关于发展方程最优控制问题的时间并行算法研究.pdf

第 卷 第期 年月金 陵 科 技 学 院 学 报J OUR NA LO FJ I N L I NGI N S T I TUT EO FT E CHNO L O G YV o l ,N o J u n e,D O I:/j c n k i /n 关于发展方程最优控制问题的时间并行算法研究刘欢(金陵科技学院理学院,江苏南京 )摘要:对发展型微分方程线性二次最优控制问题和带有逐点控制约束的线性二次最优控制问题的数值求解进行了研究和分析,提出了一种新的时间并行算法,并通过数值算例验证了该算法的有效性和收敛性.新的时间并行算法将求解最优控制问题的计算任务拆分成多个独立的子问题进行求解,显著提高了计算效率.这为解决实际工程应用中的最优控制问题提供了一种高效的计算手段,对控制系统的优化和性能提升具有重要意义.关键词:最优控制问题;发展方程;时间并行算法;半光滑牛顿法中图分类号:O 文献标识码:A文章编号:X()收稿日期:基金项目:国家自然科学基金青年项目();金陵科技学院博士科研启动基金(j i t b );金陵科技学院科研孵化项目(j i t f h x m )作者简介:刘欢(),女,安徽蚌埠人,讲师,博士,主要从事偏微分方程反问题研究.R e s e a r c ho nT i m eP a r a l l e lA l g o r i t h m s f o rO p t i m a lC o n t r o lP r o b l e m so fE v o l u t i o nE q u a t i o n sL I U H u a n(J i n l i n gI n s t i t u t eo fT e c h n o l o g y,N a n j i n g ,C h i n a)A b s t r a c t:T h en u m e r i c a l s o l u t i o n so f l i n e a rq u a d r a t i co p t i m a l c o n t r o l p r o b l e m s f o r e v o l u t i o n a r yd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n sa n d l i n e a rq u a d r a t i co p t i m a l c o n t r o l p r o b l e m sw i t hp o i n t w i s e c o n t r o l c o n s t r a i n t sa r es t u d i e da n da n a l y z e d An e wt i m ep a r a l l e l a l g o r i t h mi sp r o p o s e d,a n d i t se f f e c t i v e n e s sa n dc o n v e r g e n c e a r ev e r i f i e d t h r o u g hn u m e r i c a l e x a m p l e s T h en e wt i m ep a r a l l e l a l g o r i t h md i v i d e s t h e c o m p u t a t i o n a l t a s ko f s o l v i n g t h eo p t i m a l c o n t r o l p r o b l e mi n t om u l t i p l e i n d e p e n d e n ts u b p r o b l e m s f o rs o l u t i o n,s i g n i f i c a n t l yi m p r o v i n gc o m p u t a t i o n a le f f i c i e n c y T h i sp r o v i d e sa ne f f i c i e n t c a l c u l a t i o nm e t h o df o rs o l v i n go p t i m a l c o n t r o l p r o b l e m s i np r a c t i c a l e n g i n e e r i n ga p p l i c a t i o n s,a n d i so fg r e a t s i g n i f i c a n c e f o r t h eo p t i m i z a t i o na n dp e r f o r m a n c e i m p r o v e m e n to fc o n t r o l s y s t e m s K e yw o r d s:o p t i m a l c o n t r o l p r o b l e m;e v o l u t i o ne q u a t i o n;t i m ep a r a l l e l a l g o r i t h m;s e m i s m o o t hN e w t o nm e t h o d由偏微分方程控制的最优控制问题在现代科学和工程的许多领域,如热传递、化学反应、流体动力学和医学等方面都发挥着重要的作用.大多数由偏微分方程控制的最优控制问题一般不可能有显式解,需要寻求数值解,在这个过程中,既要运用优化算法,也要运用离散化方法.牛顿法作为一种非常流行的优化算法,可以实现快速的局部收敛,在最优控制中得到了很好的应用,.半光滑牛顿法是牛顿法的变体,主要用于求解非光滑优化问题,在求解控制约束最优控制问题时较为有效.与椭圆型方程的最优控制相比,求解与时间有关的偏微分方程(p a r t i a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n,P D E)约金陵科技学院学报第 卷束的最优控制问题更为复杂.与时间有关的P D E最优控制问题的共轭方程是一个时间向后的抛物型偏微分方程,由一阶最优性系统生成一个时间上的两点边值问题 .半光滑牛顿法应用在时空离散时,每一步都会产生一个非常庞大的代数系统,这对于代数系统的存储要求和高效求解来说都是一个很大的挑战.尽管已经有了一些技术,如利用牛顿C G(共轭梯度)方法的无矩阵优化算法和检查点技术来减少内存需求 ,或利用自适应时空有限元法 和时空多重网格法来加速代数系统的求解,但有效地求解与时间有关的P D E最优控制仍面临很大的挑战.近年来,随着并行计算迅速发展,时域分解方法引起了研究者们的广泛关注.时域分解是将一个大尺度问题转化为子区间上的多个小尺度问题,并以并行的方式求解.多重打靶法和时间并行算法是目前比较流行的两种时域分解方法.多重打靶法是打靶法的一种变体,它克服了单次打靶求解两点边值问题的不稳定性,已成为求解发展系统最优控制问题的一种常用方法.L i o n s等首次提出了求解线性和非线性初值问题的时间并行算法,并证明了常微分方程(o r d i n a r yd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s,O D E)基于向后欧拉时间离散的收敛性.关于时域分解方法在偏微分方程最优控制中的应用,目前已有一些相关研究,如C a r r a r o等研究了具有控制约束的基于偏微分方程的抛物型最优控制问题的间接多重打靶法,但由于一阶最优性系统的时间全局性,使得这类应用并不简单.在间接多重打靶的框架下,将打靶法应用到求解一阶最优性系统中,该系统在时间上形成两点边值问题,并行求解区间的边值问题,并通过求解打靶系统来更新打靶变量.U l b r i c h 提出了一种求解非线性最优控制问题序列二次规划(s e q u e n t i a lq u a d r a t i cp r o g r a mm i n g,S Q P)的方法,使用时间并行算法加速状态方程和伴随状态方程进行求解.本文在前人研究的基础上提出了一种新的时间并行算法来求解由O D E和与时间有关的P D E控制的最优控制问题,显著提高了计算效率,对控制系统的优化和性能的提升具有重要意义.本文提出的时间并行算法的主要思路本文提出的时间并行算法包括两个部分:局部并行部分和全局修正部分.局部并行部分利用不同的处理器求解一系列很小的时间间隔(从tn到tn)上的两点边值问题,在迭代过程中,tn,tn 上的原始变量和对偶变量的存储集中在同一个处理器上;全局修正部分用于更新时间节点上的解.提出的时间并行算法的主要思路为:用牛顿型方法作为外优化循环来求解一阶最优性系统,在每一个牛顿步上使用时间并行算法来求解线性的两点边值问题.对于初值问题的时间并行算法,粗网格上的修正步可以连续进行;对于两点边值问题,修正步应该全局进行.线性二次最优控制问题令作为RRd(d,)中具有光滑边界的有界区域.对于m和s,采用标准记号Wm,s()作为上的S o b o l e v空间,其中Hm()Wm,(),s.Lr(,T;Wm,s()表示从,T 到Wm,s()的所有Lr(r)可积函数构成的B a n a c h空间.对于B a n a c h空间Y,使用缩写记号L(Y)L(,T;Y)和L(Y)L(,T;Y).本节考虑了一个模型控制问题来解释所提出的时间并行算法,该最优控制问题描述为:m i nJ(y,u)Ty(t,)yd(t,)Hdty(T,)yT()HTu(t,)Udt()s t ytAyBufy(,)y()()式()和式()中,fL(H),ydL(H),yTH,yH()H和U表示H i l b e r t空间,A和B表示所选择的合适算子,具体描述如下:式()和式()广泛存在于O D E和P D E约束优化问题中,在考虑带有O D E约束的最优控制问题时,第期刘欢:关于发展方程最优控制问题的时间并行算法研究假设矩阵ARRnn满足椭圆性条件,即,对于任意的yRRn且y,yTAy,矩阵BRRnm,H和U分别表示RRn和RRm中的E u c l i d e a n空间.在考虑带有P D E约束的最优控制情形时,假设A是一个在光滑有界区域上具有零D i r i c h l e t边界条件的二阶强椭圆微分算子,B是一个从小区域到的零延拓算子,则HL(),UL().式()和式()最优解的存在性和唯一性可参考文献,对于P D E约束优化问题,令yL(H()H(H()及uL(U).它的一阶最优性系统可以描述为关于时间的两点边值问题:ytAyDpf,y()yptAp(ydy),p(T)y(T)yT()其中,DB B,uBp,A和B分别表示A和B的共轭算子,算子D表示一个从H到H自身的有界线性算子.对于P D E约束优化问题,抛物方程的标准正则性理论表明pL(H()H(H(),故y,pC(L().本文中CC(,A,B)是一个不依赖于时间离散参数的常数.采用时间并行算法求解两点边值问题(式(),并考虑时间区域上的均匀剖分:tttNT其中,ti i,i,N,TN.采用向后欧拉公式来离散最优性系统:YnYnAYnDPnfn,YyPnPnAPn(yndYn),PNYNyT()其中,n,N.用Y(Y,Y,YN)和U(U,UN)分别表示离散的状态变量和最优控制变量.注意到式()是下面离散优化问题()和()的最优性系统,具体表示为:m i nJ(Y,U)NnYnyndHYNyTHNnUnU()s t YnYnAYnBUnfn,n,NYy()其中,UnBPn,n,N.式()的解表示为:YnYn,n,N;PnPn,n,N假设式()的逼近解为YnkNn和PnkNn,则本文提出的时间并行算法包括两个部分:局部并行部分和全局修正部分.局部并行部分包括以并行的方式求解N个子区间上的边界值问题.在每一个子区间tn,tn,n,N上,对于给定的边界条件Ynk和Pnk,考虑两点边界值问题如下:ytAyDpf,y(tn)YnkptAp(ydy),p(tn)Pnk()两点边界值问题的子问题可以在精细网格上进行求解,为简单起见,在误差分析部分假设此公式为精确求解方程.式()在时间节点tn,tn 上的解(y,p)表示为(ynk,pnk),n,N.(ynk,pnk)与(Ynk,Pnk)的差值表示为SnyynkYnk,SnppnkPnk,n,N()且Sy,SNp(YNkyNk),称Sny和Snp为解在时间节点tn上的跳跃.全局修正部分为求解以下修正方程:金陵科技学院学报第 卷nynyAnyDnpSny,ynpnpAnp nySnp,NpNy()式()中的求解初值问题的时间并行算法与文献 中的算法并不相同,因为文献 中的修正方程是按顺序进行求解的.利用子区间问题的解(ynk,pnk)和修正项ny和np可以更新时间节点tn上的解为:Ynkynkny,n,N;Pnkpnknp,n,N;PNk(yTYNk)()总结上述步骤,时间并行算法为算法.算法关于式()的时间并行算法:给定容忍值(t o l),求解式()得到初始值YnNn和PnNn,设置k.:l o o p:在每一个子区间tn,tn,n,N上求解精细网格下的两点边界值问题.:根据式()定义跳跃值为Sny和Snp,并求解修正方程式().:按式()更新YnkNn和PnkNn.:计算(Yk,Pk)和(Yk,Pk)的误差,若误差值容忍值,则停机,否则令kk.:e n d l o o p注:除了向后欧拉格式,也可以基于C r a n k N i c o l s o n离散格式得到时间并行算法 .在这种情形下,式()对应的部分如下:YnYnAYnYnDPnPnfnfn,YyPnPnAPnPnyndyndYnYn(),PNYNyT()修正步可写为:nynyAnynyDnpnpSnyASny,ynpnpAnpnpnynySnpASnp,NpNy()YnkNn和PnkNn的更新与式()一致.带有逐点控制约束的线性二次最优控制问题将时间并行算法延伸到求解非线性最优控制问题上,整个算法可视作牛顿型时间并行方法,算法的步骤为:首先求得一阶必要最优性条件(KK T系统),然后介绍连续情形下的牛顿(或半光滑牛顿)迭代法以保证快速收敛性.在每次的牛顿迭代中,都需要求解一个时间域上的线性两点边界值问题,并使用并行算法.带有逐点控制约束的最优控制问题描述为:m i nuUa dJ(y,u)Ty(t,)yd(t,)Hdty(T,)yT()HTu(t,)Udt()约束条件同式().在O D E约束优化问题中,Ua d uU:uaui(t)ubaat,T,i,m;在P D E约束优化问题中,Ua d uL(U):uau(t,)ubaa(t,),T,i,m,其中,Ua d表示一个凸集,ua和ub表示两个常数.式()及其约束条件的唯一解的存在性可由标准理论证得,具体的细节参考文献.它的一阶充分第期刘欢:关于发展方程最优控制问题的时间并行算法研究必要最优性条件可写为:ytAy Buf,y(,)y()ptAp(ydy),p(,T)y(,T)yTT(uBp,vu)U,vUa d()通过引入关于控制约束的拉格朗日乘子U(在O D E约束条件下)或L(U)(在P D E约束条件下),式()的最后一个不等式可写为:uBpm a x(,c(uub)m i n(,c(uua),c给定(u,)可以定义积极集A、A和非积极集I如下:A (x,t)(,T):c(u(x,t)ub(x,t),cA (x,t)(,T):c(u(x,t)ua(x,t),cA AA;I Ac其中,Ac表示A在(,T)中的补集.式()可以描述成如下的积极集形式:ytAyBuf,y(,)y()ptAp(ydy),p(,T)y(,T)yT uBpo nI;uubo nA,uuao nA()半光滑牛顿法众所周知,半光滑牛顿算法等价于原始对偶积极集方法,假设有逼近解(ym,um,pm,m),则对于任意的c可以定义积极集或非积极集为:Am (x,t)(,T):c(u(x,t)ub(x,t),c()Am (x,t)(,T):c(u(x,t)ua(x,t),c()Am AmAm;Im(Am)c()半光滑牛顿迭代即是寻求如下线性系统ymtAymBumf,ym(,)y()pmtApm(ydym),pm(,T)ym(,T)yT ummBpmmo nIm;umubo nAm,umuao nAm()的解(ym,um,pm,m).采用时间并行算法求解式().在后面的讨论中,为了简化记号,省略式()中的m,则式()具有与式()相同的形式,但Am和Im是先验已知的(简记为A和I).半光滑牛顿时间并行算法与算法类似,对式()采用向后欧拉离散格式(积极/非积极集是先验已知的),可得:YnYnAYnBUnfn,yyPnPnAPn(yndYn),PNYNyT UnnBPnno nIn;Unubo nAn,Unuao nAn()其中,n,N且Inx:(tn,x)I,Anx:(tn,x)A.系统()必须全局求解.令(Yn,Un,Pn,n)(Yn,Un,Pn,n),则对于k,转向在每个子区间tn,tn 上求解一个两点边界值问题的并行部分:金陵科技学院学报第 卷ytAyBuf,y(tn)YnkptAp(ydy),p(tn)Pnk uBpo nI;uubo nA,uuao nA()其中,积极集和非积极集限制在区域tn,tn 上.对于n,N,设式()的解(y,p)在时间节点tn,tn 上的值记为(ynk,pnk).则计算(Ynk,Pnk)和(ynk,pnk)的差值同式().且Sy,SNpyNkYNk.有了这些跳跃值,就可以求解粗糙网格上的修正方程:nynyAnyBnuSny,ynpnpAnp nySnp,NpNy nunBnpno nIn;nuo nAnAn()粗糙网格上的解更新为:Ynkynkny,n,N;Pnkpnknp,n,N()利用更新后的解则可进行下一步的迭代,即在每个子区间上求解式(),然后根据式()算出跳跃值,再求解粗糙网格上的修正方程式().对任意的t,T,当线性系统式()的解满足理想的精确度或者达到最大迭代次数,就可以根据子区间问题式()的解按照如下表达式ukuao nA;ukubo nA;ukBpo nI;kBp u()更新最优控制u和拉格朗日乘子.这就完成了一步半光滑牛顿迭代.将求解带有控制约束的最优控制问题的半光滑牛顿时间并行算法总结如下:算法对于控制约束问题的半光滑牛顿时间并行算法:对于每个t,T,给定初始猜测值(y,p,u,)和容忍度值,设置m.:对于每个t,T,根据式()和式()定义积极集Am、Am和非积极集Im.:l o o p:求解离散方程式()以获得初始解YnNn和PnNn.:l o o p:在每个子区间tn,tn,n,N的精细网格上求解两点边界值问题.:根据式()定义跳跃值Sny和Snp并求解修正方程式().:按照式()更新解YnkNn和PnkNn.:计算(Yk,Pk)和(Yk,Pk)的误差值,若误差值容忍值,则停机,否则令kk.:e n d l o o p:按照式()更新uKm a x 和Km a x,并令(um,m)(uKm a x,Km a x).:对于每个t,T,按照式()和式()更新积极集Am、Am和非积极集Im.:若AmAm,则停机,否则令mm.:e n d l o o p注:半光滑牛顿方法具有局部超线性收敛性质,可以在一个粗糙的网格上求解该问题以得到好的初始猜测值,然后在精细的网格上只需要几步半光滑牛顿迭代,即可得到原问题的解.求解两点边界值问题式(),只需要tn,tn 区间上的积极集和非积极集的信息,这意味着每个区间上的积极集存储可以分布在单个处理器上.第期刘欢:关于发展方程最优控制问题的时间并行算法研究 数值算例考虑一维带有控制约束的线性二次抛物最优控制问题如下:m i nuUa dT(yyd)dxdtTudxdt()s t ytyfui n(,Tyo n(,Ty(t)yi n()其中,Ua d uL(L):u(t,)aa(t,),T.令T且,可得精确解为yets i n(x),p(e et)s i n(x),um i n,m a x ,p并计算相应的f和yd.把用算法求解无约束最优控制问题的解作为半光滑牛顿时间并行算法的初始猜测,采用半光滑牛顿时间并行算法求解带有控制约束的最优控制问题.对于粗糙网格和精细网格上的时间剖分和空间离散,将时间区域(,T 分割成N个小区间,步长为tN,将每个子区间ti,ti(i,N)继续分割成M个小区间且步长为 tMN.考虑关于时间区域剖分的时间并行算法的收敛性,令MN且进行一次并行迭代(k),收敛结果记录在表中.从表可以看出实验结果可以达到阶收敛性.另外,收敛性可以通过增加并行迭代次数来改进.表当MN且迭代次(即k)时状态变量和共轭变量的误差NMyyhLyyhLr a t epphLpphLr a t e e e e e e e e e e e e e e e 结语本文针对发展型微分方程线性二次最优控制问题和带有逐点控制约束的线性二次最优控制问题的数值求解提出了一种新的时间并行算法.实验结果表明,该算法利用牛顿法的快速收敛性和时间上的并行性显著提高了计算效率.如何将该算法推广到更复杂的控制问题(如具有非二次代价泛函或状态约束的最优控制问题)或二阶发展方程的最优控制问题,仍然是一个具有挑战性的课题.参考文献:KHO S R AV IH,Z AK E R IE,X I E WF,e t a l A d a p t i v em u l t i t r a c k e ro p t i m i z a t i o na l g o r i t h mf o rg l o b a l o p t i m i z a t i o np r o b l e m s:e m p h a s i so na p p l i c a t i o n s i nc h e m i c a l e n g i n e e r i n gJ E n g i n e e r i n gw i t hC o m p u t e r s,:H I N Z E M,P I NNAU R,U L B R I CH M,e ta l O p t i m i z a t i o nw i t hP D Ec o n s t r a i n t sM Am s t e r d a m:K l u w e rA c a d e m i cP u b,L E I N EWE B E RDB,B AU E RI,B O C K H G,e t a l A ne f f i c i e n tm u l t i p l es h o o t i n gb a s e dr e d u c e dS Q Ps t r a t e g yf o r l a r g e s c a l ed y n a m i cp r o c e s so p t i m i z a t i o n P a r t:t h e o r e t i c a la s p e c t sJ C o m p u t e r s&C h e m i c a lE n g i n e e r i n g,():KA Z EM I D EHK O R D IM A O p t i m a l c o n t r o l o f s y s t e m sg o v e r n e db yp a r t i a l d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n sw i t h i n t e g r a l i n e q u a l i 金陵科技学院学报第 卷t yc o n s t r a i n t sJ N o n l i n e a rA n a l y s i s:T h e o r y,M e t h o d s&A p p l i c a t i o n s,():T R L T Z S CHF,S P R E K E L SJ O p t i m a l c o n t r o l o fp a r t i a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s:t h e o r y,m e t h o d s,a n da p p l i c a t i o n sMP r o v i d e n c e,RI:Am e r i c a nM a t h e m a t i c a lS o c i e t y,B R I T Z E LME I E RA,G E R D T SM An o n s m o o t hN e w t o nm e t h o d f o r l i n e a rm o d e l p r e d i c t i v e c o n t r o l i nt r a c k i n gt a s k s f o ram o b i l er o b o tw i t ho b s t a c l ea v o i d a n c eJ I E E EC o n t r o lS y s t e m sL e t t e r,():H I N T E RM L L E R M,I T OK,KUN I S CH K T h ep r i m a l d u a l a c t i v es e t s t r a t e g ya sas e m i s m o o t hN e w t o nm e t h o dJS I AMJ o u r n a l o nO p t i m i z a t i o n,():KUN I S CH K,L UXL O p t i m a lc o n t r o l f o re l l i p t i cs y s t e m sw i t hp o i n t w i s ee u c l i d e a nn o r mc o n s t r a i n t so nt h ec o n t r o l sJ M a t h e m a t i c a lP r o g r a mm i n g,():KUN I S CH K,R S CH A P r i m a l d u a l a c t i v e s e t s t r a t e g y f o r ag e n e r a l c l a s so f c o n s t r a i n e do p t i m a l c o n t r o l p r o b l e m sJS I AMJ o u r n a l o nO p t i m i z a t i o n,():H I N T E RM L L E R M,U L B R I CH M A m e s h i n d e p e n d e n c er e s u l t f o rs e m i s m o o t hN e w t o nm e t h o d sJ M a t h e m a t i c a lP r o g r a mm i n g,():I T OK,KUN I S CH K L a g r a n g em u l t i p l i e ra p p r o a c ht ov a r i a t i o n a l p r o b l e m sa n da p p l i c a t i o n sM P h i l a d e l p h i aP A:S o c i e t yf o r I n d u s t r i a l a n dA p p l i e dM a t h e m a t i c s,G ON G W,H I N Z E M,Z HOUZJ S p a c e t i m ef i n i t ee l e m e n ta p p r o x i m a t i o no fp a r a b o l i co p t i m a l c o n t r o lp r o b l e m sJJ o u r n a l o fN u m e r i c a lM a t h e m a t i c s,():N E I T Z E LI,P R F E R TU,S L AW I GT O ns o l v i n gp a r a b o l i co p t i m a l c o n t r o lp r o b l e m sb yu s i n gs p a c e t i m ed i s c r e t i z a t i o nE B/O L()h t t p s:/w ww r e s e a r c h g a t e n e t/p u b l i c a t i o n/B E R G G R E N M,G L OW I N S K IR,L I ON SJ Ac o m p u t a t i o n a l a p p r o a c ht oc o n t r o l l a b i l i t y i s s u e s f o r f l o w r e l a t e dm o d e l s():p o i n t w i s ec o n t r o lo ft h ev i s c o u sb u r g e r se q u a t i o nJ I n t e r n a t i o n a lJ o u r n a lo fC o m p u t a t i o n a lF l u i dD y n a m i c s,():G R I EWANKA A c h i e v i n gl o g a r i t h m i cg r o w t ho f t e m p o r a la n ds p a t i a lc o m p l e x i t yi nr e v e r s ea u t o m a t i cd i f f e r e n t i a t i o nJ O p t i m i z a t i o nM e t h o d sa n dS o f t w a r e,:ME I D N E RD,V E X L E RB A d a p t i v es p a c e t i m ef i n i t ee l e m e n tm e t h o d sf o rp a r a b o l i co p t i m i z a t i o np r o b l e m sJ S I AMJ o u r n a l o nC o n t r o l a n dO p t i m i z a t i o n,():HA D AMA R DJ,MO R S EP L e c t u r e so nC a u c h y sp r o b l e mi n l i n e a rp a r t i a l d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n sJ T h eM a t h e m a t i c a lG a z e t t e,():L I ON SJL,MA D AYY,TUR I N I C IG R s o l u t i o nd E D Pp a ru nS c h m ae nt e m p sp a r a r e lJ C o m p t e sR e n d u sd e l A c a d m i ed e sS c i e n c e s S e r i e s M a t h e m a t i c s,():C A R R A R OT,G E I G E R M,R ANNA CHE RR I n d i r e c tm u l t i p l es h o o t i n gf o rn o n l i n e a rp a r a b o l i co p t i m a l c o n t r o lp r o b l e m sw i t hc o n t r o l c o n s t r a i n t sJ S I AMJ o u r n a l o nS c i e n t i f i cC o m p u t i n g,():A A U L B R I CHS G e n e r a l i z e dS Q Pm e t h o d sw i t h“p a r a r e a l”t i m e d o m a i nd e c o m p o s i t i o n f o r t i m e d e p e n d e n tP D E c o n s t r a i n e do p t i m i z a t i o nJ C o m p u t e rS y s t e m sS c i e n c ea n dE n g i n e e r i n g,:L E NHA R TS O p t i m a l c o n t r o l t h e o r yf o r i n f i n i t ed i m e n s i o n a l s y s t e m sJ I E E ET r a n s a c t i o n so nA u t o m a t i cC o n t r o l,():L I U WB,YANNN Ap o s t e r i o r i e r r o r e s t i m a t e s f o r o p t i m a l c o n t r o l p r o b l e m sg o v e r n e db yp a r a b o l i c e q u a t i o n sJ N u m e r i s c h eM a t h e m a t i k,:A P E LT,F L A I GTG C r a n k N i c o l s o ns c h e m e s f o r o p t i m a l c o n t r o l p r o b l e m sw i t he v o l u t i o ne q u a t i o n sJ S I AMJ o u r n a l o nN u m e r i c a lA n a l y s i s,():(责任编辑:谭彩霞湛江)