ch4 解的存在性与连续性.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,第四章,解的存在性与连续性,4.1,连续性的概念,4.1.2,对应的连续性,下面是对教材进行部分替换的内容及相关插补内容,集值,映射,集值映射是经济学为自己创造的一种分析工具，主要用于研究需求与供给问题。与通常的映射相比，集值映射是取值为集合的映射，它反映的是元素与集合之间的某种对应关系。事实上，多值函数就是集值映射的一种形式,。带,歧视的价值函数就是一种集值映射,。消费,预算、需求、供给其实也都是集值映射，甚至连经济系统本身也可以看成是一种集值映射。,现实经济生活中，集值映射也是多见的。比如，消费选择。消费者往往因为百货商店的好多西太多而眼花缭乱，做不出唯一的选择：这件东西好，那件东西也好，买其中哪一个都行。这样，这件东西和那件东西都成为他需要且能够购买的商品，但只能购买其中之一。这种现象就是集值映射的一个典型事例：选择的不唯一性。,又如，抛物线,y,=4,x,所表达的变量,y,与,x,之间的关系就是集值映射：。,关于集值映射，讨论起来比单值映射要复杂得多。这里，我们只讨论与本课程有关的内容：集值映射的连续性。,(,一,),集值映射的概念,定义,设,E,和,F,是两个集合。如果对,E,中每个元素,x,，都有,F,的子集,(,x,),与之对应，则称这种对应关系为从,E,到,F,的,集值映射,(set-valued map),，简称,集映,，记作,:,E,F,。如果集映,:,E,F,满足条件：,(,x,E,)(,(,x,),),，则称,:,E,F,为,对应,(correspondence),。,x,(,x,),:,E,F,E,F,补例,1,(,预算对应,),集合,E,F,如下,:,E,=,(,p,1,p,2,r,):(,p,1,0)(,p,2,0)(,r,0),F,=,(,x,1,x,2,):(,x,1,0)(,x,2,0),对任何,(,p,1,p,2,r,),E,，,与之对应的,F,的子集为,(,p,1,p,2,r,),=,(,x,1,x,2,),F,:(,p,1,x,1,+,p,2,x,2,r,),。则这一对应关系就,是一个集值映射，并且是对应。我们可把,(,p,1,p,2,),看成价格向量，把,r,看成收入，则集合,(,p,1,p,2,r,),就是支付不超过收入的消费方案的全体,预算集合，因而通常把,:,E,F,称为,预算对应,。,(,p,1,p,2,r,),补例,2,(,集族,),通常的集族就是集映。比如，集族,Z,t,t,T,实际上是集映,Z,:,T,F,，其中,F,=,Z,t,，,Z,(,t,),=,Z,t,(,对一切,t,T,),。,t,T,x,1,x,2,1.,看作多值映射,通常所说的映射或函数都是单值映射或单值函数，即对于自变量的每一种取值，与之对应的因变量的值是唯一的；集值映射则实际上是多值映射，即对于自变量的每一种取值，与之对应的因变量的值是可能有多个，甚至无限多个。,补例,3.,带人员歧视的价值函数,用,x,表示商品,Q,的数量，则下述集值映射,v,:,R,+,R,+,是一种带有人员歧视的价值函数：,v,(,x,),=,x,exp(,x,),1,ln(1+,x,)(,x,0),。这是一个多值函数。,补例,4.,反三角函数,经常使用的各种反三角函数都是多值函数，它们就是集值映射。比如，反正玄函数,Arcsin(,x,),是从闭区间,1,1,到实数直线,R,的集值映射，即,Arcsin,:1,1,R,其中,Arcsin(,x,),=,2,k,+arcsin(,x,):,k,=,0,1,2,(2,k,+1),arcsin(,x,):,k,=,0,1,2,。,v,x,x,v,(,x,),x,exp(,x,)1,ln(1+,x,),x,x,y,Arcsin(,x,),补例,5.,经济系统集映,社会经济系统本身就是一个集值映射,:,A,R,，其中,A,代表经济人的全体，,R,是商品空间，,(,a,),代表经济人,a,的选择集合,(,商品空间的子集,),。经济制度及法律法规都能通过集映,:,A,R,得以体现。,2.,看作单值映射,也可把集值映射,:,E,F,看成是一种单值映射,:,E,P,(,F,),，其中,P,(,F,),是,F,的,幂集,(power set),，即由集合,F,的一切子集所构成的集合。这种看法的好处在于,与,x,对应的元素,(,x,),被作为一个整体来看待，而不再像多值映射那样把,(,x,),看成是对应于,x,的多个元素。,当把集值映射看成是单值映射时,集值映射,:,E,F,实际上代表着一个集族,(,x,),x,E,，也就是说，集映,:,E,F,与,集族,(,x,),x,E,是同一回事。,F,E,(,x,),x,把集值映射看成单值映射的又一个好处在于,当,E,和,F,为拓扑空间时,我们可以给幂集合,P,(,F,),赋予适当的拓扑结构，从而可以像单值映射那样来研究集映。,都是本质集映,例,4,是非本质集映。对于本质性集映，采用如下的集合论观点看待，将会给分析带来方便。,3.,看作乘积集合的子集,G,(,),x,(,x,),F,E,集映的图像,集映,:,E,F,可看作是积集合,E,F,的子集,G,(,),=,(,x,y,),E,F,:,y,(,x,),。,集合,G,(,),叫做,:,E,F,的,图像,。不同集映的图像是不同的，集映与它的图像之间一一对应，因而可把集映与其图像等同看待。,这样,单值映射,f,与集值映射,表达了相同的对应关系。可见，我们更应该关心,本质性集值映射,:,E,F,：,存在,x,y,E,使得,x,y,且,(,x,),(,y,),。前面的例,1,3,5,集值映射可以区分为本质性和非本质性两类。所谓,非本质集映,:,E,F,，是指,(,x,),(,x,E,),互不相交，即对任何,x,y,E,，只要,x,y,，就有,(,x,),(,y,),=,。事实上，如果,:,E,F,是非本质集映,那么,必然是某个单值映射,f,:,F,E,的逆映射：,(,z,F,)(,x,=,f,(,z,),(,z,(,x,),),。,(,x,),(,y,),x,y,E,F,非本质集映,(,二,),各种类型的集映,E,的子集,K,在集映,:,E,F,下的,像集,是指集合,K,：,K,=,(,x,)=,y,F,:,(,x,K,)(,y,(,x,),1.,开集映,：,设,E,与,F,都是拓扑空间。如果集映,:,E,F,的图像,G,(,),是,积空间,E,F,的,开子集，则称,:,E,F,为开集映。,2.,闭集映,：,设,E,与,F,都是拓扑空间。如果集映,:,E,F,的图像,G,(,),是,积空间,E,F,的,闭子集，则称,:,E,F,为闭集映。,3.,开集值集映,：,设,E,为任一集合，,F,为拓扑空间。如果对任何,x,E,，,(,x,),都是,F,的开子集，则称,:,E,F,为开集值集映。,4.,闭集值集映,：,设,E,为任一集合，,F,为拓扑空间。如果对任何,x,E,，,(,x,),都是,F,的闭子集，则称,:,E,F,为闭集值集映。,5.,紧集值集映,：,设,E,为任一集合，,F,为拓扑空间。如果对任何,x,E,，,(,x,),都是,F,的紧子集，则称,:,E,F,为紧集值集映。,6.,凸集值集映,：,设,E,为任一集合，,F,为向量空间。如果对任何,x,E,，,(,x,),都是,F,的凸子集，则称,:,E,F,为凸集值集映。,x,K,教材上相关表述为,：,(,三,),集映的连续性,设,E,和,F,都是拓扑空间,，,:,E,F,，,x,E,。,（,1,）,上半连续性,在点,x,处上半连续,是指：对于,F,中,任何包含,(,x,),的开集,V,，都存在,x,的邻域,U,使得,U,V,。,如果,在,E,中的任何点处都是上半连,续的，则称,是,上半连续,的集映。,（,2,）,下半连续性,在点,x,处下半连续,是指：对于,F,中,任何与,(,x,),相交的开集,V,，都存在,x,的邻,域,U,使得,(,z,U,)(,(,z,),V,),。,如果,在,E,中的任何点处都是下半连,续的，则称,是,下半连续,的集映。,E,F,(,x,),U,V,上半连续,下半连续,x,F,E,U,(,x,),x,V,（,3,）,连续性,在点,x,处连续,是指,在点,x,处既上半连续，又下半连续。如果,在,E,中的任何点处都是连续的，则称,是,连续集映,。,V,U,U,集映的上半连续性和下半连续性都是函数连续性概念的推广。,的,上半连续性是说,(,x,),不会突然膨胀,框得住；,的,下半连续性是说,(,x,),不会陡然收缩,粘得住。,1.,集映连续性的意义,V,(,x,),(,x,),x,x,粘不住,框不住,在,x,处上半连续，但不下半连续,在,x,处下半连续，但不上半连续,定理,设,:,E,F,，,x,E,，,E,R,，,F,R,，,m,和,n,都为自然数。,如果,是闭集值集映且,E,是有界的，则,上半连续,当且仅当,是闭集映。,若,(,x,),是闭集且存在,x,的邻域,U,使得,U,有界，则,在,x,处上半连续,当且仅当,对任何,y,F,以及任何序列,x,k,E,和,y,k,(,x,k,),(,k,=1,2,),，当,x,k,x,(,k,),且,y,k,y,(,k,),时，,y,(,x,),。,在,x,处下半连续,当且仅当,对任何,y,(,x,),及,E,中任何收敛于,x,的序列,x,k,(,k,=,1,2,),，,存在,F,中收敛于,y,的序列,y,k,(,k,=,1,2,),，,使得,y,k,(,x,k,),(,k,=,1,2,),。,如果,是闭集值的闭集映且存在,x,的邻域,U,使得,U,有界，则,在,x,处上半连续。,2.,集映连续性的判别,n,m,本定理为研究集值映射提供了极大的便利。其中的结论,(4),直接从,(1),得到，它比,(1),可能更为有用；结论,(2),和,(3),分别是集值映射的上、下半连续性的极限形式，因而也是很有用的。,补例,6,移动通讯需求,信息技术的发展让移动通讯业在全球迅速兴盛起来，尤其在中国，手机的使用已经比较普遍，移动通讯需求相当旺盛，移动通讯业的竞争也迅速展开。我们来分析一下移动通讯市场的需求情况。,假定市场上有两家公司,A,和,B(,比如联通公司和移动公司,),在提供移动通讯业务，这两家公司提供的服务相同，但话费可能不同。,p,1,：公司,A,的话费,(,元,/,分种,),。,p,2,：公司,B,的话费,(,元,/,分种,),。,x,1,：消费者使用公司,A,的网络通话的时间,(,分钟,),。,x,2,：消费者使用公司,B,的网络通话的时间,(,分钟,),。,r,：消费者准备用于支付话费的收入。,这样，平面上的向量,x,=,(,x,1,x,2,),表示着消费者的通话选择：使用网络,A,通话,x,1,分钟，使用网络,B,通话,x,2,分钟。这样，消费者的消费集合便为 。,(1),偏好关系的确定,既然两家提供的服务完全相同，那么在不考虑价格因素的情况下，不论是用谁的网络服务，对消费者来说都是一样的。因此，消费者移动通讯消费方案的评价可以按照通话总时间多少来确定的：,(,x,y,X,)(,(,(,x,1,x,2,),(,y,1,y,2,),(,x,1,+,x,2,y,1,+,y,2,),),即消费者认为，移动通话的总时间越多越好。这样，无差异曲线为直线：,x,1,+,x,2,=,U,(0,U,p,2,、,p,1,p,2,的情形,(2),p,1,0,和价格 ，选一个开球,V,使得,。则对包含,p,的任何开集,U,以及,U,中这样的点,p,=,(,p,1,p,2,),：,p,1,p,2,，都有,D,(,p,r,),V,=,。故,D,(,p,r,),在,(,p,r,),处不是下半连续的。,(3),移动通讯需求的上半连续性和非下半连续性,移动通讯消费者明显地满足需求上半连续性定理的条件，因此移动通讯需求集映,D,(,p,r,),是上半连续的。但它不是下半连续的，这一事实的证明思路是去证明在,p,1,=,p,2,0,的地方,D,(,p,r,),不下半连续。,x,1,x,2,o,o,V,p,p,1,p,2,D,(,p,r,),w,D,(,w,r,),w,1,w,2,D,(,p,r,),V,=,=,V,D,(,w,r,),价格空间,消费集合,4.2,解的性质,4.2.1,解的存在性,例,4.5-,例,4.9,见教材,P80,P81(,请课外自己验证,）,4.2.3,解的凹凸性,最大值定理不仅能判断最优化问题有解的条件，而且能够用,