感悟数学思想 积累探究经验——以一节探究活动课为例.pdf

-中学数学教学参考（中旬）-292023年第6 期解题探索感悟数学思想积累探究经验一以一节探究活动课为例贾庆丰（浙江省义乌市稠江中学）陈建新（浙江省义乌市北苑中学）摘要：针对与三角形中线有关的几何问题，以算理归纳、猜想验证、类比推广为主要环节，整体建构教材中“探究活动”的教学形态，并从“学生困惑中捕捉思维节点、变式拓展中搭建思维台阶、开放教学中拓宽思维空间”等角度分析数学探究活动的教学价值。关键词：数学思想；核心素养；探究活动文章编号：10 0 2-2 17 1(2 0 2 3)6-0 0 2 9-0 3数学教学中，帮助学生学会“悟其渔识”比“授之以渔”更重要。只会教“解”，是在模仿中解题，是“鱼”“渔”之成分；而会教“学解”，是在解题中创造，是带有个人创见的“渔识”。从会教“解”到会教“学解”的知能完善过程将是颇费心力的攀登1。教师可通过问题的选择与设计、活动的规划与开展，引导学生掌握知识和技能，同时，经历“大胆猜想，小心求证，类比推广”等过程，感悟数学思想，积累活动经验。笔者有幸在市级研训中开设了一节题为“一个教材探究活动的再探究”几何拓展课，现将本节课的教学过程及反思予以呈现，与读者交流。1学情分析本节课是学生学完“三角形三线”后安排的一节拓展课，以三角形中线问题为逻辑起点，逐步弱化条件，形成中点向三等分点、四等分点，以及（m十1)等分点、（n 十1）等分点过渡的推广链，探究一般化的结论。刚升人八年级，大部分学生可以根据图形特点进行简单猜想和几何计算，具备一定的逻辑推理能力。也有部分学生比较深刻地理解了图形的概念，能够根据图形的性质推导结论，具备进行稍微复杂计算的能力 2 2教学目标根据以上学生的几何思维水平和对“三角形初问题1：（浙教版教材八年级上册第9页探究活动）如图1，点D,E,F分别是ABC三条边的中点。设ABC的面积为S，求D E F 的面积。你可以这样考虑：步”的已有认知，笔者对探究活动进行了分解，设计层层递进的问题链引导学生边探究、边提炼，基于此确定教学目标如下：(1)能将线段比与三角形的面积比进行相互转化，并理解算理；(2)在探究中感悟化归、方程、数形结合及从特殊到一般等思想方法；（3)经历“猜想一求证一推广”的探究过程，归纳数学探究的一般策略，积累探究经验，增强探究意识。3教学过程3.1原题呈现，理清算理，感悟思想AFBCE图1（1）联结AE，A E C的面积是多少？（2）由第（1）问，你能求出ECF的面积吗？A D F 和DBE的面积呢？教学分析：学生经历运用“三角形中线平分三角形面积”求解的过程，快速进人学习状态，为后续探究做知识、方法和意识上的准备。*浙江省义乌市教育科学规划课题“多元智能理论指导下的初中学生个性化作业设计研究”（课题编号：YW2023190）的阶段性研究成果。掉，问题又该如何求解？条件去追问：如果将ABC的面积是6 0”这巡视并指点）SAABDSAACD，AOESAABE可得出SABCE-解题探索2023年第6 期30中学数学教学参考（中旬）问题2：如图2，在ABC中，点D在BC上，点O在AD上，如果SAAOB=3,SA O C=1,(1)S B O D =2,AODO(2)SAD=追问：以上解法的依据是什么？SAACAOSAAOBAO教学分析：此题可由SAcODDOSBOD解得DO32难度不大，学生可独立完成，其给出的解2AOD3题依据是等高的两个三角形面积比等于底之比。教师还要从算理的角度引导学生思考。如图3，ABC和A B C 的面积比1aih1S12arhi，即S21a2h2a2h22两个三角形的面积比等于底和高的积之比。存在特殊情况等底（高）的两个三角形面积之比等于高一(底)之比。只有理清这一算理，学生才能举一反三。该环节将中点问题进行了变式，帮助学生感悟面积比和线段比相互转化的数学思想，也为后续推广与探究做铺垫。3.2大胆猜想，小心求证，积累经验问题3：如图4，ABC的中线AD和BE交于点O,联结CO并延长，交AB于点F，对点F的位置你有何猜想？（由于是猜想，学生热情很高，一致回答“F为AB的中点”）追问1：你能证明吗？（学生若有所思，但都没有形成思路）追问2：结合前面的解题经验，若你的猜想正确，只需说明什么呢？（学生答：只需证明SA O F=S B O F）教学分析：伟大的发现离不开大胆的猜想，大胆猜想是数学探究的起点。因此，这里鼓励学生大胆猜想以激发其求知欲。为了使问题更具指向性，需明确指出应考虑点F的位置。通过追问引ABDC图2AAhhzB4aDCBa2DC!(1)(2）图3SACOE=SABOD=SACOD,SAAOC=SABOC。再借助问题2 的解题经SAAOFSAAOC,从验，如图5，易得SABOFSABOC而较好地化解难点。问题5：如图6，已知ABC的面积是6 0，D，E 分别是BC和AC边上的点，BD=3CD，CE=2AE，联结AD,BE交于点O,联结CO并延长，交AB于点F。B F 和AF有什么数量关系？AEOBDC图4导学生探寻推理的基本思路，培养其严谨务实的研究习惯。子生保子推理的基本，音齐兵必谨务实的研究习惯。问题4：尝试寻找图4中面积相等的三角形。（学生独立思考后小组讨论，教师参与其中，并不断发问“为什么？”“还有吗？”）教学分析：师生讨论得出SA O F=S B O F 是探究的一个难点，于是教师引导学生尽可能多地找出图中面积相等的三角形，拓宽思路。该问题开放度高，起点低，又不失深度，梯度明显，因此采用合作学习的方式。在“独立思考一分组讨论一小组汇报一他组补充”的过程中，学生的思维被充分调动，通过合作依次AEGBDC图53.3类比推广，深入探究，掌握通法AECBD图6由于此问思维跨度较大，笔者给出以下启思性问题链。启思1：结合前面的解题经验，BF和AF可转化为哪两个三角形面积的数量关系？（学生答：BOF和AOF）启思2：与问题3 相比，本题多了什么条件？对你有什么启发？（学生答：ABC的面积是6 0，可用于计算各三角形的面积）启思3：试着用方程（组）求出图中各三角形的面积。我也将m=3，n=2 的情况进行了验证AF情况，结果是=1；问题5是m=2，n=3，得出BFBF因为问题3 就是m=n=1的mn（学生答：AFBF量关系，你是怎么想的？“BD=nCD,CE=mAE”,请猜猜BF和AF的数问题6:将问题5中“BD3CD,CE=2AE改为合的数学思想。SB O C这样既突破了难点，也渗透了方程和数形结DA O C3y+y+r=40,SABOFSA O F2+y=15,1=4，AF可得解得所以3V40y=9,BF一ODy，则导学生建立方程组求解。如设SAOE基础上增加了件（ABC的面积是6 0），这样可引接求出AOC和BOC的比值难度较大故笔者在原有点”改为“三等分点”“四等分点”，再让学生探究。此题直这里将问题的条件一般化，把“中度上离不开推广 3 教学分析#的发展在很大程.-中学数学教学参考（中旬）-312023年第6 期解题探索（学生答：只要设ABC的面积是S，同理可求解）教学分析：从特殊到一般是数学研究的重要思想。这里进一步弱化条件，突出问题的一般化，探究其普遍性的结论。此问可通过类比列出方程组，但涉及的未知量太多，不利于计算。实际上，类比迁移后11S,mn1m+1可得再求得SAAOCmmny+y+a=S,m+1S,SAic=(n+1)y=mn+n+1s1mnAFS,所以mn+n+iBFA O FAAOC本问采用猜一猜的设问，再次SABOFSABOCmn鼓励学生大胆猜想。由于问题难度和课堂时间有限等原因，笔者没有要求学生进行计算、推理，而采用留白的方式将课堂延伸至课外。以上学生采用了不完全归纳法得出结论，虽然不够严谨，却也是数学研究不可或缺的重要方法之一，而猜想、试错、验证本身就是数学探究活动的具体行为。4教学反思4.1捕捉思维节点，理性突围本节课的设计源于一位学生的质疑，在上“三角形三线”一课时，教材中有一道活动题：“通过折叠找出三角形各边的中点，作出三角形的三条中线，你发现了什么？”大部分学生都说三条中线交于一点，而有一位学生提出质疑，他认为不一定，作图过程中会出现一定误差。笔者町准这一思维节点，追问“如何进行推理呢？将问题抛回给这位学生，由此衍生出系列问题的探究，并在市级研训活动中作为研讨课呈现给同行，反响良好。4.2搭建思维台阶，问题导向学生在数学思维活动中，主要的表现形式为提出问题和解决问题 4。教师循序渐进地设计系统、连贯的问题链，能有效激发学生的探索兴趣，拓展其思维宽度。本节课按照“猜想一求证一推广”的架构，设计了“已知三角形两边的中点，猜想并说明另一边上的中点”“已知两边上点的位置，通过计算说明另一边上点的位置”和“猜想任意三角形三边上点的位置之间的内在关系”等问题，从特殊到一般，符合学生的认知规律。同时，力求让学生充分经历数学探究的过程，感悟数学思想，积累活动经验。4.3设置开放问题，自主探究本节课通过“你还有其他方法吗？“尝试寻找图中面积相等的三角形”“你有何猜想？”等简约而不简单的开放性问题，力求让每一位学生都相知有理、探之有味，达到“既见树木，又见森林”的效果。同时，相信学生，放手让其在自主、合作、探究、展示、评价中进行思维碰撞。这一过程中，知识的获得不是被动接受，而是主动获取的；教学活动不是枯燥乏味，而是充满乐趣的；学生思想不是封闭局限，而是开放延伸的。参考文献：1陆珺，胡晴颖.论数学解题教学的教学 J.数学教育学报，2 0 2 1,3 0（2）：55-6 0.2邢玉琢.基于范希尔理论七、八年级学生几何思维水平的调查研究 D.哈尔滨：哈尔滨师范大学，2 0 16.3朱华伟，张景中.论推广.数学通报，2 0 0 5，44（4）：55-57，2 8.4张乃达.问题：数学思维活动的载体.中学数学月刊，2009(3):10-12.