初三圆的经典例题.doc

龙哥家教经典选题
有关圆的经典例题

1.
分析：根据题意，需要自己画出图形进行解答，在画图时要注意AB与AC有不同的位置关系。
解：由题意画图，分AB、AC在圆心O的同侧、异侧两种情况讨论，
当AB、AC在圆心O的异侧时，如下图所示，

过O作OD⊥AB于D，过O作OE⊥AC于E，

∴∠OAD=30°，∠OAE=45°，故∠BAC=75°，
当AB、AC在圆心O同侧时，如下图所示，

同理可知∠OAD=30°，∠OAE=45°，
∴∠BAC=15°
点拨：本题易出现只画出一种情况，而出现漏解的错误。

例2. 如图：△ABC的顶点A、B在⊙O上，⊙O的半径为R，⊙O与AC交于D，

（1）求证：△ABC是直角三角形；

分析：
则AF=FB，OD⊥AB，可证DF是△ABC的中位线；
（2）延长DO交⊙O于E，连接AE，由于∠DAE=90°，DE⊥AB，∴△ADF

解：（1）证明，作直径DE交AB于F，交圆于E

又∵AD=DC

∴AB⊥BC，∴△ABC是直角三角形。
（2）解：连结AE
∵DE是⊙O的直径
∴∠DAE=90°
而AB⊥DE，∴△ADF∽△EDA

例3. 如图，在⊙O中，AB=2CD，那么（ ）

分析：

解：解法（一），如图，过圆心O作半径OF⊥AB，垂足为E，

∵
在△AFB中，有AF+FB>AB

∴选A。
解法（二），如图，作弦DE=CD，连结CE

在△CDE中，有CD+DE>CE
∴2CD>CE
∵AB=2CD，∴AB>CE

∴选A。

例4.
求CD的长。

分析：连结BD，由AB=BC，可得DB平分∠ADC，延长AB、DC交于E，易得△EBC∽△EDA，又可判定AD是⊙O的直径，得∠ABD=90°，可证得△ABD≌△EBD，得DE=AD，利用△EBC∽△EDA，可先求出CE的长。
解：延长AB、DC交于E点，连结BD

∵⊙O的半径为2，∴AD是⊙O的直径
∴∠ABD=∠EBD=90°，又∵BD=BD
∴△ABD≌△EBD，∴AB=BE=1，AD=DE=4
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠EBC=∠EDA，∠ECB=∠EAD

例5.
于H，交⊙O于点E，交AC于点F，P为ED的延长线上一点。

（1）当△PCF满足什么条件时，PC与⊙O相切，为什么？

分析：由题意容易想到作辅助线OC，
（1）要使PC与⊙O相切，只要使∠PCO=90°，问题转化为使∠OCA+∠PCF=∠FAH+∠AFH就可以了。

解：（1）当PC=PF，（或∠PCF=∠PFC）时，PC与⊙O相切，
下面对满足条件PC=PF进行证明，
连结OC，则∠OCA=∠FAH，
∵PC=PF，∴∠PCF=∠PFC=∠AFH，
∵DE⊥AB于H，∴∠OCA+∠PCF=∠FAH+∠AFH=90°
即OC⊥PC，∴PC与⊙O相切。

即AD2=DE·DF
点拨：本题是一道条件探索问题，第（1）问是要探求△PCF满足什么条件时，PC与⊙O相切，可以反过来，把PC与⊙O相切作为条件，探索△PCF的形状，显然有多个答案；第（2）问也可将AD2=DE·DF作为条件，寻找两个三角形相似，探索出点D的位置。

例6.
D作半圆的切线交AB于E，切点为F，若AE：BE=2：1，求tan∠ADE的值。

分析：要求tan∠ADE，在Rt△AED中，若能求出AE、AD，根据正切的定义就可以得到。ED=EF+FD，而EF=EB，FD=CD，结合矩形的性质，可以得到ED和AE的关系，进一步可求出AE：AD。
解：∵四边形ABCD为矩形，∴BC⊥AB，BC⊥DC
∴AB、DC切⊙O于点B和点C，
∵DE切⊙O于F，∴DF=DC，EF=EB，即DE=DC+EB，
又∵AE：EB=2：1，设BE=x，则AE=2x，DC=AB=3x，
DE=DC+EB=4x，
在Rt△AED中，AE=2x，DE=4x，

点拨：本题中，通过观察图形，两条切线有公共点，根据切线长定理，得到相等线段。

例7. 已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，且点O2在⊙O1上，
（1）如下图，AD是⊙O2的直径，连结DB并延长交⊙O1于C，求证CO2⊥AD；

（2）如下图，如果AD是⊙O2的一条弦，连结DB并延长交⊙O1于C，那么CO2所在直线是否与AD垂直？证明你的结论。

分析：（1）要证CO2⊥AD，只需证∠CO2D=90°，即需证∠D+∠C=90°，考虑到AD是⊙O2的直径，连结公共弦AB，则∠A=∠C，∠DBA=90°，问题就可以得证。
（2）问题②是一道探索性的问题，好像难以下手，不妨连结AC，直观上看，AC等于CD，到底AC与CD是否相等呢？考虑到O2在⊙O1上，连结AO2、DO2、BO2，可得∠1=∠2，且有△AO2C≌△DO2C，故CA=CD，可得结论CO2⊥AD。
解：（1）证明，连结AB，AD为直径，则∠ABD=90°
∴∠D+∠BAD=90°
又∵∠BAD=∠C，∴∠D+∠C=90°
∴∠CO2D=90°，∴CO2⊥AD
（2）CO2所在直线与AD垂直，
证明：连结O2A、O2B、O2D、AC
在△AO2C与△DO2C中

∵∠O2BD=∠O2AC，又∠O2BD=∠O2DB，∴∠O2AC=∠O2DB
∵O2C=O2C，∴△AO2C≌△DO2C，∴CA=CD，
∴△CAD为等腰三角形，
∵CO2为顶角平分线，∴CO2⊥AD。

例8. 如下图，已知正三角形ABC的边长为a，分别为A、B、C为圆心，

积S。（图中阴影部分）

分析：阴影部分面积等于三角形面积减去3个扇形面积。
解：

分析：因三个扇形的半径相等，把三个扇形拼成一个扇形来求，因为∠A+∠B+∠C=180°，

原题可在上一题基础上进一步变形：⊙A1、⊙A2、⊙A3…⊙An相外离，它们的半径都是1，顺次连结n个圆心得到的n边形A1A2A3…An，求n个扇形的面积之和。
解题思路同上。
解：

一、填空题（10×4=40分）
1. 已知：一个圆的弦切角是50°，那么这个弦切角所夹的弧所对的圆心角的度数为___________。
2. 圆内接四边形ABCD中，如果∠A：∠B：∠C=2：3：4，那么∠D=___________度。
3. 若⊙O的半径为3，圆外一点P到圆心O的距离为6，则点P到⊙O的切线长为___________。
4. 如图所示CD是⊙O的直径，AB是弦，CD⊥AB于M，则可得出AM=MB，等多个结论，请你按现有的图形再写出另外两个结论：___________。

5. ⊙O1与⊙O2的半径分别是3和4，圆心距为，那么这两圆的公切线的条数是___________。
6. 圆柱的高是13cm，底面圆的直径是6cm，则它的侧面展开图的面积是___________。
7. 已知：如图所示，有一圆弧形桥拱，拱的跨度AB=16cm，拱高CD=4cm，那么拱形的半径是___________。

8. 若PA是⊙O的切线，A为切点，割线PBC交⊙O于B，若BC=20，PA=，则PC的长为___________。

9．如图5，△内接于⊙O，点是上任意一点（不与重合），的取值范围是 ．

（第9题图）
10．如图，量角器外沿上有A、B两点，它们的读数分别是70°、40°，则∠1的度数为 .
11．已知的半径是3，圆心O到直线l的距离是3，则直线l与的位置关系是 ．
°
°
O
12．如图，已知点E是圆O上的点， B、C分别是劣弧的三等分点， ，则的度数为 ．

13．如图，中，，．将绕所在的直线旋转一周得到一个旋转体，该旋转体的侧面积 ．（取3.14，结果保留两个有效数字）
图8
第14题图
f
A
B
C
14．如图8，两个同心圆的半径分别为2和1，，则阴影部分的面积为

A
O
B
N
M

15．如图，是的直径，为弦，，过点的的切线交延长线于点．若，则的半径为 cm．
16．如图，是由绕点顺时针旋转而得，且点在同一条直线上，在中，若，，，则斜边旋转到所扫过的扇形面积为 ．C
B
A

（15题图）
O
A
D
P
E
B
C
（第17题图）

17．如图，从圆O外一点引圆O的两条切线，切点分别是，若，是上的一个动点（点与两点不重合），过点作圆O的切线，分别交于点，则的周长是 ．
18、在平面内，⊙O的半径为5cm，点P到圆心O的距离为3cm，则点P与⊙O的位置关系是 .
19．如图8，在中，．将其绕点顺时针旋转一周，则分别以为半径的圆形成一圆环．则该圆环的面积为 ．
20．如图9，点是上两点，，点是上的动点（与不重合）连结，过点分别作于点，于点，则 ．
A
C
B
图8
A
E
O
F
B
P
图9

三、解答题：
1. 已知：如图所示，⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，过B点作⊙O1的切线交⊙O2于D，连结DA并延长与⊙O1相交于C点，连结BC。过A点作AE∥BC与⊙O2相交于E点，与BD相交于F点。

（1）求证：EF·BC=DE·AC；
（2）若AD=3，AC=1，AF，求EF的长。
2. 某单位搞绿化，要在一块图形的空地上种四种颜色的花，为了便于管理和美观，相同颜色的花集中种植，且每种颜色的花所占的面积相同，现征集设计方案，要求设计的图案成轴对称图形或中心对称图形。请在如图所示的圆中画出三种设计方案。（只画示意图，不写作法）。

3. 已知：△ABC是⊙O的内接三角形，BT为⊙O的切线，B为切点，P为直线AB上一点，过点P作BC的平行线交直线BT于点E，交直线AC于点F。
（1）如图所示，当点P在线段AB上时，求证：PA·PB=PE·PF；

（2）当点P为线段BA延长线上一点时，第（1）题的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；
（3）若AB，求⊙O的半径。
4．如图，是的内接三角形，点是优弧上一点（点不与重合），设，．（1）当时，求的度数；（2）猜想与之间的关系，并给予证明．

A
D
B
O
C
E
5、（８分）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以BC为直径的半圆O与边AB相交于点D，切线DE⊥AC，垂足为点E．
求证：（1）△ABC是等边三角形；（2）．

D
C
O
A
B
E
6、已知：如图，在中，，点在上，以为圆心，长为半径的圆与分别交于点，且．
（1）判断直线与的位置关系，并证明你的结论；
（2）若，，求的长．

7、如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，⊙O为内切圆，E为切点，
（Ⅰ）求的度数；（Ⅱ）若cm，cm，求OE的长．

8、已知Rt△ABC中，，，有一个圆心角为，半径的长等于的扇形绕点C旋转，且直线CE，CF分别与直线交于点M，N．
（Ⅰ）当扇形绕点C在的内部旋转时，如图①，求证：；
C
A
B
E
F
M
N
图①
C
A
B
E
F
M
N
图②
（Ⅱ）当扇形CEF绕点C旋转至图②的位置时，关系式是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

9．如图，内接于，过点的直线交于点，交的延长线于点，．（1）求证：；（2）如果，的半径为1，且为的中点，求的长．

10．(本题满分10分)已知：如图，在半径为4的⊙O中，AB，CD是两条直径，M为OB的中点，CM的延长线交⊙O于点E，且EM＞MC．连结DE，DE=.
(1) 求证：；(2) 求EM的长；
（3）求sin∠EOB的值.

11．（本题满分10分，第（1）小题满分3分，第（2）小题满分7分）
O
C
A
D
E
H
图8
“创意设计”公司员工小王不慎将墨水泼在一张设计图纸上，导致其中部分图形和数据看不清楚（如图7所示）．已知图纸上的图形是某建筑物横断面的示意图，它是以圆的半径所在的直线为对称轴的轴对称图形，是与圆的交点．
图7

（1）请你帮助小王在图8中把图形补画完整；
第12题图
C
O
B
A
D
M
E
N
（2）由于图纸中圆的半径的值已看不清楚，根据上述信息（图纸中是坡面的坡度），求的值．

12．已知，如图，直线交于两点，是直径，平分交于，过作于．
（1）求证：是的切线；
（2）若cm，cm，求的半径．

3、通过活动，使学生养成博览群书的好习惯。
B比率分析法和比较分析法不能测算出各因素的影响程度。√
C采用约当产量比例法，分配原材料费用与分配加工费用所用的完工率都是一致的。Ｘ
C采用直接分配法分配辅助生产费用时，应考虑各辅助生产车间之间相互提供产品或劳务的情况。错
C产品的实际生产成本包括废品损失和停工损失。√
C成本报表是对外报告的会计报表。×
C成本分析的首要程序是发现问题、分析原因。×
C成本会计的对象是指成本核算。×
C成本计算的辅助方法一般应与基本方法结合使用而不单独使用。√
C成本计算方法中的最基本的方法是分步法。X
D当车间生产多种产品时，“废品损失”、“停工损失”的借方余额，月末均直接记入该产品的产品成本
中。×
D定额法是为了简化成本计算而采用的一种成本计算方法。×
F“废品损失”账户月末没有余额。√
F废品损失是指在生产过程中发现和入库后发现的不可修复废品的生产成本和可修复废品的修复费用。Ｘ
F分步法的一个重要特点是各步骤之间要进行成本结转。(√)
G各月末在产品数量变化不大的产品，可不计算月末在产品成本。错
G工资费用就是成本项目。(×)
G归集在基本生产车间的制造费用最后均应分配计入产品成本中。对
J计算计时工资费用，应以考勤记录中的工作时间记录为依据。(√)
J简化的分批法就是不计算在产品成本的分批法。(×)
J简化分批法是不分批计算在产品成本的方法。对
J加班加点工资既可能是直接计人费用，又可能是间接计人费用。√
J接生产工艺过程的特点，工业企业的生产可分为大量生产、成批生产和单件生产三种，X
K可修复废品是指技术上可以修复使用的废品。错
K可修复废品是指经过修理可以使用，而不管修复费用在经济上是否合算的废品。Ｘ
P品种法只适用于大量大批的单步骤生产的企业。×
Q企业的制造费用一定要通过“制造费用”科目核算。Ｘ
Q企业职工的医药费、医务部门、职工浴室等部门职工的工资，均应通过“应付工资”科目核算。Ｘ
S生产车间耗用的材料，全部计入“直接材料”成本项目。Ｘ
S适应生产特点和管理要求，采用适当的成本计算方法，是成本核算的基础工作。(×)
W完工产品费用等于月初在产品费用加本月生产费用减月末在产品费用。对
Y“预提费用”可能出现借方余额，其性质属于资产，实际上是待摊费用。对
Y引起资产和负债同时减少的支出是费用性支出。X
Y以应付票据去偿付购买材料的费用，是成本性支出。X
Y原材料分工序一次投入与原材料在每道工序陆续投入，其完工率的计算方法是完全一致的。Ｘ
Y运用连环替代法进行分析，即使随意改变各构成因素的替换顺序，各因素的影响结果加总后仍等于指标的总差异，因此更换各因索替换顺序，不会影响分析的结果。(×)
Z在产品品种规格繁多的情况下，应该采用分类法计算产品成本。对
Z直接生产费用就是直接计人费用。X
Z逐步结转分步法也称为计列半成品分步法。√

A按年度计划分配率分配制造费用，“制造费用”账户月末(可能有月末余额/可能有借方余额/可能有贷方余额/可能无月末余额)。
A按年度计划分配率分配制造费用的方法适用于(季节性生产企业)

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北京海淀区