浮筏动力特性分析时瑞利阻尼系数的计算方法.pdf

第45卷第19 期2023年10 月舰船科学技术SHIP SCIENCEAND TECHNOLOGYVol.45,No.19Oct.,2023浮筱动力特性分析时瑞利阻尼系数的计算方法李海峰，付建，曾帆（海军潜艇学院，山东青岛2 6 6 10 0）摘要：为减小瑞利阻尼参数对浮筏动力特性分析精度的影响，根据试验测得的模态频率和模态阻尼比，利用加权最小二乘法计算瑞利阻尼系数，以使得各阶模态阻尼比相对误差的平方和最小，与常用方法相比，可得到更为满意的效果。参与加权最小二乘计算的模态阶数影响到模态阻尼比的相对误差，综合考虑模态参与因子和有效模态质量，确定了主自由度有效模态质量累计参与系数高于95%的模态选取原则。依据该原则，将加权最小二乘法用于浮筏动力分析中瑞利阻尼系数的确定，根据该模态选取原则所确定的阻尼系数能满足浮筏动力特性工程计算的实际需要。关键词：瑞利阻尼；浮筏；加权最小二乘法；有效质量参与系数；模态选取原则中图分类号：TB535文章编号：16 7 2-7 6 49(2 0 2 3)19-0 0 55-0 5Calculation method of Rayleigh damping coefficient in dynamic analysis of floating raftAbstract:In order to reduce the influence of Rayleigh damping parameters on the calculation accuracy of floating raftdynamic characteristics,based on the experimental data of mode frequency and damping ratio,the method of weighted leastsquare is used to calculate coefficient of rayleigh damping which can insure that the sum of square of relative error of modedamping ratio is smallest,we can get satisfying result compared with the common method.The number of mode which parti-cipate in calculation can effect the relative errors of mode damping ratio,combined with the method of mode analysis meth-od based on effective mode mass and mode participation factor,The mode selection principle is determined that accumulat-ive effective mass participation factor ought to be bigger than 95%in the main freedom degree.The principle is used in de-termination of rayleigh damping coefficient for dynamic analysis of floating raft.the rayleigh damping coefficient determ-ined by this principle can satisfy the need for dynamic analysis of floating raft in engineering.Key words:Rayleigh damping;floating raft;method of weighted least square;effective mass participation factor;modal selection principle0引言阻尼是结构动力分析的基本参数，对动力分析结果的可信性和精度有很大影响；但阻尼的产生机理和影响因素复杂，目前最常用也是比较简单的阻尼是瑞利阻尼，又称比例阻尼。它是多数实用动力分析的首选，能满足实际工程应用精度的需求，但瑞利阻尼系数的确定1-3 存在一定困难。浮筏是目前应用最为广泛的隔振系统，其结构较为复杂，阻尼是影响浮筱动收稿日期：2 0 2 2-0 9-19基金项目：国防装备预研基金资助项目（41410 0 30 10 2）作者简介：李海峰（19 8 9-），男，博士，讲师，研究方向为旋转机械声场分析与测试。文献标识码：ALI Hai-feng,FU Jian,ZENG Fan(Naval Submarine Academy,Qingdao 266100,China)doi:10.3404/j.issn.1672-7649.2023.19.010力特性分析准确性的重要因素之一。因此，准确计算得到浮筏的瑞利阻尼系数相当重要。本文首先结合瑞利阻尼的物理意义，在模态阻尼比已知的前提下，利用加权最小二乘法计算瑞利阻尼系数，使得各阶模态阻尼比相对误差的平方和最小；然后结合模态分析提出了累计有效质量参与系数高于95%的模态选取原则。算例表明，结合该模态选取原则，利用加权最小二乘法计算得到的瑞利系数能满足浮筏工程计算中的实际需要。561瑞利阻尼介绍实际工程应用中广泛使用的是粘滞阻尼。粘滞阻尼假定阻尼力大小与运动速度成正比，方向与速度相反叫。在单自由度系统中阻尼力可表示为：f=cu=jwncu。式中：为阻尼力；c为系统阻尼；u为结构位移；n为激励力频率。阻尼比并非是恒定值，与频率有一定的对应关系：CC5=Ccr2mwo2Vkm式中：cer为单自由度系统的阻尼临界值；k为结构刚度；m为结构质量；o为系统不考虑阻尼时的自振频率。对多自由度系统粘滞阻尼而言，与单自由度阻尼力相对应，其可用向量形式表达：Fa=Ciu。式中：Fa为阻尼力列向量；C为等效粘滞阻尼矩阵；为节点的速度向量。根据阻尼矩阵C是否可以通过模态向量正交化为对角矩阵，将其分为正交阻尼和非正交阻尼。瑞利阻尼模型是广泛采用的一种正交阻尼模型，其表达式为：C=M+K。(4)其中：M为系统的质量矩阵；K为刚度矩阵；、分别为系统的质量阻尼乘子、刚度阻尼乘子。式（4）表明在瑞利阻尼中，阻尼矩阵是质量矩阵和刚度矩阵的线性叠加，且3个矩阵均为对角阵。根据有限元基础理论可知，有限元分析时简谐力作用下系统的运动方程为6 ：Mi(t)+Cu(t)+Ku(t)=f(t)。式中：u(t)、i(t)、(t)分别为在简谐激励力f(t)（向量）作用下节点的位移、速度、加速度（向量）。通过正交变换，式（5）可变换为：TMp+TC+$TKE=Tf(t)。式中：为模态振型矩阵；号、专、为模态坐标系下的所对应的结构加速度、速度和位移。当阻尼矩阵为对称矩阵时，式（6）可简化为n个非耦合的方程：(3)+25j0);(53)+ug(5i=(f;(0)。舰船科学技术式中：为第j阶模态阻尼比；,为j阶模态频率；J()为模态坐标系下第j阶振型所对应的激振力。结合式（4）得到：+2Co=(1)由对称性可推得：2fiw;=+u,。C(2)(3)(5)(6)(7)第45卷0(8)0+2瑞利阻尼系数的确定比较考虑瑞利阻尼和不考虑瑞利阻尼时某浮筏的隔振效果，如图1所示。可知，在频率低于2 0 0 Hz，时瑞利阻尼对隔振效果的影响并不明显，但在中高频段尤其是当频率高于7 0 0 Hz时，瑞利阻尼的作用得以体现，除8 8 0 90 0 Hz外，振级落差的差别均大于5dB，在930 10 0 0 Hz内差别大于10 dB。因此瑞利阻尼在高频段对浮筏隔振效果的影响较为明显，所以准确且合理确定瑞利阻尼系数非常重要。90不考虑瑞利阻尼一考虑瑞利阻尼80706050400图1瑞利阻尼对隔振效果的影响Fig.1 Influence of Rayleigh damping on vibration isolation effect图2 浮筱有限元模型Fig.2 Finite element model of floating raft在结构动力特性仿真过程中，为真实反映结构的阻尼特征，一般是根据实验测试或现有数据，选取前m阶（mn，n 为系统自由度）振型阻尼比，以此来计算瑞利阻尼比例系数和。目前，应用最为普遍的方法是根据2 个不等的模态频率及其所对应的模态阻尼比确定阻尼系数，即(9)200400频率/Hz6008001000(17)第45卷一般选取对结构动力特性影响最大的两阶模态或者分析时的第一阶和最后一阶模态。该方法操作简单，但仅能反映少数几阶模态的阻尼特性，在宽频带范围内效果较差。2.1加权最小二乘法计算瑞利阻尼系数如果系统自由度较大，利用上述方法得到的阻尼系数计算相应模态阻尼比，计算结果同要求值相差较大。结合误差理论，利用加权最小二乘法，使得各阶模态所对应的模态阻尼比相对误差的平方和最小7 ,该方法在较宽频带内能够反映多数阶次模态的阻尼特性。加权最小二乘法的基本思想是通过对原模型加权，使之变成一个新的不存在异方差性的模型，然后采用普通最小二乘法估计其参数。理论上最优权数wi为误差项方差？的倒数，即Wi=1/o?。(12)误差项方差大的项接受小的权数，以降低其在平方和中的作用；误差项方差小的项接受大的权数，以提高其在平方和中的作用8。设第阶振型阻尼比的相对误差为：Sinput-Sirequestei=Sirequest式中：ireques为结构所要求的阻尼比或实测值；Siput为结构分析动力响应方程所具有的真实阻尼比，由式（9）确定。设权值为wi，则加权平方和E为：E=2n2Wiei。将式（13）代人式（14）得到：+w?E=Wi=12witi将式（15）分别对和求偏导并令偏导为0，得-n2WiwZWi2a=nWia1李海峰，等：浮筏动力特性分析时瑞利阻尼系数的计算方法2(6jiw;-iw.)w;jWi(10)2a=-u2(kiw;-j)=WiWi2一Wi57.nnW;wiii=1i1=n(11)=12.2不同方法的相对误差比较首先分别利用2 种方法计算瑞利阻尼系数，比较各阶模态阻尼比的相对误差。模拟对象为一梁结构，试验测得其对应模态频率和模态阻尼比见表19。利用瑞利阻尼系数计算得到结构动力分析时的真实阻尼比，以各阶模态阻尼比的相对误差为比较对象，结果如表2 所示。表1梁结构前七阶模态频率与模态阻尼比Tab.1 The first seven modal frequencies and modal damping ratioof a beam structure阶次模态频率/Hz197.592156.953161.124284.055354.66488.187573.07表2 不同计算方法对应结果比较图Tab.2 Compares the corresponding results ofdifferent calculation methods(13)阶次1234(14)567由表2 可知，利用加权最小二乘法计算得到的绝(15)大部分阶次模态阻尼比的相对误差较通用方法有所减小，证实了该方法的有效性。3浮筏瑞利阻尼系数的确定WinnWi2nVV通用方法014.361 3315.250 6311.103 234.146 46214.172.020(16)浮筱是由设备、筏架、基座、上下层隔振器组成的复杂隔振系统。以某艇用浮筏为计算对象，有限元模型如图2 所示。浮筱上安装有2 台设备，筱架长3.5m，nn模态阻尼比0.01160.01170.01180.012.70.01330.0140.0182加权最小二乘法8.7857159.64506710.754.7110.024174.133 74912.779 621.647 16358宽1.8 m，高0.4m，基座以钢板模拟，上下层隔振器阻尼比均为0.0 9。依据各阶模态阻尼比，利用加权最小二乘法计算浮筏的瑞利阻尼系数虽然可行，但参与计算的模态数越多，效果越差。图3比较了利用前15阶模态参数和前30 阶模态参数计算瑞利阻尼系数，所对应的前15阶模态阻尼比的（假设模态阻尼比为恒定值0.0 2）相对误差。7阻尼系数由前15阶模态计算6阻尼系数由前30 阶5模态计算432102468101214模态阶次图3前15阶模态阻尼比的相对误差Fig.3 Relative errors of the first 15 modal damping ratios由图3可知，若模态阶数选的过少，高阶模态对应的模态阻尼比的相对误差较大；模态阶数选的过多几乎所有参与计算的模态阻尼比相对误差都会增加。因此合理选取参与计算的模态阶数不仅可使分析结果合理可靠，还可节约时间和存储空间。3.1模态选择方法振动的广义特征值问题1O)为：(K-w2M)b=。计算结构的模态时，采用集中质量，并将模态进行标准化处理：dTMg;=1。式中：(d),为对应的第j阶振型，第i阶模态在第j方向的参与因子定义为：Fi=df,MDj.式中：i为模态阶数；j为作用力方向，每阶模态可能各有x、y、Z、x、Q,6 个方向；();为第阶模态第j方向的标准化特征矢量；D,为描述激励方向的矢量矩阵。第i阶模态第j方向的有效模态质量定义为：Mji=dTMj相应的j方向累计有效模态质量参与系数r;定义为：舰船科学技术式中：Mtotal为结构总质量，由式（19）知Mi=Fji，此外所有阶模态有效模态质量之和等于结构总质量。由于模态有效质量考虑了振型参与因子，可反映相应模态在动力反应中的参与度，因此能够作为模态选取的主要判据9-10 1。浮筏作为复杂隔振系统，其各阶模态参数反映相应的动力学特性，并且高阶模态对其动力学特性影响很小，当分析的模态阶数满足主自由度方向（在平动自由度中选取）的有效模态质量超过总质量的9 5%时，即认为分析满足要求。从该点出发，提取r=0.95之前的所有模态的模态参数，利用模态频率与模态阻尼比求取瑞利阻尼系数。3.2浮筏瑞利阻尼系数的确定假设浮筏各阶模态阻尼比为定值0.0 2，提取的3个平动方向的前10 0 阶模态参数，模型总质量为3077kg，其前10 0 阶X、Y、Z方向的有效模态质量之和分别为2 7 15.4kg、2 8 40 k g、2 958 k g，可知Z为主自由度方向。表3为部分阶次模态的相关数据。表3乙方向部分阶次模态参数Tab.3 Partial order modal parameters in the Z direction阶次累计有效质量/kg(18)10205071(19)100可知，前7 1阶模态的累计有效质量参与系数已超过总质量的9 5%。取前7 1阶模态所对应的模态阻尼比(20)计算瑞利阻尼系数，得到=2.504，-3.5510-。计算得到的模态阻尼比与要求值的相对误差如图4所示。可知：在前7 1阶模态中，7 2 2 及6 6 7 1阶模态阻尼比的相对误差超过2 0%，其余均在2 0%之内。从瑞利阻尼系数对浮筏隔振性能影响的角度可知，利用加权最小二乘法计算阻尼系数能够满足实际工程需要。此外，结合研究频段0 10 0 0 Hz内的所有模态频F2(21)第45卷mi-1=Mtotal频率/Hz17.687.4273.6412.7492.9率（共2 8 3阶）并假设模态阻尼比均为0.0 2，利用加权最小二乘法计算对应的瑞利阻尼系数，得到=3.3，=183105。依次利用前7 1阶模态参数确定的阻尼系(22)177425322.5352.8802958第45卷Fig.4 Relative error of modal damping ratio数和利用前2 8 3阶模态参数确定的阻尼系数计算浮筱的隔振效果，计算频率限于7 1 2 8 3阶模态对应的频率段，如图5所示。80一阻尼系数由前7 1阶决定70阻尼系数由前2 8 3阶决定60AP/5040302010图5不同阻尼系数对应的隔振效果Fig.5Vibration isolation effect corresponding todifferent damping coefficients可知，利用低频段的模态频率计算瑞利阻尼系数依然适用于高频，浮筏隔振效果的计算误差最大不超过4dB，这说明依据主自由度有效模态质量累计参与系数高于95%的模态选取原则确定的瑞利阻尼系数，是满足不同频段计算需求的。4结语本文详细介绍了瑞利阻尼和加权最小二乘法，并从模态阻尼比相对误差的平方和最小为出发点，利用加权最小二乘法计算瑞利阻尼系数。将计算结果同常李海峰，等：浮筏动力特性分析时瑞利阻尼系数的计算方法3530252015105010203040506070模态阶次图4模态阻尼比相对误差5006007008009001000频率/Hz59用方法相比较，证明了加权最小二乘法的有效性。针对浮筏等复杂结构，结合基于有效模态质量参与系数的模态分析方法确定了rj95%的模态选取原则，并将该方法用于浮筏动力特性分析时瑞利阻尼系数的确定。计算得到动力分析时，模态阻尼比的真实值与要求值相对误差在少部分阶次模态超过2 0%，大部分阶次的模态阻尼比相对误差不超过2 0%，能满足浮筱动力特性计算的工程实际需要。参考文献：1 TAO J C,MAK C M.Effect of viscous damping on powertransmissibility for the vibration isolation of building servicesequipmentJJ.Applied Acoustic,2006(67):733-742.【2 】傅志方，华宏星.模态分析理论与应用M.上海：上海交通大学出版社,2 0 0 0.3 TROMBETTI T,SILVERTRI S.On the modal damping ratiosof shear-type structure equipped with Raileigh damping sys-temsJ.Journal of Sound and Vibration.2006(292):21-58.4付建,王永生,魏应三.阻尼对浮筱隔振性能的影响研究1船海工程,2 0 11,40(3):16 9-17 2.5 CAI C H,ZHENG M,KHAN M S,etal.Modeling of materialdamping properties in ansysCJ/2002 CADFEM Users Meet-ing&Ansys Conference.Friedrichshafen,Germany,2002.6 王淮峰，楼梦麟，张如林.加权最小二乘法求解Rayleigh阻尼系数的讨论.计算力学学报,2 0 17,34(5):6 0 3-6 0 7.7 KANDEG G M,Influence of mode dependent rayleigh damp-ing on transient stress responseD.Karlskrona:Blekings Insti-tute of Technology,2007.8郑毅.结构比例阻尼和复模态阵型复杂度的参数研究D大连：大连理工大学，2 0 18.9 INDRAJIT C,SHAMBHM P D.Computation of rayleighdamping coefficients for large systemsJJ.The Electronic Jour-nal of Geotechnical Engineering,2003(8):114-123.10侯晓武，杨志勇，王莹.不同阻尼模型对动力弹塑性分析响应影响分析.建筑科学,2 0 2 0(S2):254-258.