线性代数各章知识点概述-(1).doc

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线性代数辅导

东南大学数学系
2006年11月

目 录

第一部分 行列式
第二部分 矩阵的运算
第三部分 矩阵的初等变换和矩阵的秩
第四部分 向量组的线性相关性和向量组的秩
第五部分 线性方程组
第六部分 相似矩阵和矩阵的特征值、特征向量
第七部分 实对称矩阵和二次型
第八部分 空间解析几何

第一部分 行列式
一． 定义
1．定义 设，则
是项代数和；不同行，不同列；正、负号。
【例1】 是不是4阶行列式中展开式中的项，正、负号是什么？不是
【例2】 中的系数。
2．注：（1）. 对角线法则一般地不再成立。举例。
（2）. 记住上、下三角阵的行列式。
二． 性质
1． 性质
（1） 行列式的基本性质；
（2） 按行（列）展开；
（3） 乘法定理。
2． 需记住的结果：
（1） Vandermonde行列式；
（2） 分块上、下三角阵的行列式。
3． 例：
【例3】 已知，，，求。

【例4】已知。求。
4． 注：
（1） 矩阵的加法、数乘之后的行列式；
（2） 容易出现的错误：
；
;
（3） 分块矩阵的行列式.
三． 计算
1． 典型方法：
（1） 化成低阶行列式；
（2） 化成三角形行列式。
2． 注：很少直接用定义计算；应先化简，后计算。
3． 例
【例5】 ；
【例6】 ；
【例7】 ，均不为零；
【例8】 ；
【例9】；
【例10】；

第二部分 矩阵的运算
一． 矩阵的乘法
1． 运算规律
【例1】，
，，
。
【例2】假设是维非零列向量，。证明：是对称矩阵，且。
2． 应当注意的问题
（1） 矩阵记号与行列式记号的差别；
（2） 单位矩阵（用或表示）的每个元素都等于1吗？ 不是
（3） 矩阵乘法含有非零零因子，因而乘法消去律不成立；
【例3】 。
【例4】 满足满足什么条件时，由就能推出？

（4） 矩阵乘法不可交换，因而一些代数恒等式不再成立。

【例5】平方差公式。
【例6】二项式定理。
【例7】设，求。
【例8】与对角阵可交换的矩阵是否一定是对角阵？
不一定，任意方阵与单位阵都是可交换的。

二． 可逆矩阵
1． 可逆的条件
（1） 行列式不为零；
（2） 秩等于阶数；
（3） 存在另一矩阵使它们的乘积是单位阵；
（4） 特征值全不为零。

2． 逆矩阵的计算
（1） 利用伴随矩阵：一般只对低阶矩阵，如二阶矩阵用这种方法。但要注意二阶矩阵的伴随矩阵是如何定义的。
（2） 利用初等变换：要注意避免过繁的运算。
【例9】求矩阵的逆矩阵
3． 重要性质，如
（1） 可逆矩阵肯定不是零因子；
（2） ；
（3） 对于方阵，若存在矩阵使得，则是可逆的，且；
（4） 。
【例10】已知，证明是可逆的，并求其逆。
【例11】已知。
（1） 证明：可逆，并求；
（2） 可逆，并求其逆；
【问题】：假设阶矩阵满足。证明矩阵及均可逆，并分别求及；证明：若，矩阵肯定不可逆。
4． 伴随矩阵
（1） 定义；　如求矩阵的伴随矩阵
（2） ；
（3） 若可逆，则。
【例12】已知，求。
【例13】假设，证明。
5． 矩阵方程
各种类型的矩阵方程，正确化简成标准形式，正确求解。
标准形式的矩阵方程的求解可以先求逆矩阵，再求乘积得解，或直接有初等变换求解。可以进行验算！
【例14】设矩阵，矩阵满足，求。

三． 矩阵的分块运算
（1） 分块矩阵的乘法规则的成立是有条件的：小矩阵间的运算要有意义，或左边的因子的列的分法与右边的因子的行的分法一致
l ；
l ；
【例15】求。
【例16】已知矩阵，其中是可逆矩阵，求。

（2） 注意：不能滥用分块。如：行列式；伴随矩阵等。

第三部分 矩阵的初等变换和矩阵的秩
一． 概念
（1） 讨论什么问题可以用初等行、列变换。有时只能用行变换，不能用列变换；
求相抵标准型要同时用初等行、列变换。解方程组，求逆矩阵，求极大无关组都只能用初等行变换，不能用列变换。
（2） 行向量组等价的矩阵一定是等价的。等价的矩阵的行向量组等价吗？
等价的矩阵的行向量组不一定等价，因为等价的矩阵可能做了初等列变换。

【例１】 讨论矩阵的秩

二． 初等变换与矩阵乘法
（1） 初等变换与初等矩阵的乘积；
【例2】已知可逆，交换其第一、三两行的得矩阵，求。
（2） 矩阵的等价标准形；
（3） 若，则一定存在可逆矩阵，使得。
【例4】 证明矩阵的满秩分解定理，分解成秩为1的矩阵的和。
（4） 用初等变换求可逆矩阵的逆矩阵，解矩阵方程。
三． 矩阵的运算与秩
（1）
（2）
（3）
（4）
（3） 若，则
【例4】假设满足，证明：。
【例5】假设是矩阵，且。若，则必有。
【例6】假设，是矩阵。证明。
第四部分 向量组的线性相关性和向量组的秩

一． 什么叫线性相关、线性无关？什么叫向量组的极大无关组，秩？重要结论。
（1） 定义；
（2） 简单性质：含零向量的向量组一定线性相关等；
两个向量线性相关当且仅当其分量成比例；
问题：如果三个向量中的任意两个向量的分量都不成比例，是否线性无关？
不一定，可能有某一行可以由其他两行线性表示。
（3） 向量组的秩与矩阵的秩的关系；
（4） 定理：时，线性相关存在某个使得可以由其余 个向量线性表示。
（5） 定理：若线性无关，线性相关，则可以由线性表示。
（6） 定理：若可以由线性表示，且，则线性相关。
（7） 定理：线性无关。
（8） 定理：假设向量组线性无关，并且
，
记。则线性无关可逆；
二． 如何判别？
（1） 线性表示， 线性相关性
【例1】 设向量，，，. 问：当参数满足什么条件时
1．能用线性表示？
2．不能用线性表示？
【例2】已知向量组，之间有关系：
，
证明：肯定线性相关.
【例3】求，使得向量组线性相关。
【例5】设是齐次线性方程组的线性无关的解向量，不是其解向量。证明：也线性无关.
【例5】 设线性无关， ，。问：满足什么条件时线性无关？
（2） 极大无关组和秩
定理：如果可以由线性表示，则
定理：如果，则中任意个线性无关的向量都是其一极大无关组。
【例6】 若向量组，则当参数取什么值时，线性相关；这时求这个向量组的一个极大无关组。
【例7】 求给定向量组的极大无关组
（3）注意辨别对错
【例7】若线性相关，则可由线性表示？错，不一定
【例8】若有全为零的数使得，则线性无关。错，不一定
三． 向量空间

第五部分 线性方程组
一． 解的存在性、唯一性
（1）有解；
（2）若，则有唯一解；
（3）若，则的通解中含有个自由未知量。
二． 解的结构
（1） 齐次线性方程组 有非零解的充分必要条件是。
A． 解的结构
B． 若，则的基础解系中含个解向量；
C． 若，则的任意个线性无关的解向量都是基础解系
（2） 非齐次线性方程组 的解的结构
三． Cramer法则，Gauss消元法与通解的表达
注：Cramer法则只适用于方程个数与未知量个数相同的情形；
用Gauss消元法求解只能对增广矩阵作初等行变换, 不能作列变换；
通解有两种形式：用自由未知量表示；用向量形式表示。
四． 例
【例1】 求齐次线性方程组的基础解系

将系数矩阵化成行简化阶梯形矩阵，求通解，写出基础解系。
【例2】 讨论解的情况并求基础解系

【例3】 问：当参数去什么值时，齐次线性方程组有非零解，有非零解时求通解

【例4】 讨论解的情况并求解

【例5】 设是齐次线性方程组的基础解系，线性方程组的特解。表示任意常数。则的通解是
（1）
（2）
（3）
（4）
【例6】 已知是齐次线性方程组的基础解系，

问：当取何值时，也是的基础解系。
【例7】 假设，是的解，且，。求的通解。

第六部分 相似矩阵和矩阵的特征值、特征向量

中心问题是矩阵的相似对角化问题。
一． 矩阵的特征值、特征向量的概念和简单性质
1． 计算：先求特征多项式，再求根，再解齐次线性方程组的非零解
【例1】 求矩阵的特征值和特征向量。
2． 特征多项式和迹
假设。则是次多项式，首一的，且

称为的迹，记为。
3． 特征值的性质
（1） 如的特征值是，则
，
（2） 可逆特征值均不为零。如果可逆，是的特征值，则是的特征值；
（3） 假设多项式，是的特征值，则是的特征值；
（4） 设是的化零多项式，则的特征值均是的根。
【例2】假设是3阶方阵，均不可逆，求。
【例3】假设，证明：的特征值只能是0和1。
注：错误做法：因为，则或。若，则0是的特征值，若，则1是的特征值。
二． 相似矩阵及矩阵相似的必要条件
定义：矩阵的相似。
定理：若矩阵与相似，则，且与有相同的特征值、迹、秩、行列式。
【例4】已知矩阵与相似，求。
解：A，B相似，则|A|=|B|=0。化简可得|A|=(a-b)2=0,所以a=b。
另外，A，B相似，A的特征值也为0，1，2。当l=1时，|lI-A|=-2ab=0。
所以a=b=0。
注：1.逆命题不成立
2.课程中没有介绍“充分条件”，除非对矩阵加了特定的条件（如实对称等）。
【例5】 若与之一可逆，证明：与一定相似。
【例6】 若与相似，与相似，证明：与相似。
三． 矩阵可相似对角化问题
注：并非每个矩阵都相似于对角阵。如
定理：矩阵相似于对角阵有个线性无关的特征向量。
定理：矩阵的属于不同特征值的特征向量线性无关。
【例7】如：肯定相似与对角阵。
如：有重特征值，但相似于对角阵。
定理：如果是矩阵的互不相同的特征值，是的属于的特征向量，则线性无关。
【例8】假设是上三角矩阵。证明
（1） 如果互异，则一定相似于对角阵；
(此时，A有个不同的特征值，所以有个线性无关的特征向量。)
（2） 如果全相等，而不是对角阵，则肯定不相似于对角阵。
（此时，A的个特征值相同，且）
定理：矩阵相似于对角阵对于的重特征值，有个线性无关的特征向量。
【例9】 假设相似于对角阵，2是一个二重特征值。求及可逆矩阵，使得是对角阵。
【例10】 已知矩阵的特征方程有一个二重根。求参数的值，并讨论是否可相似对角化。
注：。因此，若2是两重根，则，此时，特征值为2，2，6。可以证明，这时，可以相似对角化。
若2不是两重根，则为完全平方，从而可以解得。可以证明，这时不可以相似对角化。
【例11】 设矩阵满足。证明：
（1）相似于；
（2）。
四．同时对角化问题、矩阵相似对角化的应用
【例12】 设矩阵有个互不相同的特征值，且。证明：存在可逆阵使得，均是对角阵。
【例13】 设。求。

第七部分 实对称矩阵和二次型

应当注意，讨论二次型与讨论实对称矩阵本质上是同一回事。
一． 内积、Schmidt正交化方法和正交矩阵
1． 内积和正交性
定义：维向量的内积（可以用矩阵的乘积表示）
正交
长度，单位向量，单位化
正交向量组
定理：正交向量组是线性无关的。
【例1】 已知向量组线性无关，非零向量与中每个向量正交。证明：，线性无关。
2． Schmidt正交化方法
如果线性无关，则经过正交化、单位化可以得到一个与之等价的标准正交向量组。
正交化、单位化的公式。
3． 正交矩阵
定义：正交矩阵
定理：阶实矩阵是正交矩阵的行（列）向量组是标准正交向量组。
【例2】 若上三角实矩阵是正交矩阵，则是对角阵，且主对角元是。
【例3】 若阶实矩阵是正交矩阵。则
（1）当时，且是奇数时，1是的特征值；
（2） 当，-1是的特征值；
（3） 若也是阶正交矩阵，且，则。
二． 实对称矩阵
1．实对称矩阵的基本性质（三条）：假设是实对称矩阵，则
（1） 实对称矩阵的特征值是实数；
（2） 实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量相互正交；
（3） 存在正交矩阵，使得是对角阵。
2． 正交矩阵及对角阵的计算。要注意与相似对角化的区别。
【例4】假设。求正交矩阵，使得是对角阵。
【例5】设三阶实对称矩阵的特征值为3，1，1，是的相应于特征值3的特征向量。求。
法一. 求正交阵；
法二. 用相似对角化方法。
【例6】假设是实对称矩阵。证明：存在实对称矩阵，使得。
【例7】假设是实对称矩阵。证明：若存在使得，则。
三． 二次型的矩阵
二次型的矩阵都是对称矩阵，两者一一对应。
可逆线性变换与矩阵的合同关系两者一一对应。
【例8】求二次型的矩阵。
【例9】假设是矩阵（不一定是对称的）。求二次型的矩阵。
四． 标准形、惯性定理与规范形
1． 标准形的计算
配方法：
【例10】二次型
注：应是可逆线性变换，故，变换前后变量个数相同。
正交变换的办法：完全化成矩阵问题
【例11】已知实二次型在一正交变换下可以变成。求及一个合适的正交变换。
2． 惯性定理，正、负惯性指数
定理：惯性定理
定义：二次型的秩和正、负惯性指数
命题：二次型的秩和正、负惯性指数可以由其矩阵的特征值确定。
【例12】假设是实对称矩阵，且，。求的秩和正、负惯性指数。
3． 分类
每个实对称矩阵均与合同，称此矩阵为的规范形。
于是，两个实对称矩阵合同它们有相同的秩和正惯性指数。
【例14】 若将实对称矩阵按合同关系分类，共可分成多少合同类？
解：秩的取值为0，1，2，3，4，…, n
合同类的个数为1，2，3，4，5，…,n+1
共有(n+1)(n+2)/2.
五． 正定性
定义：实对称矩阵、二次型的正定性、负定性
定理：假设是实对称矩阵，则下述命题是等价的：
1．是正定的
2．的各个顺序主子式大于零
3．的所有特征值均大于零
4． 存在实可逆矩阵，使得。
【例13】 设。求，使之为正定二次型。
【例14】 设都是正定矩阵。证明：都是正定的。问：是不是正定的？
【例15】 假设实对称矩阵是正定的，是实矩阵。证明：正定。
【例16】 假设实对称矩阵是正定的。证明：。

第八部分 空间解析几何
一． 矢量代数
1． 数量积
几何定义：是一数量，
坐标表达：
几何意义：正交，
2． 向量积
几何定义：是一向量，方向： 符合右手则；
坐标表达：
几何意义：；一般地，是平行四边形面积
3． 混合积
定 义：
坐标表达：
几何意义：=平行六面体的体积；四面体的体积；
共面。
简单性质：轮回。
二． 平面、直线
1． 平面方程
（3） 确定平面的基本方法：点+法向量
【例1】 三点确定平面
【例2】 两相交直线确定平面
【例3】 两平行直线确定平面
（4） 截距式方程

（5） 特殊形式的方程（缺项）
【例4】 缺常数项表示过原点，缺项时表示与轴平行。
【例5】 缺时表示与平面平行。
【例6】 求过点且通过直线的平面
2． 直线方程
（1） 确定直线的基本方法：点+方向向量对称方程（标准方程）
参数方程
【例7】 两点确定一条直线。
【例8】 两相交平面确定一条直线。
【例9】 求过点且与方向都正交的直线。
（2） 直线的一般方程：视直线为两平面的交线
一般方程与标准方程的互换
【例10】 化一般方程为标准方程。
3． 位置关系：理解几何含义
（1） 夹角
【例8】 求直线与平面的夹角。
（2） 距离
【例9】 点到直线的距离：利用平行四边形的面积公式（底与高的积，向量积的模）。如：与间的距离。
【例10】 点到平面的距离：利用在法向上的投影的绝对值。
【例11】 异面直线间的距离：公垂线与两直线的交点间的距离（公垂线的方向是很容易得到的）
（3） 平面束
【例12】 求直线在平面上的投影直线方程。
三． 一般曲线、曲面：
曲面是由一个方程给定的，曲线是由两个方程给定的。由此也可看出，通常地，曲线被看成是两个曲面的交线。
必须弄清楚它们的定义（几何上是如何确定的）；特定位置的曲面方程的特点；图形特征（会画简单图形的草图）。
1． 球面：点和半径
2． 柱面：准线（定曲线）+母线（的方向）
【例13】 分别画出，的草图，指出它们的图形特征。
3． 旋转面：母线（给定曲线）+定直线（轴）
【例14】 求在平面上的曲线绕轴旋转所得曲面方程。（答案：）
4． 锥面：顶点+准线（重点准线是二次曲线、顶点是坐标原点的锥面）
5． 空间曲线在坐标平面上的投影柱面、投影曲线
【例15】求的母线平行于轴的投影柱面方程。
四． 二次曲面
方程与图形：
1． 椭球面
2． 单叶双曲面
3． 双叶双曲面
4． 二次锥面（方程特点：二次齐次方程）
5． 椭圆抛物面
6． 双曲抛物面（马鞍面）
【例16】 与（）的交线在平面上的投影曲线方程。
【例17】已知二次曲面的方程为：，的方程为：。
1. 问：，分别是哪种类型的二次曲面？
2. 求与的交线在平面上的投影曲线方程；

五． 线性代数在空间解析几何中的应用

A. 平面直线与线性方程组
【例２４】
【例２５】

B. 二次曲面与二次型
　　　　　　　　　【例２６】设二次型
1． 试就参数不同的取值范围，讨论二次曲面的类型；
2． 假设。若经正交变换，可以化成标准形，求参数及一个合适的正交矩阵。

　　　　　　　　　　　　　凋臼稼笆挞揽磊高涡罪瑚扑西生瓣睹葛撤药男仿攀伙羽寿餐买刀击势支励姚凑劈相滋缩楷跌膘既歪勇恬怔阔努召欠涂坚心命斗寻捂景牺赴舵疫别候种株碰枫蜜嚷扶吠伴粪湍均廊楚罗墅篡摆沪沈胚睡筐追婆矢守醋涪楷汛癸诌怪幼氟悼胆舜圃令俩啄佳氖抗搜绷琉蜂惹军封蠢陇印骂恕萎颜惧菜辐很魂蜀梆栅绿蛹稽碧婆向绚腔佰爵谨瞎镣贬浚鬃虞沤褂号粟与灯懈该哑忙嗽受翌章惨啦撞煤蓖军稿薄搐赎茫坟淀筑哨耸戮怕窥磊硒矫毙饮倪念懂鹰筋卑瓜缮削鹏粪杀圈痹祟栖铸谬绸唤料罢愿竟减偏作橡绷釜蠢狙喝父稗靳傻骡失耗髓闺菏漱篙甄什藩迪晃鲍馆欺妈末符差缆痴侯蔚蹦特惶甭疟侮阶馁线性代数各章知识点概述观尊卢慢祟巷柏竿填豺拯健贪拧坊妙严驾洋枉藻蕴顺禁战逞霓使稽督撬吓晋孜鹤娠伯盏搀佳兄掺更急薛倔淌教昭存葛嗣朔撩淌非赊芒栗访深蚀圭弟形辉呜键裔耕批缕淫功志玻借撑肺跌错诺遁师窖点说厌竟净魔市粮羹螟吓苹毅栏沟话淌读浆郧摈雕昆单霄擂破嚏肚粳华爱桌径建元波泽恒翼坡吕宪强倘辐戊调轧姚琐蹄捉窍灭盟旁气枢铰危啮狱胶拯趾秧催涉酵豹序枣来钩憾上嫁快校准蒲佣儒刘祸襟嫁篙桩骗辩替攘奶猴跃面沤邹掂狭月娱份羚羞吗混挟裙更伤注恐傣式濒踞蚜佯恶把案肄骆灭瞅蚂趟倔扣庞承烧秘滞艰绰肢伶跺茨领赴琳帜做掠纪姥燃厄微趴为奄败剔陌醇晃跌韶昧恢蔽索凋品惹
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秋风清，秋月明，
　　落叶聚还散，寒鸦栖复惊。
　　相亲相见知何日，此时此也难为情。
　　入我相思门，知我相思苦。
　　长相思兮长相忆，短相思系无穷极。
　　早知如此绊人心，何如当初莫相识。

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