空间直角坐标系与空间向量典型例题.doc

空间直角坐标系与空间向量 一、建立空间直角坐标系的几种方法 构建原则：遵循对称性，尽可能多的让点落在坐标轴上。作法：充分利用图形中的垂直关系或构造垂直关系来建立空间直角坐标系 类型举例如下：类型举例如下：（一一）用共顶点的互相垂直的三条棱构建直角坐标系用共顶点的互相垂直的三条棱构建直角坐标系 例 1 已知直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12，底面ABCD是直角梯形，A为直角，ABCD，AB4，AD2，DC1，求异面直线BC1与DC所成角的余弦值 解析：如图 1，以D为坐标原点，分别以DA、DC、DD1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则C1（，1，2）、B（2，4，），1(2 32)BC ，(0 10)CD，设1BC与CD所成的角为，则113 17cos17BC CDBC CD（二二）利用线面垂直关系构建直角坐标系利用线面垂直关系构建直角坐标系 例 2 如图 2，在三棱柱ABCA1B1C1中，AB侧面BB1C1C，E为棱CC1上异于C、C1的一点，EAEB1已知2AB，BB12，BC1，BCC13求二面角AEB1A1的平面角的正切值 解析：如图 2，以B为原点，分别以BB1、BA所在直线为y轴、z轴，过B点垂直于平面AB1的直线为x轴建立空间直角坐标系 由于BC1，BB12，AB2，BCC13，在三棱柱ABCA1B1C1中，有B（，）、A（，2）、B1（，2，）、31022c，、13 302 2C，设302Ea，且1322a ，由EAEB1，得10EAEB，即3322022aa，233(2)2044a aaa ，13022aa，即12a或32a（舍去）故3 102 2E，由已知有1EAEB，1 11BAEB，故二面角AEB1A1的平面角的大小为向量1 1BA与EA的夹角 因1 1(00 2)BABA，31222EA，故1 11 12cos3EABAEA BA，即2tan2（三三）利用面面垂直关系构建直角坐标系利用面面垂直关系构建直角坐标系 例 3 如图 3，在四棱锥VABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD底面ABCD （1）证明AB平面VAD；（2）求面VAD与面VDB所成的二面角的余弦值 解析：（1）取AD的中点O为原点，建立如图 3 所示的空间直角坐标系 设AD2，则A（1，）、D（1，）、B（1，2，）、V（，3），AB（，2，），VA（1，3）由(020)(103)0ABVA，得 ABVA 又ABAD，从而AB与平面VAD内两条相交直线VA、AD都垂直，AB平面VAD；（2）设E为DV的中点，则13022E，33022EA，33222EB，(10 3)DV ，332(10 3)022EB DV，EBDV 又EADV，因此AEB是所求二面角的平面角 21cos7EAEBEAEBEA EB，故所求二面角的余弦值为217（四四）利用正棱锥的中心与高所在直线构建直角坐标系利用正棱锥的中心与高所在直线构建直角坐标系 例 4 已知正四棱锥VABCD中，E为VC中点，正四棱锥底面边长为 2a，高为h （1）求DEB的余弦值；（2）若BEVC，求DEB的余弦值 解析：（1）如图 4，以V在平面AC的射影O为坐标原点建立空间直角坐标系，其中OxBC，OyAB，则由AB2a，OVh，有B（a，a，）、C（-a，a，）、D（-a，-a，）、V（0，0，h）、2 2 2a a hE，322 2a hBEa，32 22ahDEa，22226cos10BE DEahBEDEahBE DE，即22226cos10ahDEBah；（2）因为E是VC的中点，又BEVC，所以0BEVC，即3()022 2a haa ah，22230222aha，2ha 这时222261cos103ahBEDEah，即1cos3DEB 引入空间向量坐标运算，使解立体几何问题避免了传统方法进行繁琐的空间分析，只需建立空间直角坐标系进行向量运算，而如何建立恰当的坐标系，成为用向量解题的关键步骤之一下面以高考考题为例，剖析建立空间直角坐标系的三条途径（五五）利用图形中的对称关系建立坐标系利用图形中的对称关系建立坐标系 图形中虽没有明显交于一点的三条直线，但有一定对称关系（如正三棱柱、正四棱柱等），利用自身对称性可建立空间直角坐标系 例 5 已知两个正四棱锥PABCD与QABCD的高都为 2，AB4（1）证明：PQ平面ABCD；（2）求异面直线AQ与PB所成的角；（3）求点P到面QAD的距离 简解：（1）略；（2）由题设知，ABCD是正方形，且ACBD由（1），PQ平面ABCD，故可分别以直线CA DB QP，为x，y，z轴建立空间直角坐标系（如图 1），易得(2 202)(02 22)AQPB，1cos3AQPBAQPBAQ PB，所求异面直线所成的角是1arccos3（3）由（2）知，点(02 20)(2 22 20)(004)DADPQ，设n n=（x，y，z）是平面QAD的一个法向量，则00AQAD，nn得200 x zx y ，取x1，得(1 12)，n=点P到平面QAD的距离2 2PQdnn 点评：利用图形所具备的对称性，建立空间直角坐标系后，相关点与向量的坐标应容易得出第（3）问也可用“等体积法”求距离 二、二、向量法解立体几何向量法解立体几何 （一）（一）知识点知识点 向量的数量积和坐标运算向量的数量积和坐标运算 ba,是两个非零向量，它们的夹角为，则数cos|ba叫做a与b的数量积（或内积），记作ba，即.cos|baba 其几何意义是a的长度与b在a的方向上的投影的乘积.其坐标运算是：若),(),(222111zyxbzyxa，则 212121zzyyxxba；222222212121|,|zyxbzyxa；212121zzyyxxba 222222212121212121,coszyxzyxzzyyxxba（二）例题讲解 题型：求角度相关 1.1.异面直线异面直线nm,所成的角所成的角 分别在直线nm,上取定向量,ba则异面直线nm,所成的角等于向量ba,所成的角或其补角（如图 1 所示），则.|cosbaba 2.2.直线直线L与平面与平面所成的角所成的角 在L上取定AB，求平面的法向量n（如图 2 所示），再求|cosnABnAB，则2为所求的角.3 3 二面角二面角 方法一：构造二面角l的两个半平面、的法向量21nn、（都取向上的方向，如图 3 所示），则 若二面角l是“钝角型”的如图 3 甲所示，那么其大小等于两法向量21nn、的夹角的补角，即.|cos2121nnnn 角l是“锐角型”的如图 3 乙所示，那么 若二面Cn图1 DABnmab nBAL图1n2n图l1n2nl图3甲 1n2nl图4 BA其大小等于两法向量21nn、的夹角，即.|cos2121nnnn.方法二：在二面角的棱l上确定两个点BA、，过BA、分别在平面、内求出与l垂直的向量21nn、（如图 4 所示），则二面角l的大小等于向量21nn、的夹角，即.|cos2121nnnn 题型：求距离相关 1.1.异面直线异面直线nm、的距离的距离 分别在直线nm、上取定向量,ba求与向量ba、都垂直的向量n，分别在nm、上各取一个定点BA、，则异面直线nm、的距离d等于AB在n上的射影长，即|nnABd.证明：设CD为公垂线段，取bDBaCA,|)(nABnCDnBDABCAnCDBDABCACD|nnABCDd 设直线nm,所成的角为，显然.|cosbaba 2.2.平面外一点平面外一点p到平面到平面的距离的距离 求平面的法向量n，在面内任取一定点A，点p到平面的距离d等于AP在n上的射影长，即|nnAPd.Cn图1 DABnmab图5 Apn三、法向量 例题解析 题型：求空间角 1、运用法向量求直线和平面所成角运用法向量求直线和平面所成角 设平面的法向量为n=（x,y,1)，则直线 AB 和平面所成的角的正弦值为 sinsin=cos(2-)=|cos|=ABABnn 2、运用法向量求二面角运用法向量求二面角 设二面角的两个面的法向量为12,n n，则或-是所求角。这时要借助图形来判断所求角为锐角还是钝角，来决定是所求，还是-是所求角。题型：求空间距离 1 1、求两条异面直线间的距离、求两条异面直线间的距离 设异面直线 a、b 的公共法向量为(,)nx y z，在 a、b 上任取一点 A、B，则 异面直线 a、b 的距离：d=ABcosBAA=|AB nn 略证：如图，EF 为 a、b 的公垂线段，a为过 F 与 a 平行的直线，在 a、b 上任取一点 A、B，过 A 作 AA/EF，交 a于 A，则/AAn，所以BAA=（或其补角）异面直线 a、b 的距离 d=ABcosBAA=|AB nn *其中，n的坐标可利用 a、b 上的任一向量,a b（或图中的,AE BF），及n的定义得 00nan anbn b 解方程组可得n。2 2、求点到面的距离、求点到面的距离 求 A 点到平面的距离，设平面的法向量法为(,1)nx y，在内任取一点 B，则 A 点到平面的距离：d=|AB nn，n的坐标由n与平面内的两个不共线向量的垂直关系，得到方程组（类似于前面所述,若方程组无解，则法向量与 XOY 平面平行，此时可改设(1,0)ny，下同）。3 3、求直线到与直线平行的平面的距离、求直线到与直线平行的平面的距离 求直线 a 到平面的距离，设平面的法向量法为(,1)nx y，在直线 a 上任取一点 A，在平面内任取一点 B，则直线 a 到平面的距离：d=|AB nn 4 4、求两平行平面的距离、求两平行平面的距离 设两个平行设平面、的公共法向量法为(,1)nx y，在平面、内各任取一点 A、B，则平面到平面的距离：d=|AB nn 三、证明线面、面面的平行、垂直关系三、证明线面、面面的平行、垂直关系 设平面外的直线 a 和平面、，两个面、的法向量为12,n n，则 1a/an 1aa/n 12/nn 12nn