函数的凸性与拐点.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,一、函数凹凸的定义,问题,:,如何研究曲线的弯曲方向,?,任意弧段位于所张弦的上方,任意点的切线在曲线上方,任意弧段位于所张弦的下方，任意点的切线在曲线下方,5,函数的凸性与拐点,凸,函数,凹函数,A,B,C,设,A,(,x,1,f,(,x,1,),B,(,x,2,f,(,x,2,)，,则线段,AB,间的任意点,C,(,x,y,),可表示为：,x,C,定义,如果不等式改为严格不等式，则相应的函数称为严格凸函数和严格凹函数。,引理,f,为,I,上的凸函数的充要条件,：,对于,I,上的任意三点，,总有,证,:,必要性,由,f,的凸性知道,:,从而,充分性,在,I,上任取两点,在 上任取一点,由必要性的推导逆过程，可证得,故,f,为,I,上的凸函数。,同理可证，,f,为,I,上的凸函数的充要条件是：对于,I,上任意三点,有,定理 设,f,为区间,I,上的可导函数，则下述论断互相等价：,(1),f,为,I,上凸函数,(3),对,I,上的任意两点 有,证,任取,I,上两点 及充分小的正数,h,由于,根据,f,的凸性及引理有,所以 为,I,上的递增函数。,在 以 为端点的区间上，应用拉格朗日中值定理,和 递增条件，有,设 为,I,上任意两点，,由,(3):,从而,f,为,I,上的凸函数。,注意,:,论断,(3),的几何意义是：曲线总是在它的任一切线的上方。这是可导凸函数的几何特征。,定理 设,f,为,I,区间上的二阶可导函数，则在,I,上,f,为凸（凹）函数的充要条件是,证,凸,凹,例1,解,注意到,例,2,若函数,f,为定义在开区间（,a,，,b,）,内的可导的凸 （凹）函数，则,x,0,为,f,的极小（大）值点的充要条件是,证,只证明,f,为凸函数的情形。,必要性已由费马定理给出，只需证明充分性。,即,x,0,为,f,在（,a，b,）,内的极小值点（而且为最小值点）。,*詹森（,Jensen）,不等式,若,f,为,a，b,上凸函数，则,*例,4,证明不等式,其中,a，b，c,为正数。,证,故,f,为严格凸函数,例,5,设,f,为开区间,I,内的凸（凹）函数，证明,f,在,I,内任一点都存在左，右导数。,证,仅证凸函数存在右导数，其余类似可证。,由,f,的凸性，有,即,F,为,增函数,。,因而函数,F,（,h,）,在,h,0,上,有下界,，,定义,2,设曲线,y,=,f,（,x,）,在点,(,x,0,f,(,x,0,),处有穿过曲线的切线，且在切点近旁，曲线在切线的两侧分别是严格凸和严格凹的，这时称点,(,x,0,f,(,x,0,),为曲线的拐点。,与极值点类似，,拐点只能是,f,的零点或,f,不存在的点。,二、曲线的拐点,*证,:,定理,4,（拐点的第一,充分条件,）,*定理,5,（拐点的第二,充分条件,）,若,f(x,),可导，则,f(x,),的拐点是 的极值点。,*定理,5,（拐点的第二,充分条件,）,*证,思考：,.,),(,0,异号,的左右邻近,在,x,f,x,?,0,),0,),(,),(,0,2,0,),1,2,(,0,=,=,=,-,(x,f,x,f,x,f,n,n,）,（,且,若,L,凹凸与拐点的判定步骤,例7,解,拐点,非拐点,作 业,P153.1（2）,5（1）,