关于高等数学的美学思考.pdf

第 36 卷第 4 期2023 年 10 月镇江高专学报Journal of Zhenjiang CollegeVol.36 No.4Oct.,2023关于高等数学的美学思考侯丽萍,钱小吾(镇江高等专科学校 基础部,江苏 镇江 212028)摘 要:挖掘高等数学的形式美与内在美,可以提高学生的数学审美能力,培养学生的数学审美情趣,激发学生的学习兴趣,使高等数学真正成为有趣且有用的课程。关键词:高等数学;形式美;内在美中图分类号:O1文献标志码:A文章编号:1008-8148(2023)04-0088-06收稿日期:2022-12-29基金项目:2022 年镇江高等专科学校教学改革项目(2022ZX02)作者简介:侯丽萍(1995),女,山东烟台人,助教,硕士,主要从事高等数学教育研究;钱小吾(1963),男,江苏镇江人,副教授,主要从事高等数学、概率论与数理统计研究。为通讯作者。法国著名艺术家罗丹说:“世界上并不缺少美,而是缺少发现美的眼睛。”数学从不缺少美,只是与文学艺术的美不同,诗词、音乐、美术给予人直观的美感,而数学的美需要深入挖掘、用心体会。古今中外的数学家深刻论述过数学美,认为数学中充满美的因素,闪现美的光辉。早在 2 000 多年前,古希腊哲学家、数学家毕达哥拉斯就极度赞赏整数的和谐美、圆和球体的对称美,称宇宙是数的和谐体系。近现代英国著名数理逻辑学家罗素指出:“数学,如果正常地看它,不但拥有真理,而且也具有至高的美,正如雕塑的美,是一种冷而严肃的美。”我国数学家华罗庚认为:“就数学本身而言,是壮丽多彩、千姿百态、引人入胜的认为数学枯燥乏味的人,只是看到了数学的严谨性,而没有体会出数学的内在美。”笔者以高等数学为例,发掘其中蕴含的简洁美、对称美、和谐美、奇异美、创新美,引导学生认识数学美、感受和欣赏数学美,提升数学思维品质。1 形式美 在高等数学中,从概念确立到理论形成、从公式推导到符号运用、从运算方法到知识应用都呈现简洁鲜明、形式优美、整齐对称的特征,这种整齐、对称、简洁等体现为高等数学的形式美1。1.1 数学语言的简洁美数学有特有的语言 数学语言。将复杂抽象的问题归纳为简单的符号、公式或函数关系式,就是数学语言的简洁美2。高等数学中随处可见的数学符号、数学公式无不展现数学语言的简洁美。在学习极限中,用limxx0f(x)=A 表示当 x 趋近于x0时,函数 f(x)无限趋近于某一个确定的常数 A;用limxf(x)=A 表示当 x 的绝对值无限增大时,函数f(x)无限趋近于某一个确定的常数 A。可见,用类似limxx0f(x)=A 或limxf(x)=A 的简洁的数学语言表示极限,既能清楚表达含义,又简化了书写。介绍导数的概念前,常会引入曲线的切线斜率和变速直线运动瞬时速度的例子337-38。不难得到,曲线的切线斜率为limx0yx=limx0f(x0+x)-f(x0)x,变速直线运动瞬时速度为limt0st=limt0s(t0+t)-s(t0)t。在自然科学和工程技术中,还有许多问题可归结于无穷小之比的极限问题。在高等数学中,撇开问题的具体意义,找出数学上的共性,简化问题及语言,产生了导数的概念,将limx0yx=limx0f(x0+x)-f(x0)x定义为导数,用 f(x0)表示。由此,简洁的符号88f(x0)便可描述自然科学和工程技术领域诸多复杂问题。与导数的概念类似,在引入定积分时,大部分教材会首先介绍两个引例:曲边梯形的面积和变速直线运动路程3109-110,即A=lim0ni=1f(i)xi,s=lim0ni=1v(i)ti,一个是几何学中的问题,一个是物理学中的问题,意义不同,但解决方法和步骤完全一样,并且都可归结为相同的数学模型 和式的极限。由此抽象出定积分的定义,即形如 lim0ni=1f(i)xi的和式极限,记作baf(x)dx。一个简单的定积分符号baf(x)dx描述了包括数学在内的很多学科中的问题,如牛顿经典力学中经常用到的定积分。同时,求解定积分时以直代曲、分割逼近的简化问题的思想也将数学的简洁美展现得淋漓尽致。在定积分的计算中,最重要且贯穿微积分学的是牛顿-莱布尼兹公式,即若函数 f(x)在闭区间a,b上连续,F(x)是 f(x)在a,b上的一个原函数,则有baf(x)dx=F(b)-F(a)3117。牛顿-莱布尼兹公式为定积分的计算提供了方便简洁的方法,而不再采用分割、近似、求和、取极限的原始方法,体现了数学的简洁美。此外,牛顿-莱布尼兹公式的美妙之处还在于揭示了定积分与不定积分(或原函数)的联系,搭建了定积分与不定积分的桥梁。上述高等数学中常用的数学符号和数学公式已形成固有印象。看到 limxx0f(x)便知是极限,看到baf(x)dx 便知是定积分,形成这种数学上的符号共识、公式共识便是数学语言简洁美的体现。1.2 数学形式的对称美在数学中,对称是各个部分、整体与部分的和谐一致。对称美在数学中极为常见,很多数学公式、几何定理、数学图形在结构和形式上具有对称性1。1.2.1 几何中的对称美几何图形的对称美是对称美最直观的表现形式。运用几何图形中的点对称、线对称、面对称构造美丽的图案,从而有了巧夺天工的建筑、五彩斑斓的世界。几何中许多问题的解决也运用了对称性原理。笛卡尔创建的解析几何是美学思想在数学领域的成功运用。在笛卡尔直角坐标系中,代数方程与几何图形建立了一种对称关系,使代数与几何化为一体,完美统一。曲线方程标准形式的推导更是充分利用了图形的对称性4。高等数学中,为了便于表示特殊的曲线引入极坐标的概念,即平面上任一点到原点的距离由它与坐标轴的角度确定。如笛卡尔心形线的极坐标方程r=a 1-sin(),伯努利双纽线的极坐标方程r2=a2cos 2,三角函数 sin 与 cos 2 具有对称性和周期性,易得美丽的心形线(图 1)和双纽线(图 2)。图 1 心形线图 2 双纽线物理学与解析几何学中常用参数方程表示动点的运动轨迹。参数方程能直观显示横、纵坐标随某一参数(如时间 t)变化的关系。如一个圆沿 x 轴滚动,圆上一定点所形成的运动轨迹称为摆线,如图 398所示,可见摆线是对称美与动态美的结合。图 3 摆线摆线的参数方程为x=a t-sin t(),y=a 1-cos t(),(a0 是常数,t 为参数),从中也可看出图形是对称的。高等数学中常以优美的摆线为例研究参数方程的运算。空间解析几何中许多常见的二次曲面均为对称的,如球面、圆柱面、圆锥面、椭球面、双曲面等。如椭球面可以看作平面中的椭圆绕定直线旋转形成的旋转体。如椭圆x216+y24=1绕 x 轴旋转 1 周形成的旋转椭球体为x216+y24+z24=1,绕 y 轴旋转 1 周形成的旋转椭球体为x216+y24+z216=1,它们都是面对称图形,关于 xOz 平面、xOy 平面、yOz平面对称。这两个椭球是不同的,利用定积分求得的体积分别为643和1283,若用 xOz 平面去截,则前者的截痕是长轴为 8、短轴为 4 的椭圆,后者是直径为 8 的圆,直观上分别称为“瘦”椭球和“胖”椭球,如图 4 所示。空间解析几何中的对称产生了丰富多彩、形状各异的立体图形,这是数学美在空间解析几何中的体现。图 4 绕 x 轴和绕 y 轴的旋转椭球体1.2.2 代数中的对称美对称在代数中也随处可见,许多定理、性质、公式、方程等满足对称特征,美观且容易书写和记忆。利用对称思想可以方便求解代数学的很多问题。计算二阶混合偏导数时有以下定理:如果函数的两个二阶混合偏导数 fyx(x,y),fxy(x,y)在区域 D内连续,那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等,即fyx(x,y)=fxy(x,y)3186。可见,先对 x 求偏导,再对 y 求偏导,或先对 y 求偏导,再对 x 求偏导,结果一致。大部分初等函数在定义域内二阶混合偏导数是连续的,利用该定理在求混合偏导数时的对称统一美可简化计算或验证结果。如求函数 z=xln(xy)的二阶混合偏导数2zxy时,可先对 y 求偏导,再对 x 求偏导,这样计算相对简单,且结果一致。在积分学中,对称性、奇偶性催生了许多美妙的结论。在定积分中,若函数在区间-a,a上连续,当 f(x)为奇函数时,a-af(x)dx=0;当 f(x)为偶函数时,a-af(x)dx=2a0f(x)dx。在二重积分中,f(x,y)在有界闭区域 D 内连续,D=D1+D2,若 D1,D2关于 y 轴对称,则Df(x,y)d=2D1f(x,y)d,f(x,y)对 x 为偶函数,0,f(x,y)对 x 为奇函数;若 D1,D2关于 x 轴对称,则Df(x,y)d=0,f(x,y)对 y 为奇函数,2D1f(x,y)d,f(x,y)对 y 为偶函数。这些干净、漂亮的对称结论在积分学中发挥了重要作用,可以简化诸多复杂的积分问题。除此之外,计算一些具体函数的多重积分时也会产生整齐、对称的漂亮结果。如计算二重积分D4-x2-y2d,D=(x,y)|x2+y2 2x)时,运用直角坐标系或极坐标系求得结果83-43,类似地,计算D4-x2-y2d,D=(x,y)|x2+y2 2y)时,积分区域发生改变,但仍得到结果83-43。结果一致正是数学对称美的完美体现,虽然积分区域是两个不同的圆,但它们关于直线 y=x 对称,如09图 5 所示。图 5 积分区域再观察被积函数f(x,y)=4-x2-y2,互换 x 和 y,函数值不变,这种互换对称性在图形上体现为函数图形关于平面 y=x 对称,如图 6 所示的“窝窝头”形状。积分区域的对称和被积函数的对称共同造就了前后一致的积分结果。图 6 被积函数高等数学中的对称性不仅给予视觉美感、计算便捷和一些有趣结论,还给予思想启迪。教学中,有意识地揭示数学中的对称美,引导学生发现、欣赏对称美,可以激发学生的创造力。2 内在美 数学的美千姿百态、丰富多彩,不仅有美的形式符号、美的公式、美的曲线、美的曲面等,还有美的内容、思想、方法等,这些形成了内在美。和谐统一的内容、奇异巧妙的思想、坚持不懈的探索都是数学中的艺术。2.1 数学内容的和谐美数学理论知识是一个庞大的知识网络体系,各个子体系相对独立,又依靠一定的逻辑关系相互贯通,表现高度的和谐统一。毕达哥拉斯从数与数的比例出发论述了数学美的形式,提出了“美是和谐与比例”1。和谐美在高等数学领域极为常见,如许多概念常常体现和谐统一美。函数和极限是高等数学的两个基本概念,微积分是高等数学的主要学习内容,微积分以函数为研究对象,其定义与函数极限的相关概念联系紧密,这使得函数与微积分紧密联系,变得和谐完美。如一元函数中用函数增量与自变量增量之比的极限定义导数,即f(x0)=limx0f(x0+x)-f(x0)x,用分割近似求和之后的和式极限定义定积分,即baf(x)dx=lim0ni=1f(i)xi;二元函数中用偏增量之比的极限定义偏导数,即fx(x0,y0)=limx0f(x0+x,y0)-f(x0,y0)x,fy(x0,y0)=limy0f(x0,y0+y)-f(x0,y0)y,仍用分割近似求和的和式极限定义二重积分,即Df(x,y)d=lim0ni=1f(i,i)i。函数、极限、微积分紧密结合,形成了高等数学完整和谐的知识体系。一元函数的方法可以推广到多元函数,也说明高等数学内容前后关联、互通有无,体现了和谐统一之美。高等数学中很多运算,如四则运算、分解与化简运算、微分与积分运算等,体现了和谐统一之美。如微分与积分作为高等数学的核心内容,看似相互独立,实则关系密切,二者互为逆运算,即df(x)dx=f(x)dx,dF(x)=F(x)+C,可谓先微后积、先积后微等于没变。这些运算相互融合、互相推导,形成你中有我、我中有你的和谐画面。高等数学中许多重要定理也是前后联系、相互贯通的。如微分学中值定理 罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、泰勒中值定理一脉相承,罗尔定理放宽区间端点函数值相等的条件就是拉格朗日中值定理,在拉格朗日中值定理中令区间端点函数值相等,即可推得罗尔定理,这是共性与个性、普遍与特殊的统一。构造辅助函数5127-128(x)=f(x)-f(a)-f(b)-f(a)b-ax,即可用罗尔定理证明拉格朗日中值定理。同样,其他定理也可相互融合、互为补充,展现和谐美。19这样的例子不胜枚举。高等数学犹如和美的大家庭,成员“相处”融洽,体系完整协调,各部分内容配合默契,恰似跳动的音符,经艺术家的巧妙组合,谱出优美的乐章。2.2 数学思想的奇异美奇异美是数学美的重要特征之一,奇巧、突变、反常是数学奇异美的重要表现。徐利治指出:“奇异是一种美,奇异到极点更是一种美。”6高等数学中的奇异美令人惊叹不已、回味无穷。数学奇异美表现在从一种状态到另一种状态的瞬时突变、飞跃。它来之突然,变化剧烈,给予人新颖奇特的感觉。高等数学中的许多概念,如函数的间断、函数的极值、曲线的拐点等,给人以突变感,在图形上表现为连续函数在某一点处突然断开、函数在某点处单调性瞬间发生改变、曲线某点凹凸性突然发生改变,这些意想不到的突然变幻形成了数学奇特的美感。高等数学中的一些理论、性质在某种状态下不成立,或者说在某一点出现反常,也是奇异美。如一元函数中可微与可导是等价的,有时就会认为二元函数的可微与可导也是等价的。二元函数 z=f(x,y)在点(x,y)可微可推出偏导数zx,zy存在3187,但z=f(x,y)在点(x,y)偏导数zx,zy存在不能推出函数(x,y)是可微的。不妨验证函数f(x,y)=xyx2+y2,(x,y)(0,0),0,(x,y)=(0,0),在点(0,0)处连续,但不可微。这种“反常”现象为数学增添了奇异美。但若增加 z=f(x,y)在点(x,y)偏导数zx,zy连续的条件,便可得到函数可微的结论,这也体现了奇异与和谐的对立统一。数学中很多看似神奇莫测的结果给人以无限的奇异美感。如调和级数n=11n是发散的,但将分母的次数稍稍调高,级数n=11np(p1,如 p=1.01)便是收敛的;调和级数去掉一些项,如留下110 000+120 000+130 000+,仍是发散的,但留下12n这样的项,即1+12+122+12n+,却又是收敛的7。这样的“奇怪”结果展现了数学的奇妙,给予人无限遐想。数学的奇异美是数学思维独创性、灵活性等的集中体现,是数学灵感思维的结晶。引导学生发掘数学思想的奇异美,对强化学生求异、创新的思想意识至关重要。2.3 数学探索的创新美数学发展与美的原则形影不离,研究数学、探索真理的过程中也在潜移默化地遵循美学原则。尤其20 世纪以来,数学审美成为数学思维创新的重要驱动力,也成为数学创新性思维的重要组成部分1。高斯在回顾二次互反律的证明过程时说:“寻求一种最美和最简洁的证明,乃是吸引我去研究的主要动力。”对美的追求为众多数学研究者指引了前进的方向。数学探索的创新美体现在数学思想、数学方法的自我完善上,旨在丰富和发展数学理论。圆的出现可谓惊艳动人,所谓“天体至圆,万物做到极精妙者,无有不圆;圣人之德,古今之至文,法帖,已至一艺一术,必极圆而后登峰造极”,圆形是日月星辰的象征,无棱无角,完美且和谐。刘徽首创割圆术,不断倍增圆内接正多边形的边数求出圆周率。这种充满程序性思维之美的圆周率求解算法也体现了微积分的重要思想 分割逼近,其根源是对“圆”这一美妙图形的探索。高等数学中的极限、导数、积分等相关概念均源于分割逼近的思想,可以说分割逼近的思想影响了高等数学的学科体系,这是数学家创新的结果,是数学探索的创新美的体现。数学探索的创新美还体现在运用优美的数学解决其他学科的问题,并在解决问题的过程中推动数学理论的发展。牛顿在研究物理问题时,发现原有的几何和代数难以解决问题,研究物体的加速度、瞬时速度、变力沿直线所做的功时发明了“正流数术”和“反流数术”,并不断完善和发展为微分学和积分学。创立优美的数学符号、数学公式、数学理论解决物理问题,物理问题的解决进一步促进数学理论的发展,是数学探索创新美的真实写照。英国理论物理学家狄拉克说:“我没有试图直接解决某个物理问题,只是试图寻求某种优美的数学。”发现美妙的方法解决某个长期停滞的难题也体现了数学探索的创新美。欧拉求无穷级数n=11n229和的方法、蒲丰投针求 P 值的方法都以创新性和巧妙性赢得数学界的高度赞美。如求无穷级数n=11n2和是困扰数学界的难题,即巴塞尔问题,似乎没有巧妙的方法求解。欧拉大胆探索与尝试,发现可将n=11n2求和与正弦函数泰勒级数展开式结合起来。正弦函数泰勒级数展开式为sin x=x-x33!+x55!-x77!+x99!-,从而有sin xx=1-x23!+x45!-x67!+x89!-,很明显,sin xx=0 的解为 x=k(k=1,2,),因此1-x23!+x45!-x67!+x89!-=0的解也应是 x=k(k=1,2,),那么1-x23!+x45!-x67!+x89!-=1-x1-x-1-x21-x-2=1-x221-x2421-x2921-x2162,比较 x2的系数,得13!=12+142+192+1162+,从而得到n=11n2=26。其中关于整数乘方倒数与 的巧妙关系也是人类认识的一大进步。探索永无止境,创新推动社会进步,也推动数学进步。对美的追求促进数学思维的创新,从而影响数学界,再将成果贡献到现实世界,形成完美的良性循环,这正是创新的美妙所在。高等数学的教学重点之一是培养学生的数学审美能力,更快、更好地吸收已有知识,以创新美增强探索动力。3 结束语 数学是一门科学,也是一门艺术,有许多美需要发掘、感悟。高等数学中语言的简洁美、形式的对称美、内容的和谐美、思想的奇异美、探索的创新美应有尽有。教师要重视美学教育,把数学知识的美和认知过程的美有机结合,以数学美培养学生的数学兴趣、创新思维、创造能力,让学生学会运用规范的数学语言创造数学美,寻找最优解题方法创造数学美,巧解难题创造数学美,培养探索精神。高等数学似一缕清风,伴学生在知识长河中缓缓前行。参考文献:1 宋艳丽.论高等数学中的美学思想J.统计与管理,2016(3):191-192.2 石永廷.浅谈高等数学教学中的美育J.武警工程学院学报,2002,18(2):83-84.3 李祎虹,王丽芳.实用高等数学M.上海:上海交通大学出版社,2018.4 肖倩.对称美在高等数学中的应用J.合作经济与科技,2011(6):113-114.5 同济大学数学系.高等数学M.7 版.北京:高等教育出版社,2014.6 汤波.谈谈数学的奇异美J.济南教育学院学报,2002(2):56-57.7 田长生.试谈高等数学中的数学美J.广东职业技术师范学院学报,2002,23(4):83-87.责任编辑:卢 蕊On the beauty in Advanced MathematicsHOU Liping,QIAN Xiaowu(Basic Courses Department,Zhenjiang College,Zhenjiang 212028,China)Abstract:Mining the formal beauty and internal beauty of Advanced Mathematics can improve studentsmathematical aesthetic ability,cultivate students mathematical aesthetic interest,stimulate students interest inlearning,and make Advanced Mathematics an interesting and useful course.Key words:Advanced Mathematics;formal beauty;inner beauty39