大学数学高数微积分第三章线性方程组第一节课堂讲解.ppt

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2,方程,(1),乘以,-2,加到方程,(2);,STEP 1,交换方程,(1),与,(2),得,方程,(1),乘以,1,加到方程,(3),得,STEP 3,交换方程,(4),与方程,(5),得,STEP 4,方程,(5),乘以,-4,加到方程,(4),得,STEP 5,方程,(6),加到方程,(5),得,STEP 6,方程,(7),加到方程,(1),方程,(6),乘,例,1,中所用的消元法的过程,实际上是对方,以,-1,得,程组施行如下的运算或变换：,(1),一个方程的两端乘以一个不等于零的数,;,(2),一个方程的两端乘以同一个数后加到另,一个方程上去,.,定义,1,变换,(1),，,(2),，,(3),称为线性方程组,的,初等变换,.,(3),交换两个方程在方程组中的位置,;,2,消元法的证明,消元的过程就是反复施行初等变换的过程,.,下,面证明，,初等变换总是把方程组变成,同解方程组,.,证明,只证变换,(2),对于方程组,进行第二种初等变换,.,为简便起见，不妨把第二个,方程的,k,倍加到第一个方程得到新方程组,现在设,(,c,1,c,2,c,n,),是,(1),的任一解,.,因,(1),与,(2),的后,s,-1,个方程是一样的，所以,(,c,1,c,2,cn,),满足,(2),的后,s,-1,个方程,.,又,(,c,1,c,2,c,n,),满足,a,11,c,1,+,a,12,c,2,+,a,1,n,c,n,=,b,1,a,21,c,1,+,a,22,c,2,+,a,2,n,c,n,=,b,2,.,把第二式的两边乘以,k,，再与第一式相加，即为,(,a,11,+,ka,21,),c,1,+(,a,12,+,ka,22,),c,2,+(,a,1,n,+,ka,2,n,),c,n,=,b,1,+,kb,2,故,(,c,1,c,2,c,n,),又满足,(2),的第一个方程，因而是,(2),的解,.,类似地可证,(2),的任一解也是,(1),的解,.,这就证明了,(1),与,(2),是同解的,.,证毕,(1),的前两个方程,3,用消元法解一般线性方程组,对于方程组,(1),，首先检查,x,1,的系数,.,如果,x,1,的系数全为零，那么方程组,(1),对,x,1,没有任何限制,x,1,就可以取任意值，而方程组,(1),可以看作,x,2,x,n,的方程组来解,.,如果,x,1,的系数不全为零，那么利用,初等变换,(3),，可以设,a,11,0.,利用初等变换,(2),，,分别地把第一个方程的,倍加到第,i,个方程,(,i,=2,s,).,于是方程组,(1),就变成,其中,这样，解方程组,(1),的问题就归结为解方程组,的问题,.,显然，,(4),的一个解，代入,(3),的第一个方,程就定出,x,1,的值，这就得出,(3),的一个解；,而,(3),的解显然都是,(4),的解,.,这就是说，,方程组,(3),有解,的充分必要条件为方程组,(4),有解，而,(3),与,(1),是,同解的，因而，方程组,(1),有解的充分必要条件为,方程组,(4),有解,.,对,(4),再按上面的考虑进行变换，并且这样一,步步作下去，最后就得到一个,阶梯形,方程组,.,为了,讨论起来方便，不妨设所得的方程组为,其中,c,ii,0,i,=1,2,r,.,方程组,“0=0”,这样一些恒等式可能不出现，也可能出现,这时去掉它们也不影响,(5),的解,.,而且,(1),与,(5),是,同解的,.,下面讨论方程组,(5),的解的情况,.,如果,(5),中有方程,0=,d,r,+1,，而,d,r,+1,0.,这时,不管,x,1,x,n,取什么值都不能使它成为等式,.,故,(5),无解，因而,(1),无解,.,当,d,r,+1,=0,或,(5),中根本没有“,0=0”,的方程,时，分两种情况：,中的,情形一,r,=,n,这时阶梯形方程组为,其中,c,ii,0,i,=1,2,n,.,由最后一个方程开始，,x,n,x,n,-1,x,1,的值就可以逐个地唯一地决定了,.,此,时方程组有唯一的解,.,例,2,用消元法把线性方程组化成阶梯形方,程，并由此判断方程组是否有解，若有解，求出其,解,.,解,经过一系列初等变换后，它变成了如下,x,3,=-6,代入第二个方程解得,x,2,=-1;,x,2,=-1,代入第一个方程解得,x,1,=9.,由于在阶梯形方程组中,有效方程的个数,r,与,方程的未知量的个数,n,相等，所以有唯一解,.,一解为,(9,-1,-6).,把,再把,x,3,=-6,，,故方程组的唯,情形二,r,n,这时阶梯形方程组为,其中,c,ii,0,i,=1,2,r,.,把它变形，得,由此可见，任给,x,r,+1,x,n,一组值，就唯一,地确定,x,1,x,2,x,r,的值，也就是得到方程组的一,个解,.,一般地，,由上式我们可以把,x,1,x,2,x,r,通,过,x,r,+1,x,n,表示出来，这样一组表达式称为方,程,(1),的,一般解,，而,x,r,+1,x,n,称为一组,自由未,知量,.,三、消元法的总结,用消元法解线性方程组的整个过程，总起来,说就是：,首先用初等变换化线性方程组为阶梯形方,程组，把最后的一些恒等式“,0=0”(,如果出现的,话,),去掉,.,如果剩下的方程当中最后一个等式是零,等于一非零的数，那么方程组无解，否则有解,.,在,有解的情况下，如果阶梯形方程组中方程的个数,r,等于未知量的个数,n,，那么方程组有唯一的解,;,果阶梯形方程组中方程的个数,r,小于未知量的个数,n,，那么方程组就有无穷多个解,.,如,把以上结果应用到齐次线性方程组，就有,定理,1,在齐次线性方程组,中，如果,s,n,，那么它必有非零解,.,证明,显然，方程组在化成阶梯形方程组之,后，方程的个数不会超过原方程组中方程的个数，,即,r,s,n,.,由,r,n,得知，它的解不是唯一的，因而必有非零,解,.,证毕,四、线性方程组与矩阵,如果知道了一个线性方程组的全部系数和常数,项，那么这个线性方程组就其本上确定了,.,确切地,说，线性方程组,可以用下面的矩阵,来表示,即对于给定的线性方程组可唯一地确定矩,阵,反之给定矩阵,可唯一地确定线性方程,组,.,这也就是说，,线性方程组与矩阵一一对应,.,于是我们引进下述概念,定义,2,设有线性方程组,令,则称,A,为方程组的,系数矩阵,；,称为方程组的,增广矩阵,.,显然，用初等变换化方程组成阶梯形方程组就,相当于用初等行变换化增广矩阵成阶梯形矩阵,.,因,此，解线性方程组的第一步工作可以通过矩阵来进,行，而从化成的阶梯形矩阵就可以判别方程组有解,还是无解，在有解的情形，再回到阶梯形方程组去,求解,.,例,3,用矩阵的初等行变换法判断方程组是否,有解,.,单 击 这 里 开 始,五、消元法的几何解释,在本节的最后，我们来研究消元法的几何意义,.,以,3,元线性方程组为例,.,设有,3,元线性方程组,并设其有唯一解,x,=,a,y,=,b,z,=,c.,我们知道，,3,元线性方程在几何上表示一个平,面，因此，上述线性方程组的几何意义是：这三个,个平面交于一点,P,(,a,b,c,).,从另外一个角度来说，,也就是，过空间点,P,(,a,b,c,),可以作无穷多个平面，,从这无穷多个平面中任选三个就可以确定空间点,P.,而在这些平面中以平面,x,=,a,y,=,b,z,=,c,的方程最,简单，它们的位置也最特殊，因为它们平行于三个,坐标面,.,由此可看出消元法的几何意义是：,从给定平,面出发，逐步用过点,P,(,a,b,c,),的位置较特殊的平,面的方程取代方程组中的方程，直到方程组中的方,程是过点,P,(,a,b,c,),所作的所有平面中方程最简单,的三个为止,.,例如,显然,该方程组有唯一解,且为,x=y=z,=1.,P,(1,1,1).,方程组的几何意义是这三个平面交于一点,方程组中的每一个方程表示一个空间平面,故该,上述,设有三元线性方程组,如图,3-1.,x+2y-z,=2,2x-y+z,=2,x+y+z,=3,P,(1,1,1),图,3-1,L,方程组,的解,所表示,的点如图,3-2,图,3-2,P,(1,1,1),所示,.,消元的过程即为,也即,导 出,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,汇报结束,谢谢大家,!,请各位批评指正,