人教版中学七7年级下册数学期末质量监测(附答案).doc

人教版中学七7年级下册数学期末质量监测（附答案）
一、选择题
1．9的算术平方根是（）
A．-3 B．3 C． D．
2．在以下现象中，属于平移的是（ ）
①在荡秋千的小朋友的运动；②坐观光电梯上升的过程；③钟面上秒针的运动；④生产过程中传送带上的电视机的移动过程．
A．①② B．②④ C．②③ D．③④
3．已知点P的坐标为P（3，﹣5），则点P在第（　　）象限．
A．一 B．二 C．三 D．四
4．下列语句中：①同角的补角相等；②雪是白的；③画；④他是小张吗？⑤两直线相交只有一个交点．其中是命题的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图，如果AB∥EF，EF∥CD，下列各式正确的是（ ）

A．∠1+∠2−∠3=90° B．∠1−∠2+∠3=90° C．∠1+∠2+∠3=90° D．∠2+∠3−∠1=180°
6．下列结论正确的是（ ）
A．的平方根是 B．没有立方根
C．立方根等于本身的数是0 D．
7．如图，直线，E为上一点，G为上一点，，垂足为F，若，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
8．如图，在平面直角坐标系中，，，，……根据这个规律，探究可得点的坐标是（ ）

A． B． C． D．
九、填空题
9．计算：的结果为_____．
十、填空题
10．在平面直角坐标系中，若点和点关于轴对称，则____．
十一、填空题
11．如图，在中，.三角形的外角和的角平分线交于点E，则_____度.

十二、填空题
12．如图：已知AB∥CD，CE∥BF，∠AEC＝45°，则∠BFD＝_____．

十三、填空题
13．如图，在中，，点D是的中点，点E在上，将沿折叠，若点B的落点在射线上，则与所夹锐角的度数是________．

十四、填空题
14．观察下列等式：1﹣＝，2﹣＝，3﹣＝，4﹣＝，…，根据你发现的规律，则第20个等式为_____．
十五、填空题
15．如图，直线经过原点，点在轴上，于．若A（4，0），B（m，3），C（n，-5），则______．

十六、填空题
16．如图，在平面直角坐标系中，将正方形①依次平移后得到正方形②，③，④…；相应地，顶点A依次平移得到A1，A2，A3，…，其中A点坐标为（1，0），A1坐标为（0，1），则A20的坐标为__________．

十七、解答题
17．(1)已知，求x的值；
(2)计算：.
十八、解答题
18．求下列各式中的x值：
(1)169x2＝144；
(2)(x－2)2－36＝0.
十九、解答题
19．阅读下列推理过程，在括号中填写理由．
已知：如图，点、分别是线段、上的点，平分，，，交于点．

求证：平分．
证明：平分（已知）
（ ）
（已知）
（ ）
（ ）
（等量代换）
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
平分（ ）
二十、解答题
20．三角形ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点为坐标原点，，，．

（1）将向右平移4个单位长度得到，画出平移后的；
（2）将向下平移5个单位长度得到，画出平移后的；
（3）直接写出三角形的面积为______平方单位．（直接写出结果）
二十一、解答题
21．一个正数的两个平方根为和，是的立方根，的小数部分是，求的平方根．
二十二、解答题
22．喜欢探究的亮亮同学拿出形状分别是长方形和正方形的两块纸片，其中长方形纸片的长为，宽为，且两块纸片面积相等．

（1）亮亮想知道正方形纸片的边长，请你帮他求出正方形纸片的边长；（结果保留根号）
（2）在长方形纸片上截出两个完整的正方形纸片，面积分别为和，亮亮认为两个正方形纸片的面积之和小于长方形纸片的总面积，所以一定能截出符合要求的正方形纸片来，你同意亮亮的见解吗？为什么？（参考数据：，）
二十三、解答题
23．已知：如图（1）直线AB、CD被直线MN所截，∠1＝∠2．

（1）求证：AB//CD；
（2）如图（2），点E在AB，CD之间的直线MN上，P、Q分别在直线AB、CD上，连接PE、EQ，PF平分∠BPE，QF平分∠EQD，则∠PEQ和∠PFQ之间有什么数量关系，请直接写出你的结论；
（3）如图（3），在（2）的条件下，过P点作PH//EQ交CD于点H，连接PQ，若PQ平分∠EPH，∠QPF：∠EQF＝1：5，求∠PHQ的度数．
二十四、解答题
24．如图，AB⊥AK，点A在直线MN上，AB、AK分别与直线EF交于点B、C，∠MAB+∠KCF=90°．

（1）求证：EF∥MN；
（2）如图2，∠NAB与∠ECK的角平分线交于点G，求∠G的度数；
（3）如图3，在∠MAB内作射线AQ，使∠MAQ=2∠QAB，以点C为端点作射线CP，交直线AQ于点T，当∠CTA=60°时，直接写出∠FCP与∠ACP的关系式．
二十五、解答题
25．如图，△ABC和△ADE有公共顶点A，∠ACB＝∠AED＝90°，∠BAC=45°，∠DAE=30°．
（1）若DE//AB，则∠EAC＝　 　；
（2）如图1，过AC上一点O作OG⊥AC，分别交AB、AD、AE于点G、H、F．
①若AO＝2，S△AGH＝4，S△AHF＝1，求线段OF的长；
②如图2，∠AFO的平分线和∠AOF的平分线交于点M，∠FHD的平分线和∠OGB的平分线交于点N，∠N+∠M的度数是否发生变化？若不变，求出其度数；若改变，请说明理由．

【参考答案】
一、选择题
1．B
解析：B
【分析】
根据算术平方根的概念可直接进行求解．
【详解】
解：∵，
∴9的算术平方根是3；
故选B．
【点睛】
本题主要考查算术平方根，熟练掌握求一个数的算术平方根是解题的关键．
2．B
【分析】
平移是指在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的移动，这样的图形运动叫作图形的平移运动，简称平移．平移不改变图形的形状和大小．平移可以不是水平的．据此解答．
【详解】
解析：B
【分析】
平移是指在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的移动，这样的图形运动叫作图形的平移运动，简称平移．平移不改变图形的形状和大小．平移可以不是水平的．据此解答．
【详解】
①在荡秋千的小朋友的运动，不是平移；
②坐观光电梯上升的过程，是平移；
③钟面上秒针的运动，不是平移；
④生产过程中传送带上的电视机的移动过程．是平移；
故选：B．
【点睛】
本题考查了图形的平移，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，学生易混淆图形的平移与旋转或翻转而误选．
3．D
【分析】
直接利用第四象限内的点横坐标大于0，纵坐标小于0解答即可．
【详解】
解：∵点P的坐标为P（3，﹣5），
∴点P在第四象限．
故选D．
【点睛】
本题主要考查了点的坐标，各象限坐标特点如下：第一象限（+，+），第二象限（-，+）第三象限（-，-）第一象限（+，-）．
4．C
【分析】
根据命题的定义分别对各语句进行判断．
【详解】
解：“同角的补角相等”是命题，“雪是白的”是命题；“画∠AOB=Rt∠”不是命题；“他是小张吗？”不是命题；“两直线相交只有一个交点”是命题．
故选：C．
【点睛】
本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式． 有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
5．D
【分析】
根据平行线的性质，即可得到∠3=∠COE，∠2+∠BOE=180°，进而得出∠2+∠3-∠1=180°．
【详解】
∵EF∥CD
∴∠3=∠COE
∴∠3−∠1=∠COE−∠1=∠BOE
∵AB∥EF
∴∠2+∠BOE=180°，即∠2+∠3−∠1=180°
故选：D．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，两条直线平行：内错角相等；两直线平行：同旁内角互补．
6．D
【分析】
根据平方根与立方根的性质逐项判断即可得．
【详解】
A、，8的平方根是，此项错误；
B、，此项错误；
C、立方根等于本身的数有，此项错误；
D、，
，此项正确；
故选：D．
【点睛】
本题考查了平方根与立方根的性质，掌握理解平方根与立方根的性质是解题关键．
7．C
【分析】
根据内角和定理可知的度数，再根据平行线的性质即可求得的度数．
【详解】
∵
∴
∵
∴
∵
∴．
故选：C
【点睛】
本题主要考查了三角形内角和定理及平行线的性质，熟练掌握相关角度计算方法是解决本题的关键．
8．B
【分析】
根据图形，找到点的坐标变换规律：横坐标依次为1、2、3、4、…、n，纵坐标依次为2、0、﹣2、0、…四个一循环，进而求解即可．
【详解】
解：观察图形可知，点的横坐标依次为1、2、3、
解析：B
【分析】
根据图形，找到点的坐标变换规律：横坐标依次为1、2、3、4、…、n，纵坐标依次为2、0、﹣2、0、…四个一循环，进而求解即可．
【详解】
解：观察图形可知，点的横坐标依次为1、2、3、4、…、n，纵坐标依次为2、0、﹣2、0、…四个一循环，且2021÷4=505…1，
∴点的坐标是（2021，2），
故选：B．
【点睛】
本题考查点坐标规律探究，找到点的坐标变换规律是解答的关键．
九、填空题
9．6
【分析】
根据算术平方根的定义即可求解．
【详解】
解：的结果为6．
故答案为6
【点睛】
考查了算术平方根，非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数
解析：6
【分析】
根据算术平方根的定义即可求解．
【详解】
解：的结果为6．
故答案为6
【点睛】
考查了算术平方根，非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．
十、填空题
10．【分析】
关于y轴对称的点的特征是纵坐标不变，横坐标变为相反数，据此解得a，b的值即可解题．
【详解】
解：∵点M（2a-7，2）和N（-3﹣b，a+b）关于y轴对称，
∴，
解得：，
则＝．
故
解析：
【分析】
关于y轴对称的点的特征是纵坐标不变，横坐标变为相反数，据此解得a，b的值即可解题．
【详解】
解：∵点M（2a-7，2）和N（-3﹣b，a+b）关于y轴对称，
∴，
解得：，
则＝．
故答案为：．
【点睛】
本题考查关于y轴对称的点的特征、涉及解二元一次方程组，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
十一、填空题
11．【分析】
如图，先根据三角形的内角和定理求出∠1+∠2的度数，再求出∠DAC+∠ACF的度数，然后根据角平分线的定义可求出∠3+∠4的度数，进而可得答案.
【详解】
解：如图，∵∠B=40°，∴∠
解析：【分析】
如图，先根据三角形的内角和定理求出∠1+∠2的度数，再求出∠DAC+∠ACF的度数，然后根据角平分线的定义可求出∠3+∠4的度数，进而可得答案.
【详解】
解：如图，∵∠B=40°，∴∠1+∠2=180°－∠B=140°，
∴∠DAC+∠ACF=360°－∠1－∠2=220°，
∵AE和CE分别是和的角平分线，
∴，
∴，
∴.
故答案为：70.

【点睛】
本题考查了三角形的内角和定理和角平分线的定义，属于基础题型，熟练掌握三角形的内角和定理和整体的数学思想是解题的关键.
十二、填空题
12．45°
【分析】
根据平行线的性质可得∠ECD＝∠AEC，∠BFD＝∠ECD，等量代换即可求出∠BFD．
【详解】
解：∵AB∥CD，
∴∠ECD＝∠AEC，
∵CE∥BF，
∴∠BFD＝∠ECD，
解析：45°
【分析】
根据平行线的性质可得∠ECD＝∠AEC，∠BFD＝∠ECD，等量代换即可求出∠BFD．
【详解】
解：∵AB∥CD，
∴∠ECD＝∠AEC，
∵CE∥BF，
∴∠BFD＝∠ECD，
∴∠BFD＝∠AEC，
∵∠AEC＝45°，
∴∠BFD＝45°．
故答案为：45°．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键．
十三、填空题
13．．
【分析】
根据折叠可得三角形全等，根据全等三角形的性质以及中点的性质可得， ，由等腰三角形性质以及三角形外角定理求得度数，在中根据内角和即可求得与所夹锐角的度数．
【详解】
如下图，连接DE，与
解析：．
【分析】
根据折叠可得三角形全等，根据全等三角形的性质以及中点的性质可得， ，由等腰三角形性质以及三角形外角定理求得度数，在中根据内角和即可求得与所夹锐角的度数．
【详解】
如下图，连接DE，与相交于点O，

将 △BDE 沿 DE 折叠，
，
,
又∵D为BC的中点，，
，
,
,
,
即与所夹锐角的度数是．
故答案为：．
【点睛】
本题考察了轴对称的性质、全等三角形的性质、中点的性质、三角形的外角以及内角和定理，综合运用以上性质定理是解题的关键．
十四、填空题
14．20﹣．
【分析】
观察已知等式，找出等式左边和右边的规律，再归纳总结出一般规律，由此即可得出答案．
【详解】
观察已知等式，等式左边的第一个数的规律为，第二个数的规律为：分子为，分母为
等式右边的
解析：20﹣．
【分析】
观察已知等式，找出等式左边和右边的规律，再归纳总结出一般规律，由此即可得出答案．
【详解】
观察已知等式，等式左边的第一个数的规律为，第二个数的规律为：分子为，分母为
等式右边的规律为：分子为，分母为
归纳类推得：第n个等式为（n为正整数）
当时，这个等式为，即
故答案为：．
【点睛】
本题考查了实数运算的规律型问题，从已知等式中归纳类推出一般规律是解题关键．
十五、填空题
15．【分析】
作三角形的高线，根据坐标求出BE、OA、OF的长，利用面积法可以得出BC•AD=32．
【详解】
解：过B作BE⊥x轴于E，过C作CF⊥y轴于F，
∵B（m，3），
∴BE=3，
∵A
解析：
【分析】
作三角形的高线，根据坐标求出BE、OA、OF的长，利用面积法可以得出BC•AD=32．
【详解】
解：过B作BE⊥x轴于E，过C作CF⊥y轴于F，

∵B（m，3），
∴BE=3，
∵A（4，0），
∴AO=4，
∵C（n，-5），
∴OF=5，
∵S△AOB=AO•BE=×4×3=6，
S△AOC=AO•OF=×4×5=10，
∴S△AOB+S△AOC=6+10=16，
∵S△ABC=S△AOB+S△AOC，
∴BC•AD=16，
∴BC•AD=32，
故答案为：32．
【点睛】
本题考查了坐标与图形性质，根据点的坐标表示出对应线段的长，面积法在几何问题中经常运用，要熟练掌握；本题根据面积法求出线段的积．
十六、填空题
16．（-19，8）
【分析】
求出A3，A6，A9的坐标，观察得出A3n横坐标为1−3n，可求出A18的坐标，从而可得结论．
【详解】
解：观察图形可知：A3（−2，1），A6（−5，2），A9（−8，
解析：（-19，8）
【分析】
求出A3，A6，A9的坐标，观察得出A3n横坐标为1−3n，可求出A18的坐标，从而可得结论．
【详解】
解：观察图形可知：A3（−2，1），A6（−5，2），A9（−8，3），•••，
∵−2＝1−3×1，−5＝1−3×2，−8＝1−3×3，
∴A3n横坐标为1−3n，
∴A18横坐标为：1−3×6＝−17，
∴A18（−17，6），
把A18向左平移2个单位，再向上平移2个单位得到A20，
∴A20（−19，8）．
故答案为：（−19，8）．
【点睛】
本题主要考查坐标系中点、线段的平移规律．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
十七、解答题
17．（1）x=3或x=-1；（2）
【分析】
（1）根据平方根的性质求解；
（2）根据绝对值、算术平方根和立方根的性质求解.
【详解】
(1)解：∵；
∴
∴x=3或x=-1
(2)原式=
，
【
解析：（1）x=3或x=-1；（2）
【分析】
（1）根据平方根的性质求解；
（2）根据绝对值、算术平方根和立方根的性质求解.
【详解】
(1)解：∵；
∴
∴x=3或x=-1
(2)原式=
，
【点睛】
本题考查平方根、算术平方根和立方根的运算，熟练掌握运算法则是解题关键.
十八、解答题
18．（1）x＝±；（2）x＝8或x＝－4.
【分析】
（1）移项后，根据平方根定义求解；
（2）移项后，根据平方根定义求解．
【详解】
解：(1)169x2＝144，
移项得：x2＝，
解得：x＝±.
解析：（1）x＝±；（2）x＝8或x＝－4.
【分析】
（1）移项后，根据平方根定义求解；
（2）移项后，根据平方根定义求解．
【详解】
解：(1)169x2＝144，
移项得：x2＝，
解得：x＝±.
(2)(x－2)2－36＝0，
移项得：(x－2)2＝36，
开方得：x-2=6或x-2=-6
解得：x＝8或x＝－4.
故答案为（1）x＝±；（2）x＝8或x＝－4.
【点睛】
本题考查利用平方根解方程，解答此题的关键是掌握平方根的概念.
十九、解答题
19．见解析
【分析】
根据平行线的性质，角平分线的定义填写理由即可．
【详解】
证明：平分（已知）
（角平分线的定义）
（已知）
（同位角相等，两直线平行）
（两直线平行，内错角相等）
（等量代换）
（
解析：见解析
【分析】
根据平行线的性质，角平分线的定义填写理由即可．
【详解】
证明：平分（已知）
（角平分线的定义）
（已知）
（同位角相等，两直线平行）
（两直线平行，内错角相等）
（等量代换）
（已知）
（两直线平行，同位角相等）
（两直线平行，内错角相等）
（等量代换）
平分（角平分线的定义）
【点睛】
本题考查了角平分线的定义，平行线的性质与判定，掌握平行线的性质与判定是解题的关键．
二十、解答题
20．（1）见解析；（2）见解析；（3）
【分析】
（1）把三角形的各顶点向右平移4个单位长度，得到、、的对应点、、，再顺次连接即可得到三角形；
（2）把三角形的各顶点向下平移5个单位长度，得到、、的对应
解析：（1）见解析；（2）见解析；（3）
【分析】
（1）把三角形的各顶点向右平移4个单位长度，得到、、的对应点、、，再顺次连接即可得到三角形；
（2）把三角形的各顶点向下平移5个单位长度，得到、、的对应点、、，再顺次连接即可得到三角形；
（3）三角形的面积等于边长为2的正方形的面积减去2个直角边长为2，1的直角三角形的面积和一个两直角边长为1，1的直角三角形的面积．
【详解】
解：（1）平移后的三角形如下图所示；

（2）平移后的三角形如下图所示；

（3）三角形的面积为边长为2的正方形的面积减去2个直角边长为2，1的直角三角形的面积和一个两直角边长为1，1的直角三角形的面积，
∴S△ABC

．
【点睛】
本题考查了作图平移变换，解题的关键是要掌握图形的平移要归结为图形顶点的平移；格点中的三角形的面积通常整理为长方形的面积与几个三角形的面积的差．
二十一、解答题
21．【分析】
根据平方根的性质即可求出的值，根据立方根的定义求得的值，根据求得的小数部分是，即可求得答案．
【详解】
∵一个正数的两个平方根为和，
∴，
解得：，
∵是的立方根，
∴，
解得：，
∵，
解析：
【分析】
根据平方根的性质即可求出的值，根据立方根的定义求得的值，根据求得的小数部分是，即可求得答案．
【详解】
∵一个正数的两个平方根为和，
∴，
解得：，
∵是的立方根，
∴，
解得：，
∵，
∴的整数部分是6，则小数部分是：，
∴，
∴的平方根为：．
【点睛】
本题考查了平方根的性质，立方根的定义，估算无理数的大小，解题的关键是正确理解平方根的定义以及“夹逼法”的运用．
二十二、解答题
22．（1）；（2）不同意，理由见解析
【分析】
（1）设正方形边长为，根据两块纸片面积相等列出方程，再根据算术平方根的意义即可求出x的值；
（2）根据两个正方形纸片的面积计算出两个正方形的边长，计算两个
解析：（1）；（2）不同意，理由见解析
【分析】
（1）设正方形边长为，根据两块纸片面积相等列出方程，再根据算术平方根的意义即可求出x的值；
（2）根据两个正方形纸片的面积计算出两个正方形的边长，计算两个正方形边长的和，并与3比较即可解答．
【详解】
解：（1）设正方形边长为，则，由算术平方根的意义可知，
所以正方形的边长是．
（2）不同意．
因为：两个小正方形的面积分别为和，则它们的边长分别为和．，即两个正方形边长的和约为，
所以，即两个正方形边长的和大于长方形的长，
所以不能在长方形纸片上截出两个完整的面积分别为和的正方形纸片．
【点睛】
本题考查了算术平方根的应用，解题的关键是读懂题意并熟知算术平方根的概念．
二十三、解答题
23．（1）见解析；（2）∠PEQ+2∠PFQ＝360°；（3）30°
【分析】
（1）首先证明∠1＝∠3，易证得AB//CD；
（2）如图2中，∠PEQ+2∠PFQ＝360°．作EH//AB．理由平行线
解析：（1）见解析；（2）∠PEQ+2∠PFQ＝360°；（3）30°
【分析】
（1）首先证明∠1＝∠3，易证得AB//CD；
（2）如图2中，∠PEQ+2∠PFQ＝360°．作EH//AB．理由平行线的性质即可证明；
（3）如图3中，设∠QPF＝y，∠PHQ＝x．∠EPQ＝z，则∠EQF＝∠FQH＝5y，想办法构建方程即可解决问题；
【详解】
（1）如图1中，

∵∠2＝∠3，∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3，
∴AB//CD．
（2）结论：如图2中，∠PEQ+2∠PFQ＝360°．
理由：作EH//AB．

∵AB//CD，EH//AB，
∴EH//CD，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠2+∠3＝∠1+∠4，
∴∠PEQ＝∠1+∠4，
同法可证：∠PFQ＝∠BPF+∠FQD，
∵∠BPE＝2∠BPF，∠EQD＝2∠FQD，∠1+∠BPE＝180°，∠4+∠EQD＝180°，
∴∠1+∠4+∠EQD+∠BPE＝2×180°，
即∠PEQ+2(∠FQD+∠BPF)=360°，
∴∠PEQ+2∠PFQ＝360°．
（3）如图3中，设∠QPF＝y，∠PHQ＝x．∠EPQ＝z，则∠EQF＝∠FQH＝5y，

∵EQ//PH，
∴∠EQC＝∠PHQ＝x，
∴x+10y＝180°，
∵AB//CD，
∴∠BPH＝∠PHQ＝x，
∵PF平分∠BPE，
∴∠EPQ+∠FPQ＝∠FPH+∠BPH，
∴∠FPH＝y+z﹣x，
∵PQ平分∠EPH，
∴Z＝y+y+z﹣x，
∴x＝2y，
∴12y＝180°，
∴y＝15°，
∴x＝30°，
∴∠PHQ＝30°．
【点睛】
本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义等知识．（2）中能正确作出辅助线是解题的关键；（3）中能熟练掌握相关性质，找到角度之间的关系是解题的关键．
二十四、解答题
24．（1）见解析；（2）∠CGA=45°；（3）∠FCP=2∠ACP或∠FCP+2∠ACP=180°．
【分析】
（1）有垂直定义可得∠MAB+∠KCN=90°，然后根据同角的余角相等可得∠KAN=∠K
解析：（1）见解析；（2）∠CGA=45°；（3）∠FCP=2∠ACP或∠FCP+2∠ACP=180°．
【分析】
（1）有垂直定义可得∠MAB+∠KCN=90°，然后根据同角的余角相等可得∠KAN=∠KCF，从而判断两直线平行；
（2）设∠KAN=∠KCF=α，过点G作GH∥EF，结合角平分线的定义和平行线的判定及性质求解；
（3）分CP交射线AQ及射线AQ的反向延长线两种情况结合角的和差关系分类讨论求解．
【详解】
解：（1）∵AB⊥AK
∴∠BAC=90°
∴∠MAB+∠KAN=90°
∵∠MAB+∠KCF=90°
∴∠KAN=∠KCF
∴EF∥MN
（2）设∠KAN=∠KCF=α
则∠BAN=∠BAC+∠KAN=90°＋α
∠KCB=180°－∠KCF=180°－α
∵AG平分∠NAB，CG平分∠ECK
∴∠GAN=∠BAN=45°＋α，∠KCG=∠KCB=90°－α
∴∠FCG=∠KCG+∠KCF=90°＋α
过点G作GH∥EF
∴∠HGC=∠FCG=90°＋α
又∵MN∥EF
∴MN∥GH
∴∠HGA=∠GAN=45°＋α
∴∠CGA=∠HGC－∠HGA=（90°＋α）－（45°＋α）=45°

（3）①当CP交射线AQ于点T

∵
∴
又∵
∴
由（1）可得：EF∥MN
∴
∵
∴
∵，
∴
∴
即∠FCP+2∠ACP=180°
②当CP交射线AQ的反向延长线于点T，延长BA交CP于点G

，由EF∥MN得
∴
又∵，，
∴

∵，
∴
∴
∴
由①可得
∴
∴
综上，∠FCP=2∠ACP或∠FCP+2∠ACP=180°．
【点睛】
本题考查平行线的判定和性质以及角的和差关系，准确理解题意，正确推理计算是解题关键．
二十五、解答题
25．（1）45°；（2）①1；②是定值，∠M+∠N=142.5°
【分析】
（1）利用平行线的性质求解即可．
（2）①利用三角形的面积求出GH，HF，再证明AO=OG=2，可得结论．
②利用角平分线的定
解析：（1）45°；（2）①1；②是定值，∠M+∠N=142.5°
【分析】
（1）利用平行线的性质求解即可．
（2）①利用三角形的面积求出GH，HF，再证明AO=OG=2，可得结论．
②利用角平分线的定义求出∠M，∠N（用∠FAO表示），可得结论．
【详解】
解：（1）如图，

∵AB∥ED
∴∠E=∠EAB=90°（两直线平行，内错角相等），
∵∠BAC=45°，
∴∠CAE=90°-45°=45°．
故答案为：45°．
（2）①如图1中，

∵OG⊥AC，
∴∠AOG=90°，
∵∠OAG=45°，
∴∠OAG=∠OGA=45°，
∴AO=OG=2，
∵S△AHG=•GH•AO=4，S△AHF=•FH•AO=1，
∴GH=4，FH=1，
∴OF=GH-HF-OG=4-1-2=1．
②结论：∠N+∠M=142.5°，度数不变．
理由：如图2中，

∵MF，MO分别平分∠AFO，∠AOF，
∴∠M=180°-（∠AFO+∠AOF）=180°-（180°-∠FAO）=90°+∠FAO，
∵NH，NG分别平分∠DHG，∠BGH，
∴∠N=180°-（∠DHG+∠BGH）
=180°-（∠HAG+∠AGH+∠HAG+∠AHG）
=180°-（180°+∠HAG）
=90°-∠HAG
=90°-（30°+∠FAO+45°）
=52.5°-∠FAO，
∴∠M+∠N=142.5°．
【点睛】
本题考查平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识，最后一个问题的解题关键是用∠FAO表示出∠M，∠N．