全国通用版高考数学二轮复习专题六函数与导数第4讲导数的热点问题.ppt

,剖析题型 提炼方法,实验解读,构建知识网络 强化答题语句,探究高考 明确考向,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第,4,讲导数的热点问题,专题六函数与导数,板块三专题突破核心考点,考情考向分析,利用导数探求函数的极值、最值是函数的基本问题，高考中常与函数零点、方程根及不等式相结合，难度较大,.,热点分类突破,真题押题精练,内容索引,热点分类突破,用导数证明不等式是导数的应用之一，可以间接考查用导数判定函数的单调性或求函数的最值，以及构造函数解题的能力,.,热点一利用导数证明不等式,解答,例,1,(2018,全国,),已知函数,f,(,x,),a,e,x,ln,x,1.,(1),设,x,2,是,f,(,x,),的极值点，求,a,，并求,f,(,x,),的单调区间；,当,0,x,2,时，,f,(,x,)2,时，,f,(,x,)0.,所以,f,(,x,),的单调递增区间为,(2,，,),，单调递减区间为,(0,2).,证明,当,0,x,1,时，,g,(,x,)1,时，,g,(,x,)0.,所以,x,1,是,g,(,x,),的最小值点,.,故当,x,0,时，,g,(,x,),g,(1),0.,用导数证明不等式的方法,(1),利用单调性：若,f,(,x,),在,a,，,b,上是增函数，则,x,a,，,b,，则,f,(,a,),f,(,x,),f,(,b,),；,对,x,1,，,x,2,a,，,b,，且,x,1,x,2,，则,f,(,x,1,),f,(,x,2,).,对于减函数有类似结论,.,(2),利用最值：若,f,(,x,),在某个范围,D,内有最大值,M,(,或最小值,m,),，则对,x,D,，有,f,(,x,),M,(,或,f,(,x,),m,).,(3),证明,f,(,x,),g,(,x,),，可构造函数,F,(,x,),f,(,x,),g,(,x,),，证明,F,(,x,)0.,思维升华,解答,(1),求曲线,y,f,(,x,),在点,(0,，,1),处的切线方程；,f,(0),2,，,f,(0),1.,因此曲线,y,f,(,x,),在点,(0,，,1),处的切线方程是,2,x,y,1,0.,证明,(2),证明：当,a,1,时，,f,(,x,),e,0.,证明,当,a,1,时，,f,(,x,),e,(,x,2,x,1,e,x,1,)e,x,.,令,g,(,x,),x,2,x,1,e,x,1,，则,g,(,x,),2,x,1,e,x,1,.,当,x,1,时，,g,(,x,),1,时，,g,(,x,)0,，,g,(,x,),单调递增,.,所以,g,(,x,),g,(,1),0.,因此,f,(,x,),e,0.,热点二利用导数讨论方程根的个数,方程的根、函数的零点、函数图象与,x,轴的交点的横坐标是三个等价的概念，解决这类问题可以通过函数的单调性、极值与最值，画出函数图象的走势，通过数形结合思想直观求解,.,解答,(1),当,k,0,，解得,x,0,，,令,f,(,x,)0,，解得,x,0,，,所以,f,(,x,),的单调递减区间是,(,，,0),，,单调递增区间是,(0,，,),，,当,0,k,0,，解得,x,0,，,令,f,(,x,)0,，解得,ln,k,x,0,，,单调递减区间是,(,ln,k,0).,解答,(2),当,k,0,时，讨论函数,f,(,x,),的零点个数,.,解,f,(0),1,，,又,f,(,x,),在,0,，,),上单调递增，,所以函数,f,(,x,),在,0,，,),上只有一个零点,.,在区间,(,，,0),中，,又,f,(,x,),在,(,，,0),上单调递减，,故,f,(,x,),在,(,，,0),上也只有一个零点，,所以函数,f,(,x,),在定义域,(,，,),上有两个零点；,当,k,0,时，,f,(,x,),(,x,1)e,x,在单调递增区间,0,，,),内，只有,f,(1),0.,而在区间,(,，,0),内，,f,(,x,)0,，,即,f,(,x,),在此区间内无零点,.,所以函数,f,(,x,),在定义域,(,，,),上只有唯一的零点,.,综上所述，当,k,1,时，,可得,g,(,x,),在,(,，,x,1,),上单调递增，在,x,1,，,x,2,上单调递减，在,(,x,2,，,),上单调递增,.,所以,g,(,x,),的极大值为,g,(,x,),的极小值为,若,g,(,x,2,),0,，则由,g,(,x,),的单调性可知函数,y,g,(,x,),至多有两个零点，不合题意,.,若,g,(,x,2,)27,，也就是,|,d,|,，,从而由,g,(,x,),的单调性，可知函数,y,g,(,x,),在区间,(,2|,d,|,，,x,1,),，,(,x,1,，,x,2,),，,(,x,2,，,|,d,|),内各有一个零点，符合题意,.,生活中的实际问题受某些主要变量的制约，解决生活中的优化问题就是把制约问题的主要变量找出来，建立目标问题即关于这个变量的函数，然后通过研究这个函数的性质，从而找到变量在什么情况下可以达到目标最优,.,热点三利用导数解决生活中的优化问题,解答,例,3,罗源滨海新城建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距,m,米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为,32,万元，距离为,x,米的相邻两墩之间的桥面工程费用为,(2,),x,万元,.,假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为,y,万元,.,(1),试写出,y,关于,x,的函数关系式；,解,设需新建,n,个桥墩，,解答,(2),当,m,96,米时，需新建多少个桥墩才能使余下工程的费用,y,最小？,令,f,(,x,),0,，得,64,，所以,x,16.,当,0,x,16,时，,f,(,x,)0,，,f,(,x,),在区间,(0,16),内为减函数；,当,16,x,0,，,f,(,x,),在区间,(16,96),内为增函数，,所以,f,(,x,),在,x,16,处取得最小值，,答,需新建,5,个桥墩才能使余下工程的费用,y,最小,.,利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤,(1),建模：分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式,y,f,(,x,).,(2),求导：求函数的导数,f,(,x,),，解方程,f,(,x,),0.,(3),求最值：比较函数在区间端点和使,f,(,x,),0,的点的函数值的大小，最大,(,小,),者为最大,(,小,),值,.,(4),作答：回归实际问题作答,.,思维升华,解答,跟踪演练,3,图,1,是某种称为,“,凹槽,”,的机械部件的示意图，图,2,是凹槽的横截面,(,阴影部分,),示意图，其中四边形,ABCD,是矩形，弧,CmD,是半圆，凹槽的横截面的周长为,4.,若凹槽的强度,T,等于横截面的面积,S,与边,AB,的乘积，设,AB,2,x,，,BC,y,.,(1),写出,y,关于,x,的函数表达式，,并指出,x,的取值范围；,解,易知半圆,CmD,的半径为,x,，,故半圆,CmD,的弧长为,x,.,所以,4,2,x,2,y,x,，,解答,(2),求当,x,取何值时，凹槽的强度最大,.,8,x,2,(4,3),x,3,.,令,T,16,x,3(4,3),x,2,0,，,真题押题精练,(2017,全国,),已知函数,f,(,x,),a,e,2,x,(,a,2)e,x,x,.,(1),讨论,f,(,x,),的单调性；,真题体验,解答,解,f,(,x,),的定义域为,(,，,),，,f,(,x,),2,a,e,2,x,(,a,2)e,x,1,(,a,e,x,1)(2e,x,1).,(i),若,a,0,，则,f,(,x,)0,，则由,f,(,x,),0,，得,x,ln,a,.,当,x,(,，,ln,a,),时，,f,(,x,)0.,所以,f,(,x,),在,(,，,ln,a,),上单调递减，在,(,ln,a,，,),上单调递增,.,(2),若,f,(,x,),有两个零点，求,a,的取值范围,.,解答,解,(i),若,a,0,，由,(1),知，,f,(,x,),至多有一个零点,.,(ii),若,a,0,，由,(1),知，当,x,ln,a,时，,即,f,(,ln,a,)0,，故,f,(,x,),没有零点；,当,a,1,时，由于,f,(,ln,a,),0,，故,f,(,x,),只有一个零点；,又,f,(,2),a,e,4,(,a,2)e,2,2,2e,2,20,，,故,f,(,x,),在,(,，,ln,a,),上有一个零点,.,因此,f,(,x,),在,(,ln,a,，,),上有一个零点,.,综上，,a,的取值范围为,(0,1).,则,f,(,n,0,),(,a,a,2),n,0,n,0,n,0,0.,押题预测,已知,f,(,x,),a,sin,x,，,g,(,x,),ln,x,，其中,a,R,，,y,g,1,(,x,),是,y,g,(,x,),的反函数,.,(1),若,0,a,1,，证明：函数,G,(,x,),f,(1,x,),g,(,x,),在区间,(0,1),上是增函数；,押题依据,有关导数的综合应用试题多考查导数的几何意义、导数与函数的单调性、导数与不等式等基础知识和基本方法，考查分类整合思想、转化与化归思想等数学思想方法,.,本题的命制正是根据这个要求进行的，全面考查了考生综合求解问题的能力,.,证明,押题依据,证明,由题意知,G,(,x,),a,sin,(1,x,),ln,x,，,a,cos,(1,x,)0,，,故函数,G,(,x,),在区间,(0,1),上是增函数,.,证明,证明,由,(1),知，当,a,1,时，,G,(,x,),sin(1,x,),ln,x,在,(0,1),上单调递增,.,sin(1,x,),ln,x,0,，,m,0,恒成立，求满足条件的最小整数,b,的值,.,解,由对任意的,x,0,，,m,0,恒成立，,即当,x,(0,，,),时，,F,(,x,),min,0.,又设,h,(,x,),F,(,x,),e,x,2,mx,2,，,h,(,x,),e,x,2,m,，,m,0,，,h,(,x,),单调递增，又,h,(0)0,，,则必然存在,x,0,(0,1),，使得,h,(,x,0,),0,，,F,(,x,),在,(0,，,x,0,),上单调递减，在,(,x,0,，,),上单调递增，,b,2,x,0,2,又,m,0,，则,x,0,(0,，,ln,2),，,m,(,x,),在,(0,，,ln,2),上单调递增，,m,(,x,),在,(0,，,ln,2),上单调递增，,m,(,x,),m,(,ln,2),2ln 2,，,b,2ln 2,，又,b,为整数，,最小整数,b,的值为,2.,