线性代数重要知识点及典型例题答案.pdf

线性代数知识点总结线性代数知识点总结第一章第一章 行列式行列式 二三阶行列式N 阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的 n 个元素的乘积的和 nnnnjjjjjjjjjnijaaaa.)1(21212121).(（奇偶）排列、逆序数、对换行列式的性质：行列式行列互换，其值不变。（转置行列式）TDD 行列式中某两行（列）互换，行列式变号。推论：若行列式中某两行（列）对应元素相等，则行列式等于零。常数 k 乘以行列式的某一行（列），等于 k 乘以此行列式。推论：若行列式中两行（列）成比例，则行列式值为零；推论：行列式中某一行（列）元素全为零，行列式为零。行列式具有分行（列）可加性 将行列式某一行（列）的 k 倍加到另一行（列）上，值不变行列式依行（列）展开：余子式、代数余子式ijMijjiijMA)1(定理定理：行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。克莱姆法则：非齐次线性方程组：当系数行列式时，有唯一解：0D)21(njDDxjj、齐次线性方程组 ：当系数行列式时，则只有零解01D 逆否：若方程组存在非零解，则逆否：若方程组存在非零解，则 D 等于零等于零 特殊行列式：特殊行列式：转置行列式：332313322212312111333231232221131211aaaaaaaaaaaaaaaaaa对称行列式:jiijaa 反对称行列式:奇数阶的反对称行列式值为零jiijaa三线性行列式:方法：用把化为零，。化为三角形行列3331222113121100aaaaaaa221ak21a式上（下）三角形行列式:行列式运算常用方法（主要）行列式运算常用方法（主要）行列式定义法（二三阶或零元素多的）化零法（比例）化三角形行列式法、降阶法、升阶法、归纳法、第二章第二章 矩阵矩阵 矩阵的概念：（零矩阵、负矩阵、行矩阵、列矩阵、n 阶方阵、相等矩阵)nmA*矩阵的运算：加法（同型矩阵）-交换、结合律 数乘-分配、结合律nmijkakA*)(乘法注意什么时候有意义nmlkjiknlkjlmikbabaBA*1*)()(*)(*一般 AB=BA，不满足消去律；由 AB=0，不能得 A=0 或 B=0 转置 AATT)(TTTBABA)(反序定理)TTkAkA)(TTTABAB)(方幂：2121kkkkAAA 2121)(kkkkAA 几种特殊的矩阵：对角矩阵对角矩阵：若 AB 都是 N 阶对角阵，k 是数，则 kA、A+B、AB 都是 n 阶对角阵 数量矩阵：数量矩阵：相当于一个数（若）单位矩阵、单位矩阵、上（下）三角形矩阵（若上（下）三角形矩阵（若）对称矩阵对称矩阵 反对称矩阵反对称矩阵 阶梯型矩阵阶梯型矩阵：每一非零行左数第一个非零元素所在列的下方 都是 0 分块矩阵：加法，数乘，乘法：类似，转置：每块转置并且每个子块也要转置 注：把分出来的小块矩阵看成是元素把分出来的小块矩阵看成是元素 逆矩阵：设 A 是 N 阶方阵，若存在 N 阶矩阵 B 的 AB=BA=I 则称 A 是可逆的，(非奇异矩阵、奇异矩阵|A|=0、伴随矩阵)BA1 初等变换 1、交换两行（列）2.、非零 k 乘某一行（列）3、将某行（列）的 K 倍加到另一行（列）初等变换不改变矩阵的可逆性初等变换不改变矩阵的可逆性 初等矩阵都可逆初等矩阵都可逆 初等矩阵：单位矩阵经过一次初等变换得到的（对换阵 倍乘阵 倍加阵）等价标准形矩阵OOOIDrr 矩阵的秩 r(A)：满秩矩阵 降秩矩阵 若若 A 可逆，则满秩可逆，则满秩 若 A 是非奇异矩阵，则 r（AB）=r（B）初等变换不改变矩阵的秩初等变换不改变矩阵的秩 求法：求法：1 定义定义 2 转化为标准式或阶梯形转化为标准式或阶梯形 矩阵与行列式的联系与区别：矩阵与行列式的联系与区别：都是数表；行列式行数列数一样，矩阵不一样；行列式最终是一个数，只要值相等，就相等，矩阵是一个数表，对应元素相等才相等；矩阵，行列式nijnijakka)()(nijnnijakka 逆矩阵注逆矩阵注：AB=BA=I 则 A 与 B 一定是方阵 BA=AB=I 则 A 与 B 一定互逆；不是所有的方阵都存在逆矩阵；若 A 可逆，则其逆矩阵是唯一的。矩阵的逆矩阵满足的运算律运算律：1、可逆矩阵 A 的逆矩阵也是可逆的，且AA11)(2、可逆矩阵 A 的数乘矩阵 kA 也是可逆的，且111)(AkkA 3、可逆矩阵 A 的转置也是可逆的，且TATTAA)()(11 4、两个可逆矩阵 A 与 B 的乘积 AB 也是可逆的，且111)(ABAB 但是两个可逆矩阵 A 与 B 的和 A+B 不一定可逆，即使可逆，但11)(BABAA 为 N 阶方阵，若|A|=0，则称 A 为奇异矩阵奇异矩阵，否则为非奇异矩阵非奇异矩阵。5、若 A 可逆，则11 AA伴随矩阵：伴随矩阵：A 为 N 阶方阵，伴随矩阵：（代数余子式）22211211*AAAAA特殊矩阵的逆矩阵特殊矩阵的逆矩阵：（对 1 和 2，前提是每个矩阵都可逆）1、分块矩阵 则COBAD11111COBCAAD 2、准对角矩阵，则4321AAAAA141312111AAAAA 3、4、（A 可逆）IAAAAA*1*AAA 5、6、（A 可逆）1*nAA AAAA1*11*7、8、*TTAA*ABAB判断矩阵是否可逆判断矩阵是否可逆：充要条件是，此时0A*11AAA求逆矩阵的方法求逆矩阵的方法：定义法IAA1伴随矩阵法AAA*1初等变换法 只能是行变换只能是行变换1|AIIAnn初等矩阵与矩阵乘法的关系初等矩阵与矩阵乘法的关系：设是 m*n 阶矩阵，则对 A 的行实行一次初等变换得到的矩阵，等 nmijaA*于用同等的 m 阶初等矩阵左乘以 A：对 A 的列实行一次初等变换得到的矩阵，等于用同种n 阶初等矩阵右乘以 A （行变左乘，列变右乘行变左乘，列变右乘）第第 3 章章 线性方程组线性方程组消元法 非齐次线性方程组非齐次线性方程组：增广矩阵简化阶梯型矩阵 r(AB)=r(B)=r 当 r=n 时，有唯一解；当时，有无穷多解nr r(AB)r(B)，无解 齐次线性方程组齐次线性方程组：仅有零解充要 r(A)=n 有非零解充要 r(A)n 当齐次线性方程组方程个数未知量个数，一定有非零解 当齐次线性方程组方程个数=未知量个数，有非零解充要|A|=0 齐次线性方程组若有零解，一定是无穷多个N 维向量：由 n 个实数组成的 n 元有序数组。希腊字母表示（加法数乘）特殊的向量：行（列）向量，零向量，负向量，相等向量，转置向量向量间的线性关系:线性组合或线性表示 向量组间的线性相关（无）：定义179P向量组的秩：极大无关组（定义极大无关组（定义 P188）定理定理：如果是向量组的线性无关的部分组，则它是 rjjj,.,21s,.,21极大无关组的充要条件是：中的每一个向量都可由线性表出。s,.,21rjjj,.,21 秩秩:极大无关组中所含的向量个数。定理定理：设 A 为 m*n 矩阵，则的充要条件是：A 的列（行）秩为 r。rAr)(现性方程组解的结构：齐次非齐次、基础解系线性组合或线性表示线性组合或线性表示注注：两个向量，若则 是 线性组合 k 单位向量组 任意向量都是单位向量组的线性组合 零向量是任意向量组的线性组合 任意向量组中的一个都是他本身的线性组合向量组间的线性相关（无）向量组间的线性相关（无）注注：n 个 n 维单位向量组单位向量组一定是线性无关 一个非零向量是线性无关，零向量是线性相关 含有零向量的向量组一定是线性相关 若两个向量成比例，则他们一定线性相关向量 可由线性表示的充要条件是n,.,21).().(2121TTnTTTnTTrr 判断是否为线性相关的方法判断是否为线性相关的方法：1、定义法：设，求（适合维数低的）nkkk.21nkkk.212、向量间关系法：部分相关则整体相关，整体无关则部分无关183P3、分量法（n 个 m 维向量组）：线性相关（充要）180PnrTnTT).(21 线性无关（充要）nrTnTT).(21 推论当 m=n 时，相关，则；无关，则0321TTT0321TTT 当 m向量维数时,向量组必线性相关；5)部分相关，则整体必相关；（整体无关，则部分必无关）.6)若向量组线性无关，则其接长向量组必线性无关；7)向量组线性无关向量组的秩所含向量的个数，向量组线性相关向量组的秩所含向量的个数;278)向量组线性相关（无关）的充分必要条件是齐次方程组12,n L11220nnxxxL有（没有）非零解.例例 7.7.设维向量组线性无关,则n12,(2)mm LA.组中减少任意一个向量后仍线性无关B.组中增加任意一个向量后仍线性无关C.存在不全为零的数,使12,mk kkL10miiikD.组中至少有一个向量可以由其余向量线性表出解析解析 因为若向量组线性相关，则增加任何一个向量后仍线性相关，其等价的定理是向量组相性无关，则组中减少任意一个向量后仍线性无关答案答案 A A例例 8 8 设向量，下列命题中正确的是（111122221111122222(,),(,),(,),(,)a b ca b ca b c da b c d）A若线性相关，则必有线性相关12,12,B若线性无关，则必有线性无关12,12,C若线性相关，则必有线性无关12,12,D若线性无关，则必有线性相关12,12,答案答案 B B例例 9.9.设向量组线性无关,而向量组线性相关.证明:向量必可表为的线性组123,234,4123,合.测试点测试点 关于线性相关性的几个定理关于线性相关性的几个定理证证 1 1 因为线性相关，故线性相关，又因为线性无关,所以必可表为234,1234,123,4的线性组合.证毕.123,证证 2 2 因为线性无关,故必线性无关,又因为线性相关123,23,234,故必能由线性表示,当然可表为的线性组合.证毕.423,123,三、向量组的极大无关组及向量组的秩三、向量组的极大无关组及向量组的秩1极大无关组的定义：设是向量组的一个部分组.如果（1）线性无关；（2）任给，都有12,r LT12,r LT线性相关，则称是向量组的一个极大无关组.12,r L12,r LT 282向量组的秩，向量组的秩与矩阵的秩；求向量组的极大无关组,并将其余向量由该极大无关组线性表示的的方法例例 1010的行向量组的秩 _.101316A测试点测试点 矩阵的秩与向量组的秩之间的关系矩阵的秩与向量组的秩之间的关系;答案答案 2例例 1111 设是一个 4 维向量组，若已知可以表为的线性组合，且表示法惟一，则向1234,4123,量组的秩为（）1234,A1B2C3D4测试点测试点 （1 1）向量组的秩的概念；（）向量组的秩的概念；（2 2）向量由向量组线性表示的概念）向量由向量组线性表示的概念 （3 3）向量组线性相关和线性无关的）向量组线性相关和线性无关的概念概念解解 因为可以表为的线性组合，且表示法惟一，必有线性无关,因为4123,123,设，由可以表为的线性组合，即1122330 4123,4112233kkk故 441122331122330kkk 111222333()()()kkk 由表示法惟一，有 111222333,kk kk kk于是有，故线性无关，又可以表为的线性组合，所以为向1230123,4123,123,量组的一个极大无关组，故向量组的秩为 3.1234,1234,答案答案 C C例例 1212 设向量组1234(1,1,2,1),(2,2,4,2),(3,0,6,1),(0,3,0,4)TTTT（1）求向量组的秩和一个极大线性无关组；（2）将其余向量表为该极大线性无关组的线性组合.测试点测试点 求向量组的极大无关组求向量组的极大无关组,并将其余向量由该极大无关组线性表示的的方法并将其余向量由该极大无关组线性表示的的方法解解 (2)(1)(3)(2)(1)(4)(1)(1)123412301230120300332460000012140444A 29 (1)(3)(3)(1)(2)(2)(2)(1)(3)12301203011101020011001100000000 1001010200110000所以 原向量组的秩为，为所求的极大无关组.3123,41232四、子空间的定义，基、维数、向量在一组基下的坐标四、子空间的定义，基、维数、向量在一组基下的坐标 1.维向量空间的定义：维实向量的全体构成的集合称为维向量空间，记为.nnnnR2.子空间的定义：设是的一个非空子集，且满足对加法运算和数乘运算封闭，则称是的一个子VnRVnR空间,简称为向量空间.V3.生成子空间的定义：设则由它们的所有线性组合构成的一个子空间，称它为由12,nmR LnR生成的子空间.12,m L例例 1313 设1123123(,0),Vxx x xxx xR2123123(,1),Vxx x xxx xR，说明哪个是子空间，那个不是.31212(,)0nnVxx xxxxxLL解析解析 在中，任取为任意数，都有1V1231231(,0),(,0),x x xy yyV k1122331(,0),xy xyxyV1231(,0)kkx kx kxV所以是子空间.1V类似地，可以证明也是子空间.31212(,)0nnVxx xxxxxLL但对，取都属于而2123123(,1),Vxx x xxx xR(1,0,0,1),(0,1,0,1)2,V这表明对加法运算不封闭，故不是子空间.2(1,1,0,2).V2V2V 4.向量空间的基和维数的定义向量空间的基和维数的定义向量空间的一个向量组线性无关，且中每个向量都能由它线性表示，则称它为向量空间V12,r LV的一个基.零空间没有基，定义它为 0 维，否则，称向量空间的基所含向量个数为该空间的维数.设0r1122rrxxxL 30称为在这组基下的坐标.12(,)rx xxL例例 1414 向量空间为实数的维数为_.1212(,0),Vxx xxx测试点测试点 向量空间维数的概念向量空间维数的概念解解 容易看出 是的一个基。(1,0,0),(0,1,0)V答案答案 2例例 1515 证明向量组是的一组基，则向量在这组基下的123(1,1,1),(1,2,0),(3,0,0)3R(8,7,3)坐标是_.测试点测试点 向量在一组基下的坐标向量在一组基下的坐标解解 因为12311331112002160100001TTT 故线性无关，所以它是的一组基.123,3R考虑 112233TTTTxxx该线性方程组的增广矩阵为 123113811381207013110030135TTTTA 113811380131013100660011 得 1233,2,1.xxx所以在这组基下的坐标是（即）(8,7,3)(3,2,1)12332答案答案 .(3,2,1)例例 1616 求由向量组生成的子空间的一个基，并说明该生成子空间的维123(1,1,1),(1,2,0),(2,3,1)数.解析解析 显然显然是的一个极大无关组，故是由向12(1,1,1),(1,2,0)123(1,1,1),(1,2,0),(2,3,1)量组生成的子空间的一个基，所以该子空间的维数等于123(1,1,1),(1,2,0),(2,3,1)2.第四章第四章 线性方程组线性方程组一、线性方程组的三种表示方法一、线性方程组的三种表示方法 31 1.11 11221121 1212221 122 nnnnmmmnnma xa xa xba xa xa xba xaxaxbLLL LL2.，其中.Axb1112111212222212,nnmmmnmnaaabxaaabxAbXaaabxLLMMOMMML31122nnxxxbL 其中12(1,2,)jjjmjaajnaLM二、齐次线性方程组二、齐次线性方程组1齐次方程组有非零解的条件1）齐次方程组有非零解的充分必要条件是未知数的个数（即矩阵的列数）.0AX()r A A2）n个未知数n个方程的齐次方程组有非零解的充分必要条件是.0AX 0A 3)设是阶矩阵.若，则齐次方程组必有非零解.(这是齐次方程组有非零解的充分条Amnmn0AX 件但不必要)例例 1 1设为矩阵，齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是（）Am n0Ax A的列向量组线性相关B的列向量组线性无关AAC的行向量组线性相关D的行向量组线性无关AA测试点测试点 齐次方程组有非零解与列向量组线性相关的关系齐次方程组有非零解与列向量组线性相关的关系.答案答案 A A例例 2.2.设是 43 矩阵，若齐次线性方程组只有零解，则矩阵的秩 _.A0Ax A()r A 测试点测试点 1.1.齐次方程组只有零解的充分必要条件齐次方程组只有零解的充分必要条件;2;2 根据系数矩阵的阶数根据系数矩阵的阶数,确定方程的个数和未知数的个数确定方程的个数和未知数的个数.解析解析 线性方程组的系数矩阵的行数等于方程的个数，列数等于未知数的个数AxbA因为是 43 矩阵，故方程组的未知数的个数，故方程组只有零解A0Ax 3n 0Ax 的充要条件是系数矩阵的秩A3.n答案答案 ()3r A 例例 3.3.齐次线性方程组有非零解,则 .1231231230020 xxxxxxxxx 32解析解析 有非零解1231231230020 xxxxxxxxx11110211而 (2)(1)(3)(1)(1)111111110(1)(4)211220 故因为有非零解，则或1231231230020 xxxxxxxxx1 4.答案答案 或1 4.2.齐次方程组解的结构1）齐次方程组解的性质设都是的解，则也是的解(C1，C2为任意常数),0Ax 12CC0Ax 2）齐次方程组的基础解系的概念0AX 设是齐次方程组的一组解.如果它满足：12,s L0AX（1）线性无关；（2）的任何一个解都可以表示为的线性组合，则称12,s L0AX 12,s L为该齐次方程组的基础解系.12,s L如果齐次方程组有非零解（即），则它有基础解系.()r An重要结论:齐次方程组的基础解系含个线性无关的解；齐次方程组的任意0AX()nr A0AX 个线性无关的解都构成该齐次方程组的基础解系；()nr A3）齐次方程组的基础解系的求法0AX 例例 4 4 3 元齐次方程组的基础解系所含解向量的个数为 .1223 =0 0 xxxx测试点测试点 齐次方程组的基础解系齐次方程组的基础解系 (定义定义;含几个解向量含几个解向量;求法求法)解解 因为齐次方程组的系数矩阵为的秩为,未知数的个数为,所以其基础解系含个11001123321解.答案答案 1例例 5 5 已知是齐次方程组的一个基础解系,则此方程组的基础解系还可以选用1234,0Ax A.12233441,B.12233441,33C.与等秩的向量组1234,1234,D.与等价的向量组1234,1234,测试点测试点 1.1.齐次方程组的基础解系齐次方程组的基础解系 特别是若齐次方程组的一个基础解系含特别是若齐次方程组的一个基础解系含 4 4 个解个解,则它的任意则它的任意 4 4 个线性无个线性无关的解都是它的基础解系关的解都是它的基础解系;2.;2.判断向量组线性无关的方法判断向量组线性无关的方法;3.;3.等价的向量组有相等的秩等价的向量组有相等的秩;等价与等秩的区别等价与等秩的区别 4,4,齐次方程组解的性质齐次方程组解的性质.解解 因为是齐次方程组的一个基础解系,故都是齐次方程组的解,1234,0Ax 1234,0Ax 因为与等价,故能由线性表示,故也都是1234,1234,1234,1234,1234,的解.又因为线性无关,所以该向量组的秩=4,又因为等价的向量组有相等的秩,所以0Ax 1234,的秩也等于 4,所以也线性无关.故也是的基础解系.所以 1234,1234,1234,0Ax D 正确.答案答案 D D例例 6.6.设mn矩阵的秩，是齐次A()3(3)r Ann,线性方程组的三个线性无关的解向量，则方程组0Ax 的基础解系为（）0Ax A,B,C,D,知识点知识点 齐次线性方程组基础解系的概念及所含解向量的个数齐次线性方程组基础解系的概念及所含解向量的个数;向量组线性相关性的判别向量组线性相关性的判别解解 显然 A,B,C 选项中的三个向量都是线性相关的,而齐次方程组的基础解系应由线性无关的向量组组成.答案答案 D D 3）齐次方程组的通解公式 如果是基础解系，则它的通解为 0AX 12,n r L0AX，其中为任意数.1 122n rn rxCCCL12,n rC CCL例例 6 6 求齐次线性方程组 的基础解系及通解.125123345 0 0 0 xxxxxxxxx测试点测试点 求齐次方程组的基础解系和通解的方法求齐次方程组的基础解系和通解的方法解解 110011100111001111000010100101001110011100010A取为约束未知数,为自由未知数,134,x x x25,xx 34取为该齐次方程组的基础解系,该齐次方程组的通解为121110,010001 为任意数)12121110(,010001xkkk k三非齐次方程组三非齐次方程组 1非齐次方程组解的性质1）设都是的解，则是它的导出组的解.12,Axb120Ax 2）设都是的解，则当时，也是的解.12,Axb121kk1 122kkAxb3）设是的一个解，是它的导出组的解,则是的解.Axb0Ax Axb例例 7 7 已知是 3 元非齐次线性方程组的两个解向量，则对应齐次线性方12(1,0,1),(3,4,5)TTxxAxb程组有一个非零解向量_.0Ax 测试点测试点 线性非齐次方程组解的性质线性非齐次方程组解的性质 解解 21(2,4,6)Txx答案答案 (2,4,6)T例例 8 8 设齐次线性方程有解，而非齐次线性方程且有解,则是方程组_0Ax Axb的解。测试点测试点 线性方程组解的性质线性方程组解的性质答案答案 Axb 2关于非齐次方程组解的讨论定理定理 个未知数，个方程的线性方程组中，（系数矩阵是阶矩阵）是增广矩nmAXbAmnAAb阵.则1）当且仅当（未知数的个数）时，方程组有惟一解；r Ar An()()AXb2）当且仅当（未知数的个数）时，方程组有无穷多解；()()r Ar AnAXb 353）当且仅当时，方程组无解.()()r Ar AAXb从以上定理可见1）线性方程组有解的充分必要条件是.AXb()()r Ar A2）当线性方程组，方程的个数未知数的个数时，该方程组有惟一解的充分必要条件是系数行列AXb式.0A 例例 9 9 已知某个 3 元非齐次线性方程组的增广矩阵经初等行变换化为：AxbA，若方程组无解，则的取值为_.1)1(0021201321aaaAa测试点测试点 1.1.增广矩阵增广矩阵经初等行变换变成经初等行变换变成,则以则以为增广矩阵的线性方程组与原方程组通解为增广矩阵的线性方程组与原方程组通解;ABB 2.2.非齐次方程组有解的充分必要条件是系数矩阵与增广矩阵有相等的秩非齐次方程组有解的充分必要条件是系数矩阵与增广矩阵有相等的秩解解 当时,故方程组无解.0a()2,()3r Ar A答案答案 .0a 例例 1010 如果非齐次线性方程组有解,则它有惟一解的充分必要条件是其导出组 .Axb0Ax 解解 非齐次线性方程组有惟一解的充分必要条件是未知数的个数，Axb()()r Ar A而它恰是其导出组只有零解,没有非零解的充要条件.0Ax 答案答案 只有零解.3.非齐次方程组的通解的结构AXb1 122n rn rxCCCL其中是方程的一个特解，为系数矩阵的秩，为它的导出组（与它对应的）AXb()rr A12,n r L齐次方程组的基础解系.0AX 例例 1010 设 3 元非齐次线性方程组的两个解为，且系数矩阵的秩Axb(1,0,2),(1,1,3)TTA，则对于任意常数 方程组的通解可表为（）()2r A 12,k k k 12A.(1,0,2)(1,1,3)B.(1,0,2)(1,1,3)TTTTkkk C.(1,0,2)(0,1,1)D.(1,0,2)(2,1,5)TTTTkk测试点测试点 1.1.非齐次线性方程组的通解的公式非齐次线性方程组的通解的公式;2.2.非齐次方程组解的性质非齐次方程组解的性质3.3.齐次方程组的基础解系的概念齐次方程组的基础解系的概念解解 因为都是非齐次方程组的解，故(1,0,2),(1,1,3)TTAxb(0,1,1)T 36是它的导出组的解，又因为为 3 元方程组，故它的基础解系含一个解，即它的任0Ax 0Ax()2r A 何一个非零解都是它的基础解系，故就是它的基础解系，又是非齐次方程组(0,1,1)T(1,0,2)T的解，所以为的通解.Axb(1,0,2)(0,1,1)TTkAxb答案答案 C C例例 1111 设 3 元非齐次线性方程组12123231232 =34710 234xxxxxxxbxxax(1)试判定当为何值时,方程组有无穷多个解?,a b(2)当方程组有无穷多解时,求出其通解(要求用它的一个特解和它导出组的基础解系表示).测试点测试点 线性方程组的讨论线性方程组的讨论解解(2)(4)(1)(4)(2)(1)120312031203471100112011201101100022340120010Abbbaaa 1203011200100002ab 所以 当即时,方程组无解;2,b 20b当 即 时方程组有惟一解;2,1,ba20,10ba 当 即时,方程组有无穷多解.这时2,1ba20,10ba 取为约束未知数,为自由未知数,取为方程组的特解,12,x x3x12,0为其导出组的基础解系.故方程组的通解为211 .122101xCC例例 1212 设向量可以由向量组线性表示,则数应满足的条件是(2,1,)b12(1,1,1),(2,3,)a,a bA.B.C.D.4ab0ab4ab0ab解析解析 考察方程,其增广矩阵为1122TTTxx 37 121221221310111022TTTabab 1221220110110022004baab故方程组有解时,必有4ab答案答案 C C第五章第五章 特征值与特征向量特征值与特征向量一、特征值与特征向量一、特征值与特征向量 1特征值与特征向量的定义要点：要点：是n阶方阵的特征值，是指存在非零列向量，使得.这时，称为矩阵属于特征AAA值的特征向量.由此知，是n阶方阵的特征值，这时，齐次方程组的A0EA()0EA x非零解都是矩阵属于特征值的特征向量.A例例 1 1 设为 3 阶矩阵,为 3 阶单位阵,若行列式,则的一个特征值为 【】AE230EAAA.B.C.D.32232332测试点测试点 为为的特征值的充分必要条件是的特征值的充分必要条件是.A0EA解解 因为,故所以必有一个特征值为.230EA20,3EAA23答案答案 B B例例 2 2 已知矩阵的一个特征值为，则 _.10101010Ax0 x 测试点测试点 为为的特征值的充分必要条件是的特征值的充分必要条件是.A0EA解解 为矩阵的一个特征值010101010Ax1011101010110Axxx 故故.1x 答案答案 1例例 3 3 设 3 阶矩阵的每行元素之和均为 2,则必有一个特征值为 .AA 38测试点测试点 1.1.特征值的定义特征值的定义 2.2.111213111213212223212223313233313233111aaaaaaaaaaaaaaaaaa 解解 因为 3 阶矩阵的每行元素之和均为 2,A 111213111213212223212223313233313233121122 12.121aaaaaaAxaaaaaaxaaaaaa 所以必有一个特征值为.A2答案答案 2例例 4 4 设矩阵，则的线性无关的特征向量的个数是（）1111021100310003AAAB12CD34解解 的特征值为，当时，A12341,2,33433 111121110321101113003310001000330000EA所以，故的基础解系只含一个解，这表明只有一个属于特征值的线性无关(3)3rEA(3)0EA xA3的特征向量，故的线性无关的特征向量的个数是.A3答案答案 C C 2关于特征值、特征向量的性质1）与有相同的特征值，但不一定有相同的特征向量；TAA2）设都是矩阵属于特征值的特征向量，是数，只要，则也是12,A12,k k11220kk1122kk矩阵属于特征值的特征向量；A3)设阶方阵的个特征值为,则nAn12,n L121122(1);nnntrAaaaLL(2).12nA L4）矩阵属于不同特征值的特征向量线性无关;A5）设是矩阵属于特征值的特征向量，则是矩阵属于特征值的特征向量，其中A()f A()f.101()kkkf xa xa xaL6)设是可逆矩阵的特征值.则，且是矩阵的特征值.A011A 393特征值、特征向量的求法例例 5 5 设阶矩阵有一个特征值为,对于阶单位矩阵,矩阵必有一个特征值为nA2nE2AE .解解 ,则,因为有一个特征值为,故必有一个特征值为()2f AAE()2f xxA22AE(2)224f 例例 6 6 设为n阶可逆矩阵，已知有一个特征值为，则必有一个特征值为_.AA21(2)A测试点测试点 若若 为可逆矩阵为可逆矩阵的一个特征值，则的一个特征值，则为矩阵为矩阵的特征值的特征值.A11A解解 因为有一个特征值为，故有一个特征值为,所以必有一个特征值为.A22A41(2)A14答案答案 .14例例 7 7 已知是n阶矩阵，且满足方程,证明的特征值只能是或.A22AAOA02测试点测试点 设为的特征值，则为矩阵的特征值.矩A110()mmmmf Aa AaAa EL()f()f AO阵的所有特征值均为 0.证证 设为的特征值，则必为的特征值，又因为A2222AA，故，故必有或.证毕22AAO22002 二、相似矩阵二、相似矩阵 1.相似矩阵的定义 设都是阶方阵，如果存在可逆阵使得，则称与相似.,A Bn,P1BP APAB2.相似矩阵的性质1)反身性，对称性，传递性；2）若方阵与相似，则与有相同的特征值，（但不一定有相同的特征向量）进而ABAB，且,其中表示矩阵的迹，即12,nAB L12ntrAtrBLtrAA,为方阵的 n 个特征值；1122nntrAaaaL12,n LA注意：反之，若与有相同的特征值，与不一定相似；例如有相同的特征ABAB1011,0101AB值，但与不相似.AB例例 8 8 设 3 阶矩阵与相似,且已知的特征值为则矩阵的迹 【】ABA0,1,2,B()tr B A.3 B.2 C.1 D.0测试点测试点1.1.相似矩阵的特征值相同相似矩阵的特征值相同;从而其迹和行列式也相同；从而其迹和行列式也相同；2.2.矩阵的特征值与该矩阵的迹和行列式的关系矩阵的特征值与该矩阵的迹和行列式的关系.40解解 由已知的特征值也为故的迹B0,1,2,B()0 123tr B 答案答案 A A例例 9 9 设 3 阶矩阵与相似，且已知的特征值为.则=（）ABA2,2,31BAB12171C7D12测试点测试点 (1)(1)相似矩阵的特征值相同相似矩阵的特征值相同;(2)(2)设设为矩阵为矩阵的一个特征值的一个特征值,则则为矩阵为矩阵的特征值的特征值;为矩阵为矩阵的特征值的特征值.A()f()f A11A(3)(3)矩阵的特征值与该矩阵的迹和行列式的关系矩阵的特征值与该矩阵的迹和行列式的关系.解解 因为 3 阶矩阵与相似,所以与有相同的特征值,所以的特征值为,故ABBAB2,2,3的特征值为从而1B1 1 1,.2 2 311 1 11.2 2 312B答案答案 A A例例 1010 若 2 阶矩阵相似于矩阵，为 2 阶单位矩阵，则与矩阵相似的矩阵是（A2023BEEA）A B10141014CD10241024测试点测试点 相似矩阵的概念；相似矩阵的性质（若相似矩阵的概念；相似矩阵的性质（若与与相似，则相似，则与与相似；相似矩阵有相同的特相似；相似矩阵有相同的特AB()f A()f B征值等）征值等）；三角形矩阵的特征值；三角形矩阵的特征值解解 1 1 ，故的特征值为.因为与相似，故102010012324EBEB121,4 AB与相似，所以，凡与矩阵相似的矩阵的特征值都是，故在 A,B,C,D 四个选项中，EAEBEA1,4正确的只能是 C.解解 2 2因为二阶方阵有两个不同的特征值，故与对角阵相似，同理也与对角阵EAEA10041024相似，故与相似.1004EA1024答案答案 C C 41 3.方阵的对角化问题A1)n 阶方阵能与对角阵相似的充分必要条件是有 n 个线性无关的特征向量；设是方阵AA12,n L的 n 个特征值，依次是方阵的属于特征值的 n 个线性无关的特征向量.若令A12,np ppLA12,n L，则12nPpppL.121000000nP APLLMM OML2）若方阵有 n 个不同的特征值（即特征方程无重根），则必能与对角阵相似.（这是能与对角阵相似AAA的充分条件，不是必要条件）例例 1111 阶矩阵与对角阵相似的充分必要条件是（）nAA 矩阵有个特征值 B 矩阵有个线性无关的特征向量AnAnC D 矩阵的特征多项式没有重根0A A答案答案 B B例例 1212判断能否与对角阵相似.1101A解析解析 1 11010101 10000EA故的基础解系只含一个解，即只有一个线性无关的特征向量，故()0EA x1101A不能与对角阵相似.1101A例例 1313为三阶矩阵，为它的三个特征值,其对应的特征向量为。设，A0,1,1123,p pp123Pppp则下列等式错误的是（）A.B.1000010 001P AP1000 010001APPC.D.1000010001P AP10A解析解析 因为依次是矩阵属于特征值的特征向量，故123,p ppA0,1,1 ,所以1000010 001P AP1000010.001P AP 42答案答案 C C例例 1414 设矩阵，求可逆矩阵及对角矩阵，使得.4100130600APD1P APD解解 (1)求的特征值和线性无关的特征向量A .24100130(2)(2)(1)60EA 所以的特征值为 .A1230,2,1(2)当时104100100100100130250050010600130030000EA 取为约束未知数,取为自由未知数,得为齐次方程组 的基础解系.故为属12,x x3x1001p (0)0EA xA于特征值的特征向量.10当时22 210015015015000001516020151000EA 取为约束未知数,取为自由未知数,得12,x x3x25115p当时3151001201201201200121601601000EA 取为约束未知数,取为自由未知数,得12,x x3x32112p 取,123052000011,02011512001PpppD 43则有.1.P APD验算验算 只要检查 410005201021300110216001151203012AP05200001020110200211151200103012PD所以 ，从而 APPD1P APD例例 1515 设 3 阶矩阵的特征值为:且已知属于特征值的特征向量为A1231,2,A11属于特征值的特征向量为.求矩阵.1(0,1,1);TA23223(1,0,0),(0,1,1)TTA测试点测试点 关于关于阶方阵阶方阵与对角阵相似的公式与对角阵相似的公式:设设为三阶方阵为三阶方阵的三个特征值的三个特征值,依次为依次为nA123,A123,属于特征值属于特征值的线性无关的特征向量的线性无关的特征向量,则令则令A123,有有123P1123000000P AP故故 1123000000APP解解 令123010100101,020