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函数恒成立与存在性问题
沈阳市第十一中学 赵拥权
（一） 基础知识：
1. 恒成立问题：
①∀x∈D,a>fx恒成立,则a>f(x)max
②∀x∈D,a<fx恒成立,则a<f(x)min
③∀x∈D,gx>fx恒成立,记FX=gx-f(x)>0,则（gx-fx）min>0
④∀x∈D,gx<fx恒成立,记FX=gx-f(x)<0,则（gx-fx）min<0
⑤∀x1∈D1,x2∈D2,f(x1)>g(x2）恒成立,则f(x1)min>g(x2）max
⑥∀x1∈D1,x2∈D2,f(x1)<g(x2）恒成立,则f(x1)max<g(x2）min
2. 存在性问题：
①∃x∈D,a>fx成立,则a>f(x)min
②∃x∈D,a<fx成立,则a<f(x)max
③∃x∈D,gx>fx成立,记FX=gx-f(x)>0,则（gx-fx）max>0
④∃x∈D,gx<fx成立,记FX=gx-f(x)<0,则（gx-fx）max<0
⑤∃x1∈D1,x2∈D2,f(x1)>g(x2）成立,则f(x1)max>g(x2）min
⑥∃x1∈D1,x2∈D2,f(x1)<g(x2）成立,则f(x1)min<g(x2）max
3. 恒成立与存在性混合不等式问题：
①∀x∈D1,∃x2∈D2,f(x1)>g(x2）成立,则f(x1)min>g(x2）min
②∀x1∈D1,∃x2∈D2,f(x1)<g(x2）成立,则f(x1)max<g(x2）max
4. 恒成立与存在性混合等式问题：若f(x),g(x)的值域分别为A,B,则
①∀x1∈D1,∀x2∈D2,fx1=gx2成立,则A=B
②∀x1∈D1,∃x2∈D2,fx1=gx2成立,则AB
③∃x1∈D1,∃x2∈D2,fx1=gx2成立,则A∩B≠∅
5. 解决数学恒成立与存在性问题的方法：
①函数性质法；
②参数分离（主参分离）法；
③主参互换法；
④数形结合法；
典例分析：
例一：(1). 已知a∈-1,1时不等式x2+a-4x+4-2a>0恒成立，则x的取值范围为___;
(2).不等式2x>m(x2-1)对满足m≤2的一切实数m都成立，则x的取值范围为___;
(3).已知a是实数，函数fx=2ax2+2x-3在x∈-1,1上恒小于零，则实数a的取值范围____;
(4).若关于x的不等式ax2-2x+2>0在区间(1,4)上恒成立,则实数a的取值范围____;
(5). 已知a是实数，函数fx=x2+2a-2x+4在x∈-3,1上f(x)>o恒成立，则实数a的取值范围____;
（6）．不等式x2+mx-1<0对于任意x∈m,m+1都成立，则m的取值范围为___;.
(7).已知函数fx=ax2+2a-2x+a-4.，当x∈-1,1时，恒有f(x)<0，则a的取值范围_____
(8). 已知函数fx=2-ax.当x∈1,2时，恒有f(x)>1，则a的取值范围_____
(9) 已知一次函数fx=1-mx+2m+3当x∈-2,2时，恒有f(x)>0，则m的取值范围_____
例二：（1）.若存在实数x,使关于x的不等式ax2-4x+a-3<0成立,则实数a的取值范围____;
（2）. 关于x的不等式x2+ax-2>0在区间1,5上有解,则实数a的取值范围____;
（3）.关于x的二次方程x2+9m-1)x+1=0在区间0,2上有解,则实数m的取值范围____;
（4）.不等式x2+mx-1<0对于x∈2,3有解，则m的取值范围为___;.
(5). 当x∈(0,12)时,不等式4x=logax有解
,求实数a 的取值范围;
例三：已知函数fx=12x2+x,gx=lnx+1-a;
①∀x1∈0,2,x2∈0,2,使fx1>gx2恒成立，求实数a 的取值范围;
②∀x1∈0,2,∃x2∈0,2,使fx1>gx2成立，求实数a 的取值范围;
③∃x1∈0,2,∀x2∈0,2,使fx1>gx2成立，求实数a 的取值范围;
④∃x1∈0,2,∃x2∈0,2,使得fx1>gx2，求实数a 的取值范围;
⑤∃x1∈0,2,∀x2∈0,2,使得fx1=gx2，求实数a的取值范围;
⑥∃x1∈0,2,∃x2∈0,2,使得fx1=gx2，求实数a的取值范围;
例四：
（1.当x∈(1,2)时,不等式(x-1)2<logax恒成立,求实数a 的取值范围;
(2). 当x∈(0,12)时,不等式4x<logax恒成立,求实数a 的取值范围;
(3).已知fx=mx-2mx+m+3,gx=2x-2.若∀x∈R,f(x)<0或g(x)<0，则m的取值范围
习题：
1. 当x∈(-∞,-1时,不等式(m2-m)4x-2x<0恒成立,求实数m 的取值范围;
2.已知函数f(x)=loga(2x-a),∀x∈12,23,恒有f(x)>0则实数a 的取值范围;
3.已知函数f(x)=x2+ax+3,∀x∈-2,2,恒有fx>a,则实数a 的取值范围;
4. 已知函数f(x)=lg (1+2x+4x3),若x∈-∞，1时,恒有f(x恒有意义，则实数a 的取值范围;
5. 已知函数f(x)=x3+x,∀m∈-2,2,恒有fmx-2+fx<0,则实数m 的取值范围;
6. 已知a>0且a≠1,函数f(x)=x2-ax,当x∈-1,1时,恒有fx<12,则实数a 的取值范围;
7. 已知函数f(x)=log2x+1x-1,当x∈1,+∞时,恒有fx+log2(x-1)>m,则实数m 的取值范围;
8. 已知函数f(x)=2x-2-x,∀t∈1,2,恒有2tf2t+mf(t)≥0,则实数m 的取值范围;
9. 已知函数f(x)=mx2-mx-1,∀x∈1,3,恒有fx<-m+5,则实数m 的取值范围;