15.3.3-等边三角形的性质和判定.ppt

第第1515章章 轴对称图形与等腰三角形轴对称图形与等腰三角形15.3 15.3 等腰三角形等腰三角形第第3 3课时课时 等边三角形的性质等边三角形的性质 和判定和判定1课堂讲解u等边三角形的性质等边三角形的性质u等边三角形的判定等边三角形的判定2课时流程逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升1知识点等边三角形的性质等边三角形的性质等边三角形的性质等边三角形的性质1.定义：三边都定义：三边都相等相等的三角形是等边三角形的三角形是等边三角形 要点精析：要点精析：(1)它是特殊的等腰三角形，具备等腰三角形的所有性它是特殊的等腰三角形，具备等腰三角形的所有性 质；质；(2)它是特殊的等腰三角形，任意两边都可以作为腰，任意一它是特殊的等腰三角形，任意两边都可以作为腰，任意一 个角都可以作为顶角个角都可以作为顶角2性质：性质：(1)等边三角形的三边都相等；等边三角形的三边都相等；(2)等边三角形的三个内角等边三角形的三个内角相相 等等，每一个内角都等于，每一个内角都等于60.(3)等边三角形是轴对称图形，它有三等边三角形是轴对称图形，它有三 条对称轴，分别为三边的垂直平分线；条对称轴，分别为三边的垂直平分线；(4)各边上的高、中线、对各边上的高、中线、对 角的平分线重合，且长度相等角的平分线重合，且长度相等 知知1 1讲讲知识点例例1 如图，如图，ABC是等边三角形，是等边三角形，D，E，F分别是三边分别是三边AB，AC，BC上的点，上的点，且且DEAC，EFBC，DFAB，计算计算DEF各个内角的度数各个内角的度数知知1 1讲讲导引：导引：要计算出要计算出DEF各个内角的度数，有两个途径，各个内角的度数，有两个途径，即证即证DEF 为等边三角形或直接求各个内角为等边三角形或直接求各个内角的度数，由垂直定义及等边三角形的性质，显然的度数，由垂直定义及等边三角形的性质，显然直接求各个内角的度数较容易直接求各个内角的度数较容易 知识点解：解：因为因为ABC是等边三角形，是等边三角形，所以所以ABC60.因为因为DEAC，EFBC，DFAB，所以所以AEDEFCFDB90，所以所以ADE90A906030，所以所以EDF 180309060.同理可得同理可得DEFEFD60.即即DEF各个内角的度数都是各个内角的度数都是60.知知1 1讲讲（来自（来自点拨点拨）总 结知知1 1讲讲（来自（来自点拨点拨）利用等边三角形的性质求角的度数时，通过利利用等边三角形的性质求角的度数时，通过利用等边三角形三个内角都相等，并且每一个内角都用等边三角形三个内角都相等，并且每一个内角都为为60的性质，找出要求角与已知角间的关系来进的性质，找出要求角与已知角间的关系来进行计算；有时还要结合全等图形等知识来解决行计算；有时还要结合全等图形等知识来解决知知1 1讲讲 例例2 如图，已知如图，已知ABC，BDE都是都是 等边三角形求证：等边三角形求证：AECD.导引：导引：要证要证AECD，可通过证分别含有，可通过证分别含有AE，CD的两个三角形全等来实的两个三角形全等来实 现，即证现，即证ABECBD，所需条件可从等边三角形中去寻找，所需条件可从等边三角形中去寻找证明：证明：ABC和和BDE都是等边三角形，都是等边三角形，ABBC，BEBD，ABCDBE60.在在ABE与与CBD中，中，ABECBD(SAS)AECD.（来自（来自点拨点拨）总 结知知1 1讲讲（来自（来自点拨点拨）运用等边三角形性质证明线段相等的方法：运用等边三角形性质证明线段相等的方法：把把要证的两条线段放到一个三角形中证其为等腰或等要证的两条线段放到一个三角形中证其为等腰或等边三角形或者放到两个三角形中，利用全等三角形边三角形或者放到两个三角形中，利用全等三角形的性质证明；注意等边三角形的三个内角相等、三的性质证明；注意等边三角形的三个内角相等、三条边相等、三线合一是隐含的已知条件条边相等、三线合一是隐含的已知条件 知知1 1讲讲例例3 如图，如图，ABC是等边三角形，分别延长是等边三角形，分别延长AB至点至点F，BC至点至点D，CA至点至点E，使，使AF3AB，BD3BC，CE3CA，求证：求证：DEF是等边三角形是等边三角形导引：导引：利用等边三角形定义判定利用等边三角形定义判定证明：证明：ABC是等边三角形，是等边三角形，ABBCCA，BACABCACB60，EAFFBDDCE120.又又AF3AB，BD3BC，CE3CA，AFBDCE，AEBFCD，AEFBFDCDE.EFFDDE.DEF是等边三角形是等边三角形（来自（来自点拨点拨）总 结知知1 1讲讲（来自（来自点拨点拨）充分挖掘等边三角形中的有关性质是解决问题充分挖掘等边三角形中的有关性质是解决问题的前提，然后利用三角形全等得到三边相等，根据的前提，然后利用三角形全等得到三边相等，根据定义证得定义证得DEF是等边三角形是等边三角形1如图，如图，ABC是等边三角形，点是等边三角形，点D在在AC边上，边上，DBC35，则，则ADB的度数为的度数为()A25 B60 C85 D95如图，一张等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则如图，一张等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中图中的度数是的度数是()A180 B220 C240 D300知知1 1练练2（来自（来自典中点典中点）3(中考中考黔西南州黔西南州)如图，已知如图，已知ABC是等边三角形，点是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，且在同一直线上，且CGCD，DFDE，则，则E_.四川泸州四川泸州如图所示，已知如图所示，已知ABC为等边三角形，点为等边三角形，点P在在AB 上，以上，以CP为边作等边三角形为边作等边三角形PCE，使点，使点E，A在直线在直线PC的同的同 侧求证：侧求证：AEBC.知知1 1练练（来自（来自典中点典中点）4（来自（来自点拨点拨）2知识点等边三角形的判定等边三角形的判定知知2 2讲讲等边三角形的判定等边三角形的判定1.推论推论1：三个角都：三个角都相等相等的三角形是等边三角形；的三角形是等边三角形；推论推论2：有一个角是：有一个角是60的的等腰三角形等腰三角形是等边三角形是等边三角形2.注意事项注意事项：推论：推论1在任意三角形中都适用，推论在任意三角形中都适用，推论2的的 前提条件是等腰三角形因此要结合题目的条件选前提条件是等腰三角形因此要结合题目的条件选 择适当的方法择适当的方法知知2 2讲讲如图如图，在等边三角形，在等边三角形ABC中，中，ABC和和ACB的平的平分线相交于点分线相交于点O，OB，OC的垂直平分线分别交的垂直平分线分别交BC于点于点E，F，连接，连接OE，OF.求证：求证：OEF是等边三角形是等边三角形 例例4 导引：导引：从题中条件看，利用三角形从题中条件看，利用三角形的外角性质易求得的外角性质易求得OEFOFE60，从而证明从而证明OEF是等边三角形是等边三角形知知2 2讲讲 证明：证明：E，F分别是线段分别是线段OB，OC的垂直平分线上的点，的垂直平分线上的点，OEBE，OFCF，OBEBOE，OCFCOF.ABC是等边三角形，是等边三角形，ABCACB60.又又BO，CO分别平分分别平分ABC和和ACB，OBEBOEOCFCOF30.OEFOFE60.EOF18026060.OEF是等边三角形是等边三角形（来自（来自点拨点拨）总 结知知2 2讲讲（来自（来自点拨点拨）证明一个三角形是等边三角形，证明一个三角形是等边三角形，要根据已知要根据已知条件选择适当的方法条件选择适当的方法(1)如果已知三边关系，则选如果已知三边关系，则选用等边三角形定义来判定用等边三角形定义来判定(2)若已知三角关系，则若已知三角关系，则选用选用“三个角都相等的三角形是等边三角形三个角都相等的三角形是等边三角形”来判来判定定(3)若已知是等腰三角形，则选用若已知是等腰三角形，则选用“有一个角是有一个角是60的等腰三角形是等边三角形的等腰三角形是等边三角形”来判定来判定知识点知知2 2讲讲 例例5 如图，已知如图，已知ABC是等边三角形，是等边三角形，D为边为边AC的中点，的中点，AEEC，BDEC，证明：，证明：ADE是等边三角形是等边三角形导引：导引：从题中条件看用从题中条件看用“HL”证明证明RtABD RtACE，可得，可得 ADAE，BADCAE60，因此用推论，因此用推论2证证 ADE是等边三角形是等边三角形知识点知知2 2讲讲证明：证明：ABC是等边三角形，是等边三角形，D为边为边AC的中点，的中点，ABAC，BAC60，BDAC.AEEC，BDACEA90.在在RtABD和和RtACE中，中，RtABD RtACE，ADAE，EADBAD60，ADE是等边三角形是等边三角形（来自（来自点拨点拨）1 等腰三角形补充下列条件后，仍不一定成为等边三角形的是等腰三角形补充下列条件后，仍不一定成为等边三角形的是()A有一个内角是有一个内角是60 B有一个外角是有一个外角是120 C有两个角相等有两个角相等 D腰与底边相等腰与底边相等 如图，如图，ABC是等边三角形，是等边三角形，D，E，F为各边中点，则图为各边中点，则图中共有等边三角形中共有等边三角形()A2个个 B3个个 C4个个 D5个个知知2 2练练（来自（来自典中点典中点）24知知2 2练练下列三角形：下列三角形：有两个角等于有两个角等于60的三角形；的三角形；有一个角等于有一个角等于60的等腰三角形；的等腰三角形；三个外角三个外角(每个顶点处各取一个外角每个顶点处各取一个外角)都相等的三角形；都相等的三角形；一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形其中是等边三角形的有其中是等边三角形的有()A B C D如图所示，已知点如图所示，已知点D是等边三角形是等边三角形ABC的边的边BC延长线上的一点，延长线上的一点，EBCDAC，CEAB.求证：求证：CDE是等边三角形是等边三角形（来自（来自点拨点拨）3（来自（来自典中点典中点）根据条件判定等边三角形的解题技巧：根据条件判定等边三角形的解题技巧：(1)若已知三边关系，则考虑用若已知三边关系，则考虑用“三条边都相等的三角形是三条边都相等的三角形是 等边三角形等边三角形”判定判定(2)若已知三角关系，则根据若已知三角关系，则根据“三个角都相等的三角形是等三个角都相等的三角形是等 边三角形边三角形”判定判定(3)若已知三角形是等腰三角形，则根据若已知三角形是等腰三角形，则根据“有一个角是有一个角是60 的等腰三角形是等边三角形的等腰三角形是等边三角形”判定判定1.必做必做:完成教材完成教材P139T22.补补充充:请请完成完成典中点典中点剩余部分剩余部分习题习题