非线性控制系统分析(第八章).ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,本章要求,:,本章不会要求画图（据老师说），但是会要求分析。,第八章、非线性控制系统分析,1,例：,某,弹簧质量运动系统如图所示，图中 为物体的质量，,为弹簧的弹性系数，若初始条件为 ，,试确定系统自由运动的相轨迹。,解：,描述系统自由运动的微分方程式为,将上式写为,令 ，则有,三、相平面法,（,5,）,2,整理后得,该系统自由运动的相轨迹为以坐标原点为圆心、,为半径的圆，见下图。,三、相平面法,（,6,）,3,2,、,相轨迹绘制的等倾线法,等倾线法是求取相轨迹的一种,作图方法,，不需求解微,分方程。对于求解困难的非线性微分方程，图解方法显得,尤为实用。,基本思想,：是先确定相轨迹的等倾线，进而绘出相轨,迹的切线方向场，然后从初始条件出发，沿方向场逐步绘,制相轨迹。,对于相轨迹微分方程,该方程给出了相轨迹在相平面上任一点 处切线的斜,率。,三、相平面法,（,7,）,4,取相轨迹切线的斜率为某一常数 ，得等倾线方程,由该方程可在相平面上作一条曲线，称为,等倾线,。当相轨,迹经过该等倾线上任一点时，其切线的斜率都相等，均为 。,取 为若干不同的常数，即可在相平面上绘制出若干条等倾,线，在等倾线上各点处作斜率为 的短直线，并以箭头表示,切线方向，则构成相轨迹的切线方向场。,在下张图中，已绘制某系统的等倾线和切线方向场，给,定初始点 ，则相轨迹的绘制过程如下：,三、相平面法,（,8,）,5,由初始点出发，按照该点所处等倾线的短直线方向作一,条小线段，并与相邻一,条等倾线相交；由该交,点起，并按该交点所在,等倾线的短直线方向作,一条小线段，再与其相,邻的一条等倾线相交；,循此步骤依次进行，就,可以获得一条从初始点,出了，由各小线段组成的折线，最后对该折线作光滑处,理，即得到所求系统的相轨迹。,三、相平面法,（,9,）,6,使用等倾线法绘制相轨迹应注意以下几点：,1,）坐标轴 和 应选用相同的比例尺，以便于根据等倾线,斜率准确绘制等倾线上一点的相轨迹切线。,2,）在相平面的上半平面，由于 ，则 随 增大而增,加，相轨迹的走向应是由左向右；在相平面的下半平面,，则 随 增大而减小，相轨迹的走向应由右向左。,3,）除系统的平衡点外，相轨迹与 轴的相交点处切线斜率,应为 或 ，即相轨迹与轴垂直相交。,三、相平面法,（,10,）,7,4,）一般地，等倾线分布越密，则所作的相轨迹越准确。,但随所取等倾线的增加，绘图工作量增加，同时也使,作图产生的积累误差增大。为提高作图精度，可采用,平均斜率法，即取相邻两条等倾线所对应的斜率的平,均值为两条等倾线间直线的斜率。,三、相平面法,（,11,）,8,3,、,线性系统的相轨迹,线性系统是非线性系统的特例，对于许多非线性一阶,和二阶系统（系统中所含非线性环节可用分段折线表示），,常可以分成多个区间进行研究，而在各个区间内，非线性,系统的运动特性可用线性微分方程描述。,（,1,）,线性一阶系统的相轨迹,描述线性一阶系统自由运动的微分方程为,相轨迹方程为,三、相平面法,（,12,）,9,设系统初始条件为 ，则 ，相轨,迹如下图所示。,由图可知，相轨迹位于过原点，斜率为 的直线,上。当 时，相轨迹沿该直线收敛于原点；当 时，,相轨迹沿该直线发散至无穷。,三、相平面法,（,13,）,10,(,2,),线性二阶系统的轨迹,描述线性二阶系统自由运动的微分方程为,当 时，微分方程又可以表示为,线性二阶系统的特征根,相轨迹微分方程为,三、相平面法,（,14,）,11,令 ，可得等倾线方程为,其中 为等倾线的斜率。当 ，且 时，可得,满足的两条特殊的等倾线，其斜率为,该式表明，特殊的等倾线的斜率等于位于该等倾线上相,轨迹任一点的切线斜率，即当相轨迹运动至特殊的等倾线上,时，将沿着等倾线收敛或发散，而不可能脱离该等倾线。,三、相平面法,（,15,）,12,下面就线性二阶微分方程参数 和 的七种不,同情况加以具体讨论，其相轨迹曲线采用等倾线法或解析法,绘制而得。,1,）。系统特征根,为两个符号相反的互异实根，系统相平面图见下张图。,三、相平面法,（,16,）,13,由图可见，图中两条特殊的等倾线是相轨迹，也是其它相轨,迹的渐近线，此外作为相平,面的分隔线，还将相平面划,分为四个具有不同运动状态,的区域。当初始条件位于,对应的相轨迹，系,统的运动将趋于原点，但只,要受到极其微小的扰动，系,统的运动将偏离该相轨迹，,并最终沿着 对应的相,轨迹的方向发散 至无穷。,因此 时，线性二阶系统的运动是不稳定的。,三、相平面法,（,17,）,14,2,）。系统特征根为 ，,相轨迹方程为,运用积分法求得相轨迹方程,相平面图见右图，相轨迹,过初始点 ，斜率为,的直线。当 时，,相轨迹收敛并最终停止在,c,轴上；,时，相轨迹发散至无穷。,三、相平面法,（,18,）,15,3,）。取 ，并分以下几种情况加以分析：,。系统特征根为一对具有负实部的共轭复根,。,系统的零输入响应为衰减振荡形式。取 ，,运用等倾线法绘制系统的,相轨迹如右图所示。相,轨迹为向心螺旋线，最,终趋于原点。,三、相平面法,（,19,）,16,。系统特征根为为两个互异负实根：,系统的零输入响应为非振荡衰减形式，存在两条特殊,的等倾线，其斜率分别为,系统相平面图见右图。,三、相平面法,（,20,）,17,关于相轨迹的运动形式说明如下：,由前面知，线性二阶系统的等倾斜率为,可求得,当等倾线位于第,，,象限时，则 。故在第,象限，增大，减小；在第,象限，减小，增大。在,第,（或第,）象限，两条特,殊相轨迹将该象限划分 和,三个区域，如左图所示。,三、相平面法,（,21,）,18,通过分析可知，相轨迹沿 的运动是不稳定的，,稍有扰动，则偏离该相轨迹，最终沿等倾线 的方向,收敛至原点。,根据时域分析知，的线性二阶系统的自由运动为,由初始条件决定。当取初始条件使 或 ，,则相轨迹为 或 ；而在其它情况下，由于特征,根 远离虚轴，故第二项很快衰减，系统运动过程特别是过,渡过程的后期主要取决于第一项。这一结果与相平面分析的,结果一致。,三、相平面法,（,22,）,19,。系统特征根为两个相等的负实根。,取 ，其相平面图见下图。与 相比，相轨迹,的渐近线即特殊等倾线蜕化为一条，不同初始条件的相轨迹,最终将沿着这条特殊,的等倾线趋于原点。,三、相平面法,（,23,）,20,。系统特征根为一对纯虚根 。,系统的自由运动为等幅正弦振荡。给定初始点 ，,仿照例,8,1,，采用直接积分方法可得系统的相轨迹方程,显然，上式为相平面的椭圆方程。,系统的相平面图为围绕坐标原点,的一簇椭圆，见右图椭圆的横轴,和纵轴由初始条件给出。,三、相平面法,（,24,）,21,。系统特征根为一对具有正实部的共轭复根，,系统自由运动呈发散振荡形式。取 时，,系统相轨迹如下图所示，为离心螺旋线，最终发散至无穷。,三、相平面法,（,25,）,22,时系统特征根为两个正实根。,系统自由运动呈非振荡发散，系统相平面图见下左图。,存在两条特殊的等倾线。当初始点落在这两条直线上，则相,轨迹沿该直线趋于无穷；当初始点位于其余位置时，相轨迹,发散至,无穷远处。,当 时，系统特征根两个相同的正实根，存在一条特殊,的等倾线。系统相轨迹发散，相平面图如上右图所示。,三、相平面法,（,26,）,23,4,、,奇点和奇线,（,1,）奇点,定义：,以微分方程 表示的二阶系统，其相轨迹,上每一点切线的斜率为 ，若在某点处,和 同时为零，即有 的不定形式，则称该点为相平,面的,奇点,。,相轨迹在奇点处的,切线斜率不定,，表明系统在奇点处可,以按任意方向趋近或离开奇点，因此在奇点处，多条相轨迹,相交；,三、相平面法,（,27,）,24,由奇点定义知，奇点一定位于相平面的横轴下。在奇点,处，系统运动的速度和加速度同时,为零。对于二阶系统来说，系统不再发生运动，处于平衡状,态。故相平面的奇点亦称为平衡点。,奇点 的类型：,1,）焦点。当特征根为一对具有负实部的共轭复根时，奇点,为稳定焦点；当特征根为一对具有正实部的共轭复根时，奇,点为不稳定焦点。,2,）节点。当特征根为两个负实根时，奇点为稳定节点；当,特征根为两个正实根时，奇点为不稳定节点。,3,）鞍点。当特征根为一正一负实根时，奇点为鞍点。,三、相平面法,（,28,）,25,此外，若线性一阶系统的特征根为负实根（奇点为原点）,或线性二阶系统的特征根一个为零根，另一个为负实根时,（奇点为横轴），相轨迹线性收敛；若线性一阶系统的特征,根为负实根时或线性二阶系统一个根为零根，另一个根为正,实根时，则相轨迹线性发散。,对于非线性系统的各个平衡点，若描述非线性过程的非,线性函数解析时，可以通过平衡点处的线性化方程，基于线,性系统特征根的分布，确定奇点的类型，进而确定平衡点附,近相轨迹的运动形式。当非线性方程在某个区域可以表示为,线性微分方程时，则奇点类型决定该区域系统运动的形式。,若对应的奇点位于本区域内，则称为,实奇点,；若对应的奇点,位于其它区域，则称为,虚奇点,。,三、相平面法,（,29,）,26,（,2,）奇线,当非线性系统存在多个奇点时，奇点类型只决定奇点,附近相轨迹的运动形式，而整个系统的相轨迹，特别是离,奇点较远的部分，还取决于多个奇点的共同作用，有的会,产生特殊的相轨迹，将相平面划分为具有不同运动特点的,多个区域。这种特殊的相轨迹称为,奇线,。最常见的奇线是,极限环,。极限环把相平面的某个区域划分为内部平面和外,部平面两部分。,极限环是非线性系统中的特有现象，它只发生在非守,恒系统中，产生的原因是由于系统中非线性的作用，使得,系统能从非周期性的能源中获取能量，从而维持周期运动,形式。,三、相平面法,（,30,）,27,根据极限环邻近相轨迹的运动特点，可将极限环分为,三种类型：,1,）,稳定的极限环,。如果起始于极限环邻近范围的内部或外,部的相轨迹最终均卷向极限环，则该极限环称为稳定的极,限环，其内部及外部均为该极限环的稳定区域。稳定的极,限环对状态较小扰动具有稳定性。系统沿极限环的运动表,现为自激振荡。,2,）,不稳定的极限环,。如果起始于极限环邻近范围的内部或,外部的相轨迹最终均卷离极限环，则该极限环称为不稳定,极限环。不稳定的极限环所表示的周期运动是不稳定的。,其邻近范围其内部及外部均为该极限环的不稳定区域。,三、相平面法,（,31,）,28,3,）,半稳定的极限环,。如果起始于极限环邻近范围内的内部,的相轨迹均卷向极限环，外部的相轨迹均卷离极限环，或,者内部的相轨迹均卷离极限环，外部的相轨迹均卷向极限,环，则这种极限环称为半稳定极限环。对于半稳定极限环，,相轨迹均卷向极限环的内部或外部邻域为该极限环的稳定,区域，相轨迹均卷离极限环的外部或内部邻域为该极限环,的不稳定区域。,应当指出，只有稳定的极限环所对应的周期运动在实,际运动过程中才可以观察得到。,三、相平面法,（,32,）,29,例,：,已知非线性系统的微分方程为,试求系统的奇点，并绘制系统的相平面图。,解,系统相轨迹微分方程为,令 ，则求得系统的两个奇点,三、相平面法,（,33,）,30,为确定奇点类型，需计算各奇点处的一个阶偏导数及增量,线性化方程。,奇点 处,特征根为 ，故奇点 为稳定焦点。,三、相平面法,（,34,）,31,奇点 处,特征根为 ，故奇点 为鞍点。,根据奇点的位置和奇点类型，结合线性系统奇点类型和系,统运动形式的对应关系，绘制本系统在各奇点附近的相轨,迹，再使用等倾线法，绘制其它区域的相轨迹，获得系统,的相平面图，见下张图。,三、相平面法,（,35,）,32,图中相交于鞍点的两条相轨迹为奇线，将相平面划分为两个,区域，相平面图中阴影内,区域为系统的稳定区域，,阴影线外区域为系统的不,稳定区域。凡初始条件位,于阴影线内区域时，系统,的运动均收敛至原点；凡,初始条件位于阴影线外区,域时，系统的运动发散至,无穷大。该例说明，,非线,性系统的运动及其稳定性,与初始条件有关,。,三、相平面法,（,36,）,33,5,、由相轨迹求取时间间隔,相轨迹能清楚地反映系统的状态变化，而确定时间响应、,周期运动的周期和过渡过程时间，则涉及到由相轨迹确定参,变量 。,则系统从初态运动 至 的时间,因而时间的计算归结为相轨迹上相邻两点时间增量,的计算。一般有以下三种方法：,三、相平面法,（,37,）,34,（,1,）增量法,设相轨迹上两点 的位移增量较小，设,为两点处相轨迹状态即速度变量 的平均值，则,在选择相轨迹穿过横轴段的点时，应以免出现 的,情况。最直接的方法，是将其中一点选在横轴上。,（,2,）积分法,因为 ，设点 的对应时间为 ，点,的对应时间为 ，,三、相平面法,（,38,）,35,则,将两点间的相轨迹取倒数，计算阴影区面积，即可得 。,（,3,）,圆弧法,这种方法的基本思想是在横轴上确定圆心和半径，用对,应圆上的一段圆弧近表示相轨迹上的两点 之,间的曲线，再计算系统沿诸圆弧运动所需的时间。,三、相平面法,（,39,）,36,6,、,非线性系统的相平面分析,常见非线性特怀多数可用分段直线来表示，或者本身,就是分段线性的。对于含有这些非线性特性的一大类非线,性系统，其折线的各转折点，构成了相平面区域的分界线，,称为,开关线,。,（,1,）具有死区特性的非线性控制系统,设系统结构如下所示，系统初始状态为零，输入 。,三、相平面法,（,40,）,37,可列写系统的微分方程如下：,不便于分析，取 作为状态变量，并按特性曲线分,区域列写微分方程式,三、相平面法,（,41,）,38,区域,：,区域,：,区域,：,若给定参数 ，根据线性系统相轨迹分析结,果，可得奇点类型,区域,：奇点 为稳定焦点，,相轨迹为向心螺旋线 ；,区域,：奇点为 ，相轨迹沿直线收敛；,区域,：奇点 为稳定焦点，,相轨迹为向心螺旋线 。,三、相平面法,（,42,）,39,由零初始条件 和 得,。,根据区域奇点类型及对应的运动形式，作相轨迹如下图,实线所示。,三、相平面法,（,43,）,40,由上张图可知，各区域的相轨迹运动形式由该区域的,线性微分方程的奇点类型决定，相轨迹在开半线上改变运,动形式，系统存在稳态误差，而稳态误差的大小取决于系,统参数，亦与输入和初始条件有关。若用比例环节,代替死区特性，即无死区影响时，线性二阶系统的相轨迹,如上张图中虚线所示。由此亦可以比较死区特性对系统运动,的影响。,（,2,）具有饱和特性的非线性控制系统,设具有饱和特性的非线性控制系统如下张图所示。图,中 ，系统初始状态为零。,三、相平面法,（,44,）,41,取状态为 和 ，按饱和特性可列写以下三个线性,微分方程,三、相平面法,（,45,）,42,可知开关线 和 将相平面分为负饱和区、线,性区和正饱和区。下面分别研究系统在 和,作用下的相轨迹。,1,）。整理得,这里涉及到在饱和区需要确定形如,为常数,的相轨迹。,三、相平面法,（,46,）,43,由上式得相轨迹微分方程,相轨迹无奇点，而等倾线方程,为一簇平行于横轴的直线，其斜率 均为零。令,得 ，即为特殊的等倾线 。代入给定参,数求得线性区的奇点为原点，且为实奇点，其特征根为,，所以奇点为稳定焦点。由零初始条,件和输入 得，。,三、相平面法,（,47,）,44,取 绘制系统的相轨迹如下图所示。可见，相轨迹,在区域渐近趋近于 的等倾线；在 区域，,渐近趋近于 的等倾线。相轨迹最终趋于坐标原点，,系统稳定。,三、相平面法,（,48,）,45,2,）。由 ，可分区间得下述三个线,性微分方程：,仿照,1,）讨论，在给定参数值下，线性区间奇点 为,稳定焦点；负饱和区内特殊的等倾线为 ；,正饱和区内特殊的等倾线为 。,三、相平面法,（,49,）,46,综上知 对系统运动的影响，与 的情,况相比较，,奇点将沿横轴向右平移,，,两条特殊的等倾,线将沿纵轴向上平移 。,对于初始条件 。,由于 ，故 。而正,因为奇点和特殊的等倾线的平移使奇点的虚实发生变化，特,别是系统相轨迹的运动变得复杂，因此需根据参数 及输,入系数 ，分别加以研究，下面仅讨论其中的三种情况。,当 时，线性区内，相轨迹奇点 为,稳定焦点，且为虚奇点，饱和区的两条特殊的等倾线均位于,相平面的上半平面。系统的相平面图如下张图,a,所示，任何,初始点的相轨迹将沿正饱和区的特殊相轨迹发散至无穷。,三、相平面法,（,50,）,47,三、相平面法,（,51,）,48,当 时，线性区内，相轨迹奇点 为,稳定焦点，且为实奇点，负饱和区和正饱和区的两条特殊的,等倾线分别位于的上半平面和下半平面。系统的相平面图如,上张图,b,所示，任何初始点的相轨迹最终都收敛于 ，,系统的稳态误差为,0.1,。,当 时，线性区内，奇点 为稳定焦,点，为实奇点，且位于开关线上，正饱和区的线性微分方程,为,该区域内的相轨迹是斜率为 的直线，横轴上大于,的各点皆为奇点，任何初始点的相轨迹最终都落在 的,横轴上，系统存在稳态误差，大小取决于初始条件，相平面,图见上张图,c,。,三、相平面法,（,52,）,49,四、描述函数法,描述函数法是,达尼尔（,P.J.Daniel,）,于,1940,年首先提出,的，其,基本思想是：当系统满足一定的假设条件时，系统,中非线性环节在正弦信号作用下的输出可用一次谐波分量,来近似，由此导出非线性环节的近似等效频率特性，即描,述函数。,这时非线性系统就近似等效为一个线性系统，并,可应用线性系统理论中的频率法对系统进行频域分析。,描述函数法只能用来研究系统的,频率响应特性,，不能,给出时间响应的确切信息。,50,1,、,描述函数的基本概念,（,1,）描述函数的定义,设非线性环节输入输出描述为,当非线性环节的输入信号为正弦信号,时，可对非线性环节的稳态输出 进行谐波分析。一般,情况下，为非正弦的周期信号，因而可以展开成傅里叶,级数：,四、描述函数法,（,1,）,51,其中，为直流分量；为第 次谐波分,量，且有,式中，为傅里叶系数，以下式描述：,四、描述函数法,（,2,）,52,而直流分量,若 且 当时，均很小，则可近似认为非线,性环节的正弦响应仅有一次谐波分量,上式表明，非线性环节可近似认为具有和线性环节相类似,的频率响应形式。,定义：,正弦输入信号作用下，非线性环节的稳态输出中一,次谐波分量和输入信号的复数比为非线性环节的描述函数，,用 表示：,四、描述函数法,（,3,）,53,例：,设继特性为,试计算该非线特性的描述函数。,解：,四、描述函数法,（,4,）,54,一般情况下，描述函数是输入信号幅值 和频率 的,函数。当非线性环节中不包含储能元件时，其输出的一次,谐波分量的幅值和相位差与 无关，故描述函数只与输入,信号幅值 有关。至于直流分量，若非线性环节的正弦响,应为关于 的奇对称函数，即,四、描述函数法,（,5,）,55,取变换 ，有,而当非线性特性为输入 的奇函数时，即 ，有,四、描述函数法,（,6,）,56,关于描述函数计算，还具有以下特点。若 为奇函数，,即 ，则,若 为奇函数，且又为半周期内对称时，即,时,四、描述函数法,（,7,）,57,例：,设某非线性元件的特性为,试计算其描述函数。,解：,因 为 的奇数，故 。当输入 时,为 的奇函数，故 。又因为 具有半周期对称，,有,四、描述函数法,（,8,）,58,由定积分公式得,则该非线性元件的描述函数为,四、描述函数法,（,9,）,59,（,2,）非线性系统描述函数法分析的应用条件,1,）非线性系统应简化个非线性环节和一个线性部分闭环连,接的典型结构形式，如图所示。,四、描述函数法,（,10,）,60,2,）非线性环节的输入输出特性应 是 的奇函数，即,，或正弦输入下的输出为 的奇对称函数，,即 ，以保证非线性环节的正弦响应不,含有常值分量，即 。,3,）系统的线性部分应具有较好的低通滤波性能。线性部分,的阶次越高，低通滤波性能越好；而欲具有低通滤波性能，,线性部分的极点应位于复平面的左半平面。,四、描述函数法,（,11,）,61,（,3,）描述函数的物理意义,线性系统的频率特性反映正弦信号作用下，系统稳态,输出中与输入同频率的分量的幅值和相位相对于输入信号,的变化；而非线性环节的描述函数则反映非线性系统正弦,响应中一次谐波分量的幅值和相位相对于输入信号的变化。,因此忽略高次谐波分量，,仅考虑基波分量，非线性环节的,描述函数表现为复数增益的放大器。,注意：,描述函数表现为关于输入正弦信号的幅值 的复变,增益放大器，这正是非线性环节的的近似频率特性,与线性系统频率特性的,本质区别,。,四、描述函数法,（,12,）,62,2,、,典型非线性特性的描述函数,典型非线性特性具有分段线性特点，描述函数的计算,重点在于确定正弦响应曲线和积分区间，一般采用图解方,法。下面针对两种典型非线性特性，介绍计算过程和步骤。,（,1,）死区饱和非线性环节,将正弦输入信号 、非线性特性 和输出信号,的坐标按下张图所示方式和位置旋转，死区饱和特性及其,正弦响应也在下张图所示。输出 的数学表达式为,四、描述函数法,（,13,）,63,图中，由非线性特性的转,折点 和 ，可确定 产,生不同线性变化的区间端点为,四、描述函数法,（,14,）,64,由于 为奇函数，所以 ，而 又为半,周期内对称，故,四、描述函数法,（,15,）,65,死区饱和特性的描述函数为,取 ，由上式得饱和特性的描述函数为,四、描述函数法,（,16,）,66,对于死区特性，。由前面得 ，则得死区特,性的描述函数为,（,2,）死区与滞环继电非线性环节,从滞环与输入信号及其变化率的关系，通过作图法获,得如下张图所示。,四、描述函数法,（,17,）,67,输出 的数学表达式为,四、描述函数法,（,18,）,68,图中，由于非线性特性导致 产生不同线性变化的区间端,点为,由图可见，为奇对称函数，而非奇函数，所以,四、描述函数法,（,19,）,69,死区滞环继电特性的描述函数为,取 ，得理想继电特性的描述函数为,取 ，得死区继电特性的描述函数为,四、描述函数法,（,20,）,70,取 ，得滞环继电特性的描述函数为,书,中表,8,1,列出了一些典型非线性特性的描述函数，,以供查用。,四、描述函数法,（,21,）,71,3,、,非线性系统的简化,等效变换的原则是在 条件下，根据非线性特,性的串、并联，简化非线性部分为一个等效非线性环节，然,后简化线性部分。,（,1,）非线性特性的并联,由描述函数定义，并联等效非线性特性的描述函数为,各非线性特性描述函数的代数和。见下图。,四、描述函数法,（,22,）,72,（,2,）非线性特性的串联,若两个非线性环节串联，可采用图解法简化。以死 区,特性和死区饱和特性串联简化为例。,通常，先将两个非线性特性按下张图（,a,）、（,b,）,形,式放置，就可以确定等效非线性的参数。,四、描述函数法,（,23,）,73,由 ，得,由 得,当 时，由 特性知，；当 时，,由 亦可知，；当 时，,位于线性区，亦呈线性,设斜率为 ，即有,特殊地，当 时，由于 ，,因此 。,四、描述函数法,（,24,）,74,应该指出，两个非线性环节的串联，,等效特性还取决,于其前后次序。调换次序则等效非线性特性亦不同。,描述,函数需按等效非线性环节的特性计算。多个非线性特性串,联，可按上述两个非线性环节串联简化方法，依由前向后,顺序逐一加以简化。,（,3,）线性部分的等效变换,四、描述函数法,（,25,）,75,四、描述函数法,（,26,）,76,4,、,非线性系统稳定性分析的描述函数法,（,1,）变增益线性系统的稳定性分析,先研究图示线性系统的稳定性，其中 为比例环节增益。,设 的极点均位于,s,的左半平面，即 。,四、描述函数法,（,27,）,77,闭环系统的特征方程为,或为,由奈氏判据知，当曲线 包围点 时，系统不稳,定；当曲线穿过 点时，系统临界稳定，将产生,等幅振荡。更进一步，若设 在一定范围内可变，即有,，则 为复平面实轴上的一段直线，,若曲线不包围该直线，则系统闭环稳定，而当包围该直线,时，则系统闭环不稳定。,四、描述函数法,（,28,）,78,（,2,）应用描述函数分析非线性系统的稳定性,当非线性特性采用描述函数近似等效时，闭环系统的,特征方程为,即,称 为非线性环节的负倒描述函数。若曲线 和曲,线 无交点，表明上式无 的正实数解。下张图给,出了这一条件下的两种可能的形式。,四、描述函数法,（,29,）,79,非线性系统的稳定性判据,：若曲线 不包围,曲线，则非线性系统稳定；若曲线 包围 曲线，,则非线性系统不稳定。,四、描述函数法,（,30,）,80,例：,已知非线性系统结构如下图所示，试分析系统的稳定性。,解,对于线性环节，解得穿越频率,四、描述函数法,（,31,）,81,非线性环节为库仑摩擦加黏性摩擦，得,作曲线 和曲线 如上图所示，图中曲线 包,围曲线 。根据非线性系统稳定判据，该非线性系,统不稳定。,四、描述函数法,（,32,）,82,（,3,）非线性系统存在周期运动时的稳定性分析,当曲线 和曲线 有交点时，即,由上两式可解得交点处的频率 和幅值 。,四、描述函数法,（,33,）,83,系统处于周期运动时，非线性环节的输入近似为等幅振荡,即每一个交点对应着一个周期运动。如果该周期运动能够,维持，即考虑外界小扰动作用使系统偏离该周期运动，当,该扰动消失后，系统的运动仍能恢复原周期运动，则称为,稳定的周期运动。,下张图给出了非线性系统存在周期运动的四种形式。,图中曲线 和 的交点为 ，负,倒描述函数上的一点 对应的幅值为 。,四、描述函数法,（,34,）,84,四、描述函数法,（,35,）,85,在复平面上可将曲线 包围的区域视为不稳定区域，,曲线 不包围的区域视为稳定区域，则有下述,周期运动稳,定性判据,：,在曲线 和曲线 的交点处，若 曲,线沿着振幅 增加的方向由不稳定区域进入稳定区域时，,该交点对应的周期运动是稳定的。反之，若 曲线,沿着振幅 增加的方向在交点处由稳定区域进入不稳定区,域时，该交点对应的周期运动是不稳定的。,四、描述函数法,（,36,）,86,例：,设具有饱和非线性特性的控制系统如下所示，试分析：,1,）时非线性系统的运动；,2,）,欲使系统不出现自振荡，确定 的临界值。,解：,1,）由表查得饱和非线性特性的描述函数为,四、描述函数法,（,37,）,87,取 ，对 求导得,代入给定参数 ，得,作 曲线如下张图所示。,四、描述函数法,（,38,）,88,线性部分 在 时的曲线如图中曲线所示，,其中穿越频率,曲线 与负实轴的交点为,由图可知，曲线 和,存在交点 且在该交点处，,系统存在稳定的周期运动。,四、描述函数法,（,39,）,89,由式,得振荡频率 ，而由,可求得振幅 。因而非线性系统处于自振荡情况下,的非线性环节的输入信号为,2,）为使该系统不出现自振荡，应调整 使曲线 移动，,并和曲线 无交点，即应有,时的 曲线如图中曲线所示。,四、描述函数法,（,40,）,90,