控制工程基础课后答案.doc

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第二章
2.1求下列函数的拉氏变换
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
（7）
2.2 （1）由终值定理：
（2）
由拉斯反变换：
所以
2.3（1）

(2) ,

2.4解：

2.5求下列函数的拉氏反变换
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
2.6（1）
（2）
2.7（1）
（2）
2.8 解 水的流量Q1由调节控制阀的开度控制，流出量Q2则根据需要可通过负载阀来改变，被调量H反映了。水的流入与流出之间的平衡关系。
设为输入水流量的稳态值，为其增量;输出水流量的稳态值，为其增量;A为水槽底面积；为负载阀的阻力(即液阻)。在正常运行时处于平衡状态，即，。当调节控制阀的开度时，使液位随之变化。在流出端负载阀开度不变的情况下，液位的变化将是流出量改变流出量与液位高度的关系。
， (2-1)
， (2-2)
将式(2-1)代入式(2-2)，得
， (2-3)
所以 。其中，.
由式(2-1)也可得
,
。
水流量(式子中，v为水的体积；H为水位高度；A为容器底面积)由上式有 H(t)= 对上式进行拉氏变换并整理得
2.9（a）
( b)
2.10 解，系统框图如图所示：

传递函数为
2.11 当只有R(s)作用，且N(s)=0时

当只有N(s)作用，且R(s)=0时

2.12 (1)以R(s)为输入，当N(s)=0时，
当以C(s)为输出时，有
当以Y(s)为输出时，有
当以B(s)为输出时，有
当以E(s)为输出时，有
(2)以N(s)为输入，当R(s)=0时
当以C(s)为输出时，有
当以Y(s)为输出时，有
当以B(s)为输出时，有
当以E(s)为输出时，有
2.13
2.14
2.15
2.16 （a）,,,

(b),
4个单独回路：,,,
4对回路互不接触：;;
;
一对三个互不接触回路：
，，
G(s)=
2.17解:由于在单位阶跃输入时,有

所以

第三章
3.1略
3.2略
3.3略
3.4解：该系统的微分方程为：，。
传递函数为
（1）单位阶跃响应，
（2）单位脉冲响应：
（3）单位斜坡响应：
3.5由拉斯变换得:
单位脉冲响应为：
单位阶跃响应为：
比较c(t)和h(t)可得，
3.6 解：闭环传递函数函数为：
得，，

，
3.7解：，
当时，，则，
当时，，则，将代入验算，
得，

3.8 解(1)由二阶系统的极点,可以得到 。
由上述公式，可得到 ,,
因而有 ，。
系统闭环传递函数可写为 。
(2)上述系统对应的动态响应指标为
，
，
，
，

3.9解 (1)对系统输出作拉普拉斯变换，可得到系统输出为
。
系统输入为单位阶跃输入，则

因而，系统闭环传递函数表达式为
。
(2)二阶系统标准形式为
,
特征多项式为。
因而 .
系统阻尼比和无阻尼自然振荡频率分别为

3.10
则，
又，
所以，
而，
所以

3.11 解：系统闭环传递函数为：
令
1 2
3 k

k
由于系统处于稳定状态，则有：，得0<k<6
3.12 由系统特征方程可排出劳斯表如下：
s 1 8 20 16
s 2 12 16
s 1 6 8 辅助方程：s+6s+8=0，
s 0 0 求导：4s+12s=0
4 12
s 3 8
s 4/3
s 8
由劳斯表可知，第一列元素不变号，所以无右半s平面的根。但劳斯表有一行全部为
， 因此存在对称根。解辅助方程是，得 ，。
系统有两对虚根，处于临界稳定。
3.13 解 (1)由系统特征方程可排出劳斯表如下：
s 1 10 K
s 22 2
s 9.9 K
s 2-2.2K
s K
由劳斯表可知，要满足系统稳定性条件，必须第一列元素全部大于零，因而有

解上述不等式方程，可以得到系统闭环稳定的条件为。
(2)由系统特征方程可排出劳斯表如下：
s 0.1 1
s 1 K
s 1 - 0.1K
s K
由劳斯表可知，要使系统稳定，必须第一列元素全部大于零，因而有

解上述不等式方程，可以得到系统闭环稳定的条件为。

3.14 解(1)系统的闭环特征方程为
由此可排出劳斯表如下：
s 2 -3
S 1 10
s -23
s 10
由劳斯表可见，第一列元素变号两次，有两个根在右半s平面上，系统闭环不稳定。
(2)系统的闭环特征方程为: 注：闭环特征方程求解过程如下： 其分母为零既是特征方程

由此可排出劳斯表如下：
s 1 -2
s 1 0
s -2
由劳斯表可见，第一列元素变号一次，有一个根在右半s平面上，系统闭环不稳定。
(3)系统的闭环特征方程为
s+4s+3s+12=0。
由此可排出劳斯表如下：
s 1 3
s 4 12
s ε
s 12
由劳斯表可知，第一列元素不变号，所以无右半s平面的根。但是劳斯表有一行为0，因而存在对称根。解辅助方程4s+12=0，得
s=j。
系统有一对虚根，处于临界稳定。

3.15 解：由于是单位反馈系统，，且该系统为型系统，归一化有， 其增益为 K/5;
在斜坡函数输入时， K=500
3.16 解：先求当R(s)=0, ,即N(s)单独用下的稳态误差。
在干扰作用下的输出为
由干扰产生的误差为
所以
所以该误差的稳态值为
再求当, N(s)=0时，即R(s)单独作用下的稳态误差。
输入作用下的传递函数为
输入作用下的误差
则误差的稳态值为
根据线性系统叠加原理
3.17解:开环增益，K=100，,系统为型

=0+0.04+=
因为该系统为单位反馈系统，所以

3.18 由于是单位反馈系统，所以
（1） k=10, r(t)=1时，=
r(t)=t时，
r(t)=时，
（2）k=, r(t)=1时，=0
r(t)=t时，
r(t)=时,
(3) k=8, r(t)=1时，=0
r(t)=t时，
r(t)=时,

第四章
4.2解：（1）
幅频：
相频：
（2）
幅频：
相频：
4.3 解：(1)

当N=1时，，对应的幅相频率特性和对数频率特性如图4-3(a)所示。
当N=2时，，对应的幅相频率特性和对数频率特性如图4-3(b)所示。

幅相频率特性 对数频率特性

一个积分环节

幅相频率特性 对数频率特性
（a） 两个积分环节
图 4-3 幅频相频特性图

(2)
转折频率。
当时，，对应的幅相频率特性和对数频率特性如图4-4(a)所示。
当时，，对应的幅相频率特性和对数频率特性如图4-4所示。

幅相频率特性 对数频率特性
(a)惯性环节

(b)不稳定的惯性环节
图 4-4 幅频相频特性图

(3)
201gK=20lg10=20dB
当N=1时，G(s)=10s,对应的幅相频率特性和对数频率特性如图4-5(a)所示。
当N=2时，G(s)=10，对应的幅相频率特性和对数频率特性如图4-5(b)所示。

幅相频率特性 对数频率特性
(a)一个微分环节

幅相频率特性 对数频率特性
(b)两个微分环节
图4-5 幅频相频特性图
(4))
转折频率
当对应的幅相频率特性和对数频率特性
如图4-6(a)所示。
当对应的幅相频率特性和对数频率
特性如图4-6 (b)所示。

幅相频率特性 对数频率特性
(a)一阶比例微分环节

幅相频率特性 对数频率特性
(b)不稳定的一阶比例微分环节
图4-6 幅频相频特性图
(5)
转折频率
对应的幅相频率特性和对数频率特性如图4-7所示。

幅相频率特性 对数频率特性
图 4-7 I 型二阶系统
(6)
转折频率
对应的幅相频率特性和对数频率特性如图4-8所示。

幅相频率特性 对数频率特性
图4-8 二阶系统幅频相频特性曲线图
(7)转折频率。
对应的幅相频率特性和对数频率特性如图4-9
所示。

幅相频率特性 对数频率特性
图4-9 具有零点的一阶系统
(8)转折频率。
对应的幅相频率特性和对数频率特性
如图4-10所示。

对数频率特性 幅相频率特性

图4-10 具有零点的二阶系统
(9)
当时，对应的幅相频率特性和对数频率特性如图4-11(a)所示。
当时，对应的幅相频率特性和对数频率特性如图4-11(b)所示。

幅相频率特性 对数频率特性
(a)二阶振荡环节

幅相频率特性 对数频率特性
(b)二阶振荡环节
图 4-11二阶系统幅频相频特性曲线图
(10)
转折频率
注：

当由，变化趋势由对应的幅相频率特征和对数频率特征如图4-12所示。

幅相频率特性 对数频率特性
图 4-12 具有零点的二阶系统
4.4 解: (1) ;
这是一个I型3阶最小相位系统，开环系统稳定。
开环频率特性为
幅频特性为 注：

相频特性为
首先绘制开环幅相频率特性，再应用奈氏稳定判据判断闭环系统的稳定性。
① 当时，有 即，。

图 4-13 系统奈氏曲线图
当时，，。
② 因为,所以开环幅相频率特性从第四到第三象限变化。开环幅相频率特性与负实轴无焦点。开环幅相频率特性如图5.20所示，由到的增补特性如图中虚线所示。 可以看出，当由到时，开环幅相频率特性不包围点，所以，闭环系统是稳定的。
③
这也是一个I型阶最小相位系统，开环系统稳定。开环频率特性为
幅频特性为 注：

相频特性为

首先绘制开环幅相频率特性，再应用奈氏稳定判据判断闭环系统的稳定性。
①当时，,。
②当时，，。
③开环幅相频率特性与负实轴的交点。
开环幅相频率特性与负实轴的交点满足，即

或
两边取正切

图4-14 系统的开环特性图
其中
则有

解得
代入幅频特性，得

开环幅相频率特性与负实轴的交点坐标为(—0.134，j0)。
开环幅相频率特性如图4-14所示，由0到的增补特性如图中虚线所示。
可以看出，当由0到时，开环幅相频率特性不包括(-1，j0)点，所以，闭环系统是稳定的。
(3)
因为分母有(s-1)项，所以这是一个非常最小相位系统，开环右极点数目P=1,开环频率特性为
幅频特性为
相频特性为
首先绘制开环幅相频率特性，再应用奈氏稳定判据判断闭环系统的稳定性。

图4-15 开环幅相频率特征
当时，。
‚当时，。
ƒ开环幅相频率特性与负实轴的交点。
开环幅相频率特性与负轴的交点满足即

或
两边取正切
有
解得
代入幅频特性，得,开环幅相频率特性与负实轴的交点坐标为
(-0.5，j0)
开环幅相频率特性如图4-23所示，由0到的增补特性如图中虚线所示。
由图看出，当由0到时，开环幅相频率特性不包围(-1，j0)点，所以，闭环系统是不稳定的。

下接（4）

可编辑

4.5解：

4.6 （1）

奈奎斯特曲线不包围（-1，j0）点，所以系统稳定

（2）奈奎斯特曲线为：

奈奎斯特曲线不包围（-1，j0）点，所以系统稳定

（3）

奈奎斯特曲线不包围（-1，j0）点，所以系统稳定

4.7解：(1)
系统开环频率特性为
幅频特性为
相频特性为
首先绘制开环对数频率特性。
① 对数幅频特性

其中 20lg25=28dB,转折频率。对数频率特性如图5.23。
② 求相位裕量
令

相位。 图4-16 对数频率特性

相位裕量。

②求增益裕量
令

两边取正切
有
解之，得。代入幅频特性，得

则增益裕量 。
④判断闭环系统的稳定性
因为相位裕量 ，增益裕量 ，故闭环系统不稳定。
(2)
系统开环频率特征为

幅频特性为

相频特性为
首先绘制开环对数频率特性。
①对数幅频特性

其中，转折频率，，

图4-17 对数频率特性
。对数频率特性如图4-17所示。
②求相位裕量
令

相位

相位裕量

③求增益裕量 令
两边取正切

有
注：

代入幅频特性，得

则增益裕量。
④判断闭环系统的稳定性
因为相位裕量，增益裕量，故闭环系统稳定，
(3)
系统开环频率特性为

幅频特性为

相频特性为

首先绘制开环对数频率特性
① 对数幅频特性

图4-18 系统的开环特性图
其中，转折频率对数频率特性如图4-18所示。
② 求相位裕量
令

相位

相位裕量

③ 求增益裕量
令

两边取正切

有 解之 得 带入幅频特性，得

则增益裕量
④ 判断闭环系统的稳定性
因为相位裕量，增益裕量，故闭环系统稳定
4.8

幅频特性：
相频特性：∠
令，计算得
∴
令∠
则；故
该系统是稳定的。
4.9解：系统开环传递函数为：

令 ，则 ，
令 ，则 ，
因为 ， 所以系统稳定
4.10 解：
；
令，则， ，
有公式可得 =1.84
该系统可近似为二阶系统，， 则

第五章
5.3解：（1）

令，则， ，
令，则， ，
(2)

令，则， ，
令，则， ，
超前系统的稳定性得到明显改善，同时r增大，增大。

5.4解：由于该系统为Ⅰ型，所以=，；
未校正系统的开环频率特性为：
,,

则根据相位裕度的要求校正网络的相位超前角：

相位超前校正环节在处的幅值为：

为校正后的系统的剪切频率，校正后系统开环对数幅值比为0dB,

T=0.36s
校正环节的传递函数为：
为了补偿相位超前校正网络的引入而造成系统开环增益的衰减，必须增加附加放大器，使其放大倍数为3.71，那么校正后的传递函数为：

5.5 解：

未校正时，

不符合题意。
根据相位裕度要求重新选择，使得在处原系统的相位滞后量为：

又校正网络零点转角频率 因远低于已校正的剪切频率，应选取
T=67.19s
所以校正环节传递函数为

校正后的系统的传递函数为：

5.6

解：

未校正时，

令
， 不小于10dB符合题意。
只要串联超前校正环节即可。

相位超前校正环节在处的幅值为：

为校正后的系统的剪切频率，校正后系统开环对数幅值比为0dB,

T=0.215s
校正环节的传递函数为：
那么校正后的传递函数为：

5.7解：其频率特性为：

5.8解：