线性代数基础和常考知识点.pdf

宇航学院学习部整理0线性代数基础知识点 (),nTAr AnAAAxxAxAAxA AAE 可逆 的列（行）向量线性无关 的特征值全不为0 只有零解 ，0总有唯一解 是正定矩阵 R R12,siAp pppnBABEABE 是初等阵存在阶矩阵使得 或：全体维实向量构成的集合叫做维向量空间.注nnR Rn()Ar AnAAAAxA不可逆 0的列（行）向量线性相关 0是的特征值 有非零解,其基础解系即为关于0的特征向量 注()()abr aEbAnaEbAaEbA x 有非零解=-:;具有向量组等价矩阵等价()反身性、对称性、传递性矩阵相似()矩阵合同()关于：12,ne ee称为的标准基，中的自然基，单位坐标向量；nn87p教材线性无关；12,ne ee；12,1ne ee；tr=E n任意一个维向量都可以用线性表示.n12,ne ee宇航学院学习部整理1行列式的定义 1 2121 21112121222()1212()nnnnnj jjnjjnjj jjnnnnaaaaaaDa aaaaaLLLLLMMML1 行列式的计算：行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和.推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.若都是方阵（不必同阶）,则（拉普拉斯展开式）AB与=()mnAOAAOA BOBOBBOAAA BBOBO 1上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积.关于副对角线：（即：所有(1)211212112111()n nnnnnnnnnnaOaaaa aaaOaO KNN1取自不同行不同列的个元素的乘积的代数和）n范德蒙德行列式：1222212111112nijnj i nnnnnxxxxxxxxxxx LLLMMML111矩阵的定义 由个数排成的行列的表称为矩阵.记作：m nmn111212122212nnmmmnaaaaaaAaaaLLMMMLm n或 ijm nAam nA伴随矩阵，为中各个元素的代数余子式.1121112222*12nTnijnnnnAAAAAAAAAAALLMMMLijAA 逆矩阵的求法:宇航学院学习部整理2 ：1AAA注1abdbcdcaadbc1LL主换位副变号1()()A EE A MM初等行变换 1231111213aaaaaa 3211111213aaaaaa 方阵的幂的性质：mnm nA AA()()mnmnAA 设的列向量为,的列向量为，,m nn sABA12,n B12,s 则，m sABC1112121222121212,ssnsnnnsbbbbbbc ccbbb LLLMMMLiiAc(,)isL1,2为的解可iiAxc 121212,sssAAAAc cc L12,sc ccL由线性表示.即：的列向量能由的列向量线性表示，为系数矩阵.12,n CAB同理：的行向量能由的行向量线性表示，为系数矩阵.CBTA即：1112111212222212nnnnmnnmaaacaaacaaacLLMMMMML11112212121122222211222nnmmmnmaaacaaacaaacLLLLLL 用对角矩阵乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的向量；左行用对角矩阵乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的向量.右列 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘.分块矩阵的转置矩阵：TTTTTABACCDBD分块矩阵的逆矩阵：111AABB111ABBA 1111ACAA CBOBOB1111AOAOCBB CAB宇航学院学习部整理3分块对角阵相乘：,11112222,ABABAB11112222A BABA B1122nnnAAA分块对角阵的伴随矩阵：*ABABAB*(1)(1)mnmnAA BBB A 矩阵方程的解法()：设法化成 0A AXBXAB(I)或 (I I)A BE X MM初等行变换(I)的解法：构造()()TTTTA XBXX(I I)的解法：将等式两边转置化为，用(I)的方法求出，再转置得 零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交.单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关.部分相关,整体必相关；整体无关,部分必无关.（向量个数变动）原向量组无关,接长向量组无关；接长向量组相关,原向量组相关.（向量维数变动）两个向量线性相关对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关.114p教材 向量组中任一向量 都是此向量组的线性组合.12,n i(1i)n 向量组线性相关向量组中至少有一个向量可由其余个向量线性表示.12,n n1向量组线性无关向量组中每一个向量都不能由其余个向量线性表示.12,n in1维列向量组线性相关；m12,n()r An 维列向量组线性无关.m12,n()r An 若线性无关，而线性相关,则可由线性表示,且表示法唯12,n 12,n 12,n 一.矩阵的行向量组的秩列向量组的秩矩阵的秩.行阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数.行阶梯形矩阵 可画出一条阶梯线，线的下方全为；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶0宇航学院学习部整理4梯线的竖线后面的第一个元素非零.当非零行的第一个非零元为 1，且这些非零元所在列的其他元素都是时，称为行最简形矩阵0 矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩,且不改变列向量间的线性关系；矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩,且不改变行向量间的线性关系.即：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩.矩阵的初等变换和初等矩阵的关系：对施行一次初等变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵乘；A行左A对施行一次初等变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵乘.A列右A矩阵的秩 如果矩阵存在不为零的阶子式，且任意阶子式均为零，则称矩阵的秩为.记作Arr 1Ar()r Ar向量组的秩 向量组的极大无关组所含向量的个数，称为这个向量组的秩.记作12,n L 12(,)nr L矩阵等价 经过有限次初等变换化为.记作：ABAB%向量组等价 和可以相互线性表示.记作：12,n 12,n 1212,nn%矩阵与等价，可逆作为向量组等ABPAQB,P Q()(),r Ar BA BA B为同型矩阵价,即：秩相等的向量组不一定等价.矩阵与作为向量组等价AB1212(,)(,)nnrr 1212(,)nnr 矩阵与等价.AB 向量组可由向量组线性表示有解12,s 12,n AXB12(,)=nr.1212(,)nsr 12(,)sr 12(,)nr 向量组可由向量组线性表示,且，则线性相关.12,s 12,n sn12,s 向量组线性无关,且可由线性表示,则.12,s 12,n sn宇航学院学习部整理5 向量组可由向量组线性表示,且,则两向12,s 12,n 12(,)sr 12(,)nr 量组等价；p教材94,例10 任一向量组和它的极大无关组等价.向量组的任意两个极大无关组等价.向量组的极大无关组不唯一，但极大无关组所含向量个数唯一确定.若两个线性无关的向量组等价,则它们包含的向量个数相等.设是矩阵,若，的行向量线性无关；Am n()r AmA 若，的列向量线性无关,即：线性无关.()r AnA12,n 矩阵的秩的性质：()AOr A若1()0AOr A若0()m nr A min(,)m n()()()TTr Ar Ar A Ap教材101,例15 ()()r kAr Ak 若0 ()(),()0m nn sr Ar BnABr ABBAx 若若0的列向量全部是的解 ()r ABmin(),()r A r B 即：可逆矩阵不影响矩阵的秩.()()()()Ar ABr BBr ABr A若可逆若可逆若；()()()m nAxr ABr Br AnABOBOAABACBC 只有零解 在矩阵乘法中有左消去律若()()()n sr ABr Br BnB 在矩阵乘法中有右消去律.等价标准型.()rrEOEOr ArAAOOOO若与唯一的等价，称为矩阵的 ()r AB()()r Ar Bmax(),()r A r B(,)r A B()()r Ar B ()()AOOArr Ar BOBBO()()ACrr Ar BOB宇航学院学习部整理6121212,0,()(),AnnAnAxAnAxAxr Ar AAxAn LLML当为方阵时当为方阵时有无穷多解0 表示法不唯一线性相关有非零解 可由线性表示有解有唯一组解0克莱姆法则表示法唯一 线127()(),()()()1()nAxr Ar AAxr Ar Ar Ar A MLMM教材72 讲义8性无关只有零解 不可由线性表示无解 ：注AxAx有无穷多解其导出组有非零解有唯一解其导出组只有零解 线性方程组的矩阵式 向量式 Ax1122nnxxxL 1112111212222212,nnmmmnnmaaaxbaaaxbAxaaaxbLLMMMMML12,2,jjjmjjnLM1 1212(,)nnxxx LM宇航学院学习部整理7矩阵转置的性质：()TTAA()TTTABB A()TTkAkATAA()TTTABAB11()()TTAA()()TTAA矩阵可逆的性质：11()AA111()ABB A111()kAk A11AA111()ABAB11()()kkkAAA伴随矩阵的性质：2()nAAA()ABB A1()nkAkA1nAA*()ABAB11()()AAAA()()kkAA ()()1 ()10 ()1 nr Anr Ar Anr An若若若ABA BnkAkAkkAAABAB（无条件恒成立）AAA AA E宇航学院学习部整理8线性方程组解的性质：121212121 1221212(1),(2),(3),(4),(5),(6kkkkAxAxk kAxkAxAxAxAxAx LL 是的解也是它的解 是的解对任意也是它的解齐次方程组 是的解对任意个常数 也是它的解 是的解是其导出组的解是的解 是的两个解是其导出组的解2112121 122121 12212),(7),100kkkkkkkAxAxAxAxAx L 是的解则也是它的解是其导出组的解 是的解则 也是的解 是的解 设为矩阵,若一定有解，Am n()r Am()()r Ar AMAx 当时,一定不是唯一解,则该向量组线性相关.mn方程个数未知数的个数向量维数向量个数 是的上限.m()()r Ar AM和 判断是的基础解系的条件：12,s LAx 线性无关；12,s L 都是的解；12,s LAx.()snr A 每个解向量中自由未知量的个数 一个齐次线性方程组的基础解系不唯一.若是的一个解，是的一个解线性无关Ax1,s LAx1,s L 与同解（列向量个数相同）,则：AxBx,A B 它们的极大无关组相对应,从而秩相等；它们对应的部分组有一样的线性相关性；它们有相同的内在线性关系.两个齐次线性线性方程组与同解.AxBx()()Arr Ar BB宇航学院学习部整理9 两个非齐次线性方程组与都有解，并且同解.AxBx()()Arr Ar BBMM 矩阵与的行向量组等价齐次方程组与同解（左乘可逆矩阵）；m nAl nBAxBxPABP101p教材 矩阵与的列向量组等价（右乘可逆矩阵）.m nAl nBAQBQ 关于公共解的三中处理办法：把(I)与(II)联立起来求解；通过(I)与(II)各自的通解，找出公共解；当(I)与(II)都是齐次线性方程组时，设是(I)的基础解系,是(II)的基础解系，则(I)与123,45,(II)有公共解基础解系个数少的通解可由另一个方程组的基础解系线性表示.即：1231231425(,)(,)rrcc M当(I)与(II)都是非齐次线性方程组时，设是(I)的通解，是(II)的通解，两方程11 122cc233c组有公共解可由线性表示.即：2331c12,12122331(,)(,)rrc M 设(I)的通解已知，把该通解代入(II)中，找出(I)的通解中的任意常数所应满足(II)的关系式而求公共解。标准正交基 个维线性无关的向量,两两正交,每个向量长度为 1.nn向量与的内积 12,Tna aaL12,Tnb bbL1 1221(,)niinniababa ba b L.记为：与正交(,)0 向量的长度 12,Tna aaL2222121(,)niniaaaa L是单位向量.即长度为 的向量.(,)1 1 内积的性质：正定性：(,)0,(,)0 且 对称性：(,)(,)双线性：1212(,)(,)(,)1212(,)(,)(,)宇航学院学习部整理10 (,)(,)(,)ccc 的特征矩阵 .的特征多项式 .是矩阵的特征多项式AEAA()EA()A()AO的特征方程 .AEA 0AxxxAxx(为非零列向量)与线性相关 ，称为矩阵的迹.12nA L1niAt rAt rA 上三角阵、下三角阵、对角阵的特征值就是主对角线上的各元素.n 若,则为的特征值,且的基础解系即为属于的线性无关的特征向量.0A 0AAx 0 一定可分解为=、,从而的特征值为：()1r A AA1212,nnaabbbaLM21 122()nnAaba ba b ALA,.11 122nnAaba ba bLt r23nL0p指南358 为各行的公比，为各列的公比.注12,Tna aaLA12,nb bbLA 若的全部特征值，是多项式,则:A12,n L()f A 若满足的任何一个特征值必满足A()f AOA()if 0的全部特征值为；.()f A12(),(),()nfffL12()()()()nf AfffL 初等矩阵的性质：(,)E i j 1()E i kk,()E i j k1(,)(,)TE i jE i j()()TE i kE i k,(),()TE i j kE j i k1(,)(,)E i jE i j11()()kE i kE i1,(),()E i j kE i jk*(,)(,)E i jE i j*1()()kE i kkE i*,(),()E i j kE i jk 设，对阶矩阵规定：为1110()mmmmf xa xaxa xaLnA1110()mmmmf Aa AaAa Aa EL的一个多项式.A宇航学院学习部整理11 1 231122,TAmmkkAabaAbEAAAAAA L 是的特征值则:分别有特征值 .1 231122,AmmkkAabaAbEAxAxAAA L 是关于的特征向量则也是关于的特征向量.的特征向量不一定是的特征向量.2,mAAA 与有相同的特征值，但特征向量不一定相同.ATA与相似 （为可逆矩阵）记为：AB1P APBPAB:与正交相似 （为正交矩阵）AB1P APBP可以相似对角化 与对角阵相似.记为：（称是的相似标准形）AAA:A 可相似对角化 为的重数恰有个线性无关的特征向量.这时,为的特A()iinrEAkikiAnPA征向量拼成的矩阵，为对角阵,主对角线上的元素为的特征值.设为对应于的线性无关的特征向量,1P APAii则有：.121212112212(,)(,)(,)(,)nnnnnnPPAAAA LLLLO1 44 2 4 431 44 2 4 431 4 44 2 4 4 4 3 ：当为的重的特征值时，可相似对角化的重数 基础解系的个数.注i 0AAi()nr AAx 若阶矩阵有个互异的特征值可相似对角化.nAnA宇航学院学习部整理12 若可相似对角化,则其非零特征值的个数（重根重复计算）.A()r A 若=，A:kA1kPP1211()()()()()nggg APgPPPgO 相似矩阵的性质：,从而有相同的特征值,但特征向量不一定相同.EAEB,A B是关于的特征向量,是关于的特征向量.注xA01P xB0 ABt rt r 从而同时可逆或不可逆AB,A B()()r Ar B；（若均可逆）；TTAB:11AB:,A B*AB:（为整数）；，kkAB:k()()f Af B:()()f Af B,ABAB CDCD:前四个都是必要条件.注 数量矩阵只与自己相似.实对称矩阵的性质：特征值全是实数,特征向量是实向量；不同特征值对应的特征向量必定正交；：对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；注一定有个线性无关的特征向量.n若有重的特征值,该特征值的重数=；Ai()inrEA必可用正交矩阵相似对角化，即：任一实二次型可经正交变换化为标准形；与对角矩阵合同，即：任一实二次型可经可逆线性变换化为标准形；宇航学院学习部整理13两个实对称矩阵相似有相同的特征值.正交矩阵 TAAE 为正交矩阵的个行（列）向量构成的一组标准正交基.AAnn 正交矩阵的性质：；1TAA；TTAAA AE 正交阵的行列式等于 1 或-1；是正交阵,则，也是正交阵；ATA1A 两个正交阵之积仍是正交阵；的行（列）向量都是单位正交向量组.A二次型 ，即为对称矩阵，1211(,)nnTnijijijf x xxx Axa x xLijjiaaA12(,)Tnxx xxL与合同 .记作：（）ABTC ACBAB;,A BC为实对称矩阵为可逆矩阵正惯性指数 二次型的规范形中正项项数 负惯性指数二次型的规范形中负项项数prp符号差 (为二次型的秩)2prr 两个矩阵合同它们有相同的正负惯性指数他们的秩与正惯性指数分别相等.两个矩阵合同的充分条件是：AB:两个矩阵合同的必要条件是：()()r Ar B 经过化为标准形.12(,)Tnf x xxx AxL正交变换 合同变换可逆线性变换xCy21niifd y 二次型的标准形不是唯一的,与所作的正交变换有关,但非零系数的个数是由 唯一确定的.()r A正惯性指数负惯性指数 当标准形中的系数为-1 或 0 或 1 时,称为二次型的规范形.id 实对称矩阵的正（负）惯性指数等于它的正（负）特征值的个数.宇航学院学习部整理14 惯性定理：任一实对称矩阵与唯一对角阵合同.A111100OOO 用正交变换化二次型为标准形:求出的特征值、特征向量；A 对个特征向量正交规范化；n 构造（正交矩阵）,作变换,则CxCy新的二次型为,1112221()()TTTTTnnnydyydyCyA Cyy C ACYy C ACYydy MOM21niifd y的主对角上的元素即为的特征值.idA施密特正交规范化 线性无关,123,单位化：112122111313233121122(,)(,)(,)(,)(,)(,)正交化111222333 技巧：取正交的基础解系，跳过施密特正交化。让第二个解向量先与第一个解向量正交，再把第二个解向量代入方程，确定其自由变量.例如：取，.123xxx 011 1 02 112正定二次型 不全为零，.12,nx xxL12(,)nf x xxL0正定矩阵 正定二次型对应的矩阵.宇航学院学习部整理15 为正定二次型（之一成立）：()Tf xx Ax，；x Tx Ax 0的特征值全大于；A0的正惯性指数为；fn的所有顺序主子式全大于；A0与合同，即存在可逆矩阵使得；AECTC ACE 存在可逆矩阵，使得；PTAP P 存在正交矩阵，使得 （大于）.C121TnC ACC ACOi0 合同变换不改变二次型的正定性.为正定矩阵 ；.Aiia 00A 为正定矩阵也是正定矩阵.A1,TAAA 与合同，若为正定矩阵为正定矩阵ABAB 为正定矩阵为正定矩阵，但不一定为正定矩阵.,A BAB,AB BA