资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．如图，PA、PB都是⊙O的切线，切点分别为A、B． 四边形ACBD内接于⊙O，连接OP 则下列结论中错误的是（ ）
A．PA=PB B．∠APB+2∠ACB=180°
C．OP⊥AB D．∠ADB=2∠APB
2．下列各点中，在函数y=－图象上的是（ ）
A．（﹣2，4） B．（2，4） C．（﹣2，﹣4） D．（8，1）
3．有甲、乙、丙、丁四架机床生产一种直径为20mm圆柱形零件，从各自生产的零件中任意抽取10件进行检测，得出各自的平均直径均为20mm，每架机床生产的零件的方差如表：
机床型号
甲
乙
丙
丁
方差mm2
0.012
0.020
0.015
0.102
则在这四台机床中生产的零件最稳定的是（ ）．
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
4．如图，P是等腰直角△ABC外一点，把BP绕点B顺时针旋转90°到BP′，使点P′在△ABC内，已知∠AP′B＝135°，若连接P′C，P′A：P′C＝1：4，则P′A：P′B＝（ ）
A．1：4 B．1：5 C．2： D．1：
5．将抛物线y＝向左平移2个单位后，得到的新抛物线的解析式是（ ）
A． B．y＝
C．y＝ D．y＝
6．如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60°方向，距离灯塔60 n mile的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东45°方向上的B处，这时轮船B与小岛A的距离是( )
A． n mile B．60 n mile C．120 n mile D．n mile
7．如果点在双曲线上，那么m的值是（ ）
A． B． C． D．
8．一元二次方程的解是（ ）
A． B． C．， D．，
9．一个布袋里装有2个红球、3个黄球和5个白球，除颜色外其它都相同．搅匀后任意摸出一个球，是黄球的概率为( )
A． B． C． D．
10．学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置绕点旋转到位置，已知，，垂足分别为，，，，，则栏杆端应下降的垂直距离为( )
A． B． C． D．
11．圆锥形纸帽的底面直径是18cm，母线长为27cm，则它的侧面展开图的圆心角为（ ）
A．60° B．90° C．120° D．150°
12．以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题4分，共24分）
13．如图，点A、B分别在反比例函数y=(k1＞0) 和 y=(k2＜0)的图象上，连接AB交y轴于点P，且点A与点B关于P成中心对称.若△AOB的面积为4，则k1-k2=______.
14．如图，四边形的项点都在坐标轴上，若与面积分别为和，若双曲线恰好经过的中点，则的值为__________．
15．如图,点O是半径为3的圆形纸片的圆心,将这个圆形纸片按下列顺序折叠,使弧AB和弧BC都经过圆心O,则阴影部分的面积为______
16．如图，，与相交于点，若，，则的值是_______.
17．已知点A（a，1）与点A′（5，b）是关于原点对称，则a+b =________．
18．已知点和关于原点对称，则a+b=____.
三、解答题（共78分）
19．（8分）如图1，直线y＝kx+1与x轴、y轴分别相交于点A、B，将△AOB绕点A顺时针旋转，使AO落在AB上，得到△ACD，将△ACD沿射线BA平移，当点D到达x轴时运动停止．设平移距离为m，平移后的图形在x轴下方部分的面积为S，S关于m的函数图象如图2所示（其中0＜m≤2，2＜m≤a时，函数的解析式不同）
（1）填空：a＝ ，k＝ ；
（2）求S关于m的解析式，并写出m的取值范围．
20．（8分）定义：如果三角形的两个内角与满足，那么称这样的三角形为“类直角三角形”．
尝试运用
（1）如图1，在中，，，，是的平分线．
①证明是“类直角三角形”；
②试问在边上是否存在点（异于点），使得也是“类直角三角形”？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由．
类比拓展
（2）如图2，内接于，直径，弦，点是弧上一动点（包括端点，），延长至点，连结，且，当是“类直角三角形”时，求的长．
21．（8分）如图，已知，是一次函数与反比例函数图象的两个交点，轴于点，轴于点．
（1）求一次函数的解析式及的值；
（2）是线段上的一点，连结，若和的面积相等，求点的坐标．
22．（10分）（1）解方程．
（2）计算：．
23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，∠AOB=90°，AB∥x轴，OA=2，双曲线经过点A．将△AOB绕点A顺时针旋转，使点O的对应点D落在x轴的负半轴上，若AB的对应线段AC恰好经过点O．
（1）求点A的坐标和双曲线的解析式；
（2）判断点C是否在双曲线上，并说明理由
24．（10分）利客来超市销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低2元，平均每天可多售出4件．
（1）若降价6元，则平均每天销售数量为 件；
（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？
25．（12分）如图，在中，.以为直径的与交于点，与交于点，点在边的延长线上，且.
（1）试说明是的切线；
（2）过点作，垂足为.若，，求的半径；
（3）连接，设的面积为，的面积为，若，，求的长.
26．如图所示,是的直径，其半径为 ，扇形的面积为 .
（1）求的度数；
（2）求的长度.
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、D
【分析】连接，，根据PA、PB都是⊙O的切线，切点分别为A、B，得到，，所以A，C正确；根据得到，即，所以B正确；据此可得答案．
【详解】解：如图示，连接，，
、是的切线，
，，所以A，C正确；
又∵，，
∴在四边形APBO中，，
即，所以B正确；
∵D为任意一点，无法证明，故D不正确；
故选：D．
【点睛】
本题考查了圆心角和圆周角，圆的切线的性质和切线长定理，熟悉相关性质是解题的关键．
2、A
【分析】所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．本题只需把所给点的横纵坐标相乘，结果是﹣8的，就在此函数图象上
【详解】解:-2×4=-8
故选:A
【点睛】
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，掌握反比例函数性质是本题的解题关键．
3、A
【分析】根据方差的意义，找出方差最小的即可．
【详解】∵这四台机床的平均数相同，甲机床的方差是0.012，方差最小
∴在这四台机床中生产的零件最稳定的是甲；
故选：A．
【点睛】
本题考查了方差和平均数的知识；解题的关键是熟练掌握方差的性质，从而完成求解．
4、C
【分析】连接AP，根据同角的余角相等可得∠ABP＝∠CBP′，然后利用“边角边”证明△ABP和△CBP′全等，根据全等三角形对应边相等可得AP＝CP′，连接PP′，根据旋转的性质可得△PBP′是等腰直角三角形，然后求出∠AP′P是直角，再利用勾股定理用AP′表示出PP′，又等腰直角三角形的斜边等于直角边的倍，代入整理即可得解．
【详解】解：如图，连接AP，
∵BP绕点B顺时针旋转90°到BP′，
∴BP＝BP′，∠ABP+∠ABP′＝90°，
又∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB＝BC，∠CBP′+∠ABP′＝90°，
∴∠ABP＝∠CBP′，
在△ABP和△CBP′中，
∵，
∴△ABP≌△CBP′（SAS），
∴AP＝P′C，
∵P′A：P′C＝1：4，
∴AP＝4P′A，
连接PP′，则△PBP′是等腰直角三角形，
∴∠BP′P＝45°，PP′＝PB，
∵∠AP′B＝135°，
∴∠AP′P＝135°﹣45°＝90°，
∴△APP′是直角三角形，
设P′A＝x，则AP＝4x，
∴PP'＝，
∴P'B＝PB＝，
∴P′A：P′B＝2：，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查的是全等三角形的性质以及判定，掌握全等三角形的五种判定方法的解本题的关键.
5、A
【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律，进而得出平移后抛物线的解析式即可．
【详解】解：将抛物线y＝向左平移2个单位后，得到的新抛物线的解析式是：．故答案为A．
【点睛】
本题考查了二次函数图像的平移法则，即掌握“左加右减，上加下减”是解答本题的关键.
6、D
【分析】过点C作CD⊥AB，则在Rt△ACD中易得AD的长，再在直角△BCD中求出BD，相加可得AB的长．
【详解】过C作CD⊥AB于D点，
∴∠ACD=30°，∠BCD=45°，AC=1．
在Rt△ACD中，cos∠ACD=，
∴CD=AC•cos∠ACD=1×．
在Rt△DCB中，∵∠BCD=∠B=45°，
∴CD=BD=30，
∴AB=AD+BD=30+30．
答：此时轮船所在的B处与灯塔P的距离是（30+30）nmile．
故选D．
【点睛】
此题主要考查了解直角三角形的应用-方向角问题，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．
7、A
【分析】将点代入解析式中,即可求出m的值．
【详解】将点代入中，得：
故选A.
【点睛】
此题考查的是根据点所在的图象求点的纵坐标，解决此题的关键是将点的坐标代入解析式即可．
8、C
【解析】用因式分解法解一元二次方程即可.
【详解】
∴ 或
∴，
故选C.
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的解，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键.
9、B
【分析】用黄色小球的个数除以总个数可得．
【详解】解：搅匀后任意摸出一个球，是黄球的概率为
故答案为B．
【点睛】
本题考查了概率公式,解答的关键在于确定发生事件的总发生数和所求事件发生数.
10、C
【解析】分析：根据题意得△AOB∽△COD，根据相似三角形的性质可求出CD的长.
详解：∵，，
∴∠ABO=∠CDO,
∵∠AOB=∠COD,
∴△AOB∽△COD，
∴
∵AO=4m ，AB=1.6m ，CO=1m，
∴.
故选C.
点睛：本题考查了相似三角形的判定与性质，正确得出△AOB∽△COD是解题关键．
11、C
【分析】根据圆锥侧面展开图的面积公式以及展开图是扇形，扇形半径等于圆锥母线长度，再利用扇形面积求出圆心角．
【详解】解：根据圆锥侧面展开图的面公式为：πrl=π×9×27=243π，
∵展开图是扇形，扇形半径等于圆锥母线长度，
∴扇形面积为：
解得：n=1．
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了圆锥侧面积公式的应用以及与展开图各部分对应情况，得出圆锥侧面展开图等于扇形面积是解决问题的关键．
12、B
【解析】根据中心对称图形的概念，中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合．因此，只有选项B符合条件．故选B．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、1
【分析】作AC⊥y轴于C，BD⊥y轴于D，如图，先证明△ACP≌△BDP得到S△ACP=S△BDP，利用等量代换和k的几何意义得到=S△AOC+S△BOD=×|k1|+|k2|=4，然后利用k1＜0，k2＞0可得到k2-k1的值．
【详解】解：
作AC⊥y轴于C，BD⊥y轴于D，如图，
∵点A与点B关于P成中心对称.
∴P点为AB的中点，
∴AP=BP，
在△ACP和△BDP中
，
∴△ACP≌△BDP（AAS），
∴S△ACP=S△BDP，
∴S△AOB=S△APO+S△BPO=S△AOC+S△BOD=×|k1|+|k2|=4，
∴|k1|+|k2|=1
∵k1＞0，k2＜0，
∴k1-k2=1．
故答案为1．
【点睛】
本题考查了比例系数k的几何意义：在反比例函数y=图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变．也考查了反比例函数的性质．
14、6
【分析】根据AB//CD，得出△AOB与△OCD相似，利用△AOB与△OCD的面积分别为8和18，得：AO：OC=BO：OD=2：3，然后再利用同高三角形求得S△COB=12，设B、 C的坐标分别为（a，0）、（0，b），E点坐标为（a，b）进行解答即可.
【详解】解：∵AB//CD，
∴△AOB∽△OCD，
又∵△ABD与△ACD的面积分别为8和18，
∴△ABD与△ACD的面积比为4：9，
∴AO：OC=BO：OD=2：3
∵S△AOB=8
∴S△COB=12
设B、 C的坐标分别为（a，0）、（0，b），E点坐标为（a，b）
则OB=| a | 、OC=| b |
∴|a|×|b|=12即|a|×|b|=24
∴|a|×|b|=6
又∵，点E在第三象限
∴k=xy=a×b=6
故答案为6.
【点睛】
本题考查了反比例函数综合题应用，根据已知求出S△COB=12是解答本题的关键.
15、3π
【分析】作OD⊥AB于点D，连接AO,BO,CO，求出∠OAD=30°，得到∠AOB=120°，进而求得∠AOC=120°，从而得到阴影面积为圆面积的，再利用面积公式求解.
【详解】
如图，作OD⊥AB于点D，连接AO，BO，CO，
∵OD=AO，
∴∠OAD=30°，
∴∠AOB=2∠AOD=120°，
同理∠BOC=120°，
∴∠AOC=120°，
∴阴影部分的面积=S扇形AOC ==3π．
故答案为：3π．
【点睛】
本题考查了学生转化面积的能力，将不规则的面积转化为规则的面积是本题的解题关键.
16、
【分析】根据判定三角形相似，然后利用相似三角形的性质求解.
【详解】解：∵
∴△AEB∽△DEC
∴
故答案为：
【点睛】
本题考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形对应边成比例，难度不大.
17、-1
【解析】试题分析：根据关于原点对称的两点的横纵坐标分别互为相反数可知a＝－5，b＝－1，
所以a＋b＝(－5)＋(－1)=－1，
故答案为－1．
18、
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得a-1+2=0,b-1+1=0，再解方程即可求得a、b的值，再代入计算即可．
【详解】∵点和关于原点对称，
∴a-1+2=0,b-1+1=0，
∴a=-1,b=0,
∴a+b=-1.
故答案是：-1.
【点睛】
考查了关于原点对称的点的坐标特点，解题关键是运用了两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反．
三、解答题（共78分）
19、（1）a=4, k＝﹣；（2）S＝（0＜m≤2）或S＝﹣+m﹣1（2＜m≤4）
【分析】（1）先由函数图象变化的特点，得出m=2时的变化是三角形C点与A点重合时，从而得AC的值，进而得点A坐标，易求得点B坐标，从而问题易解得；
（2）当0＜m≤2时，平移后的图形在x轴下方部分为图中△AA′N；2＜m≤4时，平移后的图形在x轴下方部分的面积S为三角形ANA′的面积减去三角形AQC的面积．
【详解】（1）从图2看，m＝2时的变化是三角形C点与A点重合时，
∴AC＝2，
又∵OA＝AC
∴A（2，0），
∴k＝﹣，
由平移性质可知：∠FEM＝∠FAM＝∠DAC＝∠BAO，
从图中可知△EFM≌△AFM（AAS）
∴AM＝EM，
∴AM＝2，
∴a＝4；
（2）当0＜m≤2时，平移后的图形在x轴下方部分为图中△AA′N，则AA′＝m，翻折及平移知，
∠NAA′＝∠NA′A，
∴NA＝NA′，
过点N作NP⊥AA′于点P，则AP＝A′P＝，
由（1）知，OB＝1，OA＝2，则tan∠OAB＝，
则tan∠NAA′＝，
∴NP＝＝，
∴S＝×AA′×NP＝×m×＝
2＜m≤4时，如下图所示，可知CC′＝m，AC′＝m﹣2，AA′＝m，
同上可分别求得则AP＝A′P＝，NP＝＝，C′Q＝
∴S＝S△AA′N﹣S△AQC′＝﹣（m﹣2）×＝﹣+m﹣1
综上，S关于m的解析式为：S＝（0＜m≤2）或S＝﹣+m﹣1（2＜m≤4）
【点睛】
本题为动点函数问题，属于一次函数、二次函数的综合问题，难度比较大，能从函数图象中获得信息是关键．
20、（1）①证明见解析，②存在，；（2）或．
【分析】（1）①证明∠A+2∠ABD=90°即可解决问题．
②如图1中，假设在AC边设上存在点E（异于点D），使得△ABE是“类直角三角形”．证明△ABC∽△BEC，可得，由此构建方程即可解决问题．
（2）分两种情形：①如图2中，当∠ABC+2∠C=90°时，作点D关于直线AB的对称点F，连接FA，FB．则点F在⊙O上，且∠DBF=∠DOA．
②如图3中，由①可知，点C，A，F共线，当点E与D共线时，由对称性可知，BA平分∠FBC，可证∠C+2∠ABC=90°，利用相似三角形的性质构建方程即可解决问题．
【详解】（1）①证明：如图1中，
∵是的角平分线，
∴，
∵，∴，
∴，
∴为“类直角三角形”．
②如图1中，假设在边设上存在点（异于点），使得是“类直角三角形”．在
中，∵，，
∴，
∵，
∴，
∵
∴，∴，
∴，
∴，
（2）∵是直径，∴，∵，，∴，
①如图2中，当时，作点关于直线的对称点，连接，．则点在上，且，
∵，且，∴，∴，，共线，
∵∴，∴，∴，即
∴．
②如图3中，由①可知，点，，共线，当点与共线时，由对称性可知，平分，
∴，∵，，∴，
∴，即，∴，且中
解得
综上所述，当是“类直角三角形”时，的长为或．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，“类直角三角形”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
21、（1），m的值为-2;（2）P点坐标为.
【分析】（1）由已知条件求出点A，及m的值，将点A，点B代入一次函数解析式即可求出一次函数解析式；
（2）设P点坐标为，根据“和的面积相等”，表达出两个三角形的面积，求出点P坐标．
【详解】（1）把B（-1，2）代入中得
在反比例函数图象上
都在一次函数图象上
解得
∴一次函数解析式为，m的值为-2
（2）设P点坐标为
则
∴P点坐标为
【点睛】
本题考查了反比例函数一次函数，反比例函数与几何的综合知识，解题的关键是灵活运用函数与几何的知识．
22、（1），；（2）．
【分析】（1）根据题意直接运用公式法解一元二次方程即可；
（2）根据题意运用幂的运算以及特殊锐角三角函数进行计算即可.
【详解】解：（1）由题意可知，
，.
（2）
．
【点睛】
本题考查解一元二次方程以及实数的运算，熟练掌握实数运算法则以及解一元二次方程的解法是解本题的关键．
23、（1），双曲线的解析式为；（2）点在双曲线上，理由见解析.
【分析】（1）根据旋转的性质和平行线的性质，得到，得到△AOD是等边三角形，根据特殊角的三角函数，求出点A的坐标，然后得到双曲线的解析式；
（2）先求出OC的长度，然后利用特殊角的三角函数求出点C的坐标，然后进行判断即可.
【详解】解：（1）过点A作轴，垂足为．
∵轴，
．
有旋转的性质可知，．
．
．
为等边三角形．
．
，
．
点的坐标为．
由题意知，，．
双曲线的解析式为：．
（2）点在双曲线上，理由如下：
过点作轴，垂足为．
由（1）知，．
．
．
，
．
点的坐标为．
将代入中，．
点在双曲线上．
【点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，特殊角的三角函数等，求得△AOD是等边三角形是解题的关键．
24、（1）32；（2）每件商品应降价2元时，该商店每天销售利润为12元．
【分析】（1）根据销售单价每降低2元，平均每天可多售出4件，可得若降价6元，则平均每天可多售出3×4＝12件，即平均每天销售数量为1+12＝32件；
（2）利用商品平均每天售出的件数×每件盈利＝每天销售这种商品利润列出方程解答即可．
【详解】解：（1）若降价6元，则平均每天销售数量为1+4×3＝32件．
故答案为32；
（2）设每件商品应降价x元时，该商店每天销售利润为12元．
根据题意，得 （40﹣x）（1+2x）＝12，
整理，得x2﹣30x+2＝0，
解得：x1＝2，x2＝1．
∵要求每件盈利不少于25元，
∴x2＝1应舍去，
解得：x＝2．
答：每件商品应降价2元时，该商店每天销售利润为12元．
【点睛】
此题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系进行列方程.
25、（1）详见解析；（2）3；（3）.
【分析】（1）根据切线的判断方法证明即可求解；
（2）根据即可求出AB即可求解；
（3）连接.求出为中点，得到，根据，设，，得到，，求出得到，，再根据勾股定理即可求解.
【详解】（1）证明：连接.
∵为直径，∴.又∵，
∴，
∵，∴.
∵，∴，
即.
又∵是直径，
∴与相切.
（2）解：∵，∴，
又∵，，
∴，
∴，∴.
∵，，∴，∴.
∵，
∴，∴的半径是3.
（3）解：连接.∵为直径，∴.
∵，，∴为中点，∴.
又∵，设，，∴，，
∴，∴.
又∵，∴，.
∵在中，，
∴在中，.
【点睛】
此题主要考查圆的切线综合，解题的关键是熟知三角函数的性质、切线的判定、勾股定理的应用.
26、（1）60°；（2）
【分析】（1）根据扇形面积公式求圆心角的度数即可；（2）由第一问，求得∠BOC
的度数，然后利用弧长公式求解.
【详解】由扇形面积公式得：
∴的长度为：
【点睛】
本题考查扇形面积和弧长的求法，熟练掌握公式正确进行计算是本题的解题关键.
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