沈阳师范大学数学与系统科学学院高等代数第六章§2-线性空间的定义与简单性质.ppt

<p>2 线性空间的定义与简单性质,一、线性空间的定义,二、线性空间的简单性质,2 线性空间的定义与简单性质,许多形式不同的对象,往往有一些共同点,将它们统,一研究,这就有了线性空间的概念.,而且这两种运算满足一些重要的规律,如,引例1,空间,P,n,，定义了两个向量的加法和数量乘法：,在第三章2中，我们讨论了数域,P,上的,n,维向量,2 线性空间的定义与简单性质,同样满足上述这些重要的规律，即,引例2,数域,P,上的一元多顶式环,P,x,中，定义了两个多,项式的加法和数与多项式的乘法，而且这两种运算,2 线性空间的定义与简单性质,一.线性空间的定义,设,V,是一个非空集合,P,是一个数域,在集合,V,中,的,和,，记为 ；在,P,与,V,的元素之间还,定义了一种运算，叫做,数量乘法,：即,在,V,中都存在唯一的一个元素与它们对应，称为,的,数量乘积,，记为 如果加法和数量乘,法还满足下述规则，则称,V,为数域,P,上的,线性空间,：,定义了一种代数运算，叫做,加法,:即,对,在,V,中都存在唯一的一个元素与它们对应，称为,2 线性空间的定义与简单性质,加法满足下列四条规则：,对,都有,V,中的一个元素，使得,数量乘法与加法满足下列两条规则：,在,V中有一个元素0，对,（具有这个性质的元素,0,称为,V,的,零元素,）,数量乘法满足下列两条规则,:,;（称为 的,负元素,）,2 线性空间的定义与简单性质,判断,R,是否构成实数域,R,上的线性空间,.,例,5,全体正实数,R,，,加法与数量乘法定义为：,例4,任一数域,P,按照本身的加法与乘法构成一个,数域,P,上的线性空间,R,构成实数域,R,上的线性空间,解：,2 线性空间的定义与简单性质,首先，,R,，且加法和数量乘法对,R,是封闭的.,且,a,k,唯一确定,且,ab,唯一确定；,事实上,其次，加法和数量乘法满足下列算律,R,，,R,，,即1是零元；,R,，,R,，且,2 线性空间的定义与简单性质,即,a,的负元素是 ；,;,R,；,;,R,构成实数域,R,上的线性空间,;,2 线性空间的定义与简单性质,2,、,，的负元素是唯一的，记为-,证明：假设 有两个负元素,、,，则有,0,1,0,1,0,2,0,2,证明：假设线性空间,V,有两个零元素,0,1,、,0,2,，则有,利用负元素，我们定义,减法,：,二、线性空间的简单性质,1、,零元素是唯一的.,2 线性空间的定义与简单性质,两边加上 即得 0,0,；,两边加上,；即得,k,0,0,;,两边加上 即得,即得,两边加上,3、,证明：,2 线性空间的定义与简单性质,4,、,如果,0,，那么,k,0,或 ,0.,证明：假若则,练习：,1、P,273,：习题31）2）4）,2、证明：数域,P,上的线性空间,V,若含有一个非零,向量，则,V,一定含有无穷多个向量.,2 线性空间的定义与简单性质,证：设,而数域,P,中有无限多个不同的数，所以,V,中有无限,多个不同的向量.,注：,只含一个向量零向量的线性空间称为,零空间,.,2 线性空间的定义与简单性质,</p>