工程制图与计算机绘图(西电版)第2章-投影法及点、-直线和平面的投影.ppt

单击此处编辑母版标题样式,第,2,章投影法及点、直线和平面的投影,第,2,章投影法及点、直线和平面的投影,2.1,投影法的基本知识,2.2,点的投影,2.3,直线的投影,2.4,平面的投影,2.1,投影法的基本知识,一、投影法,物体在光线照射下会产生影子,如图,2-1,所示。用几何方法分析这种自然现象,(,图,2-2),把光源,S,称为投射中心,光线称为投射线,得到影子的平面称为投影面,物体的影子称为投影。因此,要作出物体在投影面上的投影,实质上就是作出通过该物体的点、线、面的投射线与投影面的一系列交点和交线。这种按几何法将物体表示在平面上的方法,称为投影法。,图,2-1,投影现象,图,2-2,投影方法,图,2-3,平行投影,(1),斜投影法,:,投射方向与投影面倾斜,如图,2-3(,a,),所示。,(2),正投影法,:,投射方向与投影面垂直,如图,2-3(,b,),所示。正投影法主要用于绘制机械、电气、建筑和土木工程等图样。轴测投影,(,轴测图,),是平行投影的一种。轴测图立体感强，在工程中常用作辅助图样。本教材中反映点、线、面、体在空间投影情况的插图以及反映物体空间形状的插图等均采用轴测图。,三、平行投影的基本性质,1.,平行投影的不变性,(1),点的投影仍然是点。,(2),直线的投影一般仍是直线,如图,2-4,所示。直线上点的投影在直线的投影上，线段上的点分线段之比等于点的投影分线段投影之比,如图,2-4,中,。,(3),空间互相平行的直线,其投影仍互相平行,如图,2-5,所示,AB,CD,ab,cd,。,图,2-5,投影的平行性,(4),当线段或者平面平行于投影面时,其投影反映原线段的实长或原平面图形的实形。如图,2-6,所示,因为,AB,P,及,CDE,P,故,ab,=,AB,及,cde,CDE,。,图,2-6,投影的实形性,3.,类似性,当平面与投影面倾斜但不平行投射方向时,其投影具有类似性。如平面多边形的投影仍为同边数的多边形，平面上圆的投影为椭圆。,图,2-8,三投影面体系,三个互相垂直的平面构成三投影面体系，简称三面体系。三个投影面分别称为水平投影面,(H),、正立投影面,(V),和侧立投影面,(W),。相应的两投影面交线称为投影轴,三条投影轴的汇交点称为原点,如图,2-8,所示。如图,2-9(a),所示，在三投影面体系中,将第一角内空间点,A,向三个投影面上作正投影：,H,面上的投影用,a,表示，称为点的水平投影；,V,面上的投影用,a,表示,称为点的正面投影；,W,面上的投影用,a,表示,称为点的侧面投影。,图,2-9,点的三面投影,下面分析点在三投影面体系中的投影规律。由图,2-9(,a,),可知,自,A,向三投影面作投影,形成以点,A,为顶点的长方体。投影展开时,aaX,OX,、,aaX,OX,及,aaZ,OZ,、,aaZ,OZ,不变，另外，,aaX,=,aaZ,；或者在图,2-9(,b,),中,OaYH,=,OaYW,也不变。由此便可得出点在三投影面体系中的投影规律如下：,(1),点的正面投影和水平投影连线垂直于,OX,轴,即,aa,OX,。,(2),点的正面投影和侧面投影连线垂直于,OZ,轴,即,aa,OZ,。,(3),点的水平投影到,OX,轴的距离,等于点的侧面投影到,OZ,轴的距离,即,aaX,=,aaZ,或者,OaYH,=,OaYW,。以上是空间任一点的三面投影所必须保持的基本关系。作图时为使,aaX,=,aaZ,可以原点为圆心作圆弧,或者自原点引,45,辅助线,或作等腰直角三角形，如图,2-9(,c,),所示，但同一个图的画法应一致。,二、点的投影与直角坐标的关系,若将三投影面体系当做笛卡尔直角坐标系,则投影面体系的原点相当于坐标原点,投影轴相当于坐标轴,投影面相当于坐标平面,如图,2-10(,a,),所示。空间点,A,到,W,、,V,、,H,各投影面的距离即为点,A,的坐标,(,x,y,z,),。在投影图上,点,A,的三个投影,a,、,a,、,a,也完全可以用坐标确定,如图,2-10(,b,),所示。因此，有了点的三个坐标,(,x,y,z,),即可作出点的投影,(,a,a,a,),；有了点的投影,(,a,a,a,),即可确定它的坐标,(,x,y,z,),。由图,2-10(,b,),可以看出,点在每个投影面上的投影,(,如水平投影,a,),反映了点的两个坐标,(,如,x,y,),。点在任两个投影面上的投影反映了点的三个坐标。因此,有了点的两面投影,即可作出第三面投影。,图,2-10,点的投影与直角坐标的关系,图,2-11,求作第三个投影,例,2-2,已知点,A,的坐标,(15,8,12),求作点,A,的三面投影。,解,如图,2-12(,a,),所示,自点,O,沿,X,轴向左量取,Oa,X,=15 mm,得,a,X,点。自,a,X,作线垂直于,OX,，如图,2-12(,b,),所示；自,a,X,向下量取,aa,X,=8 mm,，得点,A,的水平投影,a,；自,a,X,向上量取,12 mm,得,a,。用画圆弧的方法作出点,A,的侧面投影,a,，如图,2-12(,c,),所示。其中,aaY,H,OY,H,，,aaY,W,OY,W,，,aa,OZ,。,图,2-12,已知点的坐标求作点的投影,(2),作,V,面为矩形，,H,、,W,面为平行四边形，表示,H,、,V,、,W,的投影面边框可以画成粗线。,(3),作点的轴测投影图。沿各轴测轴自,O,点按,11,比例量取点,A,及点,B,的各坐标值，得,a,X,、,a,Y,、,a,Z,及,b,X,、,b,Y,、,b,Z,，过它们分别作相应轴测轴的平行线，其交点即为点,A,和点,B,的轴测图，如图,2-13(b),所示。,图,2-13,空间两点的相对位置及轴测投影,图,2-14,特殊位置点与重影点的投影,2.3,直 线 的 投 影,由,2.1,节“平行投影的基本性质”可知，直线的投影一般仍为直线。同时又由初等几何可知，两点可以确定唯一一条直线。因此，欲作直线的投影图，只要作出直线上任意两点的投影，然后用直线连接两点的同面投影，即得直线的三面投影。直线对投影面的位置有三种情况：直线与某一投影面垂直，如图,2-15(,a,),所示，称为投影面垂直线；直线与某一投影面平行并与另两个投影面倾斜，如图,2-15(,b,),所示，称为投影面平行线；直线与三投影面都倾斜，如图,2-15(,c,),所示，称为一般位置直线。在三投影面体系中，直线对,H,、,V,、,W,投影面的倾角，分别用,a,、,b,、,g,表示，如图,2-15(,c,),所示。,图,2-15,直线对投影面的相对位置,(,a,),投影面垂直线；,(,b,),投影面平行线；,(,c,),一般位置直线,一、各种位置直线的投影特性,1.,投影面垂直线,投影面垂直线有三种：垂直于,H,面的直线称为铅垂线；垂直于,V,面的直线称为正垂线；垂直于,W,面的直线称为侧垂线。现以图,2-16(,a,),所示物体上的铅垂线,AB,为例，分析其投影特性，如图,2-16(,c,),所示。,(1),水平投影：由于,AB,垂直于,H,面，所以,A,、,B,两点在,H,面上的投影重合，如图,2-16(,b,),所示。在投影图,2-16(,c,),中，其水平投影积聚成一点。,图,2-16,铅垂线,(1),水平投影：由于,AB,垂直于,H,面，所以,A,、,B,两点在,H,面上的投影重合，如图,2-16(,b,),所示。在投影图,2-16(,c,),中，其水平投影积聚成一点。,(2),正面投影：由于,AB,垂直于,H,面，故必垂直于,OX,轴和,OY,轴，同时必平行于,V,面和,W,面，所以其正面投影垂直于,OX,轴，即,ab,OX,，并且,ab,反映,AB,实长，即,ab,=,AB,。,(3),侧面投影,:,与,(2),类似，,ab,OY,W,，,ab,=,AB,。直线与各投影面夹角分别为：,a,=90,，,b,=,g,=0,。正垂线和侧垂线也有类似的投影特性。各种投影面垂直线的投影特性见表,2-1,。,表,2-1,投影面垂直线的投影特性,2.,投影面平行线,投影面平行线有三种：平行于,H,面并倾斜于,V,面、,W,面的直线称为水平线；平行于,V,面并倾斜于,H,面、,W,面的直线称为正平线；平行于,W,面并倾斜于,H,面、,V,面的直线称为侧平线。现以图,2-17(,a,),所示物体上的水平线,AB,为例，分析其投影特性，如图,2-17(,c,),所示。,(1),水平投影：由于,AB,平行于,H,面，所以水平投影反映实长，即,ab,=,AB,，并且,ab,与,OX,轴及,OY,H,轴的夹角反映直线,AB,对,V,面及,W,面的倾角,b,、,g,的真实大小，对,H,面的倾角,a,为零度。,图2-17水平线,(2),正面及侧面投影：正面投影平行于,OX,轴，即,ab,OX,；侧面投影平行于,OY,W,轴，即,ab,OY,W,。由于,AB,对,V,、,W,面倾斜，所以正面及侧面投影均小于,AB,实长，即,ab,AB,，,ab,AB,。正平线及侧平线也有类似的投影特性。各种投影面平行线的投影特性见表,2-2,。,表,2-2,投影面平行线的投影特性,3.,一般位置直线,对三个投影面都倾斜,(,既不平行也不垂直,),的直线称为一般位置直线，如图,2-18,所示。一般位置直线的各面投影都对投影轴倾斜，既不反映空间线段的实长,(,投影缩小,),，也不反映空间直线对投影面的夹角。,图,2-18,一般位置直线,二、两直线的相对位置及其投影特性,空间两直线相对位置有三种情况：两直线平行、两直线相交和两直线交叉,(,既不平行也不相交,),。,1.,两直线平行,根据平行投影的基本性质可知，如果空间两直线互相平行，则两直线的各同面投影互相平行。如图,2-19(,a,),、,(,b,),所示，若空间直线,AB,CD,，则,ab,cd,，,ab,cd,，,ab,cd,。反之，三组同面投影都平行的两条直线，这两条直线在空间也一定平行。需要注意，若两条直线都平行于某投影面，一般需由它们所平行的投影面上的投影判断它们是否平行。如图,2-19(,c,),所示，,AB,和,CD,都是侧平线，它们的正面投影及水平投影必平行，但侧面投影不平行，所以,AB,、,CD,在空间也不平行。,图,2-19,平行两直线的投影,2.,两直线相交,如图,2-20(,a,),所示，空间两直线,AB,与,CD,相交于,K,点。,K,点是它们的共有点，既在,AB,上也在,CD,上，所以,K,点的水平投影,k,一定是,ab,与,cd,的交点，正面投影,k,一定是,ab,与,cd,的交点。在三面投影体系里，侧面投影,k,一定是,ab,与,cd,的交点，如图,2-20(,b,),所示。由于,k,、,k,、,k,是同一点,K,的三面投影，所以它必须符合点的投影规律。由此可以得出结论：如果两直线相交，它们的同面投影必相交，且两直线各同面投影的交点即为两直线交点的投影。反之，如果两直线各同面投影相交，且交点的各面投影符合点的投影规律，则此两直线在空间必相交。,图,2-20,相交两直线的投影,3.,两直线交叉,空间两直线,AB,与,CD,既不平行也不相交，即是交叉两直线，如图,2-21,所示。因为交叉两直线在空间不相交，所以它们的同面投影的交点不是同一个点的投影，而是两直线上不同的两点在同一个投影面上的重影点。如图,2-21(,a,),所示，水平投影,ab,与,cd,的交点，实际上是,AB,上的,点与,CD,上的,点在水平投影面上的重影点。同理，正面投影,ab,与,cd,的交点，实际上是,AB,上的,点与,CD,上的,点在正立投影面上的重影点。,AB,与,CD,的投影图及可见性如图,2-21(,b,),所示。,图,2-21,交叉两直线及其重影点,2.4,平 面 的 投 影,一、平面的表示法,平面是构成立体的几何元素。由初等几何可知，平面可由下列任意一组几何元素确定：,(1),不在同一直线上的三点，如图,2-22(,a,),所示。,(2),一直线和直线外的一点，如图,2-22(,b,),所示。,(3),相交两直线，如图,2-22(,c,),所示。,(4),平行两直线，如图,2-22(,d,),所示。,(5),任意的平面图形,(,即平面的有限部分，如平面上的三角形、圆及其他封闭图形,),，如图,2-22(,e,),所示。,图,2-22,平面的几何元素表示及投影,平面也可以用它的迹线来表示，如图,2-23,所示。图,2-24,是图,2-23,迹线平面对应的投影图。平面与投影面的交线称为平面的迹线。如图,2-23(,a,),所示，平面,P,与,H,面的交线称为水平迹线，用,P,H,表示；平面,P,与,V,面的交线称为正面迹线，用,P,V,表示；平面,P,与,W,面的交线称为侧面迹线，用,P,W,表示。平面与投影轴的交点也是相应两条迹线与投影轴的交点，称为迹线的集合点。迹线既在平面上也在投影面上，因此在投影图上只画迹线的一个投影，如水平迹线,P,H,的水平投影，而不画,(,也不标记,),它的正面及侧面投影，如图,2-24(,a,),所示。图中点,A,在正面迹线,P,V,上。平面对,H,、,V,、,W,投影面的倾角，同样分别用,a,、,b,、,g,表示。,图,2-23,用迹线表示的平面,图,2-24,迹线平面的投影图,二、各种位置平面的投影特性,平面对投影面的位置有三种：平行、垂直、倾斜，如图,2-25,所示。,图,2-25,平面对投影面的各种位置,在三投影面体系中，根据平面所处的位置，平面可以分成投影面平行面、投影面垂直面及一般位置平面三类。,1.,投影面平行面,平行于一个投影面的平面称为投影面平行面。平行于,H,面的平面称为水平面；平行于,V,面的平面称为正平面；平行于,W,面的平面称为侧平面。现以水平面为例，分析其投影特性，如图,2-26,所示。,图,2-26,水平面的投影,(1),水平投影：水平面平行于水平投影面，故水平投影反映平面的实形。用迹线表示的水平面无水平迹线。,(2),正面投影及侧面投影：正面投影及侧面投影都具有积聚性，且积聚成直线，分别平行于,OX,轴及,OY,W,轴。用迹线表示的水平面，其正面及侧面迹线分别平行于,OX,轴及,OY,W,轴。水平面对三个投影面的夹角容易得到，,a,=0,，,b,=,g,=90,。正平面和侧平面有类似的投影特性。三种投影面平行面的投影特性见表,2-3,。,表,2-3,投影面平行面的投影特性,2.,投影面垂直面,垂直于一个投影面并与另外两个投影面倾斜的平面称为投影面垂直面。垂直于,H,面并与,V,面、,W,面倾斜的平面称为铅垂面；垂直于,V,面并与,H,面、,W,面倾斜的平面称为正垂面；垂直于,W,面并与,H,面、,V,面倾斜的平面称为侧垂面。现以铅垂面为例，分析其投影特性，如图,2-27,所示。,(1),水平投影：由于铅垂面垂直于,H,面，所以其水平投影具有积聚性，积聚成直线。该直线与,OX,轴及,OY,H,轴的夹角，反映平面与,V,面及,W,面的夹角,b,及,g,。铅垂面的水平迹线与平面的积聚性投影重合，对,OX,轴及,OY,H,轴都倾斜。,图,2-27,铅垂面的投影,(2),正面投影及侧面投影：铅垂面的正面投影及侧面投影是平面图形的类似形,(,多边形则边数相同，圆则成为椭圆,),，面积缩小。铅垂面的正面及侧面迹线分别垂直于,OX,轴及,OY,W,轴。正垂面及侧垂面有类似的投影特性。各种投影面垂直面的投影特性见表,2-4,。,表,2-4,投影面垂直面的投影特性,3.,一般位置平面,与三个投影面既不平行也不垂直，而处于倾斜位置的平面，称为一般位置平面，如图,2-28,所示。一般位置平面的三面投影都是小于空间平面实形的类似形，其各面迹线均对投影轴倾斜。,图,2-28,一般位置平面的投影,三、平面上的直线和点,1.,平面上取直线和点,欲在平面上取直线，可以使直线通过平面上的两个点，或者使直线通过平面上一点且平行于平面内另一条直线。如图,2-29(,a,),所示，相交两直线,CD,和,DE,确定一平面，,A,、,B,两点分别在,CD,和,DE,直线上，即在平面上，连接,A,、,B,两点的直线也在该平面上。图,2-29(,b,),中，三角形,ABC,确定一平面，通过平面内的,A,点作直线,AD,BC,，,AD,即在该平面上。反之，也可以用上述原理判断一条直线是否在平面内。欲在平面内取点，可以先在平面内取直线，再在直线上取点。因为直线若在平面上，则直线上所有点都在平面上。反之，也可以根据这一原理判断点是否在平面上。,图,2-29,在平面上取直线,例,2-4,已知,ABC,上点,D,的正面投影，试作出,D,点的水平投影，如图,2-30(,a,),所示。,图,2-30,在平面上取点,解,通过,D,点在平面内取直线,AE,，,E,点在,BC,上，,d,在,ae,上。由,D,点在,AE,上，即可作出,D,点的水平投影,d,。作图步骤如下：,(1),连接,a,和,d,，延长交,bc,于,e,。,(2),作,e,，,e,在,bc,上，连接,a,、,e,两点。,(3),由,d,作出,D,点的水平投影,d,。,例,2-5,已知平面四边形,ABCD,的水平投影及相交两边,AB,、,BC,的正面投影，如图,2-31(,a,),所示，试完成其正面投影。,解,四边形四个顶点位于同一个平面上，已知,A,、,B,、,C,三个顶点的两面投影，故本题实质上是由,ABC,内点,D,的水平投影,d,求作正面投影,d,。,作图步骤如下,(,图,2-31(,b,),：,(1),连接,ac,和,bd,，交点为,e,，,e,是,AC,、,BD,交点,E,的水平投影。,(2),作,E,点的正面投影,e,，连接,b,、,e,，,D,点在直线,BE,上。,(3),延长,be,，由点的投影规律作出,d,。图,2-31(,c,),是另外一种作法：过,d,作,de,bc,，作,E,点的正面投影,e,，过,e,作,ed,bc,，由,d,即可作出,d,。,图,2-31,补全四边形,2.,包含点或直线作平面,包含已知点或直线可以作无数个平面，如果加上其他限制条件，则可以作唯一的或者有限个平面。,例,2-6,过已知点,A,作正垂面，使,a,=30,，如图,2-32(,a,),所示。,解,(1),用迹线表示。如图,2-32(,b,),所示，过,a,作正垂面的正面迹线,P,V,，使其与,OX,轴夹角为,30,。水平迹线通过迹线的集合点并与,OX,轴垂直。图中作出两解：,P,V1,和,P,V2,。,(2),用几何元素,(,三角形,),表示。以点,A,为三角形的顶点，三角形的正面投影积聚成线，且与,OX,轴夹角为,30,，水平投影为三角形，如图,2-32(,c,),所示。本题有四解,其中,B,1,C,1,A,与,B,4,C,4,A,位于同一平面上，,B,2,C,2,A,与,B,3,C,3,A,位于同一平面上。,图,2-32,过,A,点作正垂面与,H,面成,30,角,