知已知已知已知 是是是是 的充分条件，的充分条件，的充分条件，的充分条件，是是是是 的必要条件，的必要条件，的必要条件，的必要条件，是是是是 的充的充的充的充要条件，求要条件，求要条件，求要条件，求 与与与与 的关系的关系的关系的关系.1.用充分条件、必要条件、充要条件填空用充分条件、必要条件、充要条件填空.（1）是是 的的；（2）是是 的的；（4）且是）且是 的的；（3）是是 的的；巩固练习巩固练习（5）两个三角形的两组对角相等是两个三角形全等的）两个三角形的两组对角相等是两个三角形全等的；（6）是直线是直线 和直线和直线 垂垂直的直的 ；2.已知已知 是是 的必要条件，的必要条件，是是 的充要条件，的充要条件，是是 的充分条件，求的充分条件，求 与与 的关系；的关系；