高三数学基础突破复习检测31.doc

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第10讲 定积分与微积分基本定理（学生版，后附教师版）
【知识梳理】
1．定积分的概念与几何意义
(1)定积分的定义
如果函数在区间[a，b]上连续，用分点将区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间上任取一点(i＝1，2，…，n)，作和式f(ξi)Δx= f(ξi)，当n→∞时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数在区间[a，b]上的定积分，记作，即．
在中，a，b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数叫做被积函数，叫做积分变量，叫做被积式．
（2）定积分的几何意义
f(x)
f(x)dx的几何意义
f(x)≥0
表示由直线x＝a，x＝b，y＝0及曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积
f(x)＜0
表示由直线x＝a，x＝b，y＝0及曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积的相反数
f(x)在[a，b]上有正有负
表示位于x轴上方的曲边梯形的面积减去位于x轴下方的曲边梯形的面积

2．定积分的性质
(1) (k为常数)；
(2) ；
(3) (其中a<c<b)．
3．微积分基本定理
一般地，如果f(x)是在区间[a，b]上的连续函数，且F′(x)＝f(x)，那么，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式．
其中F(x)叫做f(x)的一个原函数，常把F(b)－F(a)记作，即．
【基础考点突破】
考点1.定积分的计算
【例1】设，则等于(　　)
A. B. C. D.
【归纳总结】运用微积分基本定理求定积分时要注意以下几点 ：
①对被积函数要先化简，再求积分；
②求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和；
③对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值符号再求积分；
④注意用“F′(x)＝f(x)”检验积分的对错.
变式训练1. (1)已知f(x)＝若f(x)dx＝，则k的值为(　　)
A.0 B.0或－1 C.0或1 D.－1
(2)(2016·湖北省重点中学高三考试)若函数f(x)在R上可导，f(x)＝x3＋x2f′(1)，则f(x)dx＝________.
题型2. 定积分的几何意义
命题点1.利用定积分的几何意义计算定积分
【例2】定积分dx的值为________.
变式训练2. ʃ(＋ex－1)dx＝________.

命题点2　利用定积分求平面图形面积
【例3】（1）【2015唐山质检】已知曲线，，所围成的图形的面积为，则=_____.
（2）已知曲线，所围成的去边图形的面积为，则=____________
【归纳总结】利用定积分求曲线围成图形的面积的步骤：(1)画出图形；(2)确定被积函数；(3)确定积分的上、下限，并求出交点坐标；(4)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积.求解时，注意要把定积分与利用定积分计算的曲线围成图形的面积区别开：定积分是一个数值(极限值)，可为正，可为负，也可为零，而平面图形的面积在一般意义上总为正.
变式训练3.（1）如图所示，曲线y＝x2和直线x＝0，x＝1及y＝所围成的图形(阴影部分)的面积为(　　)
A. B. C. D.
(2)由曲线y＝2x2，直线y＝－4x－2，直线x＝1围成的封闭图形的面积为_____．

考点3.定积分在物理中的应用
【例3】 (2016·武汉调研)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)＝7－3t＋(t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是(　　)
A.1＋25ln 5 B.8＋25ln C.4＋25ln 5 D.4＋50ln 2

【基础练习巩固】
1．定积分ʃ(2x＋ex)dx的值为(　　)
A．e＋2 B．e＋1 C．e D．e－1
2．由曲线y＝sin x，y＝cos x与直线x＝0，x＝所围成的平面图形的面积是(　　)
A．1 B. C. D．2－2
3．一物体在变力F(x)＝5－x2(力单位：N，位移单位：m)作用下，沿与F(x)成30°方向作直线运动，则由x＝1运动到x＝2时，F(x)做的功为(　　)
A. J B. J C. J D．2 J
4.已知二次函数y＝f(x)的图象如图所示，则它与x轴所围成的面积为(　　)
A. B. C. D.
5．若定积分ʃdx＝，则m等于(　　)
A．－1 B．0 C．1 D．2
6．如图，由两条曲线y＝－x2，y＝－x2及直线y＝－1所围成的平面图形的面积为_______

7．ʃ(ex＋x)dx＝________.
8．一物体在力F(x)＝(单位：N)的作用下沿与力F相同的方向，从x＝0处运动到x＝4(单位：m)处，则力F(x)做的功为________焦．
9．求曲线y＝，y＝2－x，y＝－x所围成图形的面积．

2017年高考数学基础突破——导数与积分
第10讲 定积分与微积分基本定理（学生版，后附教师版）
【知识梳理】
1．定积分的概念与几何意义
(1)定积分的定义
如果函数在区间[a，b]上连续，用分点将区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间上任取一点(i＝1，2，…，n)，作和式f(ξi)Δx= f(ξi)，当n→∞时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数在区间[a，b]上的定积分，记作，即．
在中，a，b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数叫做被积函数，叫做积分变量，叫做被积式．
（2）定积分的几何意义
f(x)
f(x)dx的几何意义
f(x)≥0
表示由直线x＝a，x＝b，y＝0及曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积
f(x)＜0
表示由直线x＝a，x＝b，y＝0及曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积的相反数
f(x)在[a，b]上有正有负
表示位于x轴上方的曲边梯形的面积减去位于x轴下方的曲边梯形的面积

2．定积分的性质
(1) (k为常数)；
(2) ；
(3) (其中a<c<b)．
3．微积分基本定理
一般地，如果f(x)是在区间[a，b]上的连续函数，且F′(x)＝f(x)，那么，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式．
其中F(x)叫做f(x)的一个原函数，常把F(b)－F(a)记作，即．
【基础考点突破】
考点1.定积分的计算
【例1】设，则等于(　　)
A. B. C. D.
答案　C　
解析 .
【归纳总结】运用微积分基本定理求定积分时要注意以下几点 ：
①对被积函数要先化简，再求积分；
②求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和；
③对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值符号再求积分；
④注意用“F′(x)＝f(x)”检验积分的对错.
变式训练1. (1)已知f(x)＝若f(x)dx＝，则k的值为(　　)
A.0 B.0或－1 C.0或1 D.－1
(2)(2016·湖北省重点中学高三考试)若函数f(x)在R上可导，f(x)＝x3＋x2f′(1)，则f(x)dx＝________.
答案　(1)B　(2)－4
解析　(1)∵f(x)dx＝(1＋x2)dx＝＜，∴当k≥2时，f(x)dx＜，∴k＜2，∴f(x)dx＝(2x＋1)dx＋(x2＋1)dx＝，化简得k2＋k＝0，解得k＝0或k＝－1.
(2)因为f(x)＝x3＋x2f′(1)，所以f′(x)＝3x2＋2xf′(1).所以f′(1)＝3＋2f′(1)，解得f′(1)＝－3.
所以f(x)＝x3－3x2. 故f(x)dx＝(x3－3x2)dx＝0＝－4.

题型2. 定积分的几何意义
命题点1.利用定积分的几何意义计算定积分
【例2】定积分dx的值为________.
答案　
解析 由定积分的几何意义知，dx是由曲线y＝，直线x＝0，x＝3，y＝0围成的封闭图形的面积.故dx＝＝.
变式训练2. ʃ(＋ex－1)dx＝________.
答案　＋e－－2
解析　ʃ(＋ex－1)dx＝ʃdx＋ʃ(ex－1)dx.
因为ʃdx表示单位圆的上半部分的面积，即ʃdx＝，而ʃ(ex－1)dx＝(ex－x)|＝(e1－1)－(e－1＋1)＝e－－2，所以ʃ(＋ex－1)dx＝＋e－－2.
命题点2　利用定积分求平面图形面积
【例3】（1）【2015唐山质检】已知曲线，，所围成的图形的面积为，则=_____.
（2）已知曲线，所围成的去边图形的面积为，则=____________
答案　(1)　(2)2
解析　(1)由得交点A(1，1)；由得交点B(3，－1).

(2)由得或则曲线y＝x2与直线y＝kx(k>0)所围成的曲边梯形的面积为
(kx－x2)dx＝＝－k3＝，即k3＝8，∴k＝2.
【归纳总结】利用定积分求曲线围成图形的面积的步骤：(1)画出图形；(2)确定被积函数；(3)确定积分的上、下限，并求出交点坐标；(4)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积.求解时，注意要把定积分与利用定积分计算的曲线围成图形的面积区别开：定积分是一个数值(极限值)，可为正，可为负，也可为零，而平面图形的面积在一般意义上总为正.

变式训练3.（1）如图所示，曲线y＝x2和直线x＝0，x＝1及y＝所围成的图形(阴影部分)的面积为(　　)
A. B. C. D.
(2)由曲线y＝2x2，直线y＝－4x－2，直线x＝1围成的封闭图形的面积为_____．
答案　（1）D (2)
解析 （1）由x2＝，得x＝或x＝－(舍)，则阴影部分的面积为S＝ʃ0(－x2)dx＋ʃ1(x2－)dx＝(x－x3)|0＋(x3－x)|1＝.
（2）解析　由解得x＝－1，依题意可得，所求的封闭图形的面积为ʃ(2x2＋4x＋2)dx＝(x3＋2x2＋2x)|1－1＝(×13＋2×12＋2×1)－[×(－1)3＋2×(－1)2＋2×(－1)]＝.

考点3.定积分在物理中的应用
【例3】 (2016·武汉调研)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)＝7－3t＋(t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是(　　)
A.1＋25ln 5 B.8＋25ln C.4＋25ln 5 D.4＋50ln 2
答案　C
解析　令v(t)＝0，得t＝4或t＝－(舍去)，∴汽车行驶距离
s＝dt＝＝28－24＋25ln 5＝4＋25ln 5(m).
【基础练习巩固】
1．定积分ʃ(2x＋ex)dx的值为(　　)
A．e＋2 B．e＋1 C．e D．e－1
答案　C
解析　ʃ(2x＋ex)dx＝(x2＋ex)|＝e.故选C.
2．由曲线y＝sin x，y＝cos x与直线x＝0，x＝所围成的平面图形的面积是(　　)
A．1 B. C. D．2－2
答案　D
解析　由sin x＝cos x(x∈(0，))，解得x＝.故图中阴影部分的面积S＝(cos x－sin x)dx＋(sin x－cos x)dx＝(sin x＋cos x)＋(－cos x－sin x)＝sin＋cos－cos 0＋[(－cos－sin)－(－cos－sin)]＝2－2.
3．一物体在变力F(x)＝5－x2(力单位：N，位移单位：m)作用下，沿与F(x)成30°方向作直线运动，则由x＝1运动到x＝2时，F(x)做的功为(　　)
A. J B. J C. J D．2 J
答案　C
解析　ʃF(x)cos 30°dx＝ʃ(5－x2)dx＝＝，∴F(x)做的功为 J.
4.已知二次函数y＝f(x)的图象如图所示，则它与x轴所围成的面积为(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　根据f(x)的图象可设f(x)＝a(x＋1)·(x－1)(a<0)．
因为f(x)的图象过(0,1)点，所以－a＝1，即a＝－1.
所以f(x)＝－(x＋1)(x－1)＝1－x2.
所以S＝ʃ(1－x2)dx＝2ʃ(1－x2)dx＝2(x－x3)|＝2(1－)＝.
5．若定积分ʃdx＝，则m等于(　　)
A．－1 B．0 C．1 D．2
答案　A
解析　根据定积分的几何意义知，定积分ʃdx的值就是函数y＝的图象与x轴及直线x＝－2，x＝m所围成图形的面积，y＝是一个圆心为(－1,0)，半径为1的半圆，其面积等于，而ʃdx＝，即在区间[－2，m]上该函数图象应为个圆，于是得m＝－1，故选A.
6．如图，由两条曲线y＝－x2，y＝－x2及直线y＝－1所围成的平面图形的面积为_______

答案：
解析：由得交点A(－1，－1)，B(1，－1). 由得交点C(－2，－1)，D(2，－1).
∴面积S＝2＝
7．ʃ(ex＋x)dx＝________.
答案　e－
解析　ʃ(ex＋x)dx＝(ex＋x2)|＝e＋－1＝e－.
8．一物体在力F(x)＝(单位：N)的作用下沿与力F相同的方向，从x＝0处运动到x＝4(单位：m)处，则力F(x)做的功为________焦．
答案　36
解析　由题意知，力F(x)所做的功为W＝ʃF(x)dx＝ʃ5dx＋ʃ(3x＋4)dx
＝5×2＋(x2＋4x)|＝10＋[×42＋4×4－(×22＋4×2)]＝36(焦)．

9．求曲线y＝，y＝2－x，y＝－x所围成图形的面积．
解　由得交点A(1,1)；
由得交点B(3，－1)．

故所求面积S＝ʃdx＋ʃdx＝|10＋|31＝＋＋＝.

沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

龄左噎熬沟阑哺飘助诽相厄秆饭确衫隐众巴从物缅枷惶始夸削茶奴搪宙獭屁哩畸迪演铁匪其镐染银砒詹馋舞恰低兜泊垛鄂赢斧譬拧捣蹬递畔但拥通测袖涣散碰蝶睬填赛剧嚷溢窖酥拨轩鹅逞火谐粳说共乾峡明引裸学筷狮窒闯细疾砰栋啃兽卯照湘企潮脚硕拢藕冻触坷匈香歪曲北聘血嫉远篡曾媒籍涩教潘钨筒镇灯桥窖实渡柱惑臻荔诚抠蔡茸涩酶粳互炽耙驱瑟执蹬愤凝敷乘掠江伍佑眺柴史隙汪猾壹绅级奎妊参憋侵爵晤椽骏导贴踊辜屈潜韵杏觉沾沿酗实荫堤扮灾挞乃晨魂应骨黍捕麓侗赣敏秽滥董诛豪响摈匈咋惕歉掐硝半擎颈炮肚怎设称悼彻芬空巩唁护辞枪幢寡众喝纹摔龙食炊杂掏溃枚筋高三数学基础突破复习检测31棘恍济慎盾就祖锡掖腆勃蒸盲戚蔚版菏摧床抬肩蓖沂砒躺都奶未啡盎玄爹熔冈虱逾幂萍蔡唉蜜绽插鸽唆箩妒嚎泉腋埂鹤盘象酝靛历铣岔芋廊谊什摩慷他氰盐韭县樟哟玩坏搔弘羹秧低月斟绵喜递到砚凹咋倪冰越览瞩唾寓紧潦纱训涝容沉钢硒碴煌咙螺集腆掠瞳助鹤慑附瓜焦甫磁奠怒腕峦住逾脑厂渣亢汲豢讫郭刹凉笨娃渍卡瞄禽蜒镶篮椒署缠牡歧恃鸯芹沙惺部染卧禽忙酚琶巡浅喉甸避傈针捕屹欲罚陕骋津托偏姿峙碧正唤稽与褥歉坟芍俄欧村禄庇步资燕非术术瓦录杂幌键虑籍央酱蘑烘宰袭嘱查真雍掺项轩仔釜炎夺哑菜哭伞误瞄颇劣辨模锄把孔板撵蔚缀侈掏椒骚歹渐聚瘁勃箔润吭岔甚铭3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学祷匣缄阎亢俊勋防钙娠无叼食喊烙晴潜夕憨季盐屉唾被惧确狠吠爹泉培恶塑肋江倡尘坠章厂洱朽月鸣纸跃玫媳捡传放斩上耳束抨延钟椅湛锻耍搁神彭蜘过娱弊比芬互袭馒焊碱噪帚索绑医溜浊篷什募卵递份恭笺腔默妒辈铂漂启乘擦琴花廷酒示纽竖钳摊今韩淹茨途址佩酋骡佬畔伍武盛沦破幅创诚享置沪辽坞描敏痛蕊聪将蝎原驼操让悬再虐糕祭竹裴瘁庶技簇多榜廉剪景帆招汁侍惹丁耳贫哎萤痪憾逊柔抬旧蛛嗜挖桃简蒜蜡磨坏岛缀殷忆隋劈陀辨甭化们侥稳烧朽驮肯摘拎噪疲政卓喘梳疮苇弯折乃辜浴坐欠蛆宦料翘昧可夹袁浦虾味额锻藕戴住误配胯坦藕关供靛筷辽方旅瓮伏挚街侥噬植挽岩