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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,二次函数,一、二次函数的重要性,二次函数是一类十分重要的最基本的初等函数，也是初中数学的主要内容之一，,是近几年来中考压轴题的热点,1.,在中学数学中起着承上启下的作用。是学习高等数学极为重要的知识点，,2.,围绕二次函数能全面考查对函数的分析,3.,体现了数学学科的内在联系和知识综合运用,.,作用：,通过对二次函数的学习，使我们能进一步理解函数思想和函数方法，提高分析问题、解决问题的能力,题型：,填空、选择与解答题，其中以计算型综合解答题居多,.,分值：,陕西中考中，选择题,10,（,3,分），解答题,24,（,10,分），,比例,10.8%,。,考查内容：,定义式，解析式,(,求参数,),，分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义。,能用数形结合，归纳等数学思想，根据二次函数的表达式（图像）确定二次的开口方向，对称轴和顶点的坐标，并获得更多信息。,综合运用方程，几何图形，函数等知识点解决问题。,关键：,正确掌握二次函数的基本性质,考 点,要 求,2.,二次函数的概念,II,3,用待定系数法求二次函数的解析式,II,4,画二次函数的图像,II,5,二次函数的图像及基本性质,III,“,考纲,”,要求,1,理解二次函数的概念，掌握二次函数及其图象的基本性质，其特征量求法及其应用。,2.,代数式运算及变形，一元二次方程解法及性质应用,3.,应用函数思想解决实际问题。,4.,应用数形结合思想解决综合性问题,.,二、目标：,三,.,二次函数的重点考查方向：,1.,二次函数的基本性质,（,1,）函数图象的位置与系数符号的关系,（,2,）二次函数的平移、对称,2.,二次函数的综合应用,（,1,）建立函数模型，解决实际应用问题，最值,（,2,）点的存在性,1.,函数图象位置与系数符号的关系,（,1,）判断,a,、,b,、,c,的符号；,（,2,）与,a,、,b,有关，对称轴及直线,x=1,和,x=-1,（,3,）与,x,值相关的关系式的判定,（,x=1,，,x=-1,，,x=2,，,x=-2,时）,（,4,）与判别式有关的判定,（,5,）,a,值范围的判定,（,6,）根据增减性比较函数值得大小,x,y,O,例,1,（,04,年陕西）,10.,二次函数,y,=,ax,2,+,bx+c,的图象如图所示，则下列关于,a,、,b,、,c,间的关系判断正确的是,【】,A.,ab,0 B,.,bc,0 D.,a-,b+c,0,例,2,（,11,雅安）,已知二次函数,y=ax,2,+bx+c,的图象如图，其称轴,x=-1,，给出下列结果,b,2,4ac,；,abc,0,；,2a+b=0,；,a+b+c,0,；,a-,b+c,0,，则正确的结论是（）,A,、,B,、,C,、,D,、,例,3,（,2011,广西）,已知：二次函数,y=ax,2,+bx+c,（,a0,）的图象如图所示，下列结论中：,abc,0,；,2a+b,0,；,a+b,m,（,am+b,）（,m1,的实数）；（,a+c,）,2,b,2,；,a,1,其中正确的项是（）,A,、,B,、,C,、,D,、,例,4,.,二次函数,y=x,2,-6x+c,的图像过,则,的大小关系是,（）,2.,二次函数的平移、对称,三大变换：平移，翻折，旋转,关于对称：五种情况,关于,x,轴、,y,轴、原点、顶点、点,m,n,对称,平移、翻折、旋转中，开口大小未变，只是位置或开口方向发生改变,.,关键：确定变换前后顶点坐标及开口方向,例,5,（,2011,滨州）,抛物线,y=,（,x+2,）,2,-3,可以由抛物线,y=x,2,平移得到，则下列平移过程正确的是（）,A,、先向左平移,2,个单位，再向上平移,3,个单位,B,、先向左平移,2,个单位，再向下平移,3,个单位,C,、先向右平移,2,个单位，再向下平移,3,个单位,D,、先向右平移,2,个单位，再向上平移,3,个单位,例,6,（,2007,吉林）,如图，抛物线,y,1,=-x,2,+2,向右平移,1,个单位得到抛物线,y,2,，回答下列问题：（,1,）抛物线,y,2,的顶点坐标,_,（,2,）阴影部分的面积,S=_,（,3,）若再将抛物线,y,2,绕原点,O,旋转,180,得到抛物线,y,3,，求抛物线,y,3,的解析式,例,7,（,2011,桂林）,在平面直角坐标系中，将抛物线,y=x,2,+2x+3,绕着它与,y,轴的交点旋转,180,，所得抛物线的解析式是（）,y=-（x+1）,2,+2 B.y=-（x-1,）,2,+4,C.y=-（x-1）,2,+2 D.y=-（x+1）,2,+4,例,8,（,2006,湖州）,已知二次函数,y=x,2,-bx+1,（,-1,b,1,），在,b,从,-1,变化到,1,的过程中，它所对应的抛物线的位置也随之变化，下列关于抛物线的移动方向描述正确的是（）,A,、先往左上方移动，再往左下方移动,B,、先往左下方移动，再往左上方移动,C,、先往右上方移动，再往右下方移动,D,、先往右下方移动，再往右上方移动,例,9,(2010,陕西,)10.,将抛物线,C,：,y=x,+3x-10,，将抛物线,C,平移到,C,。若两条抛物线,C,C,关于直线,x=1,对称，则下列平移方法中正确的是（,）,A.,将抛物线,C,向右平移,个单位,B.,将抛物线,C,向右平移,3,个单位,C.,将抛物线,C,向右平移,5,个单位,D.,将抛物线,C,向右平移,6,个单位,二次函数对称性和平移的应用,例,10,（,11,陕西）,24,如图，二次函数,的图像经过,AOC,的三个顶点，其中,A(-1,，,m),B(n,n,),（,1,）求,A,、,B,的坐标,（,2,）在坐标平面上找点,C,，使以,A,、,O,、,B,、,C,为顶点的四边形是平行四边形，这样的点,C,有几个？,（,3,）能否将抛物线,平移后经过,A,、,C,两点，若能求出平移后经过,A,、,C,两点的一条抛物线的解析式；若不能，说明理由。,例,11,.26,（本题满分,13,分）如图，已知抛物线,C,1,：,的顶点为,P,，与,x,轴相交于,A,、,B,两点（点,A,在点,B,的左边），点,B,的横坐标是,1,（,1,）求,P,点坐标及,a,的值；（,4,分）,（,2,）如图（,1,），抛物线,C,2,与抛物线,C,1,关于,x,轴对称，将抛物线,C,2,向右平移，平移后的抛物线记为,C,3,，,C,3,的顶点为,M,，当点,P,、,M,关于点,B,成中心对称时，求,C,3,的解析式；（,4,分）,（,3,）如图（,2,），点,Q,是,x,轴正半轴上一点，将抛物线,C,1,绕点,Q,旋转,180,后得到抛物线,C,4,抛物线,C,4,的顶点为,N,，与,x,轴相交于,E,、,F,两点（点,E,在点,F,的左边），当以点,P,、,N,、,F,为顶点的三角形是直角三角形时，求点,Q,的坐标（,5,分）,y,x,A,O,B,P,M,图,1,C,1,C,2,C,3,y,x,A,O,B,P,N,图,2,C,1,C,4,Q,E,F,有关二次函数表示方法之一：列表形式,（,1,）由列表判断函数类型,（,2,）由列表判断二次函数的特征,（,3,）利用列表法求方程的近似根,例,12,（,2011.,泰安）,若二次函数,的部分,x,与,y,的对应值如下表：,x,7,6,5,4,3,2,y,27,13,3,3,5,3,则当,x=1,时，,y,的值为（）,A.5 B.-3 C.-13 D.-27,例,13,.10.,(09,陕西,),根据下表中的二次函数,y=ax,2,+bx+c,的自变量,x,与函数,y,的对应值，可判断二次函数的图象与,x,轴（）,x,-1,0,1,2,y,-1,-2,A,只有一个交点,B,有两个交点，且它们分别在,y,轴两侧,C,有两个交点，且它们均在,y,轴同侧,D.,无交点,3.,二此函数的实际应用，最值,（,1,）数学建模的思想,（,2,）最大利润、最大面积,-,配方法,注意：检验结果的合理性,例,14,、某居民小区要在一块一边靠墙,(,墙长,15m),的空地上修建一个矩形花园,ABCD,，花园的一边靠墙，另三边用总长为,40m,的栅栏围成若设花园的宽为,x(m,),，花园的面积为,y(m,),(1),求,y,与,x,之间的函数关系，并写出自变量的取值范围；,（,2,）根据（,1,）中求得的函数关系式，描述其图象的变化趋势；并结合题意判断当,x,取何值时，花园的面积最大，最大面积是多少？,例,15,（,2011.,株洲）,某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为,x,轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线,（单位：米）的,一部分，则水喷出的最大高度,是,_,米,.,抛物线性问题，建立直角坐标系；,例,16,（,2006,年,武汉）,连接着汉口集家咀的江汉三桥,(,晴川桥,),，是一座下承式钢管混凝土系杆拱桥。它犹如一道美丽的彩虹跨越汉江，是江城武汉的一道靓丽景观。,桥的拱肋,ACB,视为抛物线的一部分,，桥面,(,视为水平的,),与拱肋用垂直于桥面的系杆连接，相邻系杆之间的间距均为,5,米,(,不考虑系杆的粗细,),，拱肋的跨度,AB,为,280,米，距离拱肋的右端,70,米处的系杆,EF,的长度为,42,米。以,AB,所在直线为,x,轴，抛物线的对称轴为,y,轴建立如图所示的平面直角坐标系。,（,1,）求抛物线的解析式；,（,2,）正中间系杆,OC,的长度是多少米？是否存在一根系杆的长度恰好是,OC,长度的一半？请说明理由,.,例,17,（,2011,温州）,已知二次函数的图象（,0 x3,）如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是（）,A,、有最小值,0,，有最大值,3,B,、有最小值,-1,，有最大值,0,C,、有最小值,-1,，有最大值,3 D,、有最小值,-1,，无最大值,最值：注意区域性,例,18,（西工大检测）,在二次函数,y=x,2,-bx+3,中，当,-1x1,时，求函数值,y,的最大值和最小值。,4.,点的存在性,-,动点问题,由动点问题产生的三角形、特殊四边形、线段的和与差，所产生几何图形的面积,特征：,先求函数的解析式，然后在函数的图象上探求符合几何条件的点,思路,：,（,1,）找出满足条件的点,（,2,）探求若该点满足条件，则根据其几何图形的性质，应满足那些数量或位置关系,（,3,）选取并设出自变量，,建立新的解析式通过一定的数量转换方式将动点变量与所求建立联系,根据数量关系，列出式子，进行求解,.,自变量的选取：,a.,线段长,b.,运动时间,c.,横坐标,例,19,（,09,临沂）,如图，抛物线经过,A(4,0),B(1,0),C(0,，,-2),三,点,（,1,）求出抛物线的解析式；,（,2,）,P,是抛物线上一动点，过,P,作,PMx,轴，垂足为,M,，是否存在,P,点，使得以,A,，,P,，,M,为顶点的三角形与,OAC,相似,？若存在，请求出符合条件的点,P,的坐标；若不存在，请说明理由；,（,3,）在直线,AC,上方的抛物线上有一点,D,，使得,DCA,的面积最大，求出点,D,的坐标,O,x,y,A,B,C,4,1,例,20,.24,（,2010,年陕西）,如图，在平面直角坐标系中，抛物线,A,（,-1,0,），,B,（,3,0,）,，,C,（,0,，,-1,）三点。,（,1,）求该抛物线的表达式；,（,2,）点,Q,在,y,轴上，点,P,在抛物线上，要使,Q,、,P,、,A,、,B,为顶点的四边形是平行四边形求所有满足条件点,P,的坐标,例,21,24,（,11,陕西,）,如图，二次函数,的图像经过,AOC,的三个顶点，其中,A(-1,，,m),B(n,n,),（,1,）求,A,、,B,的坐标,（,2,）在坐标平面上找点,C,，使以,A,、,O,、,B,、,C,为顶点的四边形是平行四边形，这样的点,C,有几个？,（,3,）能否将抛物线,平移后经过,A,、,C,两点，若能求出平,移后经过,A,、,C,两点的一条抛物线的解析式；若不能，说明理由。,例,22,（,2011,兰州,28,）,如图所示，在平面直角坐标系,X0Y,中，正方形,OABC,的边长为,2cm,，点,A,、,C,分别在,y,轴的负半轴和,x,轴的正半轴上，抛物线,y=ax,2,+bx+c,经过点,A,、,B,和,D,（,4,，,）,.,（,1,）求抛物线的表达式,.,（,2,）如果点,P,由点,A,出发沿,AB,边以,2cm/s,的速度向点,B,运动，点,Q,由点,C,出发沿,CB,边以,1cm/s,的速度向点,B,运动,当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设,S=PQ,2,(cm,2,).,试求出,S,与运动时间,t,之间的函数关系式，并写出,t,的取值范围；,当,S,取,时，在抛物线上是否存在点,R,，使得以点,P,、,B,、,Q,、,R,为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出,R,点的坐标；如果不存在，请说明理由,.,（,3,）在抛物线的对称轴上求点,M,，使得,M,到,D,、,A,的距离之差最大，求出点,M,的坐标,.,例,23,（,2011,福州,22,）已知，如图，二次函数,y=ax,2,+2ax,3a(a0),图象的顶点为,H,，与,x,轴交于,A,、,B,两点（,B,在,A,点右侧），点,H,、,B,关于直线,l,：,对称,（,1,）求,A,、,B,两点坐标，并证明点,A,在直线,l,上；,（,2,）求二次函数解析式；,（,3,）过点,B,作直线,BKAH,交直线,l,于,K,点，,M,、,N,分别为直线,AH,和直线,l,上的两个动点，连接,HN,、,NM,、,MK,，求,HN+NM+MK,和的最小值,例,24,（,10,年杭州）,在平面直角坐标系,xOy,中，抛物线的解析式是,y=,，点,C,的坐标为,(4,，,0),，平行四边形,OABC,的顶点,A,，,B,在抛物线上，,AB,与,y,轴交于点,M,，已知点,Q,(,x,，,y,),在抛物线上，点,P,(,t,，,0),在,x,轴上,.,(1),写出点,M,的坐标；,(2),当四边形,CMQP,是以,MQ,，,PC,为腰的梯形时,.,求,t,关于,x,的函数解析式和自,变量,x,的取值范围；,当梯形,CMQP,的两底的长度之,比为,1,：,2,时，求,t,的值,.,有关几何图形,面积问题,思路,：,（,1,）分析图形的成因,（,2,）识别图形的形状,（,3,）找出图形的计算方法,注意：,（,1,）一般以坐标轴上线段或以与轴平行的线段为底边,.,（,2,）三边均不在坐标轴上的三角形及不规则多边形需把图形采用割或补的方法分解,.,（,3,）,三角形面积,=,铅垂高度,水平宽度,四边形面积,=,铅垂高度,水平宽度,例,25,（,09,陕西）（本题满分,10,分）如图，在平面直角坐标系中，,OB OA,且,OB=2OA,，点,A,的坐标是（,-1,2,）。,（,1,）求点,B,的坐标；,（,2,）求过点,A,、,O,、,B,的抛物线的表达式；,（,3,）连接,AB,在,(2),中的抛物线上求出点,P,，使得,S,ABP,=S,ABO,y,O,B,A,x,1,1,例,26,(2011.,大连,26),如图,15,，抛物线,y,ax,2,+,bx,+,c,经过,A,（,1,，,0,）、,B,（,3,，,0,）、,C,（,0,，,3,）三点，对称轴与抛物线相交于点,P,、与直线,BC,相交于点,M,，连接,PB,求该抛物线的解析式；,抛物线上是否存在一点,Q,，使,QMB,与,PMB,的面积相等，若存在，求点,Q,的坐标；若不存在，说明理由；,在第一象限、对称轴右侧的抛物线上是否存在一点,R,，使,RPM,与,RMB,的面积相等，若存在，直接写出点,R,的坐标；若不存在，说明理由。,例,27,（本小题满分,13,分）,如图，抛物线经过,A,（,4,0,）、,B,（,1,0,）、,C,（,0,，,-2,）,三点,（,1,）求出抛物线的解析式；,（,2,）,P,是抛物线上一动点，过,P,作,PMx,轴，垂足为,M,，是否存在,P,点，使得以,A,，,P,，,M,为顶点的三角形,OAC,与,相似？若存在，请求出符合条件的点,P,的坐标；若不存在，请说明理由；,（,3,）在直线,AC,上方的抛物线上有一点,D,，使得,DCA,的面积最大，求出点,D,的坐标,.,O,x,y,A,B,C,4,1,例,28,如图,在平面直角坐标系,xoy,中,抛物线,与,x,轴的交点为点,A,与,y,轴的交点为点,B,过点,B,作,x,轴的平行线,BC,交抛物线于点,C,连结,AC,现有两动点,P,Q,分别从,A,C,两点同时出发,点,P,以每秒,4,个单位的速度沿,OA,向终点,A,移动,点,Q,以每秒,1,个单位的速度沿,CB,向点,B,移动,点,P,停止运动时,点,Q,也同时停止运动,线段,OC,PQ,相交于点,D,过点,D,作,DEOA,交,CA,于点,E,射线,QE,交,x,轴于点,F,设动点,P,Q,移动的时间为,t(,单位,:,秒,),(1),求,A,B,C,三点的坐标和抛物线的顶点的坐标,;(2),当,t,为何值时,四边形,PQCA,为平行四边形,?,请写出计算过程,;(3),当,0,t,时,PQF,的面积是否总为定值,?,若是,求出此定值,若不是,请说明理由,;(4),当,t,为何值时,PQF,为等腰三角形,?,请写出解答过程,2011,年，关注了近年来的压轴题的几个热点：,1,、动点探索：,动点问题是历年来,“,数形结合,”,的典型题，这类型问题探索性强，能够比较清楚地考查出学生对初中数学知识的综合运用的能力。,2,、分类讨论：,学生的思维的深刻性得到了锻炼，通过分类讨论可以看出学生的思维是否周密。运算的精确性受到了挑战，在短短,2,小时的考场上，能够成功地拿下压轴还是有一定难度的。,3,、甄别性强：,正因为时间紧、任务重、运算量大，这样才能让优秀的学生脱颖而出、鹤立鸡群。中考试题区分度得到了彰显。,二次函数应用问题时应该先将问题分类讲解,1.,应该先将问题分类讲解，以降低难度，便于学生理解。,对于二次函数的分类没必要分的很细，老师可根据自己学生的具体情况进行分类。例如有的问题可分为运动问题、利润问题、面积问题等，,2.,再分别学习完这些类型后，及时总结，找到共性，从而让学生对这一部分的知识有更深的理解。,开始分类学习综合问题有利于学生掌握规律，形成清晰的思路。,谢谢！,
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