高三数学基础突破复习检测22.doc

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9．函数的图象与性质的综合应用（学生版，后附教师版）

【知识梳理】
1.利用描点法作函数图象
其基本步骤是列表、描点、连线.
首先：(1)确定函数的定义域，(2)化简函数解析式，(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等).
其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线.
2.函数图象间的变换
(1)平移变换

对于平移，往往容易出错，在实际判断中可熟记口诀：左加右减，上加下减.
(2)对称变换

(3)伸缩变换

【基础考点突破】
考点1. 作函数的图像 　
【例1】作出下列函数的图像：
(1)y＝； (2)y＝（）|x＋1|； (3)y＝|log2x－1|.

【总结反思】为了正确作出函数的图像，除了掌握“列表、描点、连线”的方法外，还要做到以下两点：
(1)熟练掌握几种基本函数的图像，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、正弦函数、余弦函数以及形如y＝x＋的函数；
(2)掌握常用的图像变换方法，如平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等．
变式训练1.分别作出下列函数的图像：(1)y＝2x＋2；(2)y＝ln(1－x)．

考点2.图象识别
【例2 】(1)若函数f(x)＝则函数y＝f(x＋1)的大致图像是(　　)

(2)小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶，与以上事件吻合得最好的图像是(　　)

【归纳总结】识图常用的方法如下．
(1)定性分析法：通过对问题进行定性分析，结合函数的单调性、对称性等解决问题．
(2)定量计算法：通过定量(如特殊点、特殊值)的计算，来分析解决问题．
(3)函数模型法：由所提供的图像特征，结合实际问题的含义以及相关函数模型分析解决问题．
变式训练2. (1) 函数y＝xsin x在区间[－π，π]上的大致图像是(　　)

(2)[2013·四川卷] 函数y＝的图像大致是(　　)

【归纳总结】函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.利用上述方法排除、筛选选项.

考点3.函数图像的应用 　　
命题点1.确定方程根的个数 　　
【例3】已知函数y＝f(x)的周期为2，当x∈ [－1，1]时，f(x)＝x2，那么函数y＝f(x)的图象与函数y＝|lg x|的图象的交点共有(　　)
A.10个 B.9个 C.8个 D.7个
【归纳总结】当某些方程求解很复杂时，可以考虑利用函数的图象判断解的个数，即将方程解的个数问题转化为两个函数图象的交点问题，对应图象有几个交点，则方程有几个解.
变式训练3.已知f(x)＝则方程2f2(x)－3f(x)＋1＝0的解的个数是________．
命题点2.求参数的取值范围 　　
【例4】已知a>0，且a≠1，f(x)＝x2－ax，当x∈(－1，1)时，恒有f(x)<，则实数a的取值范围是________．
命题点3.求不等式的解集 　　
【例5】已知函数y＝f(x)的图像是圆x2＋y2＝2上的两段弧，
如图所示，则不等式f(x)>f(－x)－2x的解集是________．

【基础练习】
1.(2016·广州一调)把函数y＝(x－2)2＋2的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，所得图象对应的函数解析式是(　　)
A.y＝(x－3)2＋3 B.y＝(x－3)2＋1 C.y＝(x－1)2＋3 D.y＝(x－1)2＋1
2.函数y＝1－的图象是(　　)

3.使log2(－x)＜x＋1成立的x的取值范围是(　　)
A.(－1，0) B.[－1，0) C.(－2，0) D.[－2，0)
4.函数y＝xsin x在[－π，π]上的图象是(　　)

5.(2015·安徽卷)函数f(x)＝的图象如图所示，则下列结论成立的是(　　)

A.a>0，b>0，c<0 B.a<0，b>0，c>0 C.a<0，b>0，c<0 D.a<0，b<0，c<0
6.点P从点O出发，按逆时针方向沿周长为l的图形运动一周，O，P两点连线的距离y与点P走过的路程x的函数关系如图，那么点P所走的图形是(　　)

7.(2014·新课标全国Ⅰ卷)如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M.将点M到直线OP的距离表示成x的函数f(x)，则y＝f(x)在[0，π]上的图象大致为(　　)

8.设函数y＝f(x)的图象与y＝2x＋a的图象关于直线y＝－x对称，且f(－2)＋f(－4)＝1，则a＝(　　)
A.－1 B.1 C.2 D.4
9.已知函数f(x)＝则对任意x1，x2∈R，若0<|x1|<|x2|，下列不等式成立的是(　　)
A.f(x1)＋f(x2)<0 B.f(x1)＋f(x2)>0 C.f(x1)－f(x2)>0 D.f(x1)－f(x2)<0
10.(2015·全国Ⅱ卷)如图，长方形ABCD的边AB＝2，BC＝1，O是AB的中点.点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP＝x，将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f(x)，则y＝f(x)的图象大致为(　　)

11.设奇函数f(x)的定义域为[－5，5].若当x∈[0，5]时，f(x)的图象如图，则不等式f(x)＜0的解集是________.
12.在平面直角坐标系xOy中，若直线y＝2a与函数y＝|x－a|－1的图象只有一个交点，则a的值为________.
13.设函数f(x)＝|x＋a|，g(x)＝x－1，对于任意的x∈R，不等式f(x)≥g(x)恒成立，则实数a的取值范围是________ .
14.已知函数f(x)＝且关于x的方程f(x)－a＝0有两个实根，则实数a的取值范围是____.
15.已知函数f(x)＝x|m－x|(x∈R)，且f(4)＝0.
(1)求实数m的值； (2)作出函数f(x)的图象；
(3)根据图象指出f(x)的单调递减区间；(4)若方程f(x)＝a只有一个实数根，求a的取值范围.

16.当x∈(1，2)时，不等式(x－1)2＜logax恒成立，求实数a的取值范围.

17.(1)已知函数y＝f(x)的定义域为R，且当x∈R时，f(m＋x)＝f(m－x)恒成立，求证y＝f(x)的图象关于直线x＝m对称；
(2)若函数y＝log2|ax－1|的图象的对称轴是x＝2，求非零实数a的值.

2017年高考数学基础突破——集合与函数
9．函数的图象与性质的综合应用（教师版）

【知识梳理】
1.利用描点法作函数图象
其基本步骤是列表、描点、连线.
首先：(1)确定函数的定义域，(2)化简函数解析式，(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等).
其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线.
2.函数图象间的变换
(1)平移变换

对于平移，往往容易出错，在实际判断中可熟记口诀：左加右减，上加下减.
(2)对称变换

(3)伸缩变换

【基础考点突破】
考点1.作函数的图像 　
【例1】作出下列函数的图像：
(1)y＝；(2)y＝（）|x＋1|；(3)y＝|log2x－1|.
【解析】(1)易知函数的定义域为{x∈R|x≠－1}．
y＝＝－1＋，因此由y＝的图像向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度即可得到函数y＝的图像，如图①所示．
(2)先作出y＝()x，x∈[0，＋∞)的图像，然后作其关于y轴的对称图像，再将整个图像向左平移1个单位长度，即得到y＝()|x＋1|的图像，如图②所示．
(3)先作出y＝log2x的图像，再将图像向下平移1个单位长度，保留x轴上方的部分，将x轴下方的图像翻折到x轴上方来，即得到y＝|log2x－1|的图像，如图③所示．

【总结反思】为了正确作出函数的图像，除了掌握“列表、描点、连线”的方法外，还要做到以下两点：
(1)熟练掌握几种基本函数的图像，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、正弦函数、余弦函数以及形如y＝x＋的函数；
(2)掌握常用的图像变换方法，如平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等．
变式训练1.分别作出下列函数的图像：(1)y＝2x＋2；(2)y＝ln(1－x)．
【解析】(1)将y＝2x的图像向左平移2个单位长度，即得到函数y＝2x＋2的图像，如图①所示．
(2)作出函数y＝ln x的图像，将y＝ln x的图像以y轴为对称轴翻折，得到函数y＝ln(－x)的图像，再将y＝ln(－x)的图像向右平移1个单位长度，得到函数y＝ln(1－x)的图像，如图②所示．

考点2.图象识别
【例2 】(1)若函数f(x)＝则函数y＝f(x＋1)的大致图像是(　　)

(2)[2013·湖北卷] 小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶，与以上事件吻合得最好的图像是(　　)

【答案】(1)B　(2)C　　
【解析】 (1)作出f(x)＝的图像如图所示，再把f(x)的图像向左平移一个单位长度，可得到函数y＝f(x＋1)的图像．故选B.

(2)由题意可知函数图像最开始为“斜率为负的线段”，接着为“与x轴平行的线段”，最后为“斜率为负值，且小于之前斜率的线段”．观察选项中图像可知，C项符合．
【归纳总结】识图常用的方法如下．
(1)定性分析法：通过对问题进行定性分析，结合函数的单调性、对称性等解决问题．
(2)定量计算法：通过定量(如特殊点、特殊值)的计算，来分析解决问题．
(3)函数模型法：由所提供的图像特征，结合实际问题的含义以及相关函数模型分析解决问题．
变式训练2. (1) 函数y＝xsin x在区间[－π，π]上的大致图像是(　　)

(2)[2013·四川卷] 函数y＝的图像大致是(　　)

【解析】 (1)容易判断函数y＝xsin x为偶函数，可排除D.当0＜x＜时，y＝xsin x＞0，当x＝π时，y＝0，可排除B，C.故选A.
(2)函数的定义域是{x∈R|x≠0}，排除选项A；当x<0时，x3<0，3x－1<0，故y>0，排除选项B；
当x→＋∞时，y>0且y→0，故为选项C中的图像．
【归纳总结】函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.利用上述方法排除、筛选选项.

考点3.函数图像的应用 　　
命题点1.确定方程根的个数 　　
【例3】已知函数y＝f(x)的周期为2，当x∈ [－1，1]时，f(x)＝x2，那么函数y＝f(x)的图象与函数y＝|lg x|的图象的交点共有(　　)
A.10个 B.9个 C.8个 D.7个
【答案】A
【解析】根据f(x)的性质及f(x)在[－1，1]上的解析式可作图如下：可验证当x＝10时，y＝|lg 10|＝1；当x＞10时，|lg x|＞1. 因此结合图象及数据特点知y＝f(x)与y＝|lg x|的图象交点共有10个.

【归纳总结】当某些方程求解很复杂时，可以考虑利用函数的图象判断解的个数，即将方程解的个数问题转化为两个函数图象的交点问题，对应图象有几个交点，则方程有几个解.
变式训练3.已知f(x)＝则方程2f2(x)－3f(x)＋1＝0的解的个数是________．
【解析】方程2f2(x)－3f(x)＋1＝0的解为f(x)＝或f(x)＝1.作出y＝f(x)的图像，由图像知f(x)＝有2个解，f(x)＝1有3个解，所以原方程解的个数为5.

命题点2.求参数的取值范围 　　
【例4】已知a>0，且a≠1，f(x)＝x2－ax，当x∈(－1，1)时，恒有f(x)<，则实数a的取值范围是________．
【答案】 ∪(1，2]
【解析】由题知，当x∈(－1，1)时，f(x)＝x2－ax<，即x2－<ax.在同一坐标系中分别作出二次函数y＝x2－，指数函数y＝ax的图像(图略)．当x∈(－1，1)时，要使指数函数的图像恒在二次函数图像的上方，则所以≤a≤2且a≠1.故实数a的取值范围是≤a<1或1<a≤2.
命题点3.求不等式的解集 　　
【例5】已知函数y＝f(x)的图像是圆x2＋y2＝2上的两段弧，如图所示，则不等式f(x)>f(－x)－2x的解集是________．

【答案】{x|－1<x<0或1<x≤}
【解析】由题设中的图像可知，f(x)是奇函数，所以f(x)>f(－x)－2x可转化为2f(x)>－2x，即f(x)>－x.在图中作出直线y＝－x，由图可得原不等式的解集为{x|－1<x<0或1<x≤}．
【归纳总结】对于形如f(x)>g(x)或可化为f(x)>g(x)的不等式，可以分别作出函数f(x)，g(x)的图像，找到f(x)的图像位于g(x)的图像上方部分所对应的x的取值范围，即为不等式f(x)>g(x)的解集．

【基础练习】
1.(2016·广州一调)把函数y＝(x－2)2＋2的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，所得图象对应的函数解析式是(　　)
A.y＝(x－3)2＋3 B.y＝(x－3)2＋1 C.y＝(x－1)2＋3 D.y＝(x－1)2＋1
答案　C
解析　把函数y＝f(x)的图象向左平移1个单位，即把其中x换成x＋1，于是得y＝[(x＋1)－2]2＋2＝(x－1)2＋2，再向上平移1个单位，即得到y＝(x－1)2＋2＋1＝(x－1)2＋3.
2.函数y＝1－的图象是(　　)

解析　将y＝－的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位，即可得到函数y＝1－的图象.
答案　B
3.使log2(－x)＜x＋1成立的x的取值范围是(　　)
A.(－1，0) B.[－1，0) C.(－2，0) D.[－2，0)
解析　在同一坐标系内作出y＝log2(－x)，y＝x＋1的图象，知满足条件的x∈(－1，0)，故选A.

答案　A
4.函数y＝xsin x在[－π，π]上的图象是(　　)

解析　容易判断函数y＝xsin x为偶函数，可排除D.当0＜x＜时，y＝xsin x＞0，当x＝π时，y＝0，可排除B，C，故选A.
5.(2015·安徽卷)函数f(x)＝的图象如图所示，则下列结论成立的是(　　)

A.a>0，b>0，c<0 B.a<0，b>0，c>0 C.a<0，b>0，c<0 D.a<0，b<0，c<0
解析　函数f(x)的定义域为{x|x≠－c}，由题中图象可知－c＝xP＞0，即c<0.
令f(x)＝0，可得x＝－，则xN＝－，又xN＞0，则＜0，所以a，b异号，排除A，D.
答案　C
6.点P从点O出发，按逆时针方向沿周长为l的图形运动一周，O，P两点连线的距离y与点P走过的路程x的函数关系如图，那么点P所走的图形是(　　)

答案　C
7.(2014·新课标全国Ⅰ卷)如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M.将点M到直线OP的距离表示成x的函数f(x)，则y＝f(x)在[0，π]上的图象大致为(　　)

解析　由题图可知：当x＝时，OP⊥OA，此时f(x)＝0，排除A，D；当x∈时，OM＝cos x，设点M到直线OP的距离为d，则＝sin x，即d＝OMsin x＝sin xcos x，∴f(x)＝sin xcos x＝sin 2x≤，排除B.
答案　C
8.(2015·全国Ⅰ卷)设函数y＝f(x)的图象与y＝2x＋a的图象关于直线y＝－x对称，且f(－2)＋f(－4)＝1，则a＝(　　)
A.－1 B.1 C.2 D.4
解析　设(x，y)是函数y＝f(x)图象上任意一点，它关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)，由y＝f(x)的图象与y＝2x＋a的图象关于直线y＝－x对称，可知(－y，－x)在y＝2x＋a的图象上，即－x＝2－y＋a，解得y＝－log2(－x)＋a，所以f(－2)＋f(－4)＝－log22＋a－log24＋a＝1，解得a＝2，选C.
答案　C
9.已知函数f(x)＝则对任意x1，x2∈R，若0<|x1|<|x2|，下列不等式成立的是(　　)
A.f(x1)＋f(x2)<0 B.f(x1)＋f(x2)>0
C.f(x1)－f(x2)>0 D.f(x1)－f(x2)<0
解析　函数f(x)的图象如图所示：

且f(－x)＝f(x)，从而函数f(x)是偶函数且在[0，＋∞)上是增函数.
又0<|x1|<|x2|，∴f(x2)>f(x1)，即f(x1)－f(x2)<0.
答案　D
10.(2015·全国Ⅱ卷)如图，长方形ABCD的边AB＝2，BC＝1，O是AB的中点.点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP＝x，将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f(x)，则y＝f(x)的图象大致为(　　)

解析　法一　当点P位于边BC上时，∠BOP＝x，0≤x≤，则＝tan x，∴BP＝tan x，∴AP＝，
∴f(x)＝tan x＋，可见y＝f(x)图象的变化不可能是一条直线或线段，排除A，C.当点P位于边CD上时，∠BOP＝x，则BP＋AP＝＋＝＋.
当点P位于边AD上时，∠BOP＝x，则＝tan(π－x)＝－tan x，
∴AP＝－tan x，∴BP＝，∴f(x)＝－tan x＋，
根据函数的解析式可排除D，故选B.
法二　当点P位于点C时，x＝，此时AP＋BP＝AC＋BC＝1＋，当点P位于CD的中点时，x＝，此时AP＋BP＝2＜1＋，故可排除C，D，当点P位于点D时x＝，此时AP＋BP＝AD＋BD＝1＋，而在变化过程中不可能以直线的形式变化，故选B.
答案　B
11.设奇函数f(x)的定义域为[－5，5].若当x∈[0，5]时，f(x)的图象如图，则不等式f(x)＜0的解集是________.

答案　(－2，0)∪(2，5]
12.在平面直角坐标系xOy中，若直线y＝2a与函数y＝|x－a|－1的图象只有一个交点，则a的值为________.
解析　函数y＝|x－a|－1的图象如图所示，因为直线y＝2a与函数y＝|x－a|－1的图象只有一个交点，故2a＝－1，解得a＝－.

答案　－
13.设函数f(x)＝|x＋a|，g(x)＝x－1，对于任意的x∈R，不等式f(x)≥g(x)恒成立，则实数a的取值范围是________ .
解析　如图，要使f(x)≥g(x)恒成立，则－a≤1，∴a≥－1.

答案　[－1，＋∞)
14.(2015·青岛模拟)已知函数f(x)＝且关于x的方程f(x)－a＝0有两个实根，则实数a的取值范围是________.

解析　当x≤0时，0＜2x≤1，所以由图象可知要使方程f(x)－a＝0有两个实根，即函数y＝f(x)与y＝a的图象有两个交点，所以由图象可知0＜a≤1.

答案　(0，1]

15.已知函数f(x)＝x|m－x|(x∈R)，且f(4)＝0.
(1)求实数m的值；(2)作出函数f(x)的图象；(3)根据图象指出f(x)的单调递减区间；
(4)若方程f(x)＝a只有一个实数根，求a的取值范围.
解　(1)∵f(4)＝0，∴4|m－4|＝0，即m＝4.
(2)f(x)＝x|x－4|
＝

f(x)的图象如图所示：
(3)f(x)的减区间是[2，4].
(4)从f(x)的图象可知，当a>4或a<0时，f(x)的图象与直线y＝a只有一个交点，方程f(x)＝a只有一个实数根，即a的取值范围是(－∞，0)∪(4，＋∞).

16.当x∈(1，2)时，不等式(x－1)2＜logax恒成立，求实数a的取值范围.
解　设f(x)＝(x－1)2，g(x)＝logax，
在同一直角坐标系中画出f(x)与g(x)的图象，
要使x∈(1，2)时，不等式(x－1)2＜logax恒成立，只需函数f(x)的图象在g(x)的图象下方即可.
当0＜a＜1时，由两函数的图象知，显然不成立；
当a＞1时，如图，使x∈(1，2)时，
不等式(x－1)2＜logax恒成立，只需f(2)≤g(2)，
即(2－1)2≤loga2，解得1＜a≤2.
综上可知，1＜a≤2.

17.(1)已知函数y＝f(x)的定义域为R，且当x∈R时，f(m＋x)＝f(m－x)恒成立，求证y＝f(x)的图象关于直线x＝m对称；
(2)若函数y＝log2|ax－1|的图象的对称轴是x＝2，求非零实数a的值.
(1)证明　设P(x0，y0)是y＝f(x)图象上任意一点，则y0＝f(x0).又P点关于x＝m的对称点为P′，
则P′的坐标为(2m－x0，y0).
由已知f(x＋m)＝f(m－x)，得f(2m－x0)＝f[m＋(m－x0)]＝f[m－(m－x0)]＝f(x0)＝y0.
即P′(2m－x0，y0)在y＝f(x)的图象上.
∴y＝f(x)的图象关于直线x＝m对称.
(2)解　对定义域内的任意x，有f(2－x)＝f(2＋x)恒成立.
∴|a(2－x)－1|＝|a(2＋x)－1|恒成立，即|－ax＋(2a－1)|＝|ax＋(2a－1)|恒成立.
又∵a≠0，∴2a－1＝0，得a＝.

沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

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