北京专用高考数学一轮复习第十一章复数算法推理与证明第四节直接证明与间接证明.ppt

,总纲目录,教材研读,考点突破,栏目索引,总纲目录,教材研读,考点突破,栏目索引,第四节直接证明与间接证明,总纲目录,教材研读,1.,直接证明,考点突破,2.,间接证明,考点二分析法的应用,考点一综合法的应用,考点三反证法的应用,1.直接证明,内容,综合法,分析法,定义,利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论,成立,从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的,充分,条件,直至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止,实质,由因导果,执果索因,框图表示,P,Q,1,Q,1,Q,2,Q,2,Q,3,Q,n,Q,Q,P,1,P,1,P,2,P,2,P,3,得到一个明显,成立的条件,文字语言,因为,所以,或由,得,要证,只需证,即证,教材研读,2.间接证明,间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法,反证法是一种常用的间,接证明方法.,(1)反证法的定义:,假设原命题,不成立,(即在原命题的条件下,结论,不成立),经过正确的推理,最后得出,矛盾,因此说明假设错误,从,而证明,原命题成立,的证明方法.,(2)用反证法证明的一般步骤,:(i)反设假设命题的结论不成立;(ii)归,谬根据假设进行推理,直到推出矛盾为止;(iii)结论断言假设不,成立,从而肯定原命题的结论成立.,1.命题“对任意角,cos,4,-sin,4,=cos 2,”的证明:“cos,4,-sin,4,=(cos,2,-,sin,2,)(cos,2,+sin,2,)=cos,2,-sin,2,=cos 2,”过程应用了,(),A.分析法B.综合法,C.综合法、分析法综合使用D.间接证明法,答案,B因为证明过程是“从左往右”,即由条件,结论,故选B.,B,2.用分析法证明时出现:欲使,A,B,只需,C,0,ab,0,b,0,a,0,b,0,即,a,与,b,同号,故均能使,+,2,成立.,3,5.已知点,A,n,(,n,a,n,)为函数,y,=,图象上的点,B,n,(,n,b,n,)为函数,y,=,x,图象上的,点,其中,n,N,*,设,c,n,=,a,n,-,b,n,则,c,n,与,c,n,+1,的大小关系为,.,答案,c,n,c,n,+1,解析,由题意知,a,n,=,b,n,=,n,c,n,=,-,n,=,.显然,c,n,随着,n,的增大而减小,c,n,c,n,+1,.,c,n,c,n,+1,典例1,已知函数,f,(,x,)=(,x,+1)ln,x,-,x,+1.,(1)若,=0,求,f,(,x,)的最大值;,(2)若曲线,y,=,f,(,x,)在点(1,f,(1)处的切线与直线,x,+,y,+1=0垂直,证明:,0.,考点一综合法的应用,考点突破,解析,(1),f,(,x,)的定义域为(0,+,),当,=0时,f,(,x,)=ln,x,-,x,+1.,则,f,(,x,)=,-1,令,f,(,x,)=0,解得,x,=1.,当0,x,0,f,(,x,)在(0,1)上是增函数;,当,x,1时,f,(,x,)0,f,(,x,)在(1,+,)上是减函数.,故,f,(,x,)在,x,=1处取得最大值,为,f,(1)=0.,(2)证明:由题意可得,f,(,x,)=,ln,x,+,-1.,由题设条件,得,f,(1)=1,即,=1,f,(,x,)=(,x,+1)ln,x,-,x,+1.,由(1)知,ln,x,-,x,+10,且,x,1).,当0,x,1时,f,(,x,)=(,x,+1)ln,x,-,x,+1=,x,ln,x,+(ln,x,-,x,+1)0.,当,x,1时,f,(,x,)=ln,x,+(,x,ln,x,-,x,+1)=ln,x,-,x,0,0.,综上可知,0.,方法技巧,用综合法证题是从已知条件出发,逐步推向结论,综合法的适用范围:(1),定义明确的问题,如判定函数的单调性、奇偶性;(2)已知条件明确,并且,容易通过分析和应用条件逐步逼近结论的题型,在使用综合法证明时,易出现的错误是因果关系不明确,逻辑表达混乱.,1-1,设,f,(,x,)=,ax,2,+,bx,+,c,(,a,0),若函数,f,(,x,+1)与,f,(,x,)的图象关于,y,轴对称,求,证:,f,为偶函数.,证明,由函数,f,(,x,+1)与,f,(,x,)的图象关于,y,轴对称,可知,f,(,x,+1)=,f,(-,x,).将,x,换成,x,-,代入上式可得,f,=,f,即,f,=,f,由偶函数,的定义可知,f,为偶函数.,典例2,已知函数,f,(,x,)=3,x,-2,x,求证:对于任意的,x,1,x,2,R,均有,f,.,证明,要证明,f,即证明,-2,因此只要证明,-(,x,1,+,x,2,),-(,x,1,+,x,2,),即证明,因此只要证明,由于,x,1,x,2,R,所以,0,0,由基本不等式知,成立,故原结论成立.,考点二分析法的应用,方法技巧,(1)分析法采用逆向思维,当已知条件与结论之间的联系不够明显、直,接,或证明过程中所需要用的知识不太明确、具体时,往往采用分析法,特别是含有根号、绝对值的等式或不等式,从正面不易推导时,常考虑,用分析法.(2)应用分析法的关键在于需保证分析过程的每一步都是可,逆的,它的常用书面表达形式为“要证,只需要证,”或“,”.注意用分析法证明时,一定要严格按照格式书写.,2-1,已知,m,0,a,b,R,求证:,.,证明,m,0,1+,m,0,要证原不等式成立,只需证明(,a,+,mb,),2,(1+,m,)(,a,2,+,mb,2,),即证,m,(,a,2,-2,ab,+,b,2,),0,即证(,a,-,b,),2,0,而(,a,-,b,),2,0显然成立,故原不等式得证.,典例3,设,a,n,是公比为,q,的等比数列.,(1)推导,a,n,的前,n,项和公式;,(2)设,q,1,求证:数列,a,n,+1不是等比数列.,考点三反证法的应用,解析,(1)设,a,n,的前,n,项和为,S,n,当,q,=1时,S,n,=,a,1,+,a,1,+,+,a,1,=,na,1,;,当,q,1时,S,n,=,a,1,+,a,1,q,+,a,1,q,2,+,+,a,1,q,n,-1,qS,n,=,a,1,q,+,a,1,q,2,+,+,a,1,q,n,-得,(1-,q,),S,n,=,a,1,-,a,1,q,n,S,n,=,S,n,=,(2)证明:假设,a,n,+1是等比数列,则对任意的,k,N,*,(,a,k,+1,+1),2,=(,a,k,+1)(,a,k,+2,+1),+2,a,k,+1,+1=,a,k,a,k,+2,+,a,k,+,a,k,+2,+1,q,2,k,+2,a,1,q,k,=,a,1,q,k,-1,a,1,q,k,+1,+,a,1,q,k,-1,+,a,1,q,k,+1,a,1,0,2,q,k,=,q,k,-1,+,q,k,+1,.,q,0,q,2,-2,q,+1=0,q,=1,这与已知矛盾.,假设不成立,故,a,n,+1不是等比数列.,易错警示,用反证法证明不等式要把握三点:(1)必须先否定结论,即肯定结论的反,面;(2)必须从结论的反面出发进行推理,即应把结论的反面作为条件,且,必须依据这一条件进行推证;(3)推导出的矛盾可能多种多样,有的与已,知条件矛盾,有的与假设矛盾,有的与基本事实矛盾等,且推导出的矛盾,必须是明显的.,3-1,已知数列,a,n,的前,n,项和为,S,n,且满足,a,n,+,S,n,=2.,(1)求数列,a,n,的通项公式;,(2)求证:数列,a,n,中不存在三项按原来顺序成等差数列.,解析,(1),n,=1时,a,1,+,S,1,=2,a,1,=2,则,a,1,=1.,又,a,n,+,S,n,=2,所以,a,n,+1,+,S,n,+1,=2,两式相减得,a,n,+1,=,a,n,所以,a,n,是首项为1,公比为,的等比数列,所以,a,n,=,.,(2)证明:假设数列,a,n,中存在三项按原来顺序成等差数列,记为,a,p,+1,a,q,+1,a,r,+1,(,p,q,r,且,p,q,r,N,*,),则2,=,+,所以22,r,-,q,=2,r,-,p,+1.,(*),又因为,p,q,r,p,q,r,N,*,所以,r,-,q,r,-,p,N,*,所以(*)式左边是偶数,右边是奇数,等式不成立.,所以假设不成立,原命题得证.,