八年级数学下册期末试卷测试卷附答案(1).doc

八年级数学下册期末试卷测试卷附答案(1)
一、选择题
1．要使二次根式有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x≠9 B．x＞9 C．x≤9 D．x≥9
2．如图，正方形网格中的，若小方格边长为，则的形状为（ ）

A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．以上答案都不对
3．下列各组条件中，不能判断一个四边形是平行四边形的是（ ）
A．两组对边分别平行的四边形 B．两组对角分别相等的四边形
C．一组对边平行另一组对边相等的四边形 D．两条对角线互相平分的四边形
4．一次数学测试后，随机抽取八年级三班6名学生的成绩如下：80，85，86，88，88，95．关于这组数据的错误说法是（ ）
A．极差是15 B．中位数是86 C．众数是88 D．平均数是87
5．如图，已知点E、F、G、H分别是矩形ABCD各边的中点，则四边形EFGH是（ ）

A．矩形 B．菱形 C．矩形或菱形 D．不能确定的
6．如图，在中，，点在边上，，，．若与关于直线对称，则线段的长为（ ）

A． B． C． D．
7．如图，△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1、l2、l3上，且l1、l2之间的距离为1，l2、l3之间的距离为3，则AC的长是（ ）

A．4 B．5 C．5 D．10
8．一辆货车从甲地匀速驶往乙地用了2.7h，到达后用了0.5h卸货，随即匀速返回，已知货车返回的速度是它从甲地驶往乙地速度的1.5倍，货车离甲地的距离y（km）关于时间x（h）的函数图象如图所示，则a等于（　　）

A．4.7 B．5.0 C．5.4 D．5.8
二、填空题
9．△ABC的三条边长、、满足，，则△ABC____直角三角形（填“是”或“不是”）
10．如图，菱形的对角线、相交于点，点、分别为边、的中点，连接，若，，则菱形的面积为______．

11．《九章算术》是我国古代重要的数学著作之一，其中记载了一道“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？译为：如图所示，中，求的长．在这个问题中，可求得的长为_________．

12．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠AOD=120°，AC=4，则△ABO的周长为_____________．

13．若直线y＝kx+b与直线y＝2x﹣3平行且经过点A（1，﹣2），则kb＝_____．
14．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件________使其成为菱形（只填一个即可）．　

15．A，B两地相距60km，甲、乙两人从两地出发相向而行，甲先出发，如图，l1，l2表示两人离A地的距离：s（km）与时间t（h）的关系，则乙出发_____h两人恰好相距5千米．

16．如图，正方形ABCD的面积为144，点H是边DC上的一个动点，将正方形沿过点H的直线GH折叠（点G在边AB上），使顶点D的对应点E恰好落在BC边上的三等分点处，则线段DH的长是___．

三、解答题
17．计算题
（1）＋2＋3；
（2）（）×；
（3）（1﹣）0；
（4）（＋1）（﹣1）﹣．
18．如图，有一直立标杆，它的上部被风从B处吹折，杆顶C着地，离杆脚2m，修好后又被风吹折，因新断处D比前一次低0.5m，故杆顶E着地比前次远1m，求原标杆的高度．

19．图1、图2是两张形状和大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AB的两个端点均在小正方形的顶点上．

（1）在图1中画出一个以AB为一边正方形ABCD，使点C、D在小正方形的顶点上；
（2）在图2中画出一个以AB为一边，面积为6的□ABEF，使点E、F均在小正方形的顶点上，并直接写出□ABEF周长．
20．如图，在正方形中，点，在上，且．

求证：（1）．
（2）四边形是菱形．
21．先阅读下列解答过程，然后再解答：小芳同学在研究化简中发现：首先把化为﹐由于，，即：， ，所以，
问题：
（1）填空：__________，____________﹔
（2）进一步研究发现：形如的化简，只要我们找到两个正数a，b（），使，，即，﹐那么便有： __________．
（3）化简：（请写出化简过程）
22．我国传统的计重工具﹣﹣秤的应用，方便了人们的生活，如图1，可以用秤砣到秤纽的水平距离，来得出秤钩上所挂物体的重量．称重时，若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为x（厘米）时，秤钩所挂物重为y（斤）．如表中为若干次称重时所记录的一些数据．
x（厘米）
1
2
4
8
y（斤）
0.75
1.00
1.50
2.5
（1）在图2中将表x，y的数据通过描点的方法表示，观察判断x，y的函数关系，并求秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为16厘米时，秤钩所挂物重是多少斤？
（2）已知秤砣到秤纽的最大水平距离为50厘米，这杆秤的可称物重范围是多少斤？

23．如图，在平面直角坐标系中，已知▱OABC的顶点A（10，0）、C（2，4），点D是OA的中点，点P在BC上由点B向点C运动．
（1）求点B的坐标；
（2）若点P运动速度为每秒2个单位长度，点P运动的时间为t秒，当四边形PCDA是平行四边形时，求t的值；
（3）当△ODP是等腰三角形时，直接写出点P的坐标．

24．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交、两点，与直线相交于点，
（1）求点、的坐标；
（2）求和的值；
（3）若直线与轴相交于点．动点从点开始，以每秒个单位的速度向轴负方向运动，设点的运动时间为秒，
①若点在线段上，且的面积为，求的值；
②是否存在的值，使为等腰三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

25．综合与实践：如图1，在正方形中，连接对角线，点O是的中点，点E是线段上任意一点（不与点A，O重合），连接，．过点E作交直线于点F．

（1）试猜想线段与的数量关系，并说明理由；
（2）试猜想线段之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图2，当E在线段上时（不与点C，O重合），交延长线于点F，保持其余条件不变，直接写出线段之间的数量关系．
【参考答案】
一、选择题
1．D
解析：D
【分析】
根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案．
【详解】
解：由题意得：x-9≥0，
解得：x≥9，
故选：D．
【点睛】
本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
2．A
解析：A
【分析】
根据勾股定理求得△ABC各边的长，再利用勾股定理的逆定理进行判定，从而不难得到其形状．
【详解】
解：∵正方形小方格边长为1，
∴BC＝，
AC＝，
AB＝，
在△ABC中，
∵BC2＋AC2＝32＋18＝50，AB2＝50，
∴BC2＋AC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形．
故选：A．
【点睛】
考查了勾股定理的逆定理，解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形ABC的三边满足a2＋b2＝c2，则三角形ABC是直角三角形．
3．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据平行四边形的判定方法逐一分析解题．
【详解】
解：A、B、D均可为判定四边形为平行四边形，故A、B、D不符合题意；
C．一组对边平行另一组对边相等的四边形，不能判断它是平行四边形，如下图，是等腰梯形，故C符合题意，
故选：C．

【点睛】
本题考查平行四边形的判定，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
4．B
解析：B
【解析】
【分析】
平均数只要求出数据之和再除以总个数即可；对于中位数，按从小到大的顺序排列，只要找出最中间的一个数（或最中间的两个数）即可，本题是最中间的两个数；对于众数是出现频数最大的数据．
【详解】
解：A、极差是95-80=15，故A正确；
B、中位数是=87，故B错误；
C、88出现了2次，则众数是88，故C正确；
D、平均数是=87，故D正确．
故选：B．
【点睛】
本题重点考查平均数，中位数，众数及极差的概念及求法．
5．B
解析：B
【分析】
根据矩形中，、、、分别是、、、的中点，利用三角形中位线定理证得，然后利用四条边都相等的四边形是菱形即可判定．
【详解】
解：四边形是菱形；
理由：如图，连接，，

、、、分别是、、、的中点，
，，，
同理，，，，，
∵在矩形中，
，
，
四边形是菱形．
故选：．
【点睛】
此题主要考查学生对菱形的判定、三角形中位线定理和矩形的性质的理解和掌握，证明此题的关键是正确利用三角形中位线定理进行证明．
6．A
解析：A
【解析】
【分析】
连接AE，利用对称的性质得到BD是线段AE的垂直平分线，DF是△AEC的中位线，利用面积法求得AF的长，再根据勾股定理求得DF的长即可求解．
【详解】
解：连接AE，

∵∠ABC=90°，BD=CD，
∴∠DBC=∠DCB，∠DBC+∠ABD=90°，∠DCB+∠BAC=90°，
∴∠ABD=∠BAC，
∴BD=AD，则BD=AD=CD，即D为AC中点，
∵AB=2，BC=2AB，
∴BC=4，AC=，
∵△ABD与△EBD关于直线BD对称，
∴AF=EF，BE=AB=2，AD=DE，
∴BD是线段AE的垂直平分线，则AF⊥BD，BD=AD=CD=DE，
∴DF是△AEC的中位线，
∴EC=2DF，
∵S△ABD=S△ABC，
∴，即，
解得：AF=，
∴DF=，
∴EC=2DF=，
故选：A．
【点睛】
本题考查了轴对称的性质，三角形中位线定理，线段垂直平分线的判定和性质，勾股定理等，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
7．C
解析：C
【解析】
【分析】
过点A作AE⊥，垂足为E，过点C作CF⊥，垂足为F，交于点G，证明△ABE≌△BCF，得到BF=AE=3，CF=4，运用勾股定理计算即可．
【详解】
过点A作AE⊥，垂足为E，过点C作CF⊥，垂足为F，交于点G，
∵∥∥，
∴CG⊥，
∴AE=3，CG=1，FG=3，

∵∠ABC=90°，AB=BC，
∴∠ABE+∠CBF=90°，∠ABE+∠BAE=90°，
∴∠CBF=∠BAE，
∴△ABE≌△BCF，
∴BF=AE=3，CF=4，
∴BC==5，
∴AC==5，
故选C．
【点睛】
本题考查了平行线间的距离，三角形的全等和性质，勾股定理，熟练掌握三角全等判定，灵活运用勾股定理是解题的关键．
8．B
解析：B
【分析】
先根据路程、速度和时间的关系题意可得甲地到乙地的速度和从乙地到甲地的时间，再由货车返回的速度是它从甲地驶往乙地的速度的1.5倍，列出方程组求得从乙地到甲地的时间t，进而求得a的值．
【详解】
解：设甲乙两地的路程为s，从甲地到乙地的速度为v，从乙地到甲地的时间为t，
则
解得，t＝1.8
∴a＝3.2+1.8＝5（小时），
故选B．
【点睛】
本题考查了一次函数的图像的应用、方程组的应用，根据一次函数图像以及路程、速度和时间的关系列出方程组是解答本题的关键．
二、填空题
9．A
解析：不是
【解析】
【分析】
根据二次根式有意义的条件以及绝对值的非负性，得出的值，运用勾股定理逆定理验证即可．
【详解】
解：∵，
∴，，
∴，
则，
∴，
∴△ABC不是直角三角形，
故答案为：不是．
【点睛】
本题考查了二次根式有意义的条件，绝对值的非负性，勾股定理逆定理等知识点，根据题意得出的值是解本题的关键．
10．A
解析：
【解析】
【分析】
根据MN是△ABC的中位线，根据三角形中位线定理求的AC的长，然后根据菱形的性质求解．
【详解】
解：∵M、N是AB和BC的中点，即MN是△ABC的中位线，
∴AC=2MN=2，
∵，
所以菱形的面积为 ，
故答案为：
【点睛】
本题考查了三角形的中位线定理和菱形的性质，理解中位线定理求的AC的长是关键．
11．A
解析：55
【解析】
【分析】
设AC=x，可知AB=10-x，再根据勾股定理即可得出结论．
【详解】
解：设AC=x，
∵AC+AB=10，
∴AB=10-x．
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∴AC2+BC2=AB2，即x2+32=（10-x)2
解得：x=4.55，
即AC=4.55．
故答案为：4.55．
【点睛】
本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
12．A
解析：6
【分析】
根据矩形的性质，得到为等边三角形，边长为2，即可求解．
【详解】
解：∵四边形ABCD为矩形，AC=4
∴，，
∴
又∵∠AOD=120°
∴
∴为等边三角形
∴的周长为
故答案为6．
【点睛】
此题主要考查了矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
13．A
解析：-8
【分析】
由平行线的关系得出k＝2，再把点A（1，﹣2）代入直线y＝2x+b，求出b，即可得出结果．
【详解】
解：∵直线y＝kx+b与直线y＝2x﹣3平行，
∴k＝2，
∴直线y＝2x+b，
把点A（1，﹣2）代入得：2+b＝﹣2，
∴b＝﹣4，
∴kb＝﹣8．
故答案为：﹣8．
【点睛】
本题主要考查了一次函数图像的性质，求一次函数的解析式，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
14．A
解析：AC⊥BC或∠AOB=90°或AB=BC（填一个即可）．
【详解】
试题分析：根据菱形的判定定理，已知平行四边形ABCD，添加一个适当的条件为：AC⊥BC或∠AOB=90°或AB=BC使其成为菱形．
考点：菱形的判定．
15．8或1
【分析】
分相遇前或相遇后两种情形分别列出方程即可解决问题．
【详解】
解：由题意可知，乙的函数图象是l2，
甲的速度是＝30（km/h），乙的速度是＝20（km/h）．
设乙出发x小时两人
解析：8或1
【分析】
分相遇前或相遇后两种情形分别列出方程即可解决问题．
【详解】
解：由题意可知，乙的函数图象是l2，
甲的速度是＝30（km/h），乙的速度是＝20（km/h）．
设乙出发x小时两人恰好相距5km．
由题意得：30（x+0.5）+20x+5＝60或30（x+0.5）+20x﹣5＝60，
解得x＝0.8或1，
所以甲出发0.8小时或1小时两人恰好相距5km．
故答案为：0.8或1．
【点睛】
本题考查了一次函数的应用，解题的关键是读懂图象信息，灵活应用速度、路程、时间之间的关系解决问题．
16．或
【分析】
由已知可知CE＝4或CE＝8，由折叠可知DH＝EH，则CH＝12﹣DH，分两种情况求，在Rt△ECH中，利用勾股定理求解．
【详解】
解：∵正方形ABCD的面积为144，
∴正方形的边
解析：或
【分析】
由已知可知CE＝4或CE＝8，由折叠可知DH＝EH，则CH＝12﹣DH，分两种情况求，在Rt△ECH中，利用勾股定理求解．
【详解】
解：∵正方形ABCD的面积为144，
∴正方形的边长为12，
∵E为BC的三等分点，
∴BE＝4或BE＝8，
由折叠可知DH＝EH，
∴CH＝12﹣DH，
当CE＝8时，
在Rt△ECH中，EH2＝EC2+CH2，
∴DH2＝64+(12﹣DH)2，
∴DH＝；
当CE＝4时，
在Rt△ECH中，EH2＝EC2+CH2，
∴DH2＝16+(12﹣DH)2，
∴DH＝；
综上所述：DH的长为或，
故答案为或．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，以及分类讨论的数学思想，分类讨论是解答本题的关键．
三、解答题
17．（1）；（2）；（3）；（4）
【分析】
（1）根据立方根以及二次根式的加减运算求解即可；
（2）根据二次根式的四则运算求解即可；
（3）根据二次根式的除法以及零指数幂的运算求解即可；
（4）根据平
解析：（1）；（2）；（3）；（4）
【分析】
（1）根据立方根以及二次根式的加减运算求解即可；
（2）根据二次根式的四则运算求解即可；
（3）根据二次根式的除法以及零指数幂的运算求解即可；
（4）根据平方差公式以及二次根式的加减运算，求解即可．
【详解】
解：（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
【点睛】
此题考查了二次根式的四则运算，涉及了零指数幂、立方根以及平方差公式，解题的关键是熟练掌握二次根式的有关运算．
18．5米
【分析】
由题中条件，可设原标杆AB的高为x，进而再依据勾股定理建立方程，进而求解即可．
【详解】
解：依题意得AC＝2，AE＝3，
设原标杆的高为x，
∵∠A＝90°，
∴由题中条件可得AB
解析：5米
【分析】
由题中条件，可设原标杆AB的高为x，进而再依据勾股定理建立方程，进而求解即可．
【详解】
解：依题意得AC＝2，AE＝3，
设原标杆的高为x，
∵∠A＝90°，
∴由题中条件可得AB2+AC2＝BC2，即AB2+22＝（x﹣AB）2，
整理，得x2﹣2ABx＝4，
同理，得（AB﹣0.5）2+32＝（x﹣AB+0.5）2，
整理，得x2﹣2ABx+x＝9，
解得x＝5．
∴原来标杆的高度为5米．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键在于能够熟练掌握勾股定理.
19．（1）见解析；（2）见解析；周长为4+2．
【解析】
【分析】
（1）直接利用网格结合正方形的性质得出符合题意的答案；
（2）直接利用网格结合平行四边形的性质以及勾股定理得出答案．
【详解】
（1）
解析：（1）见解析；（2）见解析；周长为4+2．
【解析】
【分析】
（1）直接利用网格结合正方形的性质得出符合题意的答案；
（2）直接利用网格结合平行四边形的性质以及勾股定理得出答案．
【详解】
（1）如图1，将绕点逆时针旋转得,
将绕点顺时针旋转得，
连接,正方形ABCD即为所求．

（2）如图2所示，
∴S▱ABEF
由题意可知：
平行四边形ABEF即为所求．周长为．
【点睛】
本题考查作图、勾股定理、正方形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想思考问题．
20．（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）根据边角边证明全等即可得出结论；
（2）同理可得，然后证明，即可得出，结论可得．
【详解】
解：（1）∵四边形是正方形，
∴，
，
在和中，
，
∴，
∴
解析：（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）根据边角边证明全等即可得出结论；
（2）同理可得，然后证明，即可得出，结论可得．
【详解】
解：（1）∵四边形是正方形，
∴，
，
在和中，
，
∴，
∴.
（2）同理可得，
可得，
∵，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形．

【点睛】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的判定等知识点，熟练掌握全等三角形的判定定理是解本题的关键．
21．（1），；（2）；（3）
【解析】
【分析】
（1）根据题目所给的方法将根号下的数凑成完全平方的形式进行计算；
（2）根据题目给的a，b与m、n的关系式，用一样的方法列式算出结果；
（3）将写成，4
解析：（1），；（2）；（3）
【解析】
【分析】
（1）根据题目所给的方法将根号下的数凑成完全平方的形式进行计算；
（2）根据题目给的a，b与m、n的关系式，用一样的方法列式算出结果；
（3）将写成，4写成，就可以凑成完全平方的形式进行计算．
【详解】
解：（1）；
；
（2）；
（3）==．
【点睛】
本题考查二次根式的计算和化简，解题的关键是掌握二次根式的运算法则．
22．（1）y＝x+，杆上秤砣到秤纽的水平距离为16厘米时，秤钩所挂物重是4.5斤；（2）0≤y≤13
【分析】
（1）画出各点，根据图象判断是一次函数，利用待定系数法求解析式，代入数值计算即可；
（2）
解析：（1）y＝x+，杆上秤砣到秤纽的水平距离为16厘米时，秤钩所挂物重是4.5斤；（2）0≤y≤13
【分析】
（1）画出各点，根据图象判断是一次函数，利用待定系数法求解析式，代入数值计算即可；
（2）把把x＝50代入解析式，求出最大物重即可确定范围．
【详解】
解：（1）描点如图所示，这些点在一条直线上，故x，y的函数关系是一次函数，

设x，y的函数关系式：y＝kx+b，
∵当x=2时，y=1；x=4时，y=1.5；
∴，
解得k＝，b＝，
∴x，y的函数关系式：y＝x+，
把x＝16代入：y＝x+，
得y＝4.5，
∴杆上秤砣到秤纽的水平距离为16厘米时，秤钩所挂物重是4.5斤；
（2）把x＝50代入y＝x+，
得y＝13，
∴0≤y≤13，
∴这杆秤的可称物重范围是0≤y≤13．
【点睛】
本题考查了一次函数的应用，掌握一次函数解析式的求法是解题关键．
23．（1）B（12，4）；（2）；（3）
【分析】
（1）由四边形是平行四边形，得到，，于是得到 ，，可求出点的坐标；
（2）根据四边形是平行四边形，得到，即，解方程即可得到结论；
（3）如图2，可分三
解析：（1）B（12，4）；（2）；（3）
【分析】
（1）由四边形是平行四边形，得到，，于是得到 ，，可求出点的坐标；
（2）根据四边形是平行四边形，得到，即，解方程即可得到结论；
（3）如图2，可分三种情况：①当时，②当时，③当 时分别讨论计算即可．
【详解】
解：如图1，过作于，过作于 ，

四边形是平行四边形，
，，
，的坐标分别为， ，
，，
，
；
（2）设点运动秒时，四边形是平行四边形，
由题意得：，
点是的中点，
，
四边形是平行四边形，
，即，
，
当秒时，四边形是平行四边形；
（3）如图2，①当时，过作于 ，

则，
，
，
又，的坐标分别为，，
∴,
即有，当点与点重合时，，
；
②当时，过作于 ，
则，
，
；
③当时，过作于 ，
则，，
，；
综上所述：当是等腰三角形时，点的坐标为， ，，，．
【点睛】
本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．
24．（1），；（2）；（3）①；②存在，或或或
【解析】
【分析】
（1）分别使，，代入，即可求出点、的坐标；
（2）把代入直线，可求，可得C点的坐标，再把C点坐标代入直线，即可得出的值；
（3）①根据
解析：（1），；（2）；（3）①；②存在，或或或
【解析】
【分析】
（1）分别使，，代入，即可求出点、的坐标；
（2）把代入直线，可求，可得C点的坐标，再把C点坐标代入直线，即可得出的值；
（3）①根据的面积公式列等式可得的值；
②存在，分三种情况：
当时，如图①，当时，如图②，当时，如图③，分别求的值即可．
【详解】
解（1）在中
当时，
当时，
，
（2）点在直线上

又点也在直线上
即
解得
（3）在中
当时，

①设，则
过作于，则
由的面积为
得
解得
②过作于
则，

当时，如图①所示
则

当时，如图②所示
，
当时，如图③所示
设
则，

解得

综上所述，当或或或时，为等腰三角形

【点睛】
本题属于一次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求一次函数解析式，坐标与图形性质，勾股定理，等腰三角形的判定，以及一次函数与坐标轴的交点，熟练掌握性质及定理是解本题的关键，并注意运用分类讨论的思想解决问题．
25．（1），理由见解析；（2），理由见解析；（3），理由见解析
【分析】
（1）先根据正方形的性质可证得，由此可得，，再根据同角的补角相等证得，等量代换可得，由此可得，再等量代换即可得证；
（2）过点E
解析：（1），理由见解析；（2），理由见解析；（3），理由见解析
【分析】
（1）先根据正方形的性质可证得，由此可得，，再根据同角的补角相等证得，等量代换可得，由此可得，再等量代换即可得证；
（2）过点E作交CB的延长线于点G，先证明，利用勾股定理可得，再证明，由此可得，最后再等量代换即可得证；
（3）仿照（1）和（2）的证明即可证得．
【详解】
解：（1），理由如下：
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
在与中，

∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2），理由如下：
如图，过点E作交CB的延长线于点G，

∴，
由（1）知：，
∴，
∴，
∴在中，，
在与中，

∴，
∴，
又∵，
∴；
（3），理由如下：
如图，过点E作交BC于点G，设CD与EF的交点为点P，

∴，
由（1）可知：，
∴，
∴，
∴在中，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
由（1）可知：，
∴，
在与中，

∴，
∴，
又∵，
∴．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质以及勾股定理的应用，作出正确的辅助线并能灵活运用相关图形的性质是解决本题的关键．