高一-必修一基本初等函数知识点总结归纳.doc

高一必修一函数知识点（12.1）
〖1.1〗指数函数
（1）根式的概念
①叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数．
②当为奇数时，为任意实数；当为偶数时，．
③根式的性质：；当为奇数时，；当为偶数时， ．
（2）分数指数幂的概念
①正数的正分数指数幂的意义是：且．0的正分数指数幂等于0．
②正数的负分数指数幂的意义是：且．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．
（3）分数指数幂的运算性质
① ② ③
（4）指数函数
函数名称
指数函数
定义
0
1
0
1
函数且叫做指数函数
图象

定义域

值域
（0,+∞）
过定点
图象过定点（0,1），即当x=0时，y=1．
奇偶性
非奇非偶
单调性
在上是增函数
在上是减函数
函数值的
变化情况
y＞1(x＞0), y=1(x=0), 0＜y＜1(x＜0)
y＞1(x＜0), y=1(x=0), 0＜y＜1(x＞0)
变化对
图象的影
响
在第一象限内，越大图象越高，越靠近y轴；
在第二象限内，越大图象越低，越靠近x轴．
在第一象限内，越小图象越高，越靠近y轴；
在第二象限内，越小图象越低，越靠近x轴．
例：比较
〖1.2〗对数函数
（1） 对数的定义
①若，则叫做以为底的对数，记作，其中叫做底数，叫做真数．
②对数式与指数式的互化：．
（2）常用对数与自然对数：常用对数：，即；自然对数：，即（其中…）．
（3）几个重要的对数恒等式:　　 ，，．
（4）对数的运算性质 如果，那么
①加法： ②减法：
③数乘： ④
⑤ ⑥换底公式：
（5）对数函数
函数名称
对数函数
定义
函数且叫做对数函数
图象

0
1

0
1

定义域

值域

过定点
图象过定点，即当时，．
奇偶性
非奇非偶
单调性
在上是增函数
在上是减函数
函数值的
变化情况

变化对 图象的影响
在第一象限内，越大图象越靠低，越靠近x轴
在第四象限内，越大图象越靠高，越靠近y轴
在第一象限内，越小图象越靠低，越靠近x轴
在第四象限内，越小图象越靠高，越靠近y轴
(6) 反函数的求法
①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式中反解出；
③将改写成，并注明反函数的定义域．
（7）反函数的性质
①原函数与反函数的图象关于直线对称．
即，若在原函数的图象上，则在反函数的图象上．
②函数的定义域、值域分别是其反函数的值域、定义域．
〖1.3〗幂函数
（1）幂函数的图象(需要知道x=,1,2,3与y=的图像)
（2）幂函数的性质
①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．
②过定点：图象都通过点．

〖1.4〗二次函数
（1）二次函数解析式的三种形式
①一般式：
②顶点式：
③两根式：
（2）求二次函数解析式的方法
①已知三个点坐标时，宜用一般式．
②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式．
③若已知抛物线与轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求更方便．
（3）二次函数图象的性质
①二次函数的图象是一条抛物线，对称轴方程为 ，顶点坐标是 。
②在二次函数中
当时，图象与轴有 个交点．
当 时，图象与轴有1个交点．
当 时，图象与轴有没有交点．
③当 时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增，当时，f(x)min= ；
当 时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减，当时，f(x)max= ．
（4）一元二次方程根的分布
一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．
设一元二次方程的两实根为，且．令，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向： ②对称轴位置： ③判别式： ④端点函数值符号．
①k＜x1≤x2

②x1≤x2＜k

③x1＜k＜x2 af(k)＜0

④k1＜x1≤x2＜k2

⑤有且仅有一个根x1（或x2）满足k1＜x1（或x2）＜k2 f(k1)f(k2)0，并同时考虑f(k1)=0或f(k2)=0这两种情况是否也符合

⑥k1＜x1＜k2≤p1＜x2＜p2
此结论可直接由⑤推出．
幂函数
（1）幂函数的定义： 一般地，函数叫做幂函数，其中为自变量，是常数．
（2）幂函数的图象

（3）幂函数的性质
①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．
②过定点：所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过点．
③单调性：如果，则幂函数的图象过原点，并且在上为增函数．如果，则幂函数的图象在上为减函数，在第一象限内，图象无限接近轴与轴．
④奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数．当（其中互质，和），若为奇数为奇数时，则是奇函数，若为奇数为偶数时，则是偶函数，若为偶数为奇数时，则是非奇非偶函数．
⑤图象特征：幂函数，当时，若，其图象在直线下方，若，其图象在直线上方，当时，若，其图象在直线上方，若，其图象在直线下方．