方差案例.pptx

,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2021/4/22,版权所有,BY,统计学课程组,#,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,2026/10/5,1,方差案例,第,1,页,/,共,140,页,现有,5,种治疗荨麻疹的新药，为了比较其疗效，将,30,个病人随机分成,5,组，每组,6,人。让同一组使用同一种新药，各病人治愈天数如,7-1,表,所示,:,表,5,种治疗荨麻疹新药治愈病人天数,问：,5,种药物的疗效是否存在显著差异？若存在显著差异，差异体现,在那些药物之间？,2026/10/5,2,案 例 五种新药的疗效一样吗,药物,治愈天数,A1,6,8,7,7,10,8,A2,4,6,6,3,5,6,A3,6,4,4,5,2,3,A4,7,4,6,6,3,5,A5,9,4,5,7,7,6,第,2,页,/,共,140,页,一、方差分析的主要概念,二、案例的直观分析,三、统计模型与基本假定,四、离差平方和与自由度的分解,2026/10/5,3,第一节 方差分析的基本原理,第,3,页,/,共,140,页,方差分析：,是一种检验多个总体均值是否相等的统计方法。方差分析主要用来研究一个定量因变量与一个或多个定性自变量的关系。,试验因素：,试验的设计者希望考察的试验条件，或者说就是方差分析研究的对象，简称因素，也可称为自变量，如案例中的药物。,因素水平：,试验因素的某种特定状态或数量等级称为因素水平，简称水平，实际上就是因素的不同表现。如案例中的,5,种药物。若方差分析只针对一个因素进行，则称为单因素方差分析。若方差分析同时针对两个因素进行，则称为双因素方差分析。,2026/10/5,4,一、方差分析的主要概念,第,4,页,/,共,140,页,试验指标：,衡量试验结果好坏程度的指标，也可称为因变量，其不同,的取值常称为观察值或试验数据。在本章案例中，治愈天,数就是试验指标。,处理：,按照因素的给定水平对实验对象所做的操作。这种操作就,是对因素划类或确定数量等级，形成因素的不同水平。因,素的一个水平就是一个处理。每个处理可看作一个试验条,件或一个总体。,试验单元,接受处理的实验对象称为试验单元，简称单元。如案例中,接受治疗的患者，一个患者就是一个试验单元。,2026/10/5,5,一、方差分析的主要概念,第,5,页,/,共,140,页,2026/10/5,6,一、方差分析的主要概念,第,6,页,/,共,140,页,2026/10/5,7,一、方差分析的主要概念,第,7,页,/,共,140,页,2026/10/5,8,二、案例的直观分析,治愈天数,A1,A2,A3,A4,A5,第,8,页,/,共,140,页,1.,从散点图上可以看出,不同药物的治愈天数是有明显差异的,同一个药物不同患者的治愈天数也明显不同,2.,药物与治愈天数之间有一定的关系,如果药物与治愈天数之间没有关系，那么患者被治,愈的天数应该差不多相同，在散点图上所呈现的模,式也就应该很接近，不同药物的平均治愈天数就几,乎应该在一条水平线上。,2026/10/5,9,二、案例的直观分析,第,9,页,/,共,140,页,3.,仅从散点图上观察还不能提供充分的证据证明不同药物的治愈天数之间有显著差异。,4.,需要有更准确的方法来检验这种差异是否显著，也就是进行方差分析。所以叫方差分析，因为虽然我们感兴趣的是均值，但在判断均值之间是否有差异时则需要借助于方差。,5.,不同药物的治愈天数之间的差异可能是由于抽样的随机性所造成的，也有可能是系统性影响因素造成的。,6.,通过对数据误差来源的分析，判断不同总体的均值是否相等。,2026/10/5,10,二、案例的直观分析,第,10,页,/,共,140,页,数据误差的来源分为,随机误差,和,系统误差,。,1.,随机误差,因素的同一水平,(,总体,),下，样本各观察值之间的差异。比,如，同一药物下不同患者的治愈天数是不同的。这种差异,可以看成是随机因素影响的结果，称为,随机误差。,2.,系统误差,因素的不同水平,(,不同总体,),下，各观察值之间存在差异。比如，不同药物的治愈时间之间的差异。这种差异可能是由于抽样的随机性所造成的，也可能是由于药物本身所造成的，后者所形成的误差是由系统性因素造成的，称为,系统误差,。,2026/10/5,11,三、数据误差的来源,第,11,页,/,共,140,页,2026/10/5,12,四、统计模型与方差分析的基本假定,处理,观测值,合计,平均,A,1,A,2,A,i,A,k,合计,方差分析的数据结构（以单因素方差分析为例）,第,12,页,/,共,140,页,：,因素,A,的第,i,个处理的第,j,次观测值,：第,i,个处理的,n,个观测值之和,：全部观测值的总和,：第,i,个处理平均数,：全部观测值的总平均数,2026/10/5,13,1.,符号定义,第,13,页,/,共,140,页,方差分析中的统计模型，用来描述因素,A,的第,i,个处理的第,j,次观测值 的形成机理。,结合本章案例，假设在第,i,个处理下的第,j,次观测是患者张三，则张三的治愈天数应该为：,张三治愈天数,=,张三所在处理组的平均天数,+,随机因素对张三治愈天数的影响（可正可负）,=,总平均天数,+,张三所在组平均天数与总,平均天数之差,+,随机因素对治愈天数的,影响,2026/10/5,14,2.,统计模型,这个差值说明了什么？,第,14,页,/,共,140,页,设张三所在组的平均治愈天数为 ，总平均治愈天数为 ，,随机因素的影响为 ，张三所在组的平均治愈天数与总平均,治愈天数之差为 ，,则张三的治愈天数可表达为：,2026/10/5,15,2.,统计模型,第,15,页,/,共,140,页,(1),每个总体都应服从,正态分布,对于因素的每一个水平，其观察值是来自服从正态分布总体,的简单随机样本。,(2),各个总体的,方差必须相同,各组观察数据是从具有相同方差的总体中抽取的,(3),观察值是,独立的,各观测值彼此之间相互不影响,在上述假定条件下，判断药物对治愈天数是否有显著影响，实,际上也就是检验具有同方差的五个正态总体的均值是否相等。,2026/10/5,16,3.,方差分析的基本假定,第,16,页,/,共,140,页,结合本章案例，方差分析要回答的问题就是,5,种不同的药物对,治愈天数是否有显著影响，实际上就是检验五种药物的平均,治愈天数是否相等。所建立的假设为：,2026/10/5,17,4.,方差分析中假设的建立,第,17,页,/,共,140,页,方差分析检验多个总体的均值是否相等，或是否存在显著差异，是从对数据差异来源的分析入手的。,从本章案例中可以看出，试验数据的差异存在于如下三个方面：,全部观测值存在差异,各水平（处理）内部观测值存在差异,各水平（处理）之间观测值存在差异,上述各种差异产生的原因只有两个方面，即系统性因素与随机性因素。数据差异源分析，就是通过构造反映数据差异的统计量即离差平方和，并对其进行分解，确定数据差异的原因。,2026/10/5,18,五、数据差异源分析,离差平方和及其分解,第,18,页,/,共,140,页,总离差平方和反映全部观测值总变异的程度。总变异可,能是,随机因素与系统因素（试验因素）共同影响形成的,。,2026/10/5,19,1.,总离差平方和,SST,第,19,页,/,共,140,页,处理内（组内）离差平方和反映各处理内观测值的变异程度。,组内离差平方和是某一特定处理下试验数据的差异程度，与,试验因素（系统因素）的变化无关，所以该离差平方和反映,了,随机因素所导致的数据差异,，也称误差平方和。,2026/10/5,20,2.,处理内（组内）离差平方和,SSE,第,20,页,/,共,140,页,处理间（组间）离差平方和反映重复,n,次的处理间观测值,的变异程度。组间离差平方和既与试验因素（系统因素）,的变化有关，也与随机因素有关，所以该离差平方和反,映了,试验因素（系统因素）与随机因素共同所导致的数,据差异,。,2026/10/5,21,3.,处理间（组间）离差平方和,SSA,第,21,页,/,共,140,页,2026/10/5,22,4.,三项离差平方和之间的关系,SST,SSA,SSE,总离差平方和,因素,A,及随机因素导致的变差,随机因素导致的变差,组间离差平方和,组内离差平方和,第,22,页,/,共,140,页,前述的各离差平方和的绝对值的大小受到处理的重复数,的影响，为了消除重复数对离差平方和的影响，并实现,各离差平方和之间的可比，需要将离差平方和改造为误,差均方（也可称方差）。误差均方是将各离差平方和与,其对应的自由度相除所得的结果。各离差平方和的自由,度如下：,2026/10/5,23,5.,误差均方,离差平方和,自由度,SST,SSE,SSA,第,23,页,/,共,140,页,(1),组内均方（组内方差）,(2),组间均方（组间方差）,如果原假设成立，则表明没有系统误差，组间均方与组内均方差,异就不会太大；如果组间均方显著地大于组内均方，说明各水平,(,总体,),之间的差异不仅有随机误差，还有系统误差，判断因素的,水平是否对其观察值有影响，实际上就是比较组间方差与组内方,差之间差异的大小。,2026/10/5,24,5.,误差均方,第,24,页,/,共,140,页,2026/10/5,25,5.,误差均方,组间离差平方和,组内离差平方和,组间方差,组内方差,受因素,A,和随机因素的影响,只受随机因素的影响,第,25,页,/,共,140,页,通过比较组间均方与组内均方之间的大小，来检验多个总体均,值是否相等，是方差分析的基本思想。如果组间均方显著地大,于组内均方，说明,各水平,(,总体,),之间的差异不仅受随机因素，,还有系统因素的影响，试验因素对试验指标有显著的影响；反,之，若两者很接近，说明各水平,(,总体,),之间的差异仅有随机因,素的影响，试验因素对试验指标无显著的影响。,根据这一思想，,可以构造检验的统计量。,2026/10/5,26,六、检验统计量,第,26,页,/,共,140,页,如果因素,A,的不同水平对试验结果没有影响，那么在组间方差中只包含有随机误差，两个方差的比值会接近,1,。,如果不同水平对试验结果有影响，组间方差就会大于组内方差，组间方差与组内方差的比值就会大于,1,。,当这个比值大到某种程度时，就可以说不同水平之间存在显著差异，或者说因素,A,对试验结果有显著影响。,2026/10/5,27,六、检验统计量,第,27,页,/,共,140,页,解:(1)建立假设H01:1.,为方便起见，把试验结果写在正交表的右边一列上，并分别用 表示，所有计算可以在表上进行。,当这个比值大到某种程度时，就可以说不同水平之间存在显著差异，或者说因素A对试验结果有显著影响。,因子间的交互作用会随着因子个数的增加而增加。,与单因素情况类似，可以证明ST、SA、SB和SE的自由度分,89,FB=F(2,12)=3.,(3)在对话框的“数据区域”框中键入A1:D7；,(4)不同水平组合下的试验是相互独立的。,86,F0.05(3.19),，所以拒绝原,假设,H,0,，即有,95%,的把握认为不同的行业之间投诉的,差异显著。,2026/10/5,42,计算与决策,第,42,页,/,共,140,页,(1),点击“工具”栏中的数据分析项；,(2),在分析工具框中连击“单因素方差分析”；,(3),在对话框的“数据区域”框中键入,A3,：,C6,；,在,框中保持不变（也可根据需要变为）；,在“输出选项”中键入,D3,；,选择“确定”，输出结果如表,7-9,所示：,2026/10/5,43,Excel,中方差分析的计算步骤,第,43,页,/,共,140,页,2026/10/5,44,对四个行业的均值进行多重比较（）,由题意及计算可知，,k,1,=7,，,k,2,=6,，,k,3,=k,4,=5;,第一步：提出假设,假设,1:H,0,:,1,=,2,;,假设,2:H,0,:,1,=,3;,假设,3:H,0,:,1,=,4,假设,4:H,0,:,2,=,3,;,假设,5:H,0,:,2,=,4,;,假设,6:H,0,:,3,=,4,第,44,页,/,共,140,页,2026/10/5,45,第二步：计算检验统计量的值,第三步：计算,LSD,。,2026/10/5,版权所有,BY,统计学课程组,45,对四个行业的均值进行多重比较（）,第,45,页,/,共,140,页,2026/10/5,46,第四步：进行决策,2026/10/5,版权所有,BY,统计学课程组,46,由以上计算可知，检验统计量 ,的值,分别小于LSD1、LSD2、LSD4的值，显示旅游业与居民,服务业的投诉次数之间、旅游业与公路客运业投诉次数之,间、居民服务业与公路客运业投诉次数之间没有显著差,异；,的值分别大于LSD3、LSD5、,LSD6的值，显示旅游业与 业的投诉次数之间、公路客,运业与 业投诉次数之间有显著差异。,对四个行业的均值进行多重比较（）,第,46,页,/,共,140,页,一、无交互作用的双因素方差分析,若记一因素为因素,A,，另一因素为因素,B,，对,A,与,B,同时进行,分析，就属于双因素方差分析，即判断是否有某一个或两个,因素对试验指标有显著影响，两个因素结合后是否有新效应。,在统计学中将各个因素的不同水平的搭配所产生的新的影响,称为交互作用。,我们先讨论无交互作用的双因素方差分析问题，对于有交互,作用的双因素方差分析问题稍后再讨论。,2026/10/5,47,第三节 双因素方差分析,第,47,页,/,共,140,页,假定因素,A,有,r,个水平：,A,1,A,2,A,r,；因素,B,有,s,个水平：,B,1,B,2,B,s,。在,A,的,r,个水平与,B,的,s,个水平的每种组合下作一次,试验，可得无交互作用的双因素方差分析的数据结构下表所示：,2026/10/5,48,数据结构,因素,B,因素,A,B,1,B,2,B,S,平均值,A,1,x,11,x,12,x,1s,A,2,x,21,x,22,x,2s,A,r,x,r1,x,r2,x,rs,平均值,第,48,页,/,共,140,页,判断因素,A,的影响是否显著等价于检验假设：,H,01,:,1.,=,2.,=,i.,判断因素,B,的影响是否显著等价于检验假设：,H,02,:,.,1,=,.,2,=,.j,其中，,r,表示,A,的第,i,个水平所构成的总体均值，,s,表示的,B,第,j,个水平所构成的总体均值。,2026/10/5,49,假设建立,第,49,页,/,共,140,页,分解总离差平方和,与单因素情况类似，能够证明下列公式成立：,2026/10/5,50,第,50,页,/,共,140,页,自由度,由数理统计可以证明：当 时,与单因素情况类似，可以证明,S,T,、,S,A,、,S,B,和,S,E,的自由度分,别为,2026/10/5,51,第,51,页,/,共,140,页,平方和分解定理,平方和分解定理：设,Q,服从自由度为,n,的 分布，又,Q,1,+Q,2,+Q,k,=Q,，其中，,Q,（,i=1,2,3,k,）是秩为,f,i,的非,负二次型，则,Q,相互独立，并且服从自由度为,f,i,的 分布,的充要条件是,f,1,+f,2,+f,k,=n(,这里不做证明，证明参见有,关数理教材,),。,显然，,S,T,、,S,A,、,S,B,和,S,E,满足平方和分解定理条件。,2026/10/5,52,第,52,页,/,共,140,页,检验统计量,由于,SA,反映因素,A,的各水平之间的差异，,SB,反映因素,B,的,各水平之间的差异，,SE,反映在交互作用不显著时试验本身,随机误差的大小。因此，可用以下统计量作为检验统计量：,2026/10/5,53,第,53,页,/,共,140,页,双因素（无交互作用）方差分析表,方差来源,方差,S,自由度,f,均方,MS,F,值,A,的影响,f,A,=r-1,MS,A,=S,A,/f,A,F,A,=MS,A,/MS,E,B,的影响,f,B,=s-1,MS,B,=S,B,/f,B,F,B,=MS,B,/MS,E,误差,f,E,=(r-1)(s-1),MS,E,=S,E,/f,E,总和,f,T,=rs-1,2026/10/5,54,第,54,页,/,共,140,页,【,例,】,为提高某种产品的合格率，考察原料用量和来源地对其,是否有影响。原料来源地有三个：甲、乙、丙；原料用量有三,种：现有量、增加,5%,、增加,8%,。每个水平组合各作一次试验，,得到的数据如表下所示。试分析原料用量和来源地对产品合,格率的影响是否显著？,2026/10/5,55,例题,第,55,页,/,共,140,页,例题数据,原料用量,原料来源地,现有量,B,1,增加,5%B,1,增加,8%B,1,甲地,A,1,59,70,66,乙地,A,2,63,74,70,丙地,A,3,61,66,71,2026/10/5,56,第,56,页,/,共,140,页,例题分析,解,:(1),建立假设,H,01,:,1.,=,2.,=,3,.,H,02,:,.,1,=,.,2,=,.,3,(2),计算相应的均值和平方和：,2026/10/5,57,第,57,页,/,共,140,页,(3),列方差分析表,方差分析表,方差来源,方差,S,自由度,f,均方,MS,F,值,因素,A,S,A,=26,f,A,=2,MS,A,=26/2=13,F,A,=13/7=1.86,因素,B,S,B,=146,f,B,=2,MS,B,=146/2=73,F,B,=73/7=10.43,误差,S,E,=28,f,E,=4,MS,E,=28/4=7,总和,S,T,=200,f,E,=8,2026/10/5,58,例题分析,第,58,页,/,共,140,页,(4),统计决策,对于显著性水平,，查表得临界值,F,，,因为,F,A,=1.86 F(2,4),，故不能拒绝,H,01,;F,B,=1.86F(2,12)=3.89,F,B,=F(2,12)=3.89,F,A*B,=F,说明不仅冲压机的型号和垫片材料对垫片数量有显著影响，而且其交互作用也是显著的。,由结构均值表可知，在冲压机中,第一种的均值较大；垫片材料中,木的均值较大，故最优方案是,A,1,B,3,。,2026/10/5,76,第,76,页,/,共,140,页,以例为例，将数据输入到,Excel,工作表的区域为,B2:D7,，冲压机的二个水平,A1,、,A2,在第一列，垫片材料的水平,B1,、,B2,、,B3,在第一行。再按以下步骤进行：,(1),点击,“,工具,”,栏中的数据分析项。,(2),分析工具框中连击,“,方差分析：可重复双因素方差分析,”,。,(3),在对话框的,“,数据区域,”,框中键入,A1:D7,；在,“,每一样本的行数,”,框中键入,3,。,在框中保持,=,不变（也可根据需要变为）；,在,“,输出选项,”,中键入空白地方，如,F2,；,选择,“,确定,”,，输出结果如表,7-20,所示：,2026/10/5,77,有交互作用的双因素方差分析中的,Excel,应用,第,77,页,/,共,140,页,7-20,有重复双因素方差分析结果,SUMMARY,橡胶,B1,塑料,B2,软木,B3,总计,A1,观测数,3,3,3,9,求和,10.26,11.84,12.98,35.08,平均,3.42,3.946667,4.326667,3.897778,方差,0.0036,0.003633,0.004433,0.158394,A2,观测数,3,3,3,9,求和,11.56,10.43,11.74,33.73,平均,3.853333,3.476667,3.913333,3.747778,方差,0.003033,0.003033,0.008633,0.045694,总计,观测数,6,6,6,求和,21.82,22.27,24.72,平均,3.636667,3.711667,4.12,方差,0.058987,0.068937,0.05648,方差分析,差异源,SS,df,MS,F,P-value,F crit,样本,0.10125,1,0.10125,23.04046,0.000434,4.747225,列,0.811944,2,0.405972,92.38306,5.15E-08,3.885294,交互,0.768033,2,0.384017,87.38685,7.03E-08,3.885294,内部,0.052733,12,0.004394,总计,1.733961,17,第,78,页,/,共,140,页,由表,7-20,于检验行因素冲压机,A,（,Excel,表中为,“,样本,”,）、用于检验列因素垫片材料,B,、用于检验冲压机,A,和垫片材料,B,交互作用,A*B,的,p,值均小于，故不仅因素,A,和,B,对试验指标有显著影响，而且其交互作用也是显著的。,由于,A,1,的试验指标均值大于,A,2,的试验指标均值，,B,3,的试验指标均值大于,B,1,和,B,2,的试验指标均值，故最优方案应为,A,1,B,3,，买第一种型号的冲压机、采用软木材料，这种组合的单位时间内生产的垫片最多。,2026/10/5,79,第,79,页,/,共,140,页,一、试验设计的概念和设计原则,试验设计有三个基本原则：重复性、随机化和区组化。,(1),重复性原则：重复性是指对一项试验要在相同的条件下重复进行若干次。只有进行多次的试验，才能掌握其规律性。,(2),随机化原则：随机化是指试验材料和试验地点都要随机地确定。这样进行试验得出的结论才具有客观性和普遍性，且每次进行的试验都可认为是相互独立的。,(3),区组化原则：一组试验，试验者总希望在相同或近似相同的条件下进行，以便在相互比较中得出正确的结论。,2026/10/5,80,第四节 正交试验设计初步,第,80,页,/,共,140,页,第一、尽量减少试验误差。在试验时，要尽可能使对试验产生影响的其他因素达到理论中要求的精确程度，这样我们在对目的指标进行测算时才能达到较为客观的结果。在一项试验中误差是必然存在的，我们的目的就是要尽量减少该误差。,第二、尽量减少试验次数。试验的次数越多，进行试验所耗费的人力、物力也就会相应地增多，最佳的试验就是用尽可能少的费用来获得最有效的试验结果。,第三、所设计的试验要便于对指标值进行统计分析。影响一个事件的指标是多样的，在进行设计时要选择比较容易测算且对事件影响较大的指标进行计算。,2026/10/5,81,在安排试验时需要注意三点：,第,81,页,/,共,140,页,在现实问题中，影响试验指标的因素通常有很多个，要考察它们就涉及多因子的试验设计问题。多因子试验中一个很困难的问题就是因子数较多，而又需要进行多次的试验。例如，有,10,个因子对某一指标有显著影响，而每个因子取两个水平进行比较，那么就有,210=1024,个不同的水平组合，即每个水平组合作一次试验，就需要进行,1024,次试验，耗费的人力、财力可想而知，这在实际中是不可行的。因此，需要按照一定的方法从中选择一部分进行试验。常用的试验设计方法有正交试验设计法、参数设计法、回归设计法、均匀设计法、混料设计法等。限于篇幅，这里仅介绍正交试验设计的基础知识，其他方法请读者自行阅读试验设计的有关书籍。,2026/10/5,82,第,82,页,/,共,140,页,在多因子试验中，各因子又有不同的水平数，我们的目的是要从这些因子不同的水平组合中，找出一组或几组组合使所要求的指标达到最优。下面以一个二因子的例子来具体认识一下多因子试验问题。,例,7.4,为提高合金钢的强度，同时考虑碳,(C),含量,(,因子,),及钛,(Ti),与铝,(AL),的含量,(,因子,),对强度,Y,的影响，希望找出最佳的含量组合，使强度,Y,达到最大（表,7-21,）。,2026/10/5,83,二、多因子试验问题,第,83,页,/,共,140,页,2026/10/5,84,表,7-21,合金钢的试验数据,第,84,页,/,共,140,页,2026/10/5,85,第,85,页,/,共,140,页,一个因子的水平好坏或好坏的程度受另一个因子水平制约的情况，称为因子,A,和,B,的交互作用，记作 或,AB,。,因子,A,和,B,的交互作用可以用图形较为直观地表示。,2026/10/5,86,三、交互作用,第,86,页,/,共,140,页,2026/10/5,87,第,87,页,/,共,140,页,因子间的交互作用会随着因子个数的增加而增加。如四个因子,A,，,B,，,C,，,D,间的交互作用有以下几类：,(1),二级交互作用有,6,个：,AB,，,AC,，,AD,，,BC,，,BD,，,CD,；,(2),三级交互作用有,4,个：,ABC,，,ABD,，,ACD,，,BCD,；,(3),四级交互作用有,1,个：,ABCD,。,交互作用共有,11,个，比因子个数还多。实践经验表明，多数交互作用是不存在或者很小以至可以忽略不计的，一般我们主要考虑部分二级交互作用，但具体考察哪些二级交互作用还要根据下面的方法来决定。,2026/10/5,88,第,88,页,/,共,140,页,正交试验设计法是利用正交表科学地挑选试验条件，合理安排试验的方法，是研究与处理多因素试验的一种科学方法。,正交设计有两个重要的特点：（,1,）任意一对因子（也称因素）的任一水平组合必在试验中出现，且出现的次数相同；（,2,）总试验次数比全面试验（所有因子的任一水平组合都进行搭配）要少许多次。例如，对,7,个二水平因子进行全面试验要进行,27=128,次，而用正交表安排试验只需要作,8,次。用正交表合理地安排试验，可以做到省时、省力、省钱，还能得到令人满意的检验效果，因此这种方法在改进产品质量、研究采用新工艺、试制新产品、了解设备工艺性能以及改进技术管理等方面都有广泛的应用。,2026/10/5,89,四、正交表及其类型,第,89,页,/,共,140,页,正交表是正交设计的工具，是运用组合数学理论在正交拉丁方的基础上构造的一种规格化表格，符号为：,其中，,L,为正交表符号；,n,为正交表的行数,(,试验次数，试验方案数,),；,j,为正交表中每一列因子的水平个数；,i,为正交表的列数,(,试验因子的个数,),。,2026/10/5,90,1,正交表及其特性,第,90,页,/,共,140,页,例如，表示一张,8,行,7,列，每列有两个水平的正交表（表,7-22,），它表示在这个试验中，要作,8,次不同条件的试验，共有,7,个影响因素，每个因素都有两个水平，我们称这张表为两水平的正交表。,2026/10/5,91,第,91,页,/,共,140,页,2026/10/5,92,第,92,页,/,共,140,页,正交表具有正交性，这是指它有如下两个特征：,（,1,）每列中不同的数字重复的次数相同。在表中，每列有两个不同的数字：,1,，,2,，每一个各出现,4,次。,（,2,）将任意两列的同行数字看成一个数对，那么任意可能数对重复的次数相等。在,中，任意两列有,4,种可能数对：,(1,，,1),，,(1,，,2),，,(2,，,1),，,(2,，,2),，每一对各出现,2,次。,2026/10/5,93,第,93,页,/,共,140,页,2026/10/5,94,2,正交表的分类,第,94,页,/,共,140,页,正交表安排试验的步骤如下：,（,1,）明确试验目的，确定要考察的试验指标。,（,2,）确定要考察的因子和因子的水平。,（,3,）选用合格的正交表，进行表头设计。,（,4,）根据试验号的安排进行试验，并记录试验指标的具体数据。,（,5,）数据分析。对一个正交表形式的试验设计通常有三种分析方法：一是用极差分析各因子对指标影响程度的大小，这是一种较为简单的直观分析方法；二是用方差分析进行数据分析；三是贡献率分析法。,2026/10/5,95,五、无交互作用情况下的设计,第,95,页,/,共,140,页,例,7.5,某化工厂生产的一种产品的收率较低，为此希望通过试验提高收率。在试验中考察如下三个因子三个水平（表,7-23,）：,表,7-23,因子水平表,2026/10/5,96,第,96,页,/,共,140,页,解,由于所考察的因子是三水平的，因此选用三水平正交表，又现在只考察三个因子，故选择 安排试验。,选定了正交表后把因子放在正交表的列上去，称为表头设计。在例中将三个因子置于前三列，将它写成如下的表头设计形式：,2026/10/5,97,第,97,页,/,共,140,页,九次试验的结果,收率,(%),分别是：,51 61 58 72 69 59 87 85 84,(,一,),用极差分析各因子对指标影响程度的大小,1,用直观分析表对该试验进行分析,为方便起见，把试验结果写在正交表的右边一列上，并分别用 表示，所有计算可以在表上进行。,2026/10/5,98,第,98,页,/,共,140,页,首先来看第一列，该列中的,1,，,2,，,3,分别表示因子的三个水平，按水平号将数据分为三组：,“,1,”,对应 ，,“,2,”,对应 ，,“,3,”,对应 。,在第二列，该列中的,1,，,2,，,3,分别表示因子,B,的三个水平，按水平号将数据分为三组：,“,1,”,对应 ，,“,2,”,对应 ，,“,3,”,对应 。同理我们可以从图中得到第三列的情况。,2026/10/5,99,第,99,页,/,共,140,页,分别对每一列每个水平的数据进行相加，得到这个水平下该因子对应指标值的和，例如，,2026/10/5,100,第,100,页,/,共,140,页,同理我们可以得到对应,C,水平的,T,1,，,T,2,，,T,3,的值，用每个水平得出的,Ti,的值去除以,3,就得到其均值 。,由以上计算可知，每个因子下间的差异反映了这个因子三个水平间的差异；分别对三个因子的各个水平进行数值大小比较：因子,A,的三个水平均值差异较大，其第三个水平的均值最大，故因子,A,的三水平最好。对第二、三列进行类似地分析，可知因子,B,的第二个水平好，因子,C,的第二个水平好。,2026/10/5,101,第,101,页,/,共,140,页,对第四列也可以进行上述分析，按其中的,1,，,2,，,3,分别将数据分为三组，但三组的水平组合相同，因此该列仅反映误差。,综上可知，使指标达到最佳的水平组合是，即反应温度为,90,度、加碱量为,48,公斤、选取乙类催化剂可以使转化率达到最大。,2026/10/5,102,第,102,页,/,共,140,页,一个因子的极差是该因子各水平均值的最大值与最小值之差，如果该值大，则说明改变这一因子的水平会对指标造成较大的变化，所以该因子对指标的影响大，反之，则影响小。极差最大的列所对应的因子是最主要因子。当要求指标愈高愈好时，可选,R,行中最大者，所对应的水平为优水平；当要求指标愈低愈好时，可选,R,行中最小者其所对应的水平为优水平。,2026/10/5,103,2,用极差分析各因子对指标影响程度的大小,第,103,页,/,共,140,页,在例中各个因子的极差分别是：,它们被置于表,7-24,的最下方一行。从三个因子的极差可知因子,A,的影响最大，其次是,C,，而因子,B,的影响则最小，通常记为,2026/10/5,104,第,104,页,/,共,140,页,2026/10/5,105,表,7-24,例的直观分析计算表,第,105,页,/,共,140,页,用方差分析方法来说明影响指标的因子的分析步骤如下：,1,建立统计模型,要对试验进行方差分析，首先要作几点假设：,(1),在同一水平组合下全部试验结果构成一个总体，且服从正态分布；,(2),各正态总体的方差相同，均为 ；,(3),各正态均值与水平组合有关；,(4),不同水平组合下的试验是相互独立的。,2026/10/5,106,(,二,),用方差分析法进行数据分析,第,106,页,/,共,140,页,2026/10/5,107,第,107,页,/,共,140,页,总平方和为：,2026/10/5,108,2,进行平方和分解,第,108,页,/,共,140,页,（,1,）因子的平方和是此因子各水平均值与总均值间的离差平方和；,（,2,）一个置于正交表第,k,列上的因子，其平方和 ，其自由度 ；,（,3,）因子平方和中除了误差之外只反映此因子的效应间的差异；,（,4,）误差平方和 等于诸空白列的平方和之和，其自由度等于诸空白列的自由度之和。,2026/10/5,109,3,计算各因子的平方和,第,109,页,/,共,140,页,2026/10/5,110,4,方差分析表,第,110,页,/,共,140,页,2026/10/5,111,第,111,页,/,共,140,页,(1),对显著因子应选择其最好的水平；,(2),对不显著的因子可以任意选择水平，常可根据降低成本、操作方便等来选择其水平。,2026/10/5,112,5,最佳水平选择,第,112,页,/,共,140,页,2026/10/5,113,6,最佳水平组合均值估计,第,113,页,/,共,140,页,2026/10/5,114,第,114,页,/,共,140,页,在实际问题中,分析所得的最佳水平组合无论是否在试验中出现，通常都需要作验证试验，对最佳水平组合进行验证。,对于例，根据介绍的计算公式我们得到如表,7-26,所示的方差分析表：,2026/10/5,115,7,验证试验,第,115,页,/,共,140,页,2026/10/5,116,第,116,页,/,共,140,页,当试验指标不服从正态分布时，进行方差分析的依据就不充足，此时可以通过比较各因子的,“,贡献率,”,来衡量因子作用的大小。,2026/10/5,117,(,三,),贡献率分析,第,117,页,/,共,140,页,2026/10/5,118,表,7-27,贡献率分析表,第,118,页,/,共,140,页,贡献率最大的几个因子是重要因子，而贡献率与误差贡献率差不多的因子通常被认为是不重要的。,将例中的数据作贡献率分析,计算结果如表,7-28,所示：,2026/10/5,119,第,119,页,/,共,140,页,在多因子试验中，经常会出现两个或多个因子间有交互作用的情况，此时，要用关于有交互作用的方法进行分析。因子间有交互作用与无交互作用的分析方法是有区别的，这主要体现在正交表的设计上。,2026/10/5,120,六、有交互作用设计,第,120,页,/,共,140,页,1,自由度,2026/10/5,121,(,一,),表头设计,第,121,页,/,共,140,页,2026/10/5,122,2,在对有交互作用的试验进行分析时应遵循的原则,第,122,页,/,共,140,页,以下的分析仅以,4,个因子及交互作用的二水平正交设计为例，描述统计模型和方差分析过程。,2026/10/5,123,(,二,),数据的方差分析,第,123,页,/,共,140,页,2026/10/5,124,1,统计模型,第,124,页,/,共,140,页,各因子的平方和分别为,:,交互作用的平方和为,:,误差平方和为,:,2026/10/5,125,2,平方和分解,第,125,页,/,共,140,页,2026/10/5,126,第,126,页,/,共,140,页,2026/10/5,127,3,方差分析表,(,表,7-29),第,127,页,/,共,140,页,4,最佳水平组合的选择,(1),对显著因子，最佳水平可通过比较其各个水平下数据均值或数据和得到；,(2),对显著的交互作用，先计算两个因子水平的所有不同搭配下数据的均值，再通过比较得出哪组水平组合较好；,(3),不显著的因子，其水平可任意选取，亦可按成本较低来选择水平。,2026/10/5,128