线性代数知识点归纳-(1).pdf

第 1 页 共 20 页线线性代数复性代数复习习要点要点第一部分第一部分 行列式行列式1.1.排列的逆序数排列的逆序数2.2.行列式按行（列）展开法则行列式按行（列）展开法则3.3.行列式的性质及行列式的计算行列式的性质及行列式的计算行列式的定义行列式的定义 1.1.行列式的计算：行列式的计算：(定义法定义法)1 2121 21112121222()1212()nnnnnj jjnjjnjj jjnnnnaaaaaaDa aaaaaLLLLLMMML1 （降阶法）（降阶法）行列式按行（列）展开定理：行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和.推论推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.1122,0,.ijijinjnAija Aa Aa AijL 第 2 页 共 20 页 (化为三角型行列式化为三角型行列式)上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积.112211 22*0*0*00nnnnbbAb bbbLMOL 若若都是方阵（不必同阶）都是方阵（不必同阶）,则则AB与=()mnAOAAOA BOBOBBOAAA BBOBO 1 关于副对角线：关于副对角线：(1)211212112111()n nnnnnnnnnnaOaaaa aaaOaO KNN1 范德蒙德行列式：范德蒙德行列式：1222212111112nijnj i nnnnnxxxxxxxxxxx LLLMMML111 型公式：型公式：ab1(1)()nabbbbabbanb abbbabbbbaLLLM M M OML (升阶法升阶法)在原行列式中增加一行一列，保持原行列式不变的方法.(递推公式法递推公式法)对对阶行列式阶行列式找出找出与与或或,之间的一种关系之间的一种关系称为递推公式，其中称为递推公式，其中nnDnD1nD1nD2nD ,等结构相同，再由递推公式求出等结构相同，再由递推公式求出的方法称为递推公式法的方法称为递推公式法.nD1nD2nDnD (拆分法拆分法)把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和，把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和，使问题简化以例计算使问题简化以例计算.(数学归纳法数学归纳法)2.2.对于阶行列式，恒有：，其中为阶主子式；nA1(1)nnkn kkkEASkSk3.证明的方法：0A、；AA、反证法；第 3 页 共 20 页、构造齐次方程组，证明其有非零解；0Ax、利用秩，证明；()r An、证明 0 是其特征值.4.代数余子式和余子式的关系：(1)(1)ijijijijijijMAAM 第二部分第二部分 矩矩阵阵1.1.矩阵的运算性质矩阵的运算性质2.2.矩阵求逆矩阵求逆3.3.矩阵的秩的性质矩阵的秩的性质4.4.矩阵方程的求解矩阵方程的求解1.1.矩阵的定义矩阵的定义 由由个数排成的个数排成的行行列的表列的表称为称为矩阵矩阵.m nmn111212122212nnmmmnaaaaaaAaaaLLMMMLm n 记作：记作：或或 ijm nAam nA 同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等.矩阵相等矩阵相等:两个矩阵同型，且对应元素相等两个矩阵同型，且对应元素相等.矩阵运算矩阵运算 a.a.矩阵加（减）法：两个同型矩阵，对应元素相加（减）矩阵加（减）法：两个同型矩阵，对应元素相加（减）.b.b.数与矩阵相乘：数数与矩阵相乘：数与矩阵与矩阵的乘积记作的乘积记作 或或，规定为，规定为.AAA()ijAa c.c.矩阵与矩阵相乘：设矩阵与矩阵相乘：设,则则，()ijm sAa()ijs nBb()ijm nCABc 其中其中 12121 122(,)jjijiiisijijissjsjbbcaaaa ba ba bbLLM 注：注：矩阵乘法不满足：交换律、消去律矩阵乘法不满足：交换律、消去律,即公式即公式不成立不成立.00ABBAABA 或B=0 a.a.分块对角阵相乘：分块对角阵相乘：,11112222,ABABAB11112222A BABA B1122nnnAAA第 4 页 共 20 页 b.b.用对角矩阵用对角矩阵乘一个矩阵乘一个矩阵,相当于用相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的的对角线上的各元素依次乘此矩阵的向量；向量；左左行行1111211 111 121 1221222221222221212000000nnnnmmmmnmmmmmmnabbbababababbba ba ba bBabbba ba ba bLLLLLLMM OMMMOMMMOMLLL c.c.用对角矩阵用对角矩阵乘一个矩阵乘一个矩阵,相当于用相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的的对角线上的各元素依次乘此矩阵的向量向量.右右列列1112111 112 1212122221 212222121122000000nmnnmnmmmnmmmmmnbbbaaba ba bbbbaaba ba bBbbbaaba ba b LLLLLLMMOMMM OMMMOMLLL d.d.两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘.方阵的幂的性质：方阵的幂的性质：，mnm nA AA()()mnmnAA 矩阵的转置：把矩阵矩阵的转置：把矩阵的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做的转置矩阵，记作的转置矩阵，记作.AATA a.a.对称矩阵和反对称矩阵对称矩阵和反对称矩阵:是对称矩阵是对称矩阵 .ATAA是反对称矩阵是反对称矩阵 .ATAA b.b.分块矩阵的转置矩阵：分块矩阵的转置矩阵：TTTTTABACCDBD 伴随矩阵：伴随矩阵：，为为中各个元素的代数余子式中各个元素的代数余子式.1121112222*12nTnijnnnnAAAAAAAAAAALLMMMLijAA ,.*AAA AA E1*nAA11AA 分块对角阵的伴随矩阵：分块对角阵的伴随矩阵：*ABABAB*(1)(1)mnmnAA BBB A第 5 页 共 20 页2.2.逆矩阵的求法逆矩阵的求法 方阵方阵可逆可逆 .A0A 伴随矩阵法伴随矩阵法 ：1AAA注注1abdbcdcaadbc1LL主换位副变号 初等变换法初等变换法 1()()A EE A MM初等行变换 分块矩阵的逆矩阵分块矩阵的逆矩阵：111AABB111ABBA 1111ACAA CBOBOB1111AOAOCBB CAB ,1231111213aaaaaa 3211111213aaaaaa 配方法或者待定系数法配方法或者待定系数法 （逆矩阵的定义（逆矩阵的定义）1ABBAEAB3.3.行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵 可画出一条阶梯线，线的下方全为可画出一条阶梯线，线的下方全为；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖0 线后面的第一个元素非零线后面的第一个元素非零.当非零行的第一个非零元为当非零行的第一个非零元为 1 1，且这些非零元所在列的其他元素都是，且这些非零元所在列的其他元素都是时，时，0 称为称为行最简形矩阵行最简形矩阵4.4.初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵 对换变换、倍乘变换、倍加（或消法）变换对换变换、倍乘变换、倍加（或消法）变换初等变换初等变换初等矩阵初等矩阵初等矩阵的逆初等矩阵的逆初等矩阵的行列式初等矩阵的行列式矩阵转置的性质：矩阵转置的性质：()TTAA()TTTABB ATAA11()()TTAA()()TTAA矩阵可逆的性质：矩阵可逆的性质：11()AA111()ABB A11AA11()()kkkAAA伴随矩阵的性质：伴随矩阵的性质：2()nAAA()ABB A1nAA11()()AAAA()()kkAA ()()1 ()10 ()1 nr Anr Ar Anr An若若若ABA BkkAA（无条件恒成立）（无条件恒成立）AAA AA E第 6 页 共 20 页()ijrrijcc(,)E i j1(,)(,)E i jE i j(,)E i j 1()irkick()E i k11()()kE i kE i()E i kk()ijrrkijcck(,()E i j k1,(),()E i j kE i jk,()E i j k1 矩阵的初等变换和初等矩阵的关系：矩阵的初等变换和初等矩阵的关系：对对施行一次初等施行一次初等变换得到的矩阵变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵等于用相应的初等矩阵乘乘；A行行左左A 对对施行一次初等施行一次初等变换得到的矩阵变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵等于用相应的初等矩阵乘乘.A列列右右A 注意：注意：初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵.5.矩阵的秩矩阵的秩 关于关于矩阵秩的描述：矩阵秩的描述：A、，中有中有阶子式不为阶子式不为 0，阶子式阶子式(存在的话存在的话)全部为全部为 0；()r ArAr1r、，的的阶子式全部为阶子式全部为 0；()r ArAr、，中存在中存在阶子式不为阶子式不为 0；()r ArAr 矩阵的秩的性质：矩阵的秩的性质：;()AOr A1()0AOr A0()m nr Amin(,)m n ()()()TTr Ar Ar A A ()()r kAr Ak 其中0 ()(),()0m nn sr Ar BnABr ABBAx 若若0的列向量全部是的解 ()r ABmin(),()r A r B 若、可逆，则；即：可逆矩阵不影响矩阵的秩即：可逆矩阵不影响矩阵的秩.PQ()()()()r Ar PAr AQr PAQ 若若；()()()m nAxr ABr Br AnABOBOAABACBC 只有零解 在矩阵乘法中有左消去律 若若()()()n sr ABr Br BnB 在矩阵乘法中有右消去律.等价标准型等价标准型.()rrEOEOr ArAAOOOO若与唯一的等价，称为矩阵的第 7 页 共 20 页 ,()r AB()()r Ar Bmax(),()r A r B(,)r A B()()r Ar B ,()()AOOArr Ar BOBBO()()ACrr Ar BOB 求矩阵的秩：求矩阵的秩：定义法和行阶梯形阵方法定义法和行阶梯形阵方法6 6 矩阵方程的解法矩阵方程的解法()：设法化成设法化成 0A AXBXAB(I)或 (I I)A BE X MM初等行变换(I)的解法：构造()()AEBX LL初等列变换(I I)的解法：构造 TTTTA XBXX(I I)的解法：将等式两边转置化为，用(I)的方法求出，再转置得第三部分第三部分 线线性方程性方程组组1.1.向量组的线性表示向量组的线性表示2.2.向量组的线性相关性向量组的线性相关性3.3.向量组的秩向量组的秩4.4.向量空间向量空间5.5.线性方程组的解的判定线性方程组的解的判定6.6.线性方程组的解的结构（通解）线性方程组的解的结构（通解）（1 1）齐次线性方程组的解的结构（基础解系与通解的关系）齐次线性方程组的解的结构（基础解系与通解的关系）（2 2）非齐次线性方程组的解的结构（通解）非齐次线性方程组的解的结构（通解）1.1.线性表示：线性表示：对于给定向量组对于给定向量组，若存在一组数，若存在一组数使得使得，12,n L12,nk kkL1122nnkkkL 则称则称是是的线性组合，或称称的线性组合，或称称可由可由的线性表示的线性表示.12,n L12,n L线性表示的判别定理线性表示的判别定理:可由可由的线性表示的线性表示12,n L 由个未知数个方程的方程组构成元线性方程：nmn 、有解11112211211222221122nnnnmmnmnna xa xa xba xa xaxbaxaxaxbLLL L L L L L L L L L LL第 8 页 共 20 页 、1112111212222212LLMMOMMMLnnmmmnmmaaaxbaaaxbAxaaaxb 、（全部按列分块，其中）；1212nnxxaaax LM12nbbb M 、（线性表出）1122nna xa xa x L 、有解的充要条件：（为未知数的个数或维数）()(,)r Ar An n2.2.设设的列向量为的列向量为,的列向量为的列向量为，,m nn sABA12,n B12,s 则则m sABC1112121222121212,ssnsnnnsbbbbbbc ccbbb LLLMMML ，iiAc(,)isL1,2 为为的解的解iiAxc 121212,sssAAAAc cc L 可由可由线性表线性表示示.12,sc ccL12,n 即：即：的列向量能由的列向量能由的列向量线性表示，的列向量线性表示，为系数矩阵为系数矩阵.CAB同理：同理：的行向量能由的行向量能由的行向量线性表示，的行向量线性表示，为系数矩阵为系数矩阵.CBA即：即：1112111212222212nnnnmnnmaaacaaacaaacLLMMMMML11112212121122222211222nnmmmnmaaacaaacaaacLLLLLL3.3.线线性相关性性相关性第 9 页 共 20 页判别方法：判别方法：法法 1 1 法法 2 2法法 3 3推论推论 第 10 页 共 20 页 线性相关性判别法（归纳）线性相关性判别法（归纳）线性相关性的性质线性相关性的性质 零向量是任何向量的线性组合零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交零向量与任何同维实向量正交.单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关.部分相关部分相关,整体必相关；整体无关整体必相关；整体无关,部分必无关部分必无关.（向量个数变动）（向量个数变动）原向量组无关原向量组无关,接长向量组无关；接长向量组相关接长向量组无关；接长向量组相关,原向量组相关原向量组相关.（向量维数变动）（向量维数变动）两个向量线性相关两个向量线性相关对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关.向量组向量组中任一向量中任一向量 都是此向量组的线性组合都是此向量组的线性组合.12,n i(1i)n 若若线性无关，而线性无关，而线性相线性相12,n 12,n 关关,则则可由可由线性表示线性表示,且表示法唯一且表示法唯一12,n 4.最大无关组相关知识最大无关组相关知识向量组的秩向量组的秩 向量组向量组的极大无关组所含向量的极大无关组所含向量12,n L第 11 页 共 20 页的个数，称为这个向量组的秩的个数，称为这个向量组的秩.记作记作 12(,)nr L矩阵等价矩阵等价 经过有限次初等变换化为经过有限次初等变换化为.AB向量组等价向量组等价 和和可以相互线性表示可以相互线性表示.记作：记作：12,n 12,n 1212,nn%矩阵的行向量组的秩矩阵的行向量组的秩列向量组的秩列向量组的秩矩阵的秩矩阵的秩.行阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数行阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数.矩阵的初等变换不改变矩阵的秩矩阵的初等变换不改变矩阵的秩,且不改变行（列）向量间的线性关系且不改变行（列）向量间的线性关系 向量组向量组可由向量组可由向量组线性表示线性表示,且且，则，则线性相关线性相关.12,s 12,n sn12,s 向量组向量组线性无关线性无关,且可由且可由线性表示线性表示,则则.12,s 12,n sn 向量组向量组可由向量组可由向量组线性表示线性表示,且且,则两向量组等价；则两向量组等价；12,s 12,n 12(,)sr 12(,)nr 任一向量组和它的极大无关组等价任一向量组和它的极大无关组等价.向量组的任意两个极大无关组等价向量组的任意两个极大无关组等价.向量组的极大无关组不唯一，但极大无关组所含向量个数唯一确定向量组的极大无关组不唯一，但极大无关组所含向量个数唯一确定.若两个线性无关的向量组等价若两个线性无关的向量组等价,则它们包含的向量个数相等则它们包含的向量个数相等.设设是是矩阵矩阵,若若，的行向量线性无关；的行向量线性无关；Am n()r AmA5.线性方程组理论线性方程组理论线性方程组的矩阵式线性方程组的矩阵式 向量式向量式 Ax1122nnxxxL 其中其中 1112111212222212,nnmmmnnmaaaxbaaaxbAxaaaxbLLMMMMML12,2,jjjmjjnLM1（1）解得判别定理）解得判别定理第 12 页 共 20 页（2 2）线性方程组解的性质：）线性方程组解的性质：121212121 1221212(1),(2),(3),(4),(5),(6kkkkAxAxk kAxkAxAxAxAxAx LL 是的解也是它的解 是的解对任意也是它的解齐次方程组 是的解对任意个常数 也是它的解 是的解是其导出组的解是的解 是的两个解是其导出组的解2112121 122121 12212),(7),100kkkkkkkAxAxAxAxAx LLLLL 是的解则也是它的解是其导出组的解 是的解则 也是的解 是的解 (3)判断判断是是的基础解系的条件：的基础解系的条件：12,s LAx 线性无关；线性无关；12,s L 都是都是的解；的解；12,s LAx .()snr A 每个解向量中自由未知量的个数(4)(4)求非齐次线性方程组求非齐次线性方程组 Ax=b 的通解的步骤的通解的步骤 12112(1()(2)()()(3)(4)10,.,(5)A br A br ArnnrAxbAxAxbxkk 0n-r0)将增广矩阵通过初等行变换化为；当时，把不是首非零元所在列对 应的个变量作为自由元；令所有自由元为零，求得的一个；不计最后一列，分别令一个自由元为，其余自由元 为零，得到的;写出非齐次线性方程组的阶梯形矩阵特解基础 解系 通解 212.,.,n rn rn rkk kk其中为任意常数.第 13 页 共 20 页（5 5）其他性质）其他性质 一个齐次线性方程组的基础解系不唯一一个齐次线性方程组的基础解系不唯一.若若是是的一个解，的一个解，是是的一个解的一个解线性无关线性无关Ax1,s LAx1,s L 与与同解（同解（列向量个数相同）列向量个数相同）,且有结果：且有结果：AxBx,A B()()Arr Ar BB 它们的极大无关组相对应它们的极大无关组相对应,从而秩相等；从而秩相等；它们对应的部分组有一样的线性相关性；它们对应的部分组有一样的线性相关性；它们有相同的内在线性关系它们有相同的内在线性关系.矩阵矩阵与与的行向量组等价的行向量组等价齐次方程组齐次方程组与与同解同解（左乘可逆矩阵（左乘可逆矩阵）；）；m nAl nBAxBxPABP 矩阵矩阵与与的列向量组等价的列向量组等价（右乘可逆矩阵（右乘可逆矩阵）.m nAl nBAQBQ第四部分第四部分 方方阵阵的特征的特征值值及特征向量及特征向量1.1.施密特正交化过程施密特正交化过程2.2.特征值、特征向量的性质及计算特征值、特征向量的性质及计算3.3.矩阵的相似对角化，尤其是对称阵的相似对角化矩阵的相似对角化，尤其是对称阵的相似对角化1.1.标准正交基标准正交基 个个维线性无关的向量维线性无关的向量,两两正交两两正交,每个向量长度为每个向量长度为 1.1.nn 向量向量与与的内积的内积 12,Tna aaL12,Tnb bbL1 1221(,)niinniababa ba b L .记为：记为：与正交(,)0 向量向量的长度的长度 12,Tna aaL2222121(,)niniaaaa L 是单位向量是单位向量 .即长度为即长度为 的向量的向量.(,)1 12.2.内积的性质内积的性质：正定性正定性：(,)0,(,)0 且 对称性对称性：(,)(,)第 14 页 共 20 页 线性性线性性：1212(,)(,)(,)(,)(,)kk 3.3.设设 A 是一个是一个 n 阶方阵阶方阵,若存在数若存在数和和 n 维非零列向量维非零列向量,使得使得x ，Axx 则称则称是方阵是方阵 A 的一个特征值，的一个特征值，为方阵为方阵 A 的对应于特征值的对应于特征值的一个特征向量的一个特征向量.x 的特征矩阵的特征矩阵 （或（或）.A0EA0AE 的特征多项式的特征多项式 （或（或）.A()EA()AE 是矩阵是矩阵的特征多项式的特征多项式()A()AO ，称为矩阵称为矩阵的的迹迹.12nA L1niAt rAt rA 上三角阵、下三角阵、对角阵的特征值就是主对角线上的上三角阵、下三角阵、对角阵的特征值就是主对角线上的各元素各元素.n 若若,则则为为的特征值的特征值,且且的基础解系即为属于的基础解系即为属于的线性无关的特征向量的线性无关的特征向量.0A 0AAx 0 一定可分解为一定可分解为=、,从而从而的特征值的特征值()1r A AA1212,nnaabbbaLM21 122()nnAaba ba b ALA 为：为：,.11 122nnAaba ba bLt r23nL0 为为各行的公比，各行的公比，为为各列的公比各列的公比.注注12,Tna aaLA12,nb bbLA 若若的全部特征值的全部特征值，是多项式是多项式,则则:A12,n L()f A 若若满足满足的任何一个特征值必满足的任何一个特征值必满足A()f AOA()if 0的全部特征值为的全部特征值为；.()f A12(),(),()nfffL12()()()()nf AfffL 与与有相同的特征值，但特征向量不一定相同有相同的特征值，但特征向量不一定相同.ATA4.4.特征值与特征向量的求法特征值与特征向量的求法 (1)(1)写出矩阵写出矩阵 A 的特征方程的特征方程，求出特征值，求出特征值.0AEi (2)(2)根据根据得到得到 A 对应于特征值对应于特征值的特征向量的特征向量.()0iAE xi第 15 页 共 20 页 设设的基础解系为的基础解系为 其中其中.()0iAE x12,in r L()iirr AE 则则 A 对应于特征值对应于特征值的全部特征向量为的全部特征向量为 i1 122,iin rn rkkkL 其中其中为任意不全为零的数为任意不全为零的数.12,in rk kkL5.5.与与相似相似 （为为可逆矩阵可逆矩阵）AB1P APBP 与与正交相似正交相似 （为为正交矩阵正交矩阵）AB1P APBP 可以相似对角化可以相似对角化 与对角阵与对角阵相似相似.（称（称是是的的相似标准形相似标准形）AAA6.6.相似矩阵的性质：相似矩阵的性质：,从而从而有相同的特征值有相同的特征值,但特征向量不一定相同但特征向量不一定相同.EAEB,A B是是关于关于的特征向量的特征向量,是是关于关于的特征向量的特征向量.注注A01PB0 ABt rt r 从而从而同时可逆或不可逆同时可逆或不可逆AB,A B ()()r Ar B 若若与与相似相似,则则的多项式的多项式与与的多项式的多项式相似相似.ABA()f AB()f A7.7.矩阵对角化的判定方法矩阵对角化的判定方法 n 阶矩阵阶矩阵 A 可对角化可对角化 (即相似于对角阵即相似于对角阵)的充分必要条件是的充分必要条件是 A 有有 n 个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量.这时这时,为为的特征向量拼成的矩阵，的特征向量拼成的矩阵，为对角阵为对角阵,主对角线上的元素为主对角线上的元素为的特征值的特征值.PA1P APA 设设为对应于为对应于的线性无关的特征向量的线性无关的特征向量,则有：则有：ii.121nP APO 可相似对角化可相似对角化，其中，其中为为的重数的重数恰有恰有个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量.A()iinrEAkikiAn ：当：当为为的重的特征值时，的重的特征值时，可相似对角化可相似对角化的重数的重数基础解系的个数基础解系的个数.注注i 0AAi()nr AAx 若若阶矩阵阶矩阵有有个互异的特征值个互异的特征值可相似对角化可相似对角化.nAnA第 16 页 共 20 页8.8.实对称矩阵的性质：实对称矩阵的性质：特征值全是实数特征值全是实数,特征向量是实向量；特征向量是实向量；不同特征值对应的特征向量必定正交；不同特征值对应的特征向量必定正交；：对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；：对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；注注 一定有一定有个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量.若若有重的特征值有重的特征值,该特征值该特征值的重数的重数=；nAi()inrEA 必可用正交矩阵相似对角化，即：任一实二次型可经正交变换化为标准形；必可用正交矩阵相似对角化，即：任一实二次型可经正交变换化为标准形；与对角矩阵合同，即：任一实二次型可经可逆线性变换化为标准形；与对角矩阵合同，即：任一实二次型可经可逆线性变换化为标准形；两个实对称矩阵相似两个实对称矩阵相似有相同的特征值有相同的特征值.9.9.正交矩阵正交矩阵 TAAE 正交矩阵的性质：正交矩阵的性质：；1TAA ；TTAAA AE 正交阵的行列式等于正交阵的行列式等于 1 1 或或-1-1；是正交阵是正交阵,则则，也是正交阵；也是正交阵；ATA1A 两个正交阵之积仍是正交阵；两个正交阵之积仍是正交阵；的行（列）向量都是单位正交向量组的行（列）向量都是单位正交向量组.A10.10.第 17 页 共 20 页11.11.施密特正交规范化施密特正交规范化 线性无关线性无关,123,112122111313233121122(,)(,)(,)(,)(,)(,)正交化 单位化：单位化：111222333 技巧：取正交的基础解系，跳过施密特正交化。让第二个解向量先与第一个解向量正交，再把第二个解向量技巧：取正交的基础解系，跳过施密特正交化。让第二个解向量先与第一个解向量正交，再把第二个解向量代入方程，确定其自由变量代入方程，确定其自由变量.第四部分第四部分 二次型二次型1.1.二次型及其矩阵形式二次型及其矩阵形式2.2.二次型向标准形转化的三种方式二次型向标准形转化的三种方式3.3.正定矩阵的判定正定矩阵的判定1.1.二次型二次型 11121121222212121112(,)(,)nnnnTnijijnijnnnnnaaaxaaaxf x xxa x xx xxx AxaaaxLLLLLLLLLL 其中其中为对称矩阵，为对称矩阵，A12(,)Tnxx xxL 与与合同合同 .（）ABTC ACB,A BC为实对称矩阵为可逆矩阵 正惯性指数正惯性指数 二次型的规范形中正项项数二次型的规范形中正项项数 负惯性指数负惯性指数二次型的规范形中负项项数二次型的规范形中负项项数prp符号差符号差 (为二次型的秩为二次型的秩)2prr 两个矩阵合同两个矩阵合同它们有相同的正负惯性指数它们有相同的正负惯性指数他们的秩与正惯性指数分别相等他们的秩与正惯性指数分别相等.两个矩阵合同的充分条件是：两个矩阵合同的充分条件是：与与B等价A 两个矩阵合同的必要条件是：两个矩阵合同的必要条件是：()()r Ar B2.2.经过经过 化为化为标准形标准形.12(,)Tnf x xxx AxL正交变换 合同变换可逆线性变换xCy21niifd y第 18 页 共 20 页 正交变换法正交变换法 配方法配方法（1 1）若二次型含有）若二次型含有的平方项，则先把含有的平方项，则先把含有的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同样进行，的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同样进行，ixix 直到都配成平方项为止，经过非退化线性变换，就得到标准形直到都配成平方项为止，经过非退化线性变换，就得到标准形;（2 2）若二次型中不含有平方项，但是若二次型中不含有平方项，但是 (),),则先作可逆线性变换则先作可逆线性变换0ija ij ,1,2,iijjijkkxyyxyyknki jxyL且 化二次型为含有平方项的二次型，然后再按化二次型为含有平方项的二次型，然后再按(1)(1)中方法配方中方法配方.初等变换法初等变换法3.正定二次型正定二次型 不全为零，不全为零，.12,nx xxL12(,)nf x xxL0正定矩阵正定矩阵 正定二次型对应的矩阵正定二次型对应的矩阵.4.4.为正定二次型为正定二次型（之一成立）：（之一成立）：()Tf xx Ax （1 1），；x Tx Ax 0 （2 2）的特征值全大于的特征值全大于；A0 （3 3）的正惯性指数为的正惯性指数为；fn （4 4）的所有顺序主子式全大于的所有顺序主子式全大于；A0 （5 5）与与合同，即存在可逆矩阵合同，即存在可逆矩阵使得使得；AECTC ACE第 19 页 共 20 页 （6 6）存在可逆矩阵）存在可逆矩阵，使得，使得；PTAP P5.5.（1 1）合同变换不改变二次型的正定性）合同变换不改变二次型的正定性.（2 2）为正定矩阵为正定矩阵 ；.Aiia 00A （3 3）为正定矩阵为正定矩阵也是正定矩阵也是正定矩阵.A1,TAAA （4 4）与与合同，若合同，若为正定矩阵为正定矩阵为正定矩阵为正定矩阵ABAB （5 5）为正定矩阵为正定矩阵为正定矩阵，但为正定矩阵，但不一定为正定矩阵不一定为正定矩阵.,A BAB,AB BA6.6.半正定矩阵的判定半正定矩阵的判定 一些重要的结论一些重要的结论 (),nTAr AnAAAxxAxAAxA AAE 可逆 的列（行）向量线性无关 的特征值全不为0 只有零解 ，0总有唯一解 是正定矩阵 R R12,siAp pppnBABEABE 是初等阵存在阶矩阵使得 或：全体：全体维实向量构成的集合维实向量构成的集合叫做叫做维向量空间维向量空间.注注nnR Rn第 20 页 共 20 页()Ar AnAAAAxA不可逆 0的列（行）向量线性相关 0是的特征值 有非零解,其基础解系即为关于0的特征向量:;具有向量组等价矩阵等价()反身性、对称性、传递性矩阵相似()矩阵合同()关于关于：12,ne ee称为称为的标准基，的标准基，中的自然基，单位坐标向量；中的自然基，单位坐标向量；nn线性无关；线性无关；12,ne ee；12,1ne ee；tr=E n任意一个任意一个维向量都可以用维向量都可以用线性表示线性表示.n12,ne ee