数值分析-第8讲(正交多项式).ppt

*,Heut-lcf,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,数值分析,Numerical Analysis,heut-liucf,heut08yjs,河北理工大学,HEBEI POLYTECHNIC UNIVERSITY,第三章,函数逼近,函 数 逼 近,函数逼近的基本概念,1,正交函数系的性质,正交多项式的构造,函数的最佳平方逼近,正交多项式的基本概念,Heut-lcf,第,1,节 函数逼近的基本概念,Heut-lcf,函数逼近,（足够的小）,N,维空间,Heut-lcf,N+1,维空间,定理,1,Weierstrass,Heut-lcf,范数与赋范空间,内积与内积空间,N,维数量空间内积,Heut-lcf,推而广之,Heut-lcf,内积空间常用的范数为：,Heut-lcf,内积空间的重要结论,定理,2,Cauchy-Schwarz,不等式,特别地,Heut-lcf,定理,3,Gram,矩阵,Heut-lcf,第,2,节 正交多项式,Heut-lcf,定义,6.2,一、正交多项式的概念,Heut-lcf,三角函数系：,正交性：,回忆傅氏级数的结论,Heut-lcf,Heut-lcf,区间,a,b,上关于权函数的正交函数系必定线性无关,证明,证毕,定理,6.2,二、正交多项式的性质,Heut-lcf,证明：,定理,6.3,Heut-lcf,证毕,Heut-lcf,三,、,正交多项式系的主要特征,Heut-lcf,四,、,正交多项式系的构造,Heut-lcf,Clearx,f,f0=1;,fk,_:=,xk-Sum(Integratexk,*fi,x,0,1)/,(Integratefi2,x,0,1)*fi,i,0,k-1,Tablefk,k,0,6/N;,Expand%/N;,MatrixForm,%,Fi_,j,_:=Integratefifj,x,0,1,TableFi,j,i,0,6,j,0,6;,MatrixForm,%,程序设计,Heut-lcf,请同学们写出,Heut-lcf,正交性验证：,Heut-lcf,请同学们写出,Heut-lcf,及其结构特点,五,、,勒让德,(Legendre),正交多项式,Heut-lcf,Heut-lcf,Heut-lcf,请同学们写出,Heut-lcf,3.23,切夫多项式,六、切比雪夫,(,Chebyshev,),正交多项式,及其结构特点,Heut-lcf,Heut-lcf,请同学们写出,Heut-lcf,七、拉盖尔（,Laguerre,）正交多项式,Heut-lcf,第,3,节 函数的最佳平方逼近,Heut-lcf,为定义在,a,b,上的一组线性无关的连续函数。,如果函数,使得,一、最佳平方逼近的概念,定义,设函数,f,(,x,),在区间,a,b,上连续，,Heut-lcf,特别地,Heut-lcf,二、最佳平方逼近函数的求解,根据多元函数取极值的必要条件得：,Heut-lcf,注意,Heut-lcf,Clearg,f,G,fx,_:=,？,gn,_:=,xn,;,Gi_,j,_:=Integrategigj,x,0,1,GFi,_:=Integratefxgi,x,0,1,A=TableGi,j,i,0,n,j,0,n;,MatrixForm,%,b=TableGFi,i,0,n;,MatrixForm,%,LinearSolveA,b,/N,F=%.Tablegi,i,0,n,程序设计,Heut-lcf,求 在,0,1,上的一次最佳平方逼近多项式,例（,P141,例,5,）,【,解,】,Heut-lcf,正规方程组为,所以 在,0,1,上的一次最佳平方逼近多,项式为,Heut-lcf,注 意,若用正交多项式，正则方程组较简单,Heut-lcf,求 在,0,1,上的二次最佳平方逼近多项式,首先构造正交多项式,例,6,）,【,解,】,Heut-lcf,Heut-lcf,Clearg,f,G,F,fx,_:=,SinPi,*x;,gk,_:=,xk-Sum(Integratexk,*gi,x,0,1),/(Integrategi2,x,0,1)*gi,i,0,k-1,Tablegk,k,0,2;,MatrixFormExpand,%,Gi_,j,_:=Integrategigj,x,0,1,TableGi,j,i,0,2,j,0,2;,MatrixForm,%,GFi,_:=Integratefxgi,x,0,1,Fn,_:=,SumGFn/Gn,n,*gn,n,0,2;,Fn,/N;,Expand%,程序设计,Heut-lcf,求,利用已知的正交多项式系,Legendre,多项式是,-1,1,上正交多项式系,例,6,【,解,】,Heut-lcf,正规方程组的解为：,Heut-lcf,Clearg,f,G,fx,_:=,Expx,;,gn,_:=,xn,;,Gi_,j,_:=Integrategigj,x,-1,1,GFi,_:=Integratefxgi,x,-1,1,A=TableGi,j,i,0,3,j,0,3;,MatrixForm,%,b=TableGFi,i,0,3;,MatrixForm,%,LinearSolveA,b,/N;,F=%.Tablegi,i,0,3,程序设计,Heut-lcf,Clearg,f,G,F,fx,_:=,Expx,;,gk,_:=,xk-Sum(Integratexk,*gi,x,-1,1)/(Integrategi2,x,-1,1)*gi,i,0,k-1,Tablegk,k,0,3;,MatrixFormExpand,%,Gi_,j,_:=Integrategigj,x,-1,1,TableGi,j,i,0,3,j,0,3;,MatrixForm,%,GFi,_:=Integratefxgi,x,-1,1,Fn,_:=,SumGFn/Gn,n,*gn,n,0,3;,Fn,/N;,Expand%,程序设计,Heut-lcf,OK!Thats the end!,Heut-lcf,Heut-lcf,程序设计,Clearg,f,G,F,fx,_:=,SinPi,*x;,gk,_:=,xk-Sum(Integratexk,*gi,x,0,1)/(Integrategi2,x,0,1)*gi,i,0,k-1,Tablegk,k,0,2;,MatrixFormExpand,%,Gi_,j,_:=Integrategigj,x,0,1,TableGi,j,i,0,2,j,0,2;,MatrixForm,%,GFi,_:=Integratefxgi,x,0,1,Fn,_:=,SumGFn/Gn,n,*gn,n,0,2;,Fn,/N;,Expand%,Heut-lcf,程序设计,Clearg,f,G,fx,_:=,Sqrtx,;,gn,_:=,xn,;,Gi_,j,_:=Integrategigj,x,0,1,GFi,_:=Integratefxgi,x,0,1,A=TableGi,j,i,0,2,j,0,2;,MatrixForm,%,b=TableGFi,i,0,2;,MatrixForm,%,LinearSolveA,b,/N;,F=%.Tablegi,i,0,2,Heut-lcf,程序设计,Heut-lcf,Clearg,f,G,fx_:=CosPi*x;,gn_:=xn;,Gi_,j_:=Integrategigj,x,0,1,GFi_:=Integratefxgi,x,0,1,A=TableGi,j,i,0,1,j,0,1;,MatrixForm%,b=TableGFi,i,0,1;,MatrixForm%,LinearSolveA,b/N,F=%.Tablegi,i,0,1,程序设计,Heut-lcf,