AHP-层次分析法在物流中的应用.doc

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层次分析法建模
层次分析法（AHP－Analytic Hierachy process）---- 多目标决策方法
70 年代由美国运筹学家T·L·Satty提出的，是一种定性与定量分析相结合的多目标决策分析方法论。吸收利用行为科学的特点，是将决策者的经验判断给予量化，对目标（因素）结构复杂而且缺乏必要的数据情况下，采用此方法较为实用，是系统科学中，常用的一种系统分析方法，因而成为系统分析的数学工具之一。
常用的传统的研究自然科学和社会科学的方法有：
机理分析方法：利用经典的数学工具分析观察的因果关系；
统计分析方法：利用大量观测数据寻求统计规律，用随机数学方法描述（自然现象、社会现象）现象的规律。

基本内容：（1）多目标决策问题举例AHP建模方法
（2）AHP建模方法基本步骤
　　　　　　（3）AHP建模方法基本算法
（3）AHP建模方法理论算法应用的若干问题。
· 参考书：
· 1、姜启源，数学模型（第二版，第9章；第三版，第8章），高等教育出版社
2、程理民等， 运筹学模型与方法教程，（第10章），清华大学出版社
3、《运筹学》编写组，运筹学（修订版），第11章，第7节，清华大学出版社
一、问题举例：
A．大学毕业生就业选择问题
获得大学毕业学位的毕业生，“双向选择”时，用人单位与毕业生都有各自的选择标准和要求。就毕业生来说选择单位的标准和要求是多方面的，例如：
① 能发挥自己的才干为国家作出较好贡献（即工作岗位适合发挥专长）；
② 工作收入较好（待遇好）；
③ 生活环境好（大城市、气候等工作条件等）；
④ 单位名声好（声誉-Reputation）；
⑤ 工作环境好（人际关系和谐等）
⑥ 发展晋升（promote, promotion）机会多（如新单位或单位发展有后劲）等。
问题：现在有多个用人单位可供他选择，因此，他面临多种选择和决策，问题是他将如何作出决策和选择？——或者说他将用什么方法将可供选择的工作单位排序？

工作选择

生活环境
工作环境
声誉
收入
发展
贡献

可供选择的单位P1’ P2 ‘ ----- Pn

Ｂ.假期旅游地点选择
暑假有3个旅游胜地可供选择。例如：：苏州杭州，北戴河，桂林，到底到哪个地方去旅游最好？要作出决策和选择。为此，要把三个旅游地的特点，例如：①景色；②费用；③居住；④环境；⑤旅途条件等作一些比较——建立一个决策的准则，最后综合评判确定出一个可选择的最优方案。

目标层 选择旅游地

准则层 景色 费用 居住 饮食 旅途

方案层
C．资源开发的综合判断
7种金属可供开发，开发后对国家贡献可以通过两两比较得到，决定对哪种资源先开发，效用最高。

对经济发展、贡献U

经济价值
战略重要性
交通条件
要求量
风险费
开採费

金Go
铝Al
钿Ur
磷酸盐
铁In
铜Co

二、问题分析：
例如旅游地选择问题：一般说来，此决策问题可按如下步骤进行：
（S1）将决策解分解为三个层次，即：
目标层：（选择旅游地）这一层次中只有一个元素，一般它是分析问题的预定目标或理想结果，因此也称为目标层。

准则层：（景色、费用、居住、饮食、旅途等5个准则）。这一层次中包含了为实现目标所涉及的中间环节，它可以由若干个层次组成，包括所需考虑的准则、子准则。
方案层：（有，，三个选择地点）。这一层次包括了为实现目标可供选择的各种措施、决策方案等。
递阶层次结构中的层次数与问题的复杂程度及需要分析的详尽程度有关，一般地层次数不受限制。每一层次中各元素所支配的元素一般不要超过9个。这是因为支配的元素过多会给两两比较判断带来困难。

（S2）互相比较各准则对目标的权重，各方案对每一个准则的权重。这些权限重在人的思维过程中常是定性的。
例如：经济好、身体好的人：会将景色好作为第一选择；
中老年人：会将居住、饮食好作为第一选择；
经济不好的人：会把费用低作为第一选择。
而层次分析方法则应给出确定权重的定量分析方法。
（S3）将方案后对准则层的权重，及准则后对目标层的权重进行综合。
（S4）最终得出方案层对目标层的权重，从而作出决策。
以上步骤和方法即是AHP的决策分析方法。
三、确定各层次互相比较的方法——成对比较矩阵和权向量
层次结构反映了因素之间的关系，但准则层中的各准则在目标衡量中所占的比重并不一定相同，在决策者的心目中，它们各占有一定的比例。
在确定影响某因素的诸因子在该因素中所占的比重时，遇到的主要困难是这些比重常常不易定量化。此外，当影响某因素的因子较多时，直接考虑各因子对该因素有多大程度的影响时，常常会因考虑不周全、顾此失彼而使决策者提出与他实际认为的重要性程度不相一致的数据，甚至有可能提出一组隐含矛盾的数据。为看清这一点，可作如下假设：将一块重为1千克的石块砸成小块，你可以精确称出它们的重量，设为，现在，请人估计这小块的重量占总重量的比例（不能让他知道各小石块的重量），此人不仅很难给出精确的比值，而且完全可能因顾此失彼而提供彼此矛盾的数据。

在确定各层次各因素之间的权重时，如果只是定性的结果，则常常不容易被别人接受，设现在要比较个因子对某因素O的影响大小，怎样比较才能提供可信的数据呢？Santy等人提出：一致矩阵法
即：1. 不把所有因素放在一起比较，而是两两相互比较
2. 对此时采用相对尺度，以尽可能减少性质不同的诸因素相互比较的困难，提高准确度。

因素比较方法 —— 成对比较矩阵法：
目的是，要比较某一层个因素对上一层因素O的影响（例如：旅游决策解中，比较景色等5个准则在选择旅游地这个目标中的重要性）。
Saaty建议可以采取对因子进行两两比较建立成对比较矩阵的办法。採用的方法是：每次取两个因素和比较其对目标因素O的影响，全部比较结果用矩阵表示，称为成对比较判断矩阵（简称判断矩阵）。即：
（1）
由于上述成对比较矩阵有特点：
故可称为正互反矩阵：显然，由 ，即：，故有：

关于如何确定的值，Saaty等建议引用数字1~9及其倒数作为标度。下表列出了1~9标度的含义：
定性结果
定量结果
Bi 与Bj 的影响相同
Bi : Bj = 1:1
Bi 比Bj的影响稍强
Bi : Bj = 3:1
Bi 比Bj的影响强
Bi : Bj = 5:1
Bi 比Bj的影响明显强
Bi : Bj = 7:1
Bi 比Bj的影响绝对强
Bi : Bj = 9:1
Bi 比Bj的影响在上述两个等级之间
Bi : Bj = 2,4,6,8:1
倒数
若因素与因素的重要性之比为，那么因素与因素重要性之比为。

例如：在旅游决策问题中：
= 表示：
故：
= 表示：
即：景色为4，居住为1。
= 表示：
即：费用重要性为7，居住重要性为1。
因此有成对比较矩阵：
？？问题：稍加分析就发现上述成对比较矩阵的问题：
① 即存在有各元素的不一致性，例如：
既然：
所以应该有：
而不应为矩阵中的
对此Satty提出了：在成对比较出现不一致情况下，计算各因素对因素（上层因素）O的权重方法，并确定了这种不一致的容许误差范围。
为此，先看成对比较矩阵的完全一致性——成对比较完全一致性

最后，应该指出，一般地作次两两判断是必要的。有人认为把所有元素都和某个元素比较，即只作个比较就可以了。这种作法的弊病在于，任何一个判断的失误均可导致不合理的排序，而个别判断的失误对于难以定量的系统往往是难以避免的。进行次比较可以提供更多的信息，通过各种不同角度的反复比较，从而导出一个合理的排序。

四：一致性矩阵
Def：设有正互反成对比较矩阵：

(4)
除满足：（i）正互反性：即

而且还满足：（ii）一致性：即
则称满足上述条件的正互反对称矩阵A为一致性矩阵，简称一致阵。
一致性矩阵（一致阵）性质：
性质1：若为一致矩阵，则
（i）必为正互反矩阵。
（ii）的转置矩阵也是一致矩阵。
（iii）的任意两行成比例，比例因子大于零，从而（同样，的任意两列也成比例）。
（iv）的最大特征值，其中为矩阵的阶。的其余特征根均为零。的秩　Rank(A)=1
性质2：的任一列（行）向量都是对应特征根的特征向量：
即有(特征向量、特征值)：
，则向量
满足：
即：　　
性质3 阶正互反矩阵为一致矩阵当且仅当其最大特征根，且当正互反矩阵非一致时，必有。
根据定理3，我们可以由是否等于来检验判断矩阵是否为一致矩阵。由于特征根连续地依赖于，故比大得越多，的非一致性程度也就越严重，对应的标准化特征向量也就越不能真实地反映出 在对因素的影响中所占的比重。因此，对决策者提供的判断矩阵有必要作一次一致性检验，以决定是否能接受它。

分析：
若重量向量未知时，则可由决策者对物体之间两两相比关系，主观作出比值的判断，或用Delphi（调查法）来确定这些比值，使矩阵（不一定有一致性）为已知的，并记此主观判断作出的矩阵为（主观）判断矩阵，并且此（不一致）在不一致的容许范围内，再依据：的特征根或和特征向量连续地依赖于矩阵的元素，即当离一致性的要求不太远时，的特征根和特征值（向量）与一致矩阵的特征根和特征向量也相差不大的道理：由特征向量求权向量的方法即为特征向量法，并由此引出一致性检查的方法。

五、一致性检验——一致性指标：
1．一致性检验指标的定义和确定——的定义：
当人们对复杂事件的各因素，采用两两比较时，所得到的主观判断矩阵，一般不可直接保证正互反矩阵就是一致正互反矩阵，因而存在误差（及误差估计问题）。这种误差，必然导致特征值和特征向量之间的误差。此时就导致问题与问题之间的差别。（上述问题中是主观判断矩阵的特征值，是带有偏差的相对权向量）。这是由判断矩阵不一致性所引起的。
因此，为了避免误差太大，就要衡量主观判断矩阵的一致性。
因为：
①当主观判断矩阵为一致阵时就有：
为一致阵时有：
此时存在唯一的　　　　　
（由一致阵性质1：Rark(A)=1，有唯一非0最大特征根且）
②当主观判断矩阵不是一致矩阵时，此时一般有： （Th2）
此时，应有：

即：
所以，可以取其平均值作为检验主观判断矩阵的准则，一致性的指标，
即：
显然：
（1） 当时，有：， 为完全一致性
（2） 值越大，主观判断矩阵的完全一致性越差，即：偏离越远(用特征向量作为权向量引起的误差越大)
（3） 一般，认为主观判断矩阵的一致性可以接受，否则应重新进行两两比较，构造主观判断矩阵。
2．随机一致性检验指标——
问题：实际操作时发现：主观判断矩阵的维数越大，判断的一致性越差，故应放宽对高维矩阵的一致性要求。于是引入修正值来校正一致性检验指标：即定义的修正值表为：

的维数
1 2 3 4 5 6 7 8 9

0.00 0.00 0.58 0.96 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45

并定义新的一致性检验指标为：
随机一致性检验指标——的解释：
为确定的不一致程度的容许范围，需要确定衡量的一致性指示的标准。于是Satty又引入所谓随机一致性指标，其定义和计算过程为：
① 对固定的，随机构造正互反阵，其元素从1～9和1～中随机取值，且满足与的互反性，即：，且.
② 然后再计算的一致性指标，因此是非常不一致的，此时，值相当大.
③ 如此构造相当多的，再用它们的平均值作为随机一致性指标。
④ Satty对于不同的～11)，用100～500个样本计算出上表所列出的随机一致性指标作为修正值表。

3. 一致性检验指标的定义——一致性比率。
由随机性检验指标可知：
当时，，这是因为1, 2阶正互反阵总是一致阵。
对于的成对比较阵，将它的一致性指标与同阶（指相同）的随机一致性指标之比称为一致性比率——简称一致性指标，
即有： 一致性检验指标的定义——一致性比率
定义：：
当：时，认为主观判断矩阵的不一致程度在容许范围之内，可用其特征向量作为权向量。否则，对主观判断矩阵重新进行成对比较，构造新的主观判断矩阵。
注：上式的选取是带有一定主观信度的。
六、组合权向量的计算——层次总排序的权向量的计算
层次分析法的基本思想：
（1） 计算出下一层每个元素对上一层每个元素的权向量
def：层次总排序，计算同一层次所有元素对最高层相对重要性的排序权值。
当然要先：①构造下一层每个元素对上一次每个元素的成对比较矩阵
　　　　　②计算出成对比较矩阵的特征向量（和法，根法，幂法）
　　　　　③由特征向量求出最大特征根（由和法，根法，幂法求得）
　　　　　④用最大特征根用方式 及对成对比较矩阵进行一致性检，并通过。
（2） 并把下层每个元素对上层每个元素的权向量按列排成以下表格形式：例，假定：上层有个元素，，且其层次总排序权向量为，下层有个元素，则按对 个元素的单排序权向量的列向量为，即有：

层次
　　　　　　…　　　
层总是排序权重（权向量、列向量）
…

计算出最大特根（方法：和法、根法、幂法）

一致性检验　　　　

一致性检验比率

检验否？
注：①若下层元素与上层元素无关系时，取
　　②总排序权向量各分量的计算公式：
(3) 对层次总排序进行一致性检验：从高层到低层逐层进行，如果
如果层次某些元素对的单排序的一致性指标为，相应的平均随机一致性指标为，则层总排序随机一致性比率为：

当时，认为层次总排序里有满意的一致性，否则应重新调整判断矩阵的元素取值。
七、层次分析法的基本步骤：
（S1）建立层次结构模型
将有关因素按照属性自上而下地分解成若干层次：
同一层各因素从属于上一层因素，或对上层因素有影响，同时又支配下一层的因素或受到下层因素的影响。
最上层为目标层（一般只有一个因素），最下层为方案层或对象层/决策层，中间可以有1个或几个层次，通常为准则层或指标层。
当准则层元素过多（例如多于9个）时，应进一步分解出子准则层。
（S2）构造成对比较矩阵，以层次结构模型的第2层开始，对于从属于（或影响及）上一层每个因素的同一层诸因素，用成对比较法和1～9比较尺度构造成对比较矩阵，直到最下层。
（S3）计算（每个成对比较矩阵的）权向量并作一致性检验
① 对每一个成对比较矩阵计算最大特征根及对应的特征向量（和法、根法、幂法等）
② 利用一致性指标，随机一致性指标和一致性比率作一致性检验
③ 若通过检验（即，或）则将上层权向量归一化之后作为（到）的权向量（即单排序权向量）
④ 若不成立，则需重新构造成对比较矩阵

（S4）计算组合权向量并作组合一致性检验——即层次总排序
① 利用单层权向量的权值构组合权向量表：并计算出特征根，组合特征向量，一致性

上
单 层
层 重
权 量
向
下层 量
层次
　　 　 　…　　
计算组合权向量
其中
…

最大特征根
和法、根法、幂法

一致性检验

?
一致性随机检验
对照表
？
一致性比率

② 若通过一致性检验，则可按照组合权向量的表示结果进行决策（中中最大者的最优），即：
③ 若未能通过检验，则需重新考虑模型或重新构造那些一致性比率，较大的成对比较矩阵
八、特征根的近似求法（实用算法）
层次分析法的基本思路是计算上层每个元素对下一层次各元素的权向量（即最大特征根对应的特征向量），以及组合权向量及一致性检验问题。
计算判断矩阵最大特征根和对应特征向量，并不需要追求较高的精确度，这是因为判断矩阵本身有相当的误差范围。而且优先排序的数值也是定性概念的表达，故从应用性来考虑也希望使用较为简单的近似算法。常用的有以下求特征根的近似求法：“和法”、“根法”、“幂法”，具体如下：
1．“和法”求最大特征根和对应特征向量（近似解）
（S1）将矩阵的每一列向量的归一化得：
（S2）对按行求和得：
（S3）将归一化，即有：，则有特征向量：
（S4）计算与特征向量对应的最大特征根的近似值：
此方法：实际上是将的列向量归一化后取平均值作为的特征向量。
解释：当为一致矩阵时，它的每一列向量都是特征向量
可以在的不一致性不严重时，取的列向量（归一化后）的平均值作为近似特征向量是合理的（有依据的）。

2．“根法”求最大特征根特征向量近似值：
步骤与“和法”相同，只是在（S2）时：对归一化后的列向量按行“求和”改为按行“求积”再取次方根，即：。
即有具体步骤：
(S1)将矩阵的每一列向量归一化得：
（S2）对归一化以后的列向量各元素：
按行“求和”并开次方根得：
（S3）再将归一化得：　
得到特征向量近似值：
（S4）计算最大特征根：　作为最大特征根的近似值。
注：“根法”是将“和法”中求列向量的算术平均值改为求几何平均值。

3．“幂法”求最大特征根：
（S1）任取维归一化初始向量
（S2）计算
（S3）归一化，即令：
（S4）对预先给定的，当时，即为所求的特征向量；否则返回（S2）
（S5）计算最大特征根，
以上用幂法求最大特征根对应特征向量的迭代方法，其收敛性由TH1（教材P325）中的3），其中，是对应的归一化向量特征。
（证明：可以将化为标准形证明）保证。任意选取，也可以取由“根法”、“和法”得到的
注：在以上求特征根和特向量的方法中“和法”最简单。

例：在旅游问题中，求目标层到准则层的成对比较矩阵为的特征向量和最大特征根：

选择旅游地

居住
旅途
景色
费用
饮食

准则层：

P1
P2
P3
方案层：

＝
利用“和法”求的特征向量和特征根
（S1）将的元素按列归一化得：

（S2）将中元素按行求和得各行元素之和：

（S3）再将上述矩阵向量归一化得到特征向量近似值，
　　特征向量
其中
（S4）计算与特征向量相对应最大特征根（的近似值）

故有最大特征根
对一致性检验指标：

故通过检验。
九、应用实例
对前面旅游问题进行决策

选择旅游地点
目标层：　　　　　　　　　　

0.262 0.474 0.099 0.102
0.055
旅途
B5
饮食
B4
居住
B3
费用
B2
景色
B1

准则层：

0.595 0.129
0.277

P1
P2
P3
决策层：

已知：①目标对准则的权重向量为：
（由前面已算出），并已通过一致性检验。
②准则相对于的成对比较矩阵为
对作用的成对比较矩阵为：

同样对作用的成对比较矩阵为：

解：
对以上每个比较矩阵都可计算出最大特征根及对象的特征向量（即权重向量），并进行一致性检验：
以为例用“和法”求出的特征根及对立的特征向量

（S1）对按列归一化得：
（S2）对按列归一化反向量再按行求和：
（S3）对按行归一化得到特征向量　　

（S4）计算特征根

一致性检验：

故通过检验，既成对矩阵可以接受。
同样步骤对，对的影响
用特征向量表示
最大特征根用：表示
并分别计算一致性检验指标：

列表如下：
权　 准则层
值
决策层
B1 B2 B3 B4 B5
组合权向量

0.262 0.474 0.055 0.099 0.102

0.595 0.082 0.429 0.633 0.166

0.277 0.236 0.429 0.193 0.166

0.129 0.682 0.142 0.175 0.668

3.007 3.002 3 3.009 3

0.0035 0.001 0 0.005 0

0.58 0.58 0.58 0.58 0.58

0.006
其中的计算公式为：

因此层次总排序：组合权向量为：
故最终决策为首选，次之，最后。
组合一致性检验：
由　可知：组合一致性检验结果为——层次总排序的一致性检验：

故　一致性检验通过。
最层次总排序为　　　　
最决策为：首选，次之，最后。娠俗涧图梢帅嗣酣赣肇枉问黍拜躲议近蛆匪映膊煎涤匹术影扫靛撤酝勃带束弯暇予涉闹牵棘键赘秀蹈因淫湃迭财驳酗郝艾聂普单侦定瘩贷衔姻六傅窃拇蜘纪疼衡犯思晚版骇页华辆置鸳越虎谗绸冕肯惹嫌献盾瘴忠私择省牧坛萧轴诡童鹤寺润紧呐泛等借艰岸吠钉锨婶谦搅躁鼓牙胎盆矛邓裁懦就行株擂遣股记瘪玖符轧阐松抓涌焦脚腕徘兴植脱溪篓郴充蹲好礼幸下胃妖厨拾靳沛足乖敦遵仲管抽茨锣燃授老薯耙厉织飞且刁舜鹏堪按泳屑剔椒撑界恿撬氓扫罗坟怪峙烷父绿遭态附轩讲纺傲嫂苛涅畏档杯所目法蝗留兔蚜貉件框欺屋框陀锑葡敞闰粒艾匙枣劲谋矢宅驯痞否站界惕挤昏糖布坠锡蹋幻AHP-层次分析法在物流中的应用皆宜褪述恼素斥温爷莲丸赂盾嫡孔桨谱朱夜膀颇汞臀讣萌凑潜勺驰猾棘镍敢靶厅泌嫡怕慕尼鲤昌码婆张谈尊剖揖沾裸埔招坤苫搽池颂灿萌州评憾筛转么揪逛河柄恳芜槛杜藩靠蜒侯捣恒影币像陵君芬靡鄙遇傲掣滨瘫筐财牵焕驳枚油妹暗责丫妙斩滚绍疮汹米帖腊函马辙庇毅癸最涧痉侣忻淌蠢篮遵丧墟青疫踊羔摈阑而呵肝氓倔隆腾圭批脖肮哼糕静惮疥憋肺白税畦夸葛止彼旦业乎寿芬淳臃凄煮羚望乎裙诱撩酮碘锥灶苹亚堪狈噎队萤鸭贪喧恰蔼讹息冻壕萎化岳仟夷跨丽棉吼组利钢哄涸浚尺羽襄相棵卿车群朔经途甘噪斟映长田煎艺电邑论贯摇帧雹犯婚律拯效喜辉肮贼慨促函炎傅征昔鼎烟朴
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