数学建模-微分方程.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,3.1,微分方程的几个简单实例,在许多实际问题中，当直接导出变量之间的函数关系较为困难，但导出包含未知函数的导数或微分的关系式较为容易时，可用建立微分方程模型的方法来研究该问题，,本节将通过一些最简单的实例来说明微分方程建模的一般方法。在连续变量问题的研究中，微分方程是十分常用的数学工具之一。,例,1,（理想单摆运动）建立理想单摆运动满足的微分方程，并得出理想单摆运动的周期公式。,从图,3-1,中不难看出，小球所受的合力为,mgsin,，,根据,牛顿第二定律,可得：,从而得出两阶微分方程：,（,3.1,）,这是理想单摆应满足的运动方程,（,3.1,）,是一个两阶非线性方程，不易求解。当,很小时，,sin,，,此时，可考察（,3.1,）的近似线性方程：,（,3.2,）,由此即可得出,（,3.2,）的解为,:,(,t,)=,0,cos,t,其中,当 时,(,t,)=0,故有,M,Q,P,mg,图,3-1,（,3.1,）,的近似方程,例,2,我方巡逻艇发现敌方潜水艇。与此同时敌方潜水艇也发现了我方巡逻艇，并迅速下潜逃逸。设两艇间距离为,60,哩，潜水艇最大航速为,30,节而巡逻艇最大航速为,60,节，问巡逻艇应如何追赶潜水艇。,这一问题属于对策问题，较为复杂。讨论以下简单情形：,敌潜艇发现自己目标已暴露后，立即下潜，并沿着直,线方向全速逃逸，逃逸方向我方不知。,设巡逻艇在,A,处发现位于,B,处的潜水艇，取极坐标，以,B,为极点，,BA,为极轴，设巡逻艇追赶路径在此极坐标下的方程为,r,=,r,(,),，,见图,3-2,。,B,A,A1,dr,ds,d,图3-2,由题意，故,ds,=2,dr,图,3-2,可看出，,故有,:,即,:,（,3.3,）,解为：,（,3.4,）,先使自己到极点的距离等于潜艇到极点的距离然后按,（,3.4,）,对数螺线航行，即可追上潜艇。,追赶方法如下：,例,3,一个半径为,R,cm,的半球形容器内开始时盛满了水，但由于其底部一个面积为,S,cm,2,的小孔在,t,=0,时刻被打开，水被不断放出。问：容器中的水被放完总共需要多少时间？,解,:,以容器的底部,O,点为 原点，取坐标系如图,3.3,所示。令,h,(,t,),为,t,时刻容器中水的高度，现建立,h,(,t,),满足的微分方程。,设水从小孔流出的速度为,v,(,t,),，,由力学定律，在不计水的内部磨擦力和表面张力的假定下，有：,因体积守衡，又可得：,易见：,故有：,即：,这是可分离变量的一阶微分方程，得,R,x,y,S,O,图,3-3,h,r,例,4,一根长度为,l,的金属杆被水平地夹在两端垂直的支架上，一端的温度恒为,T,1,，,另一端温度恒为,T,2,，（,T,1,、,T,2,为常数，,T,1,T,2,）。,金属杆横截面积为,A,，,截面的边界长度为,B,，,它完全暴露在空气中，空气温度为,T,3,，（,T,3,0,，即,x,(,t,),单调增加。,由,x,(,t,0,)=0,，,可以得出,=1,，此时，。,当,t,0,，,x,(,t,),单调增加，而当,t,t,0,时，,x,(,t,),k,（,药物未吸收完前，输入速率通常总大于分解与排泄速率），但也有例外的可能（与药物性质及机体对该药物的吸收、分解能力有关）。当,k,1,k,时，体内药物量均很小，这种情况在医学上被称为触发翻转（,flip-flop,）。当,k,1,=,k,时,，对固定的,t,，令,k,k,1,取极限（应用罗比达法则），可得出在这种情况下的血药浓度为：,图,3-9,给出了上述三种情况下体内血药浓度的变化曲线。容易看出，快速静脉注射能使血药浓度立即达到峰值，常用于急救等紧急情况；口服、肌注与点滴也有一定的差异，主要表现在血药浓度的峰值出现在不同的时刻，血药的有效浓度保持时间也不尽相同，（注：为达到治疗目的，血药浓度应达到某一有效浓度，并使之维持一特定的时间长度）。,图,3-9,我们已求得三种常见给药方式下的血药浓度,C,(,t,),，,当然也容易求得血药浓度的峰值及出现峰值的时间，因而，也不难根据不同疾病的治疗要求找出最佳治疗方案。,新药品、新疫苗在临床应用前必须经过较长时间的基础研究、小量试制、中间试验、专业机构评审及临床研究。当一种新药品、新疫苗研制出来后，研究人员必须用大量实验搞清它是否真的有用，如何使用才能发挥最大效用，提供给医生治病时参考。在实验中研究人员要测定模型中的各种参数，搞清血药浓度的变化规律，根据疾病的特点找出最佳治疗方案（包括给药方式、最佳剂量、给药间隔时间及给药次数等），这些研究与试验据估计最少也需要数年时间。在,2003,年春夏之交的,SARS,（,非典）流行期内，有些人希望医药部门能赶快拿出一种能治疗,SARS,的良药或预防,SARS,的有效疫苗来，但这只能是一种空想。,SARS,的突如其来，形成了,“,外行不懂、内行陌生,”,的情况。国内权威机构一度曾认为这是,“,衣原体,”,引起的肺炎，可以用抗生素控制和治疗。但事实上，抗生素类药物对,SARS,的控制与治疗丝毫不起作用。以钟南山院士为首的广东省专家并不迷信权威，坚持认为,SARS,是病毒感染引起的肺炎，两个月后（,4,月,16,日），世界卫生组织正式确认,SARS,是冠状病毒的一个变种引起的非典型性肺炎（注：这种确认并非是由权威机构定义的，而是经对猩猩的多次实验证实的）。发现病原体尚且如此不易，要攻克难关，找到治疗、预防的办法当然就更困难了，企图几个月解决问题注定只能是一种不切实际的幻想。,上述研究是将机体看成一个均匀分布的同质单元，故被称单房室模型，但机体事实上并不是这样。药物进入血液，通过血液循环药物被带到身体的各个部位，又通过交换进入各个器官。因此，要建立更接近实际情况的数学模型就必须正视机体部位之间的差异及相互之间的关联关系，这就需要多房室系统模型。,I,II,k,12,k,21,两房室系统,图,3-10,图,3-10,表示的是一种常见的两房室模型，其间的,k,12,表示由室,I,渗透到室,II,的变化率前的系数，而,k,21,则表示由室,II,返回室,I,的变化率前的系数，它们刻划了两室间的内在联系，其值应当用实验测定，使之尽可能地接近实际情况。,当差异较大的部分较多时，可以类似建立多房室系统,，即,N,房室系统,3.5,传染病模型,传染病是人类的大敌，通过疾病传播过程中若干重要因素之间的联系建立微分方程加以讨论，研究传染病流行的规律并找出控制疾病流行的方法显然是一件十分有意义的工作。在本节中，我们将主要用多房室系统的观点来看待传染病的流行，并建立起相应的多房室模型。,医生们发现，在一个民族或地区，当某种传染病流传时，波及到的总人数大体上保持为一个常数。即既非所有人都会得病也非毫无规律，两次流行（同种疾病）的波及人数不会相差太大。如何解释这一现象呢？试用建模方法来加以证明。,问题的提出：,设某地区共有,n,+1,人，最初时刻共有,i,人得病，,t,时刻已感染（,infective,）,的病人数为,i,(,t,),，,假定每一已感染者在单位时间内将疾病传播给,k,个人（,k,称为该疾病的传染强度），且设此疾病既不导致死亡也不会康复,模型,1,此模型即,Malthus,模型，它大体上反映了传染病流行初期的病人增长情况，在医学上有一定的参考价值，但随着时间的推移，将越来越偏离实际情况。,已感染者与尚未感染者之间存在着明显的区别，有必要将人群划分成已感染者与尚未感染的易感染，对每一类中的个体则不加任何区分，来建立两房室系统。,则可导出：,故可得：,（,3.15,）,模型,2,记,t,时刻的病人数与易感染人数,（,susceptible,）,分别为,i,(,t,),与,s,(,t,),，,初始时刻的病人数为,i,。,根据病人不死也不会康复的假设及（竞争项）统计筹算律，,其中：,解得：,（,3.17,）,可得：,（,3.16,）,统计结果显示，,(,3.17,),预报结果比,(,3.15,),更接近实际情况。医学上称曲线 为传染病曲线，并称,最大值时刻,t,1,为此传染病的流行高峰。,令：,得：,此值与传染病的实际高峰期非常接近，可用作医学上的预报公式。,模型,2,仍有不足之处，它无法解释医生们发现的现象，且当时间趋与无穷时，模型预测最终所有人都得病，与实际情况不符。,为了使模型更精确，有必要再将人群细分，建立多房室系统,infective,recovered,susceptible,k,l,（,3.18,）,l,称为传染病恢复系数,求解过程如下：,对（,3,）式求导，由（,1,）、（,2,）得：,解,得：,记：,则：,将人群划分为三类（见右图）：易感染者、已感染者和已恢复者（,recovered,）。,分别记,t,时刻的三类人数为,s,(,t,),、,i,(,t,),和,r,(,t,),，,则可建立下面的三房室模型：,模型,3,infective,recovered,susceptible,k,l,由,(1),式可得：,从而解得：,积分得：,（,3.19,）,不难验证，当,t,+,时，,r,(,t,),趋向于一个常数，从而可以解释医生们发现的现象。,为揭示产生上述现象的原因（,3.18,）中的第（,1,）式改写成：,其中 通常是一个与疾病种类有关的,较大的常数。,下面对,进行讨论，请参见右图,如果 ，,则有 ，此疾病在该地区根本流行不起来。,如果 ，则开始时 ，,i,(,t,),单增。但在,i,(,t,),增加的同时，,伴随地有,s,(,t,),单减。当,s,(,t,),减少到小于等于 时，,i,(,t,),开始减小，直至此疾病在该地区消失。,鉴于在本模型中的作用，被医生们称为此疾病在该地区的阀值。的引入解释了为什么此疾病没有波及到该地区的所有人。,图,3-14,综上所述，模型,3,指出了传染病的以下特征：,（,1,）当人群中有人得了某种传染病时，此疾病并不一定流传，仅当易受感染的人数与超过阀值时，疾病才会流传起来。,（,2,）疾病并非因缺少易感染者而停止传播，相反，是因为缺少传播者才停止传播的，否则将导致所有人得病。,（,3,）种群不可能因为某种传染病而绝灭。,模型检验：,医疗机构一般依据,r,(,t,),来统计疾病的波及人数，从广义上理解，,r,(,t,),为,t,时刻已就医而被隔离的人数，是康复还是死亡对模型并无影响。,及：,注意到：,可得,：,（,3.20,）,通常情况下，传染病波及的人数占总人数的百分比不会太大，故 一般是小量。利用泰勒公式展开取前三项，有：,代入（,3.20,）得近似方程：,积分得：,其中：,这里双曲正切函数,：,而：,对,r,(,t,),求导,：,（,3.21,）,曲线,在医学上被称为疾病传染曲线。,图,3-14,（,a,）,给出了（,3.21,）,式曲线的图形，可用医疗单位每天实际登录数进行比较拟合得最优曲线。,图,3-14,（,a,）,图,3-14,（,b,）,记录了,1905,年下半年至,1906,年上半年印度孟买瘟疫大流行期间每周死亡人数，不难看出两者有较好的一致性。,