线性代数知识点-48678(1).pdf

线性代数（经管类）考点逐个击破线性代数（经管类）考点逐个击破第一章第一章 行列式行列式（一）行列式的定义（一）行列式的定义行列式是指一个由若干个数排列成同样的行数与列数后所得到的一个式子，它实质上行列式是指一个由若干个数排列成同样的行数与列数后所得到的一个式子，它实质上表示把这些数按一定的规则进行运算，其结果为一个确定的数表示把这些数按一定的规则进行运算，其结果为一个确定的数.1二阶行列式二阶行列式由由 4 个数个数得到下列式子：得到下列式子：称为一个二阶行列式，其运算规称为一个二阶行列式，其运算规)2,1,(jiaij11122122aaaa则为则为2112221122211211aaaaaaaa2三阶行列三阶行列式式由由 9 个数个数得到下列式子：得到下列式子：)3,2,1,(jiaij333231232221131211aaaaaaaaa称为一个三阶行列式，它如何进行运算呢？教材上有类似于二阶行列式的所谓对角线称为一个三阶行列式，它如何进行运算呢？教材上有类似于二阶行列式的所谓对角线法，我法，我们采用递归法，为此先要定义行列式中元素的余子式及代数余子式的概念们采用递归法，为此先要定义行列式中元素的余子式及代数余子式的概念.3余子式及代数余子式余子式及代数余子式设有三阶行列式设有三阶行列式 3332312322211312113aaaaaaaaaD 对任何一个元素对任何一个元素，我们划去它所在的第，我们划去它所在的第 i 行及第行及第 j 列，剩下的元素按原先次序组成列，剩下的元素按原先次序组成ija一个二阶行列式，称它为元素一个二阶行列式，称它为元素的余子式，记成的余子式，记成ijaijM例如例如 ，3332232211aaaaM3332131221aaaaM2322131231aaaaM再记再记 ，称，称为元素为元素的代数余子式的代数余子式.ijjiijMA)1(ijAija例如例如 ，1111MA2121MA3131MA那么那么，三阶行列式，三阶行列式定义为定义为3D我们把它称为我们把它称为按第一列的展开式，经常简写成按第一列的展开式，经常简写成3D3111131113)1(iiiiiiiMaAaD4n 阶行列式阶行列式一阶行列式一阶行列式 11111aaDn 阶行列式阶行列式 1121211111212222111211nnnnnnnnnAaAaAaaaaaaaaaaDLLLLLLL其中其中为元素为元素的代数余子式的代数余子式.(,1,2,)ijA i jnLija5特殊行列式特殊行列式上三角行列式上三角行列式111212221122000nnnnnnaaaaaa aaaLLLLLLLL下三角行列式下三角行列式1122112212000nnnnnnaaaa aaaaaLLLLLLLL21对角行列式对角行列式 11221122000000nnnnaaa aaaLLLLLLLL（二）行列式的性质（二）行列式的性质性质性质 1 行列式和它的转置行列式相等，即行列式和它的转置行列式相等，即TDD 性质性质 2 用数用数 k 乘行列式乘行列式 D 中某一行（列）的所有元素所得到的行列式等于中某一行（列）的所有元素所得到的行列式等于 kD，也就是说，行列式可以按行和列提出公因数也就是说，行列式可以按行和列提出公因数.性质性质 3 互换行列式的任意两行（列）互换行列式的任意两行（列），行列式的值改变符号，行列式的值改变符号.推论推论 1 如果行列式中有某两行（列）相同，则此行列式的值等于零如果行列式中有某两行（列）相同，则此行列式的值等于零.推论推论 2 如果行列式中某两行（列）的对应元素成比例，则此行列式的值等于零如果行列式中某两行（列）的对应元素成比例，则此行列式的值等于零.性质性质 4 行列式可以按行（列）拆开行列式可以按行（列）拆开.3131212111113332312322211312113AaAaAaaaaaaaaaaD性质性质 5 把行列式把行列式 D 的某一行（列）的所有元素都乘以同一个数以后加到另一行的某一行（列）的所有元素都乘以同一个数以后加到另一行（列）的对应元素上去，所得的行列式仍为（列）的对应元素上去，所得的行列式仍为 D.定理定理 1（行列式展开定理）（行列式展开定理）n 阶行列式阶行列式等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的nijaD 乘积的和，即乘积的和，即),2,1(2211niAaAaAaDininiiiiLL或或),2,1(2211njAaAaAaDnjnjjjjjLL前一式称为前一式称为 D 按第按第 i 行的展开式，后一式称为行的展开式，后一式称为 D 按第按第 j 列的展开式列的展开式.本定理说明，行列式可以按其任意一行或按其任意一列展开来求出它的值本定理说明，行列式可以按其任意一行或按其任意一列展开来求出它的值.定理定理 2 n 阶行列式阶行列式的任意一行（列）各元素与另一行（列）对应元素的代的任意一行（列）各元素与另一行（列）对应元素的代nijaD 数余子式的乘积之和等于零数余子式的乘积之和等于零.即即)(02211kiAaAaAakninkikiL或或)(02211sjAaAaAansnjsjsjL（三）行列式的计算（三）行列式的计算行列式的计算主要采用以下两种基本方法：行列式的计算主要采用以下两种基本方法：（1）利用行列式性质，把原行列式化为上三角（或下三角）行列式再求值，此时）利用行列式性质，把原行列式化为上三角（或下三角）行列式再求值，此时要注意的是，在互换两行或两列时，必须在新的行列式的前面乘上（要注意的是，在互换两行或两列时，必须在新的行列式的前面乘上（1 1），在按行或按列，在按行或按列提取公因子提取公因子 k 时，必须在新的行列式前面乘上时，必须在新的行列式前面乘上 k.（2）把原行列式按选定的某一行或某一列展开，把行列式的阶数降低，再求出它）把原行列式按选定的某一行或某一列展开，把行列式的阶数降低，再求出它的值，通常是利用性质在某一行或某一列中产生很多个的值，通常是利用性质在某一行或某一列中产生很多个“0”元素，再按这一行或这一列展元素，再按这一行或这一列展开：开：例例 1计算行列式计算行列式 52072325121314124D解：观察到第二列第四行的元素为解：观察到第二列第四行的元素为 0，而且第二列第一行的元素是，而且第二列第一行的元素是，利用这个，利用这个112a元素可以把这一列其它两个非零元素化为元素可以把这一列其它两个非零元素化为 0，然后按第二列展开，然后按第二列展开.42 1 4 12 1 4 15 6 231 2 121 15 0 6 215 05 2 3 2105 03(2)17 2 50 2 57 0 2 55 31 231225 1100813757 37 5D 行行按第二列展开行行7列列按第二行展开例例 2 计算行列式计算行列式 abbbbabbbbabbbbaD 4解：方法解：方法 1这个行列式的元素含有文字，在计算它的值时，切忌用文字作字母，因这个行列式的元素含有文字，在计算它的值时，切忌用文字作字母，因为文字可能取为文字可能取 0 值值.要注意观察其特点，这个行列式的特点是它的每一行元素之和均为要注意观察其特点，这个行列式的特点是它的每一行元素之和均为（我们把它称为行和相同行列式）（我们把它称为行和相同行列式），我们可以先把后三列都加到第一列上去，我们可以先把后三列都加到第一列上去，ba3提出第一列的公因子提出第一列的公因子，再将后三行都减去第一行：，再将后三行都减去第一行：ba33131(3)31311000(3)000000a b b bab b b bb b bb a b bab a b ba b babb b a bab b a bb a bb b b aab b b ab b abbbabababab3)(3(baba方法方法 2 观察到这个行列式每一行元素中有多个观察到这个行列式每一行元素中有多个 b，我们采用，我们采用“加边法加边法”来计算，即来计算，即是构造一个与是构造一个与 有相同值的五阶行列式：有相同值的五阶行列式：4D112 3 4 541101000010000100001000b b b bbbbba b b ba b b babb a b bDb a b ba bb b a bb b a ba bb b b ab b b aab 行（），行这样得到一个这样得到一个“箭形箭形”行列式，如果行列式，如果，则原行列式的值为零，故不妨假设，则原行列式的值为零，故不妨假设，ba ba 即即，把后四列的，把后四列的倍加到第一列上，可以把第一列的（倍加到第一列上，可以把第一列的（1）化为零）化为零.0baba 14410000400001()(3)()00000000bbbbbababba babab ababa bab例例 3 三三阶范德蒙德行列式阶范德蒙德行列式)()(1112313122322213213xxxxxxxxxxxxV（四）克拉默法则（四）克拉默法则定理定理 1（克拉默法则）设含有（克拉默法则）设含有 n 个方程的个方程的 n 元线性方程组为元线性方程组为11 11221121 1222221 122,nnnnnnnnnna xa xa xba xa xa xba xa xa xbLLL L L L L L L L L LL如果其系数行列式如果其系数行列式，则方程组必有唯一解：，则方程组必有唯一解：0nijaDnjDDxjj,2,1,L其中其中是把是把 D 中第中第 j 列换成常数项列换成常数项后得到的行列式后得到的行列式.jDnbbb,21L把这个法则应用于齐次线性方程组，则有把这个法则应用于齐次线性方程组，则有定理定理 2 设有含设有含 n 个方程的个方程的 n 元齐次线性方程组元齐次线性方程组11 1122121 122221 1220,0,0nnnnnnnnna xa xa xa xa xa xa xa xa xLLL L L L L L L L L LL如果其系数行列式如果其系数行列式，则该方程组只有零解：，则该方程组只有零解：0D021nxxxL换句话说，若齐次线性方程组有非零解，则必有换句话说，若齐次线性方程组有非零解，则必有，在教材第二章中，将要证明，在教材第二章中，将要证明，0Dn 个方程的个方程的 n 元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是系数行列式等于零元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是系数行列式等于零.第二章第二章 矩阵矩阵（一）矩阵的定义（一）矩阵的定义1矩阵的概念矩阵的概念由由个数个数排成的一个排成的一个 m 行行 n 列的数表列的数表nm),2,1;,2,1(njmiaijLLmnmmnnaaaaaaaaaALLLLL212222111211称为一个称为一个 m 行行 n 列矩阵或列矩阵或矩阵矩阵nm当当时，称时，称为为 n 阶矩阵或阶矩阵或 n 阶方阵阶方阵nm nnijaA元素全为零的矩阵称为零矩阵，用元素全为零的矩阵称为零矩阵，用或或 O 表示表示nmO23 个常用的特殊方阵：个常用的特殊方阵：n 阶对角矩阵是指形如阶对角矩阵是指形如 的矩阵的矩阵nnaaaALLLLL0000002211n 阶单位方阵是指形如阶单位方阵是指形如 的矩阵的矩阵100010001LLLLLnEn 阶三角矩阵是指形如阶三角矩阵是指形如 的矩阵的矩阵nnnnnnnnaaaaaaaaaaaaLLLLLLLLLL2122211122211211000,0003矩阵与行列式的差异矩阵与行列式的差异矩阵仅是一个数表，而矩阵仅是一个数表，而 n 阶行列式的最后结果为一个数，因而矩阵与行列式是两阶行列式的最后结果为一个数，因而矩阵与行列式是两个完全不同的概念，只有一阶方阵是一个数，而且行列式记号个完全不同的概念，只有一阶方阵是一个数，而且行列式记号“”与矩阵记号与矩阵记号“*”也不同，不能用错也不同，不能用错.*（二）矩阵的运算（二）矩阵的运算1矩阵的同型与相等矩阵的同型与相等设有矩阵设有矩阵，若，若，则说，则说 A 与与 B 是同型矩是同型矩nmijaA)(kijbB)(km n阵阵.若若 A 与与 B 同型同型,且对应元素相等，即且对应元素相等，即，则称矩阵，则称矩阵 A 与与 B 相等，记为相等，记为ijijba BA 因而只有当两个矩阵从型号到元素全一样的矩阵，才能说相等因而只有当两个矩阵从型号到元素全一样的矩阵，才能说相等.2矩阵的加、减法矩阵的加、减法设设，是两个同型矩阵则规定是两个同型矩阵则规定nmijaA)(nmijbB)(nmijijbaBA)(nmijijbaBA)(注意：只有注意：只有 A 与与 B 为同型矩阵，它们才可以相加或相减为同型矩阵，它们才可以相加或相减.由于矩阵的相加体现为元素的相加，因而与普通数的加法运算有相同的运算律由于矩阵的相加体现为元素的相加，因而与普通数的加法运算有相同的运算律.3数乘运算数乘运算设设，k 为任一个数，则规定为任一个数，则规定nmijaA)(nmijkakA)(故数故数 k 与矩阵与矩阵 A 的乘积就是的乘积就是 A 中所有元素都乘以中所有元素都乘以 k，要注意数，要注意数 k 与行列式与行列式 D 的的乘积，只是用乘积，只是用 k 乘行列式中某一行或某一列，这两种数乘截然不同乘行列式中某一行或某一列，这两种数乘截然不同.矩阵的数乘运算具有普通数的乘法所具有的运算律矩阵的数乘运算具有普通数的乘法所具有的运算律.4乘法运算乘法运算设设，则规定，则规定kmijaA)(nkijbB)(nmijcAB)(其中其中 kjikjijiijbababacL2211),2,1;,2,1(njmiLL由此定义可知，只有当左矩阵由此定义可知，只有当左矩阵 A 的列数与右矩阵的列数与右矩阵 B 的行数相等时，的行数相等时，AB 才有意义，才有意义，而且矩阵而且矩阵 AB 的行数为的行数为 A 的行数，的行数，AB 的列数为的列数为 B 的列数，而矩阵的列数，而矩阵 AB 中的元素是由左矩中的元素是由左矩阵阵 A 中某一行元素与右矩阵中某一行元素与右矩阵 B 中某一列元素对应相乘再相加而得到中某一列元素对应相乘再相加而得到.故矩阵乘法与普通数的乘法有所不同，一般地：故矩阵乘法与普通数的乘法有所不同，一般地：不满足交换律，即不满足交换律，即BAAB 在在时，不能推出时，不能推出或或，因而也不满足消去律，因而也不满足消去律.0AB0A0B特别，若矩阵特别，若矩阵 A 与与 B 满足满足，则称，则称 A 与与 B 可交换，此时可交换，此时 A 与与 B 必为同阶必为同阶BAAB 方阵方阵.矩阵乘法满足结合律，分配律及与数乘的结合律矩阵乘法满足结合律，分配律及与数乘的结合律.5方阵的乘幂与多项式方阵方阵的乘幂与多项式方阵设设 A 为为 n 阶方阵，则规定阶方阵，则规定mAAAAL1 4 2 4 3m 个特别特别EA 0又若又若，则规定，则规定1110()mmmmf xa xaxa xaL1110()mmmmf Aa AaAa Aa EL称称为为 A 的方阵多项式，它也是一个的方阵多项式，它也是一个 n 阶方阵阶方阵)(Af6矩阵的转置矩阵的转置设设 A 为一个为一个矩阵，把矩阵，把 A 中行与列互换，得到一个中行与列互换，得到一个矩阵，称为矩阵，称为 A 的转的转nmmn置矩阵，记为置矩阵，记为，转置运算满足以下运算律：，转置运算满足以下运算律：TA，AAT)(TTTBABA)(TTkAkA)(TTTABAB)(由转置运算给出对称矩阵，反对称矩阵的定义由转置运算给出对称矩阵，反对称矩阵的定义设设 A 为一个为一个 n 阶方阵，若阶方阵，若 A 满足满足，则称，则称 A 为对称矩阵，若为对称矩阵，若 A 满足满足AAT，则称，则称 A 为反对称矩阵为反对称矩阵.AAT7方阵的行列式方阵的行列式矩阵与行列式是两个完全不同的概念，但对于矩阵与行列式是两个完全不同的概念，但对于 n 阶方阵，有方阵的行列式的概念阶方阵，有方阵的行列式的概念.设设为一个为一个 n 阶方阵，则由阶方阵，则由 A 中元素构成一个中元素构成一个 n 阶行列式阶行列式，称为方，称为方)(ijaA nija阵阵 A 的行列式，记为的行列式，记为A方阵的行列式具有下列性质：设方阵的行列式具有下列性质：设 A，B 为为 n 阶方阵，阶方阵，k 为数，则为数，则；AATAkkAnBAAB（三）方阵的逆矩阵（三）方阵的逆矩阵1可逆矩阵的概念与性质可逆矩阵的概念与性质设设 A 为一个为一个 n 阶方阵，若存在另一个阶方阵，若存在另一个 n 阶方阵阶方阵 B，使满足，使满足，则把，则把EBAABB 称为称为 A 的逆矩阵，且说的逆矩阵，且说 A 为一个可逆矩阵，意指为一个可逆矩阵，意指 A 是一个可以存在逆矩阵的矩阵，把是一个可以存在逆矩阵的矩阵，把A 的逆矩阵的逆矩阵 B 记为记为，从而，从而 A 与与首先必可交换，且乘积为单位方阵首先必可交换，且乘积为单位方阵 E.1A1A逆矩阵具有以下性质：设逆矩阵具有以下性质：设 A，B 为同阶可逆矩阵，为同阶可逆矩阵，为常数，则为常数，则0k是可逆矩阵，且是可逆矩阵，且；1AAA11)(AB 是可逆矩阵，且是可逆矩阵，且；111)(ABABkA 是可逆矩阵，且是可逆矩阵，且111)(AkkA是可逆矩阵，且是可逆矩阵，且TATTAA)()(11可逆矩阵可从矩阵等式的同侧消去，即可逆矩阵可从矩阵等式的同侧消去，即 设设 P 为可逆矩阵，则为可逆矩阵，则 BAPBPABABPAP2伴随矩阵伴随矩阵设设为一个为一个 n 阶方阵，阶方阵，为为 A 的行列式的行列式中元素中元素的代数余子的代数余子)(ijaA ijAnijaA ija式，则矩阵式，则矩阵称为称为 A 的伴随矩阵，记为的伴随矩阵，记为（务必注意（务必注意中元素排列中元素排列nnnnnnAAAAAAAAALLLLLL212221212111*A*A的特点）的特点）伴随矩阵必满足伴随矩阵必满足EAAAAA*（n 为为 A 的阶数）的阶数）1*nAA3n 阶阵可逆的条件与逆矩阵的求法阶阵可逆的条件与逆矩阵的求法定理：定理：n 阶方阵阶方阵 A 可逆可逆，且，且0A*11AAA推论：设推论：设 A，B 均为均为 n 阶方阵，且满足阶方阵，且满足，则，则 A，B 都可逆，且都可逆，且，EAB BA1AB1 例例 1 设设dcbaA（1）求）求 A 的伴随矩阵的伴随矩阵*A（2）a，b，c，d 满足什么条件时，满足什么条件时，A 可逆？此时求可逆？此时求1A 解：（解：（1）对二阶方阵）对二阶方阵 A，求，求的口诀为的口诀为“主交换，次变号主交换，次变号”即即*AacbdA*（2）由）由，故当，故当时，即时，即，A 为可逆为可逆bcaddcbaA0bcad0A矩阵矩阵此时此时acbdbcadAAA11*1（四）分块矩阵（四）分块矩阵1分块矩阵的概念与运算分块矩阵的概念与运算对于行数和列数较高的矩阵，为了表示方便和运算简洁，常用一些贯穿于矩阵的横对于行数和列数较高的矩阵，为了表示方便和运算简洁，常用一些贯穿于矩阵的横线和纵线把矩阵分割成若干小块，每个小块叫做矩阵的子块，以子块为元素的形式上的线和纵线把矩阵分割成若干小块，每个小块叫做矩阵的子块，以子块为元素的形式上的矩阵叫做分块矩阵矩阵叫做分块矩阵.在作分块矩阵的运算时，加、减法，数乘及转置是完全类似的，特别在乘法时，要在作分块矩阵的运算时，加、减法，数乘及转置是完全类似的，特别在乘法时，要注意到应使左矩阵注意到应使左矩阵 A 的列分块方式与右矩阵的列分块方式与右矩阵 B 的行分块方式一致，然后把子块当作元的行分块方式一致，然后把子块当作元素来看待，相乘时素来看待，相乘时 A 的各子块分别左乘的各子块分别左乘 B 的对应的子块的对应的子块.2准对角矩阵的逆矩阵准对角矩阵的逆矩阵形如形如 的分块矩阵称为准对角矩阵，其中的分块矩阵称为准对角矩阵，其中均为方阵空均为方阵空rAAAO21rAAA,21L白处都是零块白处都是零块.若若都是可逆矩阵，则这个准对角矩阵也可逆，并且都是可逆矩阵，则这个准对角矩阵也可逆，并且rAAA,21L11211121rrAAAAAAOO（五）矩阵的初等变换与初等方阵（五）矩阵的初等变换与初等方阵1初等变换初等变换对一个矩阵对一个矩阵 A 施行以下三种类型的变换，称为矩阵的初等行（列）变换，统称为施行以下三种类型的变换，称为矩阵的初等行（列）变换，统称为初等变换，初等变换，（1）交换）交换 A 的某两行（列）的某两行（列）；（2）用一个非零数）用一个非零数 k 乘乘 A 的某一行（列）的某一行（列）；（3）把）把 A 中某一行（列）的中某一行（列）的 k 倍加到另一行（列）上倍加到另一行（列）上.注意：矩阵的初等变换与行列式计算有本质区别，行列式计算是求值过程，用等号注意：矩阵的初等变换与行列式计算有本质区别，行列式计算是求值过程，用等号连接，而对矩阵施行初等变换是变换过程用连接，而对矩阵施行初等变换是变换过程用“”连接前后矩阵连接前后矩阵.初等变换是矩阵理论中一个常用的运算，而且最常见的是利用矩阵的初等行变换把初等变换是矩阵理论中一个常用的运算，而且最常见的是利用矩阵的初等行变换把矩阵化成阶梯形矩阵，以至于化为行简化的阶梯形矩阵矩阵化成阶梯形矩阵，以至于化为行简化的阶梯形矩阵.2初等方阵初等方阵由单位方阵由单位方阵 E 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等方阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等方阵.由于初等变换有三种类型，相应的有三种类型的初等方阵，依次记为由于初等变换有三种类型，相应的有三种类型的初等方阵，依次记为，ijP和和，容易证明，初等方阵都是可逆矩阵，且它们的逆矩阵还是同一类的，容易证明，初等方阵都是可逆矩阵，且它们的逆矩阵还是同一类的)(kDi)(kTij初等方阵初等方阵.3初等变换与初等方阵的关系初等变换与初等方阵的关系设设 A 为任一个矩阵，当在为任一个矩阵，当在 A 的左边乘一个初等方阵的乘积相当于对的左边乘一个初等方阵的乘积相当于对 A 作同类型作同类型的初等行变换；在的初等行变换；在 A 的右边乘一个初等方阵的乘积相当于对的右边乘一个初等方阵的乘积相当于对 A 作同类型的初等列变换作同类型的初等列变换.4矩阵的等价与等价标准形矩阵的等价与等价标准形若矩阵若矩阵 A 经过若干次初等变换变为经过若干次初等变换变为 B，则称，则称 A 与与 B 等价，记为等价，记为BA 对任一个对任一个矩阵矩阵 A，必与分块矩阵，必与分块矩阵等价，称这个分块矩阵为等价，称这个分块矩阵为 A 的等的等nmOOOEr价标准形价标准形.即对任一个即对任一个矩阵矩阵 A，必存在，必存在 n 阶可逆矩阵阶可逆矩阵 P 及及 n 阶可逆矩阵阶可逆矩阵 Q，使得，使得 nmOOOEPAQr5用初等行变换求可逆矩阵的逆矩阵用初等行变换求可逆矩阵的逆矩阵设设 A 为任一个为任一个 n 阶可逆矩阵，构造阶可逆矩阵，构造矩阵（矩阵（A，E）nn2然后然后 ),(),(1AEEA注意：这里的初等变换必须是初等行变换注意：这里的初等变换必须是初等行变换.例例 2 求求的逆矩阵的逆矩阵421412311A 解：解：12211 321 131121332 211 3 1 0 0113100(,)21 4 0 1 00122101 24 0 0 10111011011101 0 04 210122100 1 041 20013110 0 131 1A E 行行行行行行行行行行行行则则 1132141241A例例 3求解矩阵方程求解矩阵方程213411421412311X解：令解：令，则矩阵方程为，则矩阵方程为，这里，这里 A 即为例即为例 2 中中213411,421412311BABAX 矩阵，是可逆的，在矩阵方程两边左乘矩阵，是可逆的，在矩阵方程两边左乘，得，得1A2052032134111132141241BAX也能用初等行变换法，不用求出也能用初等行变换法，不用求出，而直接求，而直接求1ABA1),(201005201003001214213441211311),(1BAEBA则则 2052031BAX（六）矩阵的秩（六）矩阵的秩1秩的定义秩的定义设设 A 为为矩阵，把矩阵，把 A 中非零子式的最高阶数称为中非零子式的最高阶数称为 A 的秩，记为秩的秩，记为秩或或nm)(A)(Ar零矩阵的秩为零矩阵的秩为 0，因而，因而，对，对 n 阶方阵阶方阵 A，若秩，若秩，nmA,min)(0 秩nA)(称称 A 为满秩矩阵，否则称为降秩矩阵为满秩矩阵，否则称为降秩矩阵.2秩的求法秩的求法由于阶梯形矩阵的秩就是矩阵中非零行的行数，又矩阵初等变换不改变矩阵的秩由于阶梯形矩阵的秩就是矩阵中非零行的行数，又矩阵初等变换不改变矩阵的秩.对对任一个矩阵任一个矩阵 A，只要用初等行变换把，只要用初等行变换把 A 化成阶梯形矩阵化成阶梯形矩阵 T，则秩，则秩(A)=秩秩(T)=T 中非零中非零行的行数行的行数.3与满秩矩阵等价的条件与满秩矩阵等价的条件n 阶方阵阶方阵 A 满秩满秩A 可逆，即存在可逆，即存在 B，使，使EBAAB A 非奇异，即非奇异，即0A A 的等价标准形为的等价标准形为 E A 可以表示为有限个初等方阵的乘积可以表示为有限个初等方阵的乘积 齐次线性方程组齐次线性方程组只有零解只有零解0AX 对任意非零列向量对任意非零列向量 b，非齐次线性方程组，非齐次线性方程组有唯一有唯一bAX 解解 A 的行（列）向量组线性无关的行（列）向量组线性无关 A 的行（列）向量组为的行（列）向量组为的一个基的一个基nR 任意任意 n 维行（列）向量均可以表示为维行（列）向量均可以表示为 A 的行（列）向量组的行（列）向量组的线性组合，且表示法唯一的线性组合，且表示法唯一.（七）线性方程组的消元法（七）线性方程组的消元法.对任一个线性方程组对任一个线性方程组mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxaLLLLLL22112222212111212111可以表示成矩阵形式可以表示成矩阵形式，其中，其中为系数矩阵，为系数矩阵，为为bAX nmijaA)(Tmbbbb),(21L常数列矩阵，常数列矩阵，为未知元列矩阵为未知元列矩阵.TnxxxX),(21L从而线性方程组从而线性方程组与增广矩阵与增广矩阵一一对应一一对应.bAX),(bAA 对于给定的线性方程组，可利用矩阵的初等行变换，把它的增广矩阵化成简化阶对于给定的线性方程组，可利用矩阵的初等行变换，把它的增广矩阵化成简化阶梯形矩阵，从而得到易于求解的同解线性方程组，然后求出方程组的解梯形矩阵，从而得到易于求解的同解线性方程组，然后求出方程组的解.第三章第三章 向量空间向量空间（一）（一）n 维向量的定义与向量组的线性组合维向量的定义与向量组的线性组合1n 维向量的定义与向量的线性运算维向量的定义与向量的线性运算由由 n 个数组成的一个有序数组称为一个个数组成的一个有序数组称为一个 n 维向量，若用一行表示，称为维向量，若用一行表示，称为 n 维行向维行向量，即量，即矩阵，若用一列表示，称为矩阵，若用一列表示，称为 n 维列向量，即维列向量，即矩阵矩阵n11n与矩阵线性运算类似，有向量的线性运算及运算律与矩阵线性运算类似，有向量的线性运算及运算律.2向量的线性组合向量的线性组合设设是一组是一组 n 维向量，维向量，是一组常数，则称是一组常数，则称m,21Lmkkk,21LmmkkkL2211为为的一个线性组合，常数的一个线性组合，常数称为组合系数称为组合系数.m,21Lmkkk,21L若一个向量若一个向量可以表示成可以表示成mmkkkL2211则称则称是是的线性组合，或称的线性组合，或称可用可用线性表出线性表出.m,21Lm,21L3矩阵的行、列向量组矩阵的行、列向量组设设 A 为一个为一个矩阵，若把矩阵，若把 A 按列分块，可得一个按列分块，可得一个 m 维列向量组称之为维列向量组称之为 A 的的nm列向量组列向量组.若把若把 A 按行分块，可得一个按行分块，可得一个 n 维行向量组称之为维行向量组称之为 A 的行向量组的行向量组.4线性表示的判断及表出系数的求法线性表示的判断及表出系数的求法.向量向量能用能用线性表出的充要条件是线性方程组线性表出的充要条件是线性方程组m,21L有解，且每一个解就是一个组合系数有解，且每一个解就是一个组合系数.mmxxxL2211例例 1问问能否表示成，能否表示成，的线的线T)5,1,1(T)3,2,1(1T)4,1,0(2T)6,3,2(3性组合？性组合？解：设线性方程组为解：设线性方程组为 332211xxx对方程组的增广矩阵作初等行变换：对方程组的增广矩阵作初等行变换：110020101001564313121201),(),(321A则方程组有唯一解则方程组有唯一解1,2,1321xxx所以所以可以唯一地表示成可以唯一地表示成的线性组合，且的线性组合，且321,3212（二）向量组的线性相关与线性无关（二）向量组的线性相关与线性无关1线性相关性概念线性相关性概念设设是是 m 个个 n 维向量，如果存在维向量，如果存在 m 个不全为零的数个不全为零的数，m,21Lmkkk,21L使得使得，则称向量组，则称向量组线性相关，称线性相关，称02211mmkkkLm,21L为相关系数为相关系数.否则，称向量否则，称向量线性无关线性无关.mkkk,21Lm,21L由定义可知，由定义可知，线性无关就是指向量等式线性无关就是指向量等式m,21L当且仅当当且仅当时成立时成立.02211mmkkkL021mkkkL特别特别 单个向量单个向量线性相关线性相关；0 单个向量单个向量线性无关线性无关02求相关系数的方法求相关系数的方法设设为为 m 个个 n 维列向量，则维列向量，则线性相关线性相关m 元齐次线元齐次线m,21Lm,21L性方程组性方程组有非零解，且每一个非零解就是一个相关系数有非零解，且每一个非零解就是一个相关系数02211mmxxxL矩阵矩阵的秩小于的秩小于 m),(21mAL例例 2设向量组设向量组，试讨论其线性相关性，试讨论其线性相关性.123(2,1,7),(1,4,11),(3,6,3)TTT解：考虑方程组解：考虑方程组0332211xxx其系数矩阵其系数矩阵 0001102013117641312),(321A于是，秩于是，秩，所以向量组线性相关，与方程组同解的方程组为，所以向量组线性相关，与方程组同解的方程组为32)(A0023231xxxx令令，得一个非零解为，得一个非零解为13x1,1,2321xxx则则023213线性相关性的若干基本定理线性相关性的若干基本定理定理定理 1 n 维向量组维向量组线性相关线性相关至少有一个向量是其余向量的线性至少有一个向量是其余向量的线性m,21L组合组合.即即线性无关线性无关任一个向量都不能表示为其余向量的线性组合任一个向量都不能表示为其余向量的线性组合.m,21L定理定理 2 如果向量组如果向量组线性无关，又线性无关，又线性相关，则线性相关，则m,21Lm,21L可以用可以用线性表出，且表示法是唯一的线性表出，且表示法是唯一的.m,21L定理定理 3 若向量组中有部分组线性相关，则整体组也必相关，或者整体无关，部若向量组中有部分组线性相关，则整体组也必相关，或者整体无关，部分必无关分必无关.定理定理 4 无关组的接长向量组必无关无关组的接长向量组必无关.（三）向量组的极大无关组和向量组的秩（三）向量组的极大无关组和向量组的秩1向量组等价的概念向量组等价的概念若向量组若向量组 S 可以由向量组可以由向量组 R 线性表出，向量组线性表出，向量组 R 也可以由向量组也可以由向量组 S 线性表出，线性表出，则称这两个向量组等价则称这两个向量组等价.2向量组的极大无关组向量组的极大无关组设设 T 为一个向量组，若存在为一个向量组，若存在 T 的一个部分组的一个部分组 S，它是线性无关的，且，它是线性无关的，且 T 中任一个中任一个向量都能由向量都能由 S 线性表示，则称部分向量组线性表示，则称部分向量组 S 为为 T 的一个极大无关组的一个极大无关组.显然，线性无关向量组的极大无关组就是其本身显然，线性无关向量组的极大无关组就是其本身.对于线性相关的向量组，一般地，它的极大无关组不是唯一的，但有以下性质：对于线性相关的向量组，一般地，它的极大无关组不是唯一的，但有以下性质：定理定理 1 向量组向量组 T 与它的任一个极大无关组等价，因而与它的任一个极大无关组等价，因而 T 的任意两个极大无关组的任意两个极大无关组等价等价.定理定理 2 向量组向量组 T 的任意两个极大无关组所含向量的个数相同的任意两个极大无关组所含向量的个数相同.3向量组的秩与矩阵的秩的关系向量组的秩与矩阵的秩的关系把向量组把向量组 T 的任意一个极大无关组中的所含向量的个数称为向量组的任意一个极大无关组中的所含向量的个数称为向量组 T 的秩的秩.把矩阵把矩阵 A 的行向量组的秩，称为的行向量组的秩，称为 A 的行秩，把的行秩，把 A 的列向量组的秩称为的列向量组的秩称为 A 的列秩的列秩.定理：对任一个矩阵定理：对任一个矩阵 A，A 的列秩的列秩=A 的行秩的行秩=秩（秩（A）此定理说明，对于给定的向量组，可以按照列构造一个矩阵此定理说明，对于给定的向量组，可以按照列构造一个矩阵 A，然后用矩阵的初，然后用矩阵的初等行变换法来求出向量组的秩和极大无关组等行变换法来求出向量组的秩和极大无关组.例例 3 求出下列向量组的秩和一个极大无关组，并将其余向量用极大无关组线性表出：求出下列向量组的秩和一个极大无关组，并将其余向量用极大无关组线性表出：)3,4,4,2(),3,4,1,2(),6,6,1,1(),9,2,2,1(),7,2,1,1(54321解：把所有的行向量都转置成列向量，构造一个解：把所有的行向量都转置成列向量，构造一个矩阵，再用初等行变换把它化成矩阵，再用初等行变换把它化成54简化阶梯形矩阵简化阶梯形矩阵BATTTTT1000001100010100000133697446224112122111,54321易见易见 B 的秩为的秩为 4 4，A A 的秩为的秩为 4 4，从而秩，从而秩，而且，而且 B B 中主元位中主元位4,54321于第一、二、三、五列，那么相应地于第一、二、三、五列，那么相应地为向量组的一个极大无关组，为向量组的一个极大无关组，5321,而且而且324（四）向量空间（四）向量空间1向量空间及其子空间的定义向量空间及其子空间的定义定义定义 1 n 维实列向量全体（或实行向量全体）构成的集合称为实维实列向量全体（或实行向量全体）构成的集合称为实 n 维向量空间，维向量空间，记作记作nR定义定义 2 设设 V 是是 n 维向量构成的非空集合，若维向量构成的非空集合，若 V 对于向量的线性运算封闭，则称对于向量的线性运算封闭，则称集合集合 V 是是的子空间，也称为向量空间的子空间，也称为向量空间.nR2向量空间的基与维数向量空间的基与维数设设 V 为一个向量空间，它首先是一个向量组，把该向量组的任意一个极大无关组为一个向量空间，它首先是一个向量组，把该向量组的任意一个极大无关组称为向量空间称为向量空间 V 的一个基，把向量组的秩称为向量空间的维数的一个基，把向量组的秩称为向量空间的维数.显然，显然，n 维向量空间维向量空间的维数为的维数为 n，且，且中任意中任意 n 个线性无关的向量都是个线性无关的向量都是的的nRnRnR一个基一个基.3 向量在某个基下的坐标向量在某个基下的坐标设设是向量空间是向量空间 V 的一个基，则的一个基，则 V 中任一个向量中任一个向量都可以用都可以用r,21L唯一地线性表出，由唯一地线性表出，由 r 个表出系数组成的个表出系数组成的 r 维列向量称为向量维列向量称为向量