关注图形结构,挖掘隐含模型——以“一线三垂直”模型探究为例.pdf

投稿邮箱院数学教学通讯 2023 年 9 月（中旬）作者简介院朱来娟（1979），本科学历，一级教师，从事初中数学教学研究工作.几何模型是对图形特殊结构、特征的提取与重组，模型中的结论是图形本质特性的体现，合理利用模型可有效提升解题效率，因此探究解题时有必要关注其中的隐含模型.下面对一道2022年中考几何真题进行探究.试题探究试题（2022年扬州市中考数学卷第36题）如图1所示，在吟ABC中，蚁BAC=90毅，蚁C=60毅，点D在BC边上由点C向点B运动（不与点B，C重合），过点D作DE彝AD，交射线AB于点E.图1BDCEA（1）分别探索以下两种特殊情形时线段AE与BE的数量关系，并说明理由：淤点E在线段AB的延长线上且BE=BD；于点E在线段AB上且EB=ED.（2）若AB=6.淤当DEAD=3 姨2时，求AE的长；于直接写出运动过程中线段AE长度的最小值.解析（1）该问探索AE与BE之间的数量关系袁 要基于设定条件进行推导.淤 在 吟ABC 中，蚁BAC=90毅，蚁C=60毅，则蚁ABC=30毅.因为BE=BD，所以蚁BED=蚁BDE=12蚁ABC=15毅，蚁BDA=90毅 原 蚁BDE=75毅.在吟ABD 中，蚁BAD=180毅 原 蚁ABD 原蚁BDA=75毅.所以AB=BD=BE.所以AE=2BE.于当点E在线段AB上时袁如图2所示袁因为EB=ED，所以蚁EBD=蚁EDB=30毅，蚁AED=60毅.在 Rt吟ADE 中，蚁EAD=30毅，则AE=2ED.所以AE=2BE.（2）该问设定AB=6，分别设问求AE的长袁可结合具体图形分析.图2BDCEA淤分别过点A，E作BC的垂线袁垂 足 分 别 为 H，G，则 蚁EGD=蚁DHA=90毅，如图3所示.图3BDCEAGH分析可知蚁GED+蚁GDE=90毅，又因蚁HDA+蚁GDE=90毅，可推得蚁GED=蚁HDA，于是可证吟EGD易吟DHA.设 DE=3 姨a，AD=2a，则AE=DE2+AD2姨=7 姨a，BE=6 原7 姨a.在Rt吟ABC中，蚁ABC=30毅，AB=6，则AC=AB3 姨=23 姨，BC=关注图形结构，挖掘隐含模型以“一线三垂直”模型探究为例朱来娟江苏省苏州市吴中区光福中学215159摘要几何综合题中往往隐含了重要的模型，合理利用模型可简化解题过程，降低思维难度.“一线三垂直”模型在解题中十分常见，其模型结论是串联线段、角度条件的关键.文章结合实例全面呈现模型探究的过程.关键词几何模型；一线三垂直；相似；全等 试题研究86投稿邮箱院数学教学通讯2023 年 9 月（中旬）试题研究87投稿邮箱院数学教学通讯 2023 年 9 月（中旬）10 姨.所以在Rt吟BAD中，tan蚁CDA=ABAD=10 姨10 姨=1.（3）根据题设要求探寻符合条件的点C位置袁再利用复合图形的性质袁求出对应点C的坐标即可袁过程略.满足条件的点C有三个袁坐标分别为（3原17 姨，17 姨原2），（原1原17 姨，原2原17 姨），（-2，1）.评析 上述第（2）问中吟ADE和吟BAO构成了野一线三垂直冶相似模型袁该问题属于含隐性模型的问题袁即原图形中模型结构不全袁需要通过作辅助线来加以补全.因此利用模型解题时需要分两步院第一步袁首先提取模型袁 确定模型是否完整袁若不完整则需补全曰第二步袁根据模型特性推导结论袁结合题设条件解题.2.野一线三垂直冶全等模型的应用例2如图7所示，四边形ABCD是正方形，点E在边AD上，吟BEF是以E为直角顶点的等腰直角三角形，EF，BF分别交CD于点M和点N，过点F作AD的垂线交AD的延长线于点G.连接DF，请解答下列问题：（1）蚁FDG=_；（2）若DE=1，DF=22 姨，则MN=_.图7BDCEAGFMN解析（1）因为四边形ABCD是正方形袁所以蚁A=90毅，AB=AD.因为FG彝AG，所以蚁G=蚁A=90毅.又知吟BEF是等腰直角三角形袁所以BE=FE，蚁BEF=90毅.分析可知袁在图7中，蚁G=蚁A=蚁BEF=90毅，BE=FE，构成了野一线三垂直冶全等模型.由模型特性可得吟ABE艺吟GEF，所以AE=FG，AB=GE.在正方形ABCD中，AB=AD，则AD=GE，进一步分析可得AE=DG=FG，所以蚁FDG=蚁DFG=45毅.（2）渊简答冤过点F作FH彝CD，垂足为H，如图8所示.由平行线分线段成比例得DEFH=DMMH，解得DM=23，MH=43.由吟FHN易吟BCN，得FHBC=NHNC=23，可求得NH=25.所以MN=MH+NH=2615.图8BDCEAGFMHN评析 上述第（1）问中吟ABE和吟GEF构成了野一线三垂直冶全等模型袁模型中BE=EF，使得两三角形在野相似冶基础上具有了野全等冶特性.需要注意的是袁野一线三垂直冶 全等模型中所夹三角形必然为等腰直角三角形袁 因此探究解析时要关注其中的特殊三角形.教学思考上述基于考题开展模型挖掘，探究了“一线三垂直”的两类模型，其探究及应用过程有一定的参考价值，下面基于教学实践进一步思考.1.关注图形结构袁生成几何模型几何问题中往往融合了一定的数学模型，合理利用模型可以提升解题效率，但教材中一般不会针对性讲解，需要独立探究，总结生成模型.因此教学中，教师要合理安排教学环节，引导学生亲历模型探究的过程，从复合图形中提取模型，总结模型结论.一般可分四大环节：环节一，初识模型，引导学生结合所学证明例题；环节二，感知结构，让学生对比例题中的图形结构，初步感知模型；环节三，总结模型，引导学生总结模型的结构特征，生成系统的几何模型；环节四，强化应用，结合实例开展模型应用，让学生掌握模型应用的方法.2.适度拓展模型袁生成模型关联几何模型是基于几何特性的提炼与凝结，一些模型之间具有一定的关联，通过设定条件可以实现相互转化.以上述“一线三直角”模型为例，将模型中的“直角”替换为“一般角”时，则转化为常规的“一线三等角”模型；“一线三直角”相似模型中增加“一组对边相等”则可以生成“一线三直角”全等模型.因此模型教学中教师还应注重拓展，可从“关联模型”和“类似模型”两大视角进行：在“关联模型”探究中进行知识链串接，引导学生延伸模型；在“类似模型”探究中，引导学生进行模型延伸，总结类型模型，如相似模型中的“A”形相似模型、“8”形相似模型.通过模型拓展探究，让学生深入、全面地了解模型.3.注重实际应用袁总结应用技巧开展模型探究的最终目的是为了应用解题，因此引导学生掌握模型应用的方法技巧是重点.教学中可从三个方面来引导：一是证明模型特性，让学生掌握模型原理，充分理解模型，强化认识；二是结合实例，即结合各类实际问题，引导学生亲历模型解题过程，从“读题审题”“模型提取”“特性应用”三个环节感知应用；三是细节讲解，通常“模型提取”环节有一定的难度，需从复合图形中提取模型，尤其是隐形模型需要补全，教师要指导学生掌握补全的方法，整体把握模型，局部作图补全，从而使学生充分掌握模型应用的方法.试题研究88