chapter-7一阶电路及二阶电路gxs.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第六章 一阶电路,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第七章,一阶电路和二阶电路 的时域分析,1,主要内容,7-1,动态电路的方程及其初始条件,7-2,一阶电路的零输入响应,7-3,一阶电路的零状态响应,7-4,一阶电路的全响应,7-5,二阶电路的零输入响应,7-3,二阶电路的零状态响应,和全响应,7-5,一阶电路和,二阶电路,的阶跃响应,7-6,一阶电路,和,二阶电路,的冲激响应,2,7-1,动态电路的方程及其初始条件,研究在过渡过程中，电路的电压和电流随时间变化的规律，并讨论影响这种变化（过渡过程）快慢的电路参数。,自然界事物的运动（具有动能），在一定条件下有相应的稳定状态。当条件改变，就要变化到新的稳定状态，而且，这种（能量）变化往往不能跃变，需要一定的过程（或时间）。这个物理过程就称为,过渡过程,（或暂态过程、动态过程）。如电动机的起动。在电路中，由于存在储能元件，故也有过渡过程。,过渡过程,动态电路分析,3,f,(,i,L,),f,(,u,C,),电容和电感元件，在某一时刻,t,的储能分别为,电路的状态,把某时刻,t,的电容电压,u,C,(,t,),和电感电流,i,L,(,t,),称为该时刻,电路的状态,-,反映电路在,t,时刻的储能状况。,换路,由于电容、电感元件具有动态和记忆特性，其响应量与电源的接入方式、电路的历史状况都有关系。,由于开关动作而引起电路结构和参数的突然改变称为,换路。,4,电路内部含有储能元件,L,、,C,电路结构发生变化,稳态分析和动态分析的区别,稳 态 动 态,换路发生已很,长,时间,换路,刚,发生,i,L,、,u,C,随时间,变,化,代数,方程组描述电路,微分,方程组描述电路,I,L,、,U,C,不变,过渡过程产生的原因,5,本章介绍时域分析法,:,以时间,t,为变量的分析方法称,时域分析,法；,时域分析,法采用的数学手段是用,微分方程,(,或积分方程,),描述电路的动态规律及其特性。,为了便于讨论，一般把,由一阶微分方程描述的电路称一阶电路,。在一阶电路中，只含有,一个,独立的动态元件。,为了描述含有,两个或两个以上,动态元件的电路，则分别需要二阶微分方程或高阶微分方程，相应的电路分别称为,二阶或高阶,电路。,6,在分析动态电路时，要列写出电路的微分方程，还需要知道待求电压、电流的初始值（即求解微分方程时所需的起始条件）。,确定电路的初始条件就是确定,换路后瞬间,电路中电压、电流的值（又称初始值）。,一、换路定则,(,定律,),设,t,=0,为换路瞬间，其中：,t,=0,表示换路前的瞬间；,t,=0,+,表示换路后的初始瞬间,。,对任意时刻,t,，,线性电容的电荷和电压可表示为,电路中初始条件的确定,7,0,+,-0,-,0,令,t,0,=0,，,t,=0,+,，,则得：,如果在换路时电流,i,C,(0),为有限值,(,即不是冲激电流,),可得,这表明,当,电容电流为有限值,时，电容上的,电荷,和,电压,在换路瞬间是,连续,的而不会发生跃变。,i,C,(,)d,0,电荷守恒,8,0,+,-0,-,0,令,t,0,=0,，,t,=0,+,，,则得：,如果在换路时电流,i,C,(0),为有限值,(,即不是冲激电流,),可得,这表明,当,电容电流为有限值,时，电容上的,电荷,和,电压,在换路瞬间是,连续,的而不会发生跃变。,i,C,(,)d,0,电荷守恒,9,同理，一个线性电感的磁链,L,(,t,),和电流,i,L,(,t,),可表示为,令,t,0,=0,，,t,=0,+,，,则得：,如果在换路时电压,u,L,(0),为有限值,(,即不是冲激电压,),，,可得,这表明,当,电感电压为有限值,时，电感上的,磁链,和,电流,在换路瞬间是,连续,的而不会发生跃变。,磁链守恒,10,若在换路瞬间，电容电流,i,C,(0),为有限值；电感电压,u,L,(0),为有限值，则有,换路定则：,11,电路中电压、电流初始值可分为两类：,电容电压和电感电流的初始值,即,u,C,(0,+,),，,i,L,(0,+,),。,可利用换路定则，通过换路前瞬间的,u,C,(0,),和,i,L,(0,),求出。,电路中其它的电压、电流的初始值,如电容电流、电感电压、电阻电压和电流。可,画出动态电路在初始瞬间,t,=0,+,的等效电路,，由此便可求出各元件上的电压、电流初始值。,二、电压和电流初始值的确定,12,电路如图所示。,开关打开前电路处于稳态，,可求得：,u,C,(0,)=,U,s,根据换路定则，有,u,C,(0,+,)=,u,C,(0,)=,U,s,t,0,时，开关,K,是闭合，电路处于稳态，试求,K,打开后瞬间,(,t,=0,+,),各支路电流及电容、电感电压。,例,7.1,解：,u,C,+,+,i,3,i,2,i,1,R,2,R,1,u,L,U,s,K(,t,=0),+,13,方法,:,电容用电压为,u,C,(0,+,),的电压源,代替；,电感用电流为,i,L,(0,+,),的电流源,代替,。,i,3,(0,+,),+,i,2,(0,+,),i,1,(0,+,),R,2,R,1,+,u,C,(0,+,),u,L,(0,+,),i,L,(0,+,),t,=0,+,时的等效电路,作出,t,=0,+,时的等效电路,。,u,C,+,+,i,3,i,2,i,1,R,2,R,1,u,L,U,s,K(,t,=0),+,14,7-2,一阶电路的零输入响应,激励,外加输入信号,独立电源,U,s,，,I,s,动态元件的初始储能,u,C,(0,+,),，,i,L,(0,+,),对线性电路而言，动态电路的响应为二者响应之叠加。,电路中的响应是由激励产生的，而激励一般都是指外加的输入信号，即独立电源。,在动态电路中，激励除是独立源外，还可以是,动态元件上的初始储能,，即电容上的初始电压,u,C,(0,+,),，或电感上的初始电流,i,L,(0,+,),。,15,零输入响应就是外加输入信号为零，仅由动态元件初始储能的激励所产生的响应。,分析：,t,0,时，电路处于稳态，激励为直流电源，故,u,C,(0,)=,U,0,。,t,0,时，电路换路，变成,RC,串联电路。,在图示电路中，开关在,t,=0,时动作，在此之前，电路处于稳态。,求,:,t,0,时，电容电压,u,C,和电流,i,的变化规律。,U,0,+,u,C,K(,t,=0),R,s,R,i,+,一、,RC,串联电路的零输入响应,(,Zero-input Response,),16,由换路定则：,u,C,(0,+,)=,u,C,(0,)=,U,0,根据,KVL,：,u,R,u,C,=0,由元件,VCR,：,u,R,=,Ri,代入上式，有：,这是一个一阶齐次微分方程，其通解为,式中,p,为一待求常数，代入方程有,于是得其特征方程：,RCp,+1=0,u,C,+,R,i,C,17,特征根为,p,=,1,/RC,方程的解为：,式中积分常数,A,需由初始条件确定,A=,U,0,所求解答为,u,C,=,U,0,e,t/RC,0,t,u,C,，,i,U,0,u,C,并可求出电流,i,或,u,C,+,R,i,C,18,电路的,时间常数,(,C,-F,，,R,-,，,-S),，,其大小决定了指数函数衰减的快慢。见下表。,t,0,2,3,4,5,1 0.368 0.135 0.05 0.018 0.007 0,t,2,3,4,0,1,u,C,=,U,0,e,t/RC,中的,RC,=,RC,t3,4,，,e,-,t/,0,二、,RC,串联电路的时间常数（,time constant,）,19,0,t,u,C,三个不同时间常数下的变化曲线,U,0,值：,指数,e,-,t/,曲线在,t,=0,处的切线与,t,轴的交点。,时间常数,的大小决定于电路的结构和参数，而和初始电压的大小无关。,0.368,U,0,1,3,2,因此，时间常数愈小，过渡过程愈短,反之则愈长。,1,2,3,20,RC,电路的时间常数,=,RC,。,R,，,C,愈大，,愈大。,从物理概念看,:,如电容,C,一定，电阻,R,愈大，则放电电流的初始值,(,U,0,/,R,),就愈小，放电过程就愈长；,如电阻,R,一定，则放电电流的初始值一定，电容,C,愈大，则电容上初始电荷愈多，放电时间也就愈长。在整个放电过程中，电阻,R,上消耗的能量为,即电容的储能全部被电阻消耗，转换为热能。,21,分析图示电路在,t,0,时，电阻电压,u,R,和电感电流,i,L,的变化规律,。,t,0,时，,i,L,(0,)=,U,s,/,R,1,=,I,0,电阻上必有电压存在，,由,KVL,：,u,L,+,u,R,=0,由元件,VCR,：,u,R,=,R i,L,，,+,R,R,1,U,s,K(,t,=0),L,i,L,+,R,L,i,L,u,R,+,u,L,i,t,=0,+,时，电路换路，并有,i,L,(0,+,)=,i,L,(0,)=,I,0,t,0,时，电路中的电流,i,0,三、,RL,串联电路的零输入响应,22,可得电路的微分方程,加上初始条件，则有：,其通解为,i,L,=Ae,pt,，,代入方程得它的特征方程,Lp,+,R,=0,由初始条件可确定,A,=I,0,，,则,解出特征根为,p,=,R,/,L,故得电流,i,L,=Ae,Rt/L,令,=,L,/,R,i,L,=Ae,t/,23,电感电流,i,L,和电阻电压,u,R,的变化曲线为：,t,0,u,，,i,I,0,i,L,u,R,R I,0,RL,电路时间常数：,=,L,/,R,(,L,-H,，,R,-,，,-S),与,RC,电路中的时间常数有相同的意义。,在电感放电过程中，电阻上消耗的能量为,在放电过程中，电感储能以热能形式消耗在电阻上。,注意：,电感放电瞬间，两端可能会出现高压。,24,时间常数,的简便计算：,R,1,R,2,L,=,L,/,R,eq,=,L,/(,R,1,/,R,2,),+,-,R,1,R,2,L,R,eq,C,=,R,eq,C,例,7.2,25,i,L,(0,+,)=,i,L,(0,-,)=1 A,u,V,(0,+,)=-10000V,造成,V,损坏。,i,L,K(,t,=0),L,=4H,R,=10,t,=0,时,打开开关,K,现象：,电压表坏了,电压表量程：,50V,分析,例,7.3,?,结论,:,切断,电感电流,时必须考,虑磁场能,量的释放,想办法熄,灭电弧,+,u,V,V,R,V,10k,10V,+,26,i,L,(0,+,)=,I,0,=,U,s,/,R,1,可在电感两端接续流二极管。,当正常工作时,(,开关闭合,),，二极管工作在反向，其反向电流很小，对电路无影响；,当开关打开时，电感通过二极管正向放电，由于二极管正向电阻很小，就可避免电感两端出现高电压。,+,R,R,1,U,s,K(,t,=0),L,i,L,R,U,L,+,I,0,K,D,例,7.4,图示电路中,若,R,R,1,，则,u,L,(0,+,),U,s,，易造成设备损坏。,27,电路如图所示，电路已处于稳定，,t=0,时开关打开，,求,t,0,时的 、。,例,7.3,28,2,、求 、，画出 时的等效电路,如图,(b),有：,解：,1,、求 ，,电路稳定,L,看作短路,:,i,29,注意,：、亦可用 求得。,30,在零输入条件下的一阶电路响应的方程,具有,的形式，其解的形式为,零输入响应是初始状态的线性函数。,备注：,31,一、,直流激励下的零状态,(,Zero-state,),响应,1,、,RC,串联电路,2,、,RL,并联电路,二、,正弦激励下的零状态响应,*,7-3,一阶电路的零状态响应,零状态响应是指电路在,零初始状态,下，仅由外加激励所引起的响应。,本节讨论在两种最基本的激励,直流,和,正弦交流激励,作用下，一阶电路的零状态响应。,32,直流激励下的零状态,(,Zero-state,),响应,图示电路中是一个电容充电电路。,t,0,时，电容上的电压,u,C,(0,)=0,U,s,+,u,C,K(,t,=0),R,R,i,+,U,s,+,u,C,R,i,+,t,0,代入元件,VCR,，有,t,0,时，根据,KVL,有：,u,R,+,u,C,=,U,s,1,、,RC,串联电路,33,这是一阶线性常系数非齐次微分方程，其解为,u,C,(,t,)=,u,C,h,(,t,)+,u,C,p,(,t,),u,C,h,(,t,),方程的,齐次,解，形式为,u,C,h,(,t,)=Ae,-,t/RC,，与外施激励无关，又称响应的,自由分量,。按指数规律趋于零，又称瞬态分量。,u,C,p,(,t,),方程的,特,解，与外施激励变化规律有关又称响应的,强制分量,。电路达到稳态，又称为稳态分量。,不难求得,U,s,是该非齐次方程的特解，即：,u,C,p,=,U,s,34,方程的解为,u,C,(,t,)=,u,C,h,+,u,C,p,所以满足,t,0,时电路要求,的解为,:,u,C,(,t,)=,U,s,(1,e,t/RC,),A=,U,s,响应波形如图所示,:,t,0,u,C,、,i,U,s,u,C,p,i,U,s,/R,u,C,u,C,h,U,s,由,u,C,的初始值确定积分常数,A,u,C,p,=,U,s,35,在充电过程中，,电压,u,C,：,u,C,(0,+,)=0,U,s,；,电流,i,：,i,(0,+,)=,U,s,/,R,0,电容充电过程中的能量关系：,电容储能：,电阻消耗能量：,这表明：,不论,R,、,C,为何值，在充电过程中，电源所供给的能量一半转换为电容储能，另一半消耗在电阻上。,u,C,、,i,u,C,i,U,s,/,R,t,0,U,s,由,i,=,Cdu,C,/,dt,易知，充电电流越大，,u,C,上升也越快。,36,2,、,RL,并联电路,在图示电路中，,i,L,(0,)=0,。,t,=0,时，开关断开，,分析,i,L,、,i,R,的变化规律。,由KCL，,i,L,+,i,R,=,I,s,代入上式,将,则有,i,L,=,i,L,h,+,i,L,p,=Ae,Rt/L,+,I,s,由初始条件，,i,L,(0,+,)=A,+,I,s,=0,A,=,I,s,R,I,s,L,i,L,i,R,i,L,R,I,s,L,i,R,37,t,0,i,L,、,i,R,i,L,可得方程的解为,:,i,L,和,i,R,的曲线如图所示,:,i,L,h,I,s,i,L,p,i,R,全,38,7-4,一阶电路的全响应,电容,C,在开关闭合时刻具有初始电压,u,C,(0,)=,U,0,。,分析,t,0,时的,u,C,(,t,),。,列写电路的微分方程,一、一阶电路的全响应,一个具有,非零,初始状态的电路受到,外加激励,所引起的响应称为该电路的全响应。,U,s,+,u,C,K(,t,=0),R,i,+,C,一阶非齐次微分方程,39,因此可求出完全响应为,t,0,u,C,、,i,U,s,u,C,p,u,C,h,U,0,U,s,u,C,U,0,u,C,变化曲线：,u,C,(,t,)=,u,C,h,+,u,C,p,=(,U,0,U,s,),e,-,t,/,RC,+,U,s,暂态（自由）,响应分量,稳态（强制）响应分量,与零状态响应的微分方程相同，只是初始条件不同,40,t,0,u,C,若将完全响应,u,C,中的各分量重新作一组合，即,u,C,(,t,)=(,U,0,U,s,)e,t,/,RC,+,U,s,=,U,s,(1,e,t,/,RC,),+,U,0,e,t,/,RC,U,0,u,C,f,U,s,u,Ce,u,C,波形如图,零状态响应,u,C,e,零输入响应,u,C,f,全响应,=,零状态响应,+,零输入响应,线性电路的一个重要性质,=,u,C,e,+,u,C,f,41,u,C,(,t,)=,u,C,h,+,u,C,p,=(,U,0,U,s,)e,t,/,RC,+,U,s,完全响应,=,暂态,(,自由,),响应,+,稳态,(,强制,),响应,；,u,C,(,t,)=,u,C,e,+,u,C,f,=,U,s,(1,e,t,/,RC,),+,U,0,e,t,/,RC,完全响应,=,零状态响应,+,零输入响应,，,将完全响应分解成暂态响应和稳态响应的叠加，强调的是,电路的响应与其工作状态之间的关系,。,将完全响应分解成零状态响应和零输入响应的叠加，强调的是,激励与响应之间的因果关系,；,对同一个电路的完全响应，两种分解是等效的。,在分析电路时，采用哪种分解可视问题的要求和方便作出选择。,三,42,y,(,t,),=,y,e,(,t,),+,y,f,(,t,),v,(,t,),x,(0)=,y,(,t,),=,k,1,y,e,(,t,),+,k,2,y,f,(,t,),k,1,v,(,t,),x,(0)=,k,2,x,(0),v,(,t,),y,(,t,),v,(,t,),y,e,(,t,),x,(0),y,f,(,t,),完全响应可分解成零状态响应和零输入响应之和，这是线性电路的可叠加性。,零状态响应与输入激励有着线性关系；,零输入响应与初始状态有着线性关系。,但完全响应与输入激励和初始状态间则不存在线性关系。,例如，图为一线性一阶动态电路的框图,备注,43,t,0,u,C,t,0,u,C,u,C,U,s,u,C,U,s,二、一阶电路的三要素法,U,0,y,(0,+,),U,s,y,(,),中间过程：,e,-,t,/,u,C,y,(,t,),1,、问题的提出,:,U,0,U,s,U,0,U,0,44,y,(,t,)=,y,(,)+,y,(0,+,),y,(,)e,-,t,/,其中：,y,(0,+,),响应变量的初始值；,y,(,),响应变量的稳态值；,t,0,时一阶电路的时间常数,。,一阶线性电路在恒定输入的激励下，其完全响应的一般表达式为：,这表明，只要知道,y,(0,+,),，,y,(,),和,这三个数值，即可根据上式直接写出在恒定输入下一阶电路的完全响应，而不必解电路的微分方程。这种方法称,“,三要素,”,法。,u,C,(,t,)=,U,s,+(,U,0,U,s,)e,t,/,RC,45,初始值,y,(0,+,),在,6-1,中已介绍；,稳态值,y,(,),将电路中,电容视为开路,，,电感视为短路,，即可算出各电流、电压稳态值；,时间常数,同一电路只有一个时间常数，,RC,一阶电路：,=,R,eq,C,，,RL,一阶电路：,=,L,/,R,eq,。,2,、三个特征量的计算法,注意：,三要素法不仅可以用于求电容、电感的电压或电流，也,可用来求其它元件,的响应。但只适用于存在稳态值的一阶动态电路，外加输入必须为恒定信号。,R,eq,是从电路中储能元件两端看进去的戴维南等效电路的等效电阻。,主要利用换路定则,46,1A,2,1,3F,+,-,u,C,已知：,t,=0,时合开关，,求换路后的,u,C,(,t,),。,解：,求,u,C,(0,+,),；,求,u,C,(),求,例,7.4,求,u,C,t,u,c,2,(V),0.667,0,u,c,(,t,)=,u,c,(,)+,u,c,(0+),u,c,(,),e,-,t,/,47,已知开关在,t,=0,时闭合，动作前电路处于稳态。,求：,t,0,后，电流,i,和电压,u,C,。,由电路得：,u,C,(0,)=1.5V,t,=0,+,时的等效电路为：,u,C,(0,+,)=,u,C,(0,)=1.5V,i,(0,+,)=1.5A,+,3V,2,2,1,3,i,0.5F,u,C,+,例,7.5,电路如图所示。,+,+,3V,2,2,1,3,i,(0,+,),1.5V,解：,求,i,(0,+,),、,u,C,(0,+,),t,=0,+,时的等效电路,48,求,i,()、,u,C,(),u,C,()=1,i,()=0.6V,求,R,eq,=1(3+1)=0.8,=,R,eq,C,=,0.8 0.5=0.4s,求,i,和,u,C,+,3V,1,1,3,i,(),u,C,(),+,+,3V,2,2,1,3,i,0.5F,u,C,+,1,1,3,R,eq,49,开关,K,1,在,t,=0,时闭合；,开关,K,2,在,t,=T=,R,1,C,时闭合，,同时,K,1,打开。,这是具有,2,个时间常数的暂态计算问题。,在,0,t,T,时，电路为,:,u,C,(0,+,)=,u,C,(0,)=0,u,C,()=,R,1,I,s,1,=,R,1,C,+,u,C,R,1,R,2,C,I,s,K,1,K,2,+,u,C,R,1,C,I,s,已知,u,C,(0,)=0,，,在图示电路中，,例,7.5,求,:,t,0,后，,u,C,=,？,解：,可分成,0,，,T,和,T,，,2,个时间区间来讨论。,零状态,响应,50,在,t,T,时，电路为,:,这是一个,零输入,响应。,初始时刻为,t,=T,。,+,u,C,R,1,R,2,C,u,C,=,+,u,C,R,1,R,2,C,I,s,K,1,K,2,51,t,0,u,C,R,1,I,s,0.6321,R,1,I,s,T,响应波形为：,零状态,响应,零输入,响应,u,C,=,52,已知,u,C,(0,)=0,，,求开关闭合后,i,=,？,解：用三要素法,t,=,0,+,时,:,u,C,(0,+,)=,u,C,(0,)=0,，,则有等效电路,:,电路如图所示,:,3,(,t,=,0,+,),i,(0,+,),+,6,6V,例,7.6,+,u,C,3,0.5F,(,t,=0),i,+,6,6V,0.5,u,C,u,C,(0,+,)=0,+,-,53,t,=,时,:,等效电路如图。,u,C,(),=3V,求,=,R,eq,C,=,10.5=0.5s,(,t,=,),+,u,C,(),3,i,(),+,6,6V,0.5,u,C,(),+,u,1,3,i,1,6,0.5,u,1,加压求流法,54,求,i,i,(0,+,)=1,i,()=0.5A,=0.5s,阶,55,