13.1.1--三角形中边的关系-.ppt

第第1313章章 三角形中的边角关系、命题与证明三角形中的边角关系、命题与证明13.1 三角形中的边角关系三角形中的边角关系第第1课时课时 三角形中边的三角形中边的 关系关系1课堂讲解课堂讲解u三角形及有关三角形及有关概念概念u三角形三角形按边按边的关系分类的关系分类u三角形三角形的三边关系的三边关系2课时流程课时流程逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升 三角形是由线段围成的最简单的平面封闭图形，三角形是由线段围成的最简单的平面封闭图形，是研究其他多边形的基础是研究其他多边形的基础.ABC1801知识点知识点三角形及有关概念三角形及有关概念1.1.三角形的定义：三角形的定义：由由不在同一条直线不在同一条直线上的上的三条线段首三条线段首尾依尾依 次次相相接接所组成的封闭图形叫做三角形用符号所组成的封闭图形叫做三角形用符号“”表表 示三示三角角形，形，顶点是顶点是A，B，C的三角形，记作的三角形，记作ABC，读读 作作“三三角角形形ABC”要点精析：要点精析：(1)定义中的四要素定义中的四要素：三条线段三条线段，不在同一条直线上，不在同一条直线上，首尾依次相接首尾依次相接，封闭图形封闭图形知知1 1讲讲知知1 1讲讲 (2)三角形的表示方法中三角形的表示方法中“”代表代表“三角形三角形”，后后 边的字母为三角形的三个顶点字母，字母的顺序边的字母为三角形的三个顶点字母，字母的顺序 可以自由安排可以自由安排2.三角形的三元素三角形的三元素：(1)顶点：三角形任意两边的公共点；顶点：三角形任意两边的公共点；(2)边：组成三角形的三条线段称为三角形的三条边；边：组成三角形的三条线段称为三角形的三条边；(3)内角：在三角形中，每相邻两边所组成的角内角：在三角形中，每相邻两边所组成的角知知1 1讲讲3.说明：说明：在三角形中，一个角对着一条边，那么这条在三角形中，一个角对着一条边，那么这条 边就叫做这个角的对边同理，这个角叫做这条边边就叫做这个角的对边同理，这个角叫做这条边 的对角的对角例如：例如：图中，图中，A所对的边可以用所对的边可以用 BC表示，表示，也可以也可以用用a表示表示；B所对的边可以用所对的边可以用AC表示表示，也可以用也可以用b表示表示；C所对的边可以用所对的边可以用AB表示表示，也可也可 以用以用c表示表示；AB的对角的对角为为C，BC的对角为的对角为A，AC的对角为的对角为B.例例1 下列下列选项选项都是由三条都是由三条线线段段组组成的成的图图形，其中形，其中是是 三三角形的是角形的是()导导引：引：按三角形的定按三角形的定义进义进行判断行判断观观察每一个察每一个选项选项中中 的的图图形，形，A，B，D中的三条中的三条线线段都没有首尾段都没有首尾顺顺 次相接次相接知知1 1讲讲C（来自（来自点拨点拨）(1)判断三角形的条件：判断三角形的条件：三条线段三条线段，不在同一条直线不在同一条直线上上，首尾依次相接首尾依次相接，封闭图形封闭图形四者必须同时满四者必须同时满足足，否否 则不是三角形则不是三角形(2)易错警示：易错警示：图形是三角形与图形内含有三角形是两个图形是三角形与图形内含有三角形是两个不不 同的概念同的概念图形是三角形表示整个图形是一个三角图形是三角形表示整个图形是一个三角形，形，图形内含有三角形表示图形内部有三角形如选图形内含有三角形表示图形内部有三角形如选项项A，B，D中的图形内都含有三角形，但整个图形不中的图形内都含有三角形，但整个图形不是三角形是三角形总 结知知1 1讲讲（来自（来自点拨点拨）例例2 2 如如图图，在，在ABC中，中，D，E分分别别是是BC，AC上的上的 点，点，连连接接BE，AD交于点交于点F，问问：(1)图图中共有多少个三角形？中共有多少个三角形？请请把它把它们们表示出来表示出来 (2)BDF的三个的三个顶顶点是什么？三条点是什么？三条边边是什么？是什么？(3)以以AB为边为边的三角形有哪些？的三角形有哪些？(4)以以F为顶为顶点的三角形有哪些？点的三角形有哪些？知知1 1讲讲导引：导引：(1)以点以点A为顶点的三角形有：为顶点的三角形有：ABF，AEF，ABE，ABD，ACD，ABC；除此以外，；除此以外，以点以点B为顶点为顶点 的的三角形有：三角形有：BDF，BCE.(2)由三角形的表示法可知由三角形的表示法可知BDF的三个顶点是的三个顶点是B，D，F，顺次连接顺次连接B，D，F三点的线段三点的线段BD，DF，BF是是 BDF的三条边的三条边 (3)点点D，E，F，C都在直线都在直线AB外，所以它们都可以和外，所以它们都可以和 点点A，B组合作为三角形的三个顶点组合作为三角形的三个顶点 (4)从从(1)中挑出含有点中挑出含有点F的三角形的三角形知知1 1讲讲解：解：(1)图中共有图中共有8个三角形，分别是个三角形，分别是ABF，AEF，ABE，ABD，ACD，ABC，BDF，BCE.(2)BDF的三个顶点是的三个顶点是B，D，F，三条边是，三条边是BD，DF，BF.(3)以以AB为边的三角形有为边的三角形有ABF，ABD，ABE，ABC.(4)以以F为顶点的三角形有为顶点的三角形有ABF，AEF，BDF.知知1 1讲讲（来自（来自点拨点拨）在复杂图形中数三角形个数的方法：在复杂图形中数三角形个数的方法：按图形形成的按图形形成的过程去数过程去数(即重新画一遍图形，按照三角形形成的先后顺序即重新画一遍图形，按照三角形形成的先后顺序去数去数)；按三角形的大小顺序去数；按三角形的大小顺序去数；从图中的某一条边从图中的某一条边开始开始沿着一定的方向沿着一定的方向去数；去数；先固定一个顶点，然后按照先固定一个顶点，然后按照一定的顺序不断变换另两个顶点去数一定的顺序不断变换另两个顶点去数(如本例中的解析如本例中的解析)易错警示：易错警示：不管按哪种方法数三角形的个数，都要不管按哪种方法数三角形的个数，都要按按照一定的顺序照一定的顺序，做到不重复做到不重复、不遗漏不遗漏总 结知知1 1讲讲（来自（来自点拨点拨）1 1 如图，过如图，过A，B，C，D，E五个点中任意三点画五个点中任意三点画 三角形三角形 (1)其中以其中以AB为一边可以画出为一边可以画出_个三角形；个三角形；(2)其中以其中以C为顶点可以画出为顶点可以画出_个三角形个三角形知知1 1练练（来自（来自典中点典中点）2 2 如图，以如图，以CD为公共边的三角形是为公共边的三角形是_；EFB是是_的内角；在的内角；在BCE中，中，BE所对所对 的角是的角是_，CBE所对的边是所对的边是_；以以A为公共角的三角形为公共角的三角形 有有_ _ _知知1 1练练（来自（来自典中点典中点）2知知识点点三角形按边的关系分类三角形按边的关系分类知知2 2讲讲1.等腰三角形：等腰三角形：有两条有两条边边相等的三角形叫做等腰三相等的三角形叫做等腰三角形，角形，其中相等的两其中相等的两边边叫做腰，另一叫做腰，另一边边叫做底叫做底边边，两，两腰的腰的夹夹 角叫做角叫做顶顶角，腰和底角，腰和底边边的的夹夹角叫做底角角叫做底角2.等等边边三角形：三角形：底底边边和腰相等的等腰三角形叫做等和腰相等的等腰三角形叫做等边边三三 角形，即三角形，即三边边都相等的三角形是等都相等的三角形是等边边三角形三角形知知2 2讲讲3.三角形的分三角形的分类类(按按边边分分类类)：4.三角形按边长分类，也可表示为：三角形按边长分类，也可表示为：三三角角形形三边都不相等的三角形三边都不相等的三角形(不等边三角形不等边三角形)等腰三等腰三角形角形底边和腰不相等的等腰三角形底边和腰不相等的等腰三角形等边三角形等边三角形(底边和腰相等的等腰三角形底边和腰相等的等腰三角形)不等边不等边三角形三角形等腰等腰三角形三角形等边等边三角形三角形 例例3 下下列列说法说法：三角形按边分类可分为不等边三三角形按边分类可分为不等边三 角形、等腰三角形和等边三角形角形、等腰三角形和等边三角形；等边三角等边三角 形一定是等腰三角形；形一定是等腰三角形；有两边相等的三角形有两边相等的三角形 一定是等腰三角形其中正确的有一定是等腰三角形其中正确的有()A1个个 B2个个C3个个D0个个导引导引：等边三角形是特殊的等腰三角形，应和等腰三等边三角形是特殊的等腰三角形，应和等腰三 角形分为一类，故角形分为一类，故错误；错误；正确；正确；为等腰为等腰 三角形的定义，故正确三角形的定义，故正确知知2 2讲讲（来自（来自点拨点拨）B 解答解答这类题这类题的关的关键键是理解并区分各是理解并区分各类类三角形的定三角形的定义义，以及它，以及它们们之之间间的相互关系三角形的分的相互关系三角形的分类类原原则则是是不重复、不不重复、不遗遗漏，而把三角形划分漏，而把三角形划分为为不等不等边边三角形、三角形、等腰三角形和等等腰三角形和等边边三角形，三角形，这这里出里出现现了了重复重复，原因是，原因是等腰三角形已等腰三角形已经经包括了等包括了等边边三角形出三角形出现这现这种分种分类错类错误误的原因是没有区分清楚各的原因是没有区分清楚各类类三角形之三角形之间间的相互关系的相互关系总 结知知2 2讲讲（来自（来自点拨点拨）例例4 已知已知ABC的三边长分别为的三边长分别为a，b，c.且满足且满足 (1)(ab)2|bc|0；(2)(ab)(bc)0，试判断试判断ABC的形状的形状 导引：导引：要判断三角形的形状，可根据要判断三角形的形状，可根据“是否有边相是否有边相等等”来判断，所以从条件中分析出三边的关系是解来判断，所以从条件中分析出三边的关系是解 决本题的关键决本题的关键知知2 2讲讲知知2 2讲讲解：解：(1)因为因为(ab)2|bc|0，所以所以ab0，bc0，所以所以abc.所以所以ABC为等边三角形为等边三角形 (2)因为因为(ab)(bc)0，所以所以ab0或或bc0，所以所以ab或或bc.所以所以ABC为等腰三角形为等腰三角形（来自（来自点拨点拨）总 结知知2 2讲讲（来自（来自点拨点拨）只能判定有两只能判定有两边边相等的三角形下相等的三角形下结论为结论为等腰三角等腰三角形，能判定三形，能判定三边边相等的三角形下相等的三角形下结论结论就就为为等等边边三角形三角形1 下列关于三角形按边分类的表示，正确的是下列关于三角形按边分类的表示，正确的是()知知2 2练练（来自（来自典中点典中点）2 已知已知ABC的三边的三边a，b，c满足满足(ab)(bc)0，则则ABC是是()A等腰三角形等腰三角形 B不等边三角形不等边三角形 C等边三角形等边三角形 D以上都不对以上都不对知知2 2练练（来自（来自典中点典中点）3知知识点点三角形的三边关系三角形的三边关系知知3 3导导 思考：思考：在一个三角形中，任意两在一个三角形中，任意两边边之和与第三之和与第三边边的大小的大小关系如何？你判断的根据是什么？关系如何？你判断的根据是什么？知知3 3讲讲 三角形的三边关系：三角形两边的和大于第三边，三角形的三边关系：三角形两边的和大于第三边，三角形两边的差小于第三边三角形两边的差小于第三边要点精析要点精析：(1)三角形三边关系的理论依据：两点之间，线段最短三角形三边关系的理论依据：两点之间，线段最短(2)判断三条线段能否围成三角形只需用两短边之和与最判断三条线段能否围成三角形只需用两短边之和与最 大边相比较即可大边相比较即可(3)已知一个三角形的两边长为已知一个三角形的两边长为a，b(ab)，则第三边长则第三边长c 的取值范围是的取值范围是：abcab.例例5 (浙江温州浙江温州)下列各组数可能是一个三角形的三下列各组数可能是一个三角形的三 条边长的是条边长的是()A1，2，4 B4，5，9 C4，6，8 D5，5，11导引：导引：将每组数中较小两数的和与第三个数比较大将每组数中较小两数的和与第三个数比较大 小，若较小两数的和大于第三个数，则能组小，若较小两数的和大于第三个数，则能组 成三角形成三角形知知3 3讲讲（来自（来自点拨点拨）C 判断三条判断三条线线段能否段能否组组成三角形成三角形，只需看，只需看较较短两短两边边的和是否大于第三的和是否大于第三边边即可因即可因为为只要只要较较短两短两边边的和大的和大于第三于第三边边，则则任意两任意两边边的和都大于第三的和都大于第三边边，所以用此，所以用此方法可以很快地判断出三条方法可以很快地判断出三条线线段能否构成三角形段能否构成三角形总 结知知3 3讲讲（来自（来自点拨点拨）例例6 一个三角形两边的长分别为一个三角形两边的长分别为5和和3，第三边的长是整第三边的长是整 数，且周长是偶数，则第三边的长是数，且周长是偶数，则第三边的长是()A2或或4 B4或或6C4D2或或6 导引：导引：要求第三边的长，需先求出这条边的范围，再在其范要求第三边的长，需先求出这条边的范围，再在其范 围内找出满足条件的数设三角形的第三边的长为围内找出满足条件的数设三角形的第三边的长为x，则第三边的长的取值范围为则第三边的长的取值范围为53x53，即即2x 8.又在又在2到到8之间的整数有之间的整数有3，4，5，6，7，而三角形的而三角形的 周长周长x35x8应为偶数应为偶数，所以所以x也是偶数也是偶数，所以所以x 的值只能是的值只能是4或或6，所以三角形的第三边的长是所以三角形的第三边的长是4或或6.知知3 3讲讲B（来自（来自点拨点拨）总 结知知3 3讲讲（来自（来自点拨点拨）通通过过多个条件确定三角形第三多个条件确定三角形第三边边的方法：的方法：已知两边已知两边第三边小于其他第三边小于其他两边的和而大于两边的和而大于其他两边的差其他两边的差第三边的范第三边的范围围附加条件附加条件确定第三边确定第三边 例例7 等腰三角形中，周长为等腰三角形中，周长为18 cm.(1)如果腰长是底边长的如果腰长是底边长的2倍，求各边长；倍，求各边长；(2)如果一边长为如果一边长为4 cm，求另两边长求另两边长.解：解：(1)设等腰三角形的底边长为设等腰三角形的底边长为x cm，则腰长为，则腰长为2x cm.根据题意，得根据题意，得x2x2x18.解方程，得解方程，得x3.6.所以三角形的三边长为所以三角形的三边长为3.6 cm，7.2 cm,7.2 cm.知知3 3讲讲(2)若底边长为若底边长为4 cm,设腰长为设腰长为x cm.根据题意，得根据题意，得2x418.解方程，得解方程，得x7.若腰长为若腰长为4 cm，设底边长为设底边长为x cm.根据题意，得根据题意，得24x18.解方程，得解方程，得x=10.由于由于4+4 10,可知以可知以4 cm为腰长不能构成周长为为腰长不能构成周长为 18 cm的等腰三角形的等腰三角形.所以，三角形的另两边长都是所以，三角形的另两边长都是7 cm.知知3 3讲讲（来自教材）（来自教材）1 (中考中考青海青海)已知三角形两边的长分别是已知三角形两边的长分别是4和和10，则则 此三角形第三边的长可能是此三角形第三边的长可能是()A5B6C12D162 (中考中考南通南通)下列长度的三条线段能组成三角形的下列长度的三条线段能组成三角形的 是是()A5，6，10 B5，6，11 C3，4，8 D4a，4a，8a(a0)知知3 3练练（来自（来自典中点典中点）3 (中考中考包头包头)长为长为9，6，5，4的四根木条，选其中的四根木条，选其中 三条组成三角形，选法有三条组成三角形，选法有()A1种种 B2种种 C3种种 D4种种知知3 3练练（来自（来自典中点典中点）在复杂图形中数三角形个数的方法：在复杂图形中数三角形个数的方法：(1)按图形形成的过程按图形形成的过程(即重新画一遍图形，按照三角即重新画一遍图形，按照三角 形形成的先后顺序去数形形成的先后顺序去数)；(2)按三角形的大小顺序去数；按三角形的大小顺序去数；(3)可从图中的某一条边开始可从图中的某一条边开始沿着一定方向沿着一定方向去数；去数；(4)先固定一个顶点，按照一定的顺序不断变换另两个先固定一个顶点，按照一定的顺序不断变换另两个 顶点去数顶点去数（来自（来自典中点典中点）1.必做必做:完成教材完成教材P69 T1-32.补补充充:请请完完成成典中点典中点剩余部分剩余部分习题习题