泛函和变分简介.ppt

,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,文档来源于网络，文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不当之处，请联系本人或网站删除。,变分法的优点:,(2),变分法易于,实现数学的统一化,因为一般而言，数学物理方程的定解问题都可以转化为变分问题尤其是前面介绍的斯特姆刘维尔本征值问题可转化为变分问题，变分法提供了施刘型本征值问题的本征函数系的完备性等结论的证明；,(1)变分法在物理上可以,归纳定律,因为几乎所有的自然定律都能用变分原理的形式予以表达；,(3),变分法,是解数学物理定解问题常用的近似方法，其,基本思想,是,把数学物理定解问题转化为变分问题,由直接解变分问题发展了一些近似解法，其中最有用的是,里茨（Ritz）法,由于里茨法中的试探函数的选取较为麻烦，计算系数矩阵也十分困难，随着计算机的展，又迅速发展了一种有限元法；,(4),变分法的应用,不仅在经典物理和工程技术域，而且在现代量子场论，现代控制理论和现代信息理论等高技术领域都有十分广泛的应用,有限差分法,：有限差分法把定解问题转化为代数方程，,然后通过电子计算机求定解问题的数值解,模拟法,：即用一定的物理模型来模拟所研究的定解问题，,而在模型上实测解的数值,变分法,是这些方法中最为重要和切实有效的方法，,已经广泛应用于科学研究和工程计算之中,变分法的基本概念,泛函,变分法研究的对象是,泛函,，泛函是函数概念的推广,为了说明泛函概念先看,2,个例题：,泛函通常以,积分形式,出现，比如上面描述的最速降线,落径问题的公式更为一般而又典型的泛函定义为,其中,称为,泛函的核,泛函的极值,变分法,对于不同的自变量函数,，与此相应的泛函,也有不同的数值找出一个确定的自变量函数,，使泛函,具有极值（极小或极大），这种泛函的极小值与极大,值统称为,泛函的极值,引入泛函的概念后，对于上述的最速降线问题变为泛函,的极小值问题物理学中常见的有光学,中的,费马(Fermat)原理,，分析力学中的,哈密顿(Hamiton)原理,等，都是泛函的极值问题,变分法,：所谓的变分法,就是求泛函极值的方法,泛函表示为一个自变量，一个函数及其一阶导数,的积分形式,泛函表示为一个自变量，一个函数及其一阶导数的积分形式，,即（17.1.2）,若考虑两端固定边界的泛函问题,：,积分是在区域内通过两点,的任意曲线进行的，其中,泛函中,为,由于,两端固定,，所以要求,，即,由(17.1.8)，有,（17.2.3）,式(17.2.3)的积分号下既有,，又有,，对第二项,应用分部积分法可使积分号下出现,(17.2.4),根据（17.2.2）,所以,再根据,（17.2.4）,故有,（17.2.5）,因为,并且,是任意的，所以,(17.2.6),上式(17.2.6)称为,欧拉（Euler）拉格朗日（Lagrange）,方程，简称为E-L方程,即为,不显含,，,故其E-L方程为（17.2.7）式,令,，故有,令,，分离变量得到,再令,，代入上式得到,即得到,此即为摆线的参数方程，积分常数可由初始位置,