第十九章 勒让德多项式 球函数.ppt

单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,电子科技大学物理电子学院,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,电子科技大学物理电子学院,第三篇 特殊函数,本篇主要内容：勒让德多项式及球函数；贝塞尔函数和柱函数,.,本篇重点：勒让德多项式和贝塞尔函数,.,本篇特点：加强了思维能力的训练,以及计算机仿真绘图在特殊函数中的应用,.,第十九章 勒让德多项式 球函数,19.1,勒让德方程及其解的表示,19.1.1,勒让德方程 勒让德多项式,在分离变量法一章中，我们已经知道拉普拉斯方程,（,19.1.1,）,在球坐标系下分离变量后得到欧拉型常微分方程,和,球谐函数方程,（,19.,.2,）,(19.1.2),式的解,与半径,无关，故称为,球谐函数,，或简称为,球函数,球谐函数方程进一步分离变量，令,得到关于,的常微分方程,（,19.1.3,）,称为,阶,连带勒让德方程,.,令,和,把自变数从,换为,，则方程（,19.1.3,）可以化为下列,阶,连,带勒让德方程,形式的,（,19.1.4,）,若所讨论的问题具有旋转轴对称性，即定解问题的解与,无关，则,，即有,（,19.1.5,）,称为,阶,勒让德（,legendre,）方程,同样若记,，,，则上述方程也可写为下列,形式的,阶勒让德方程,(19.1.6),19,1,2,勒让德多项式的表示,1.,勒让德多项式的级数表示,我们知道：在自然边界条件下，勒让德方程的解,为,（,19.1.7,）,式中,上式具有多项式的形式，故称,为,阶,勒让德多项式,勒让德多项式也称为,第一类勒让德函数,式（,19.1.7,）即为,勒让德多项式的级数表示,注意到,故可方便地得出前几个勒让德多项式,:,勒让德多项式的图形可通过计算机仿真,(,如,MATLAB,仿真,),得到,计算,，这应当等于多项式,的常数项,如,为,（即为奇数）时，,则,只含奇,数次幂，不含常数项，所以,（,19.,.8,）,（即为偶数）时，,则,含有常数项，即,（,19.,.7,）中,的那一项，所以,（,19.,.9,）,式中记号,而,因此,，,2,勒让德多项式的微分表示,（,19.1.10,）,上式通常又称为,勒让德多项式的罗德里格斯（,Rodrigues,）表示式,下面证明表达式,(19.1.10),和（,19.1.7,）是相同的,【,证明,】,用二项式定理把,展开,把上式对,x,求导,次凡是幂次,的项在,次求导过程中成为零，所以只需保留幂次,的项，即,的项，应取,，并且注意到,因此有,3.,勒让德多项式的积分表示,根据柯西积分公式的高阶导数，并取正方向积分有,容易证明微分表示（,19.1.10,）也可表示为环路积分形式,（,19.1.11,）,为,平面上围绕,并取正方向这叫作,勒让德多项式的,施列夫利积分表示式,点的任一闭合回路，,式（,19.1.11,）还可以进一步表为下述,拉普拉斯积分,(19.1.12),【,证明,】,取,为圆周，圆心在,，,半径为,在,上有：,并注意到,代入（,19.1.12,）得到,这即为,勒让德多项式的拉普拉斯积分表示,从该积分还很容易看出,（,19.1.13,）,利用,拉普拉斯积分表示,（,19.1.12,），,还可以证明,，,（,19.1.14,）,【,证明,】,回到原来的变量,，,，则,如从,19.2,勒让德多项式的性质,19.2.1,勒让德多项式的性质,1.,勒让德多项式的零点,对于勒让德多项式的零点，有如下结论：,（,i,）,的,个零点都是实的，且在,内；,（,ii,）,的零点与,的零点互相分离,2.,奇偶性,根据勒让德多项式的定义式，作代换,容易得到,（,19.2.1,）,即当,为偶数时，勒让德多项式,为偶函数，,为奇数时,为奇函数,3.,勒让德多项式的正交性及其模,不同阶的勒让德多项式在区间,上满足,(19.2.2),其中,当,时满足,，,(19.2.3),称为正交性 相等时可求出其模,(19.2.4),下面给出公式（,19.2.2,），及其模,(19.2.4),的证明,【,证明,】,（,1,）正交性,勒让德多项式必然满足勒让德方程，故有,两式相减，并在,-1,1,区间上对,x,积分，得,因为上面等式左边的积分值为,所以当,时，必然有,根据,成立,（,2,）模（利用分部积分法证明）,为了分部积分的方便，把上式的,用微分表示给出，则有,注意到,以,为,级零点，,故其,阶导数,必然以,为一级零点，从而上式已积出部分的值为零,再进行,次分部积分，即得,是,次多项式，其,阶导数也就是最高幂项,的,阶导数为,故,再对上式分部积分一次,容易看出已积出部分以,为零点,至此，分部积分的结果是使,的幂次降低一次，,的幂次升高一次，,且积分乘上一个相应的常数因子,继续分部积分（计,次），即得,故勒让德多项式的模为,且有,4.,广义傅里叶级数,定理,19.2.1,在区间,-1,1,上的任一连续函数,可展开为勒让德多项式的级数,（,19.2.5,）,其中系数,(19.2.6),在实际应用中,经常要作代换,此时勒让德方程的解为,，这时有,(19.2.7),其中系数为,（,19.2.8,）,19.2.2.,勒让德多项式的应用（广义傅氏级数展开）,例,19.2.1,将,函数,按勒让德多项式形式展开,.,【,解,】,根据,（,19.2.5,）设,考虑到,，,由,(19.2.6),显然有,所以,例,19.2.2,将函数,展开为勒让德多项式,形式,【,解,】,用直接展开法,令,，则由,我们知道：,可设,考虑到勒让德函数的奇偶性，显然,由,项的系数，显然得出,故有,下面我们给出一般性结论：,结论,1,：设,为正整数，可以证明：,结论,2,：根据勒让德函数的奇偶性，若需展开的函数,为奇函数，,则展开式（,19.2.5,）系数,若需展开的函数,为偶函数，则展开式（,19.2.5,）系数,例,19.2.3,以勒让德多项式为基，在,-1,1,区间上把,展开为广义傅里叶级数,【,解,】,本例不必应用一般公式,，事实上，,是三次多项式（注意,既非奇函数，也非偶函数），,设它表示为,比较同次幂即得到,由此得到,例,19.2.4,(,p354-355),19.3,勒让德多项式的生成函数（母函数,）,19.3.1,勒让德多项式的生成函数的定义,如图,19.2,所示，设在一个单位球的北极放置一带电量为,的正电荷，则在球内任一点,（其球坐标记作,）的静电势为,（,19.3.1,）,静电势,遵从拉普拉斯方程，且以球坐标系的极轴为对称轴，,因此，,应具有轴对称情况下拉普拉斯方程一般解,(19.2.14),的形式，,即,（,19.3.2,）,首先不妨研究单位球内的静电势分布在球心,，电势应该是有限的，故必须取,（,19.3.3,）,为确定系数,，在上式中令,，并注意到,则得到,（,19.3.4,）,将上式左边在,的邻领域上展为,泰勒级数,（,19.3.5,）,比较（,19.3.4,）和（,19.3.5,）即知,于是（,19.3.3,）成为,(19.3.6),若考虑单位球内、球外的静电势分布，则有,（,19.3.7,）,于（,19.3.6,）中代入,，即为,（,19.3.8,）,因此,或,叫作,勒让德多项式的,生成函,数（或,母函数,）,19.3.2,勒让德多项式的递推公式,根据勒让德多项式的母函数可以导出勒让德多项式的递推公式,先把（,19.3.6,）写成,（,19.3.9,）,对,求导,对上式两边同乘以,，得,（,19.3.10,）,相反，若对（,19.3.8,）两边对,求导,上式两边同乘以,，得,将（,19.3.8,）式代入上式左边得到,比较上式两边,项的系数，得另一含导数的,递推公式,将（,19.3.9,）代入上式左边,对上式，比较两边的,项的系数，得,即,（,19.3.11,）,上式即为,勒让德多项式的一个递推公式,例,19.3.1,求,【,解,】,例,19.3.2,求积分,【,解,】,利用递推公式（,19.3.11,）,故有,19.4,连带勒让德函数,19.5,球函数,19.5.1,球函数的方程及其解,1.,球函数方程,根据分离变量法，在球坐标系中将下列亥姆霍兹方程,实施分离变量,(19.5.1),式中,令,，,则得到由亥姆霍兹方程实施分离变量,所满足的方程,(19.5.2),与拉普拉斯方程分离变量导出的方程欧拉方程（,19.1.1,）,(19.5.3),已经有所区别关于,(19.5.3),的解在贝塞尔函数部分讨论,而角度部分的解,，满足下列方程,(19.5.4),上式由亥姆霍兹方程实施分离变量所得的方程（,19.5.4,）与拉普拉斯方程导出的（,19.1.2,）球函数方程具有相同的形式，仍为球函数（或球谐函数）,球函数方程（,19.5.4,）再分离变量，令,得到两组本征值问题,（,i,）,（,19.5.5,）,本征值为,本征函数为,(ii),(19.5.6),本征值,本征函数,在,区域中求解,，,得到与本征值,相应的本征函数,实际上应由下列两个本征函数之积组成，即为,（,19.5.7,）,其中,是变量,相应于本征值,的本征函数；,是变量,相应于本征值,（对于确定的,）的本征函数,2.,球函数表达式,（,1,）复数形式的球函数表达式,为了使得,(19.5.7),所表示的函数系构成正交归一系，,必须添加适当常系数，于是定义,(19.5.8),为球谐函数的本征函数（相应于本征值,，并称它,为球函数（球谐函数）表达式,上式（,19.5.8,）也是,复数形式的球函数,其中归一化系数,的值后面会给出,线性独立的,阶球函数共有,个,因为对应于,，有一个球函数,；,对应于,则各有两个球函数即,和,根据,欧拉公式,，,将,复数形式的球函数统一,表示为,（,19.5.9,）,在（,19.5.9,）之中，独立的,阶球函数仍然是,个,19.5.2,球函数的正交关系和模的公式,1,球函数的正交性,根据,的正交性质,当,时，,根据,的正交性,当,时，,可以得到,的正交性，即当,或,时有,即,（,19.5.11,）,19.5.4,拉普拉斯方程的非轴对称定解问题,例19.5.1,在半径为,球外（,）求解定解问题,【解】,在球坐标系下，定解问题即为,【,解,】,令,代入（,19.5.22,），通过变量分离得到拉普拉斯方程,（,19.5.22,）的一系列特解,其中,都是任意常数,通解为,再代入定解条件,（,19.5.26,）,利用三角函数和连带勒让德多项式的正交性和归一性，,即可算出（,19.5.25,）中的待定系数,