分数阶微分方程初值问题解的存在性.pdf

第39卷第5期2023年10月山西大同大学学报（自然科学版）Journal of Shanxi Datong University(Natural Science Edition)Vol.39 No.5Oct.2023分数阶微分方程初值问题解的存在性崔亚琼，康淑瑰，陈慧琴(山西大同大学 数学与统计学院，山西 大同 037009)摘要：利用Banach不动点定理和Schauder s不动点定理，研究非线性分数阶微分方程初值问题解的存在性，其中分数是小于1的正数，初始点是零点，低一阶分数导数在初始点的值是非零常数。鉴于该初值问题等价的积分方程含有奇异项的在零点无界，通过选择恰当的完备空间，在非线性项满足合适的条件下，利用上述两个不动点定理，分别得到该初值问题唯一解和至少一个非平凡解的存在性。关键词：分数阶微分方程；初值问题；Banach不动点定理；Schauder s不动点定理；解中图分类号：O175.14文献标识码：Adoi：10.3969/j.issn.1674-0874.2023.05.009将探讨Riemann-Liouville型分数阶微分方程初值问题(IVP)(Dy)(t)=f(t,y(t),t 0,T,(D-1y)(0)=b,（1）解的存在性，其中，(0,1),b为非零常数。全文假设非线性项f满足下列条件(C)f(t,0)=0,f:(0,T 连续有界，且M=sup(t,x)(0,T|f(t,x)|0阶 Riemann-Liouville分数阶积分定义为(Ia+y)(t)=1()at(t-s)-1y(s)ds,t a，等式右端在(a,+)上逐点定义。定义 1.2 设 0且n=+1，连续函数y:(a,+)的阶 Riemann-Liouville 分数阶导数定义为Da+y(t)=DnIn-a+y(t)=1(n-)()ddtnat(t-s)n-1y(s)ds,等式右端在(a,+)上逐点定义，其中t a。特别地，若 (0,1)，有(I1-a+y)(t)=D-1a+y(t),t a。性质1.1 若p 0,q 0，则0t(t-s)p-1sq-1ds=(p)(q)(p+q)tp+q-1。收稿日期：2023-05-22基金项目：国家自然科学基金项目11871314；大同市基金项目2020147作者简介：崔亚琼（1973-），女，山西左云人，硕士，教授，研究方向：泛函微分方程。E-mail:文章编号：1674-0874（2023）05-0037-04山西大同大学学报(自然科学版)2023年1.2 引理下面介绍几个必要的引理。引 理 1.1（9，p.145，定 理 3.1）设 0，n=+1,G是中 的 一 个 开 子 集，函 数f:(a,bG 且f(t,x)L(a,b),x G。若 函 数y L(a,b)是下列初值问题的解Da+y(t)=f(t,y(t),D-ka+y(a)=bk,bk (k=1,2,n)当且仅当y(t)=k=1nbk(-k+1)(t-a)-k+1()at(t-s)-1f(s,y(s)ds。引理 1.2 设A是 Banach 空间到自身的映射。若存在自然数n0，使得映射An0为一压缩映射，则A在空间中存在唯一的不动点。引理 1.3（10，p.157，定理 3.2）设D是 Banach空间的有界闭凸集，算子A:D D全连续，则A在D中必有不动点。利用引理1.1，有如下结论引理 1.4 根据假设0 0。(3)2 主要结论2.1 定义算子这部分，我们选取恰当的函数空间，在其上定义积分算子并验证该算子在空间上是等度连续的。设C 0,T 是定义在0,T 上的连续函数空间，t1-y(t)|t=0=limt 0+t1-y(t)存在且为一有限数。在空间C 0,T 中选取子空间=y:t1-y(t)C 0,T,|y|=supt 0,T t1-|y(t)|。显然，是完备的距离空间。在空间上定义算子Ay(t)=b()t-1+1()0t(t-s)-1f(s,y(s)ds,t(0,T。(4)引理 2.1 设条件(C)成立，则A:B B等度连续。证 一方面，由条件(C)，当0 t1 t2 T时，对任意y B，有|Ay(t2)-Ay(t1)|b()|t2-1-t1-1+1()|0t2(t2-s)-1f(s,y(s)ds-0t1(t1-s)-1f(s,y(s)ds|b()|t2-1-t1-1+M()()0t1|(t2-s)-1-(t1-s)-1ds+t1t2(t2-s)-1ds|b()|t2-1-t1-1+M(+1)|t1-t2+2(t2-t1)0,(t1 t2)。于是得到，Ay C(0,T。另一方面，证t1-(Ay)(t)C 0,T。由条件(C)，当t1=0,0 t2 T时，对任意的y B，有|t21-Ay(t2)-b()t21-()|0t2(t2-s)-1f(s,y(s)dsMt2(+1)。对任意y B，当0 0。(C2)|f(t,x1)-f(t,x2)|Lt-|x1-x2|,t (0,T,x1,x2,00且(2-)LT-(-)。定理2.1 设条件(C),(C1)成立，则IVP(1)存在唯一的非平凡解。证 由引理 3.1，知A:。下证存在n0，使得An0:是压缩算子。由条件(C1),对任意y1,y2 B,t 0,T，有t1-|(Ay1)(t)-(Ay2)(t)|t1-()0t(t-s)-1|f(s,y1(s)-f(s,y2(s)|dsLt1-()0t(t-s)-1|y1(s)-y2(s)|dsLt1-()0t(t-s)-1s-1|s1-y1(s)-y2(s)|dsLt1-|y1-y2|()0t(t-s)-1s-1ds=Lt()(2)|y1-y2|。于是|Ay1-Ay2|LT()(2)|y1-y2|。（5）由（5）式，类似地有t1-|(A2y1)(t)-(A2y2)(t)|Lt1-()0t(t-s)-1|(Ay1)(s)-(Ay2)(s)|dsL2t1-|y1-y2|(2)0t(t-s)-1s2-1ds=L2t2()(3)|y1-y2|。由归纳法，对于任意自然数n，有t1-|(Any1)(t)-(Any2)(t)|Lntn()(n+1)|y1-y2|。于是|Any1-Any2|LnTn()(n+1)|y1-y2|。由于LnTn()(n+1)0(n+)，因此，n0，使Ln0Tn0()(n0+1)1。这样An0:是压缩算子，利用引理 2.2，A在中存在唯一的不动点，那么IVP(1)在中有唯一的非平凡解。证毕。注2.1 对于定理2.1，若在条件(C1)中，满足L 0。对于这种特殊情形，可以直接在空间C 0,T 上进行研究，如文献1。注2.3 对于分数阶微分方程初值问题（IVP）崔亚琼等：分数阶微分方程初值问题解的存在性39山西大同大学学报(自然科学版)2023年(Dy)(t)=f(t,y(t),t 0,T,t1-y(0)=b,（8）若0 1,b为常数，f:(0,T 连续有界。则IVP(8)）等价的Volterra积分方程亦为(4)式。这样定理2.1和2.2对于IVP(8)也是实用的。2.3 例子下面给出一个具体的例子例 考察分数阶初值问题（IVP）(D12y)(t)=tsiny(t),t0,1,(D-12y)(0)=1,（9）在IVP(9)中，f(t,x)=tsinx,t 0,1,x 1。若取L=1,此时满足定理 2.1 的全部条件，利用定理2.1，IVP(9)在S中存在唯一的非平凡解。若取=13,L=(2/3)(1/6)。此时满足定理 2.2 的全部条件，利用定理2.2，IVP(9)在S中存在一个非平凡解。3 结语对于IVP(1)，由于与其等价的积分方程中含有项b()t-1(0 1)，所以不能在一般的函数空间C 0,T 中讨论解的存在性问题。这里巧妙地选择完备空间，利用Banach不动点定理和Schauder s不动点定理，分别给出IVP(1)唯一解和至少一个非平凡解的存在性结论，并给出一个相关的例子加以说明。参考文献1 DENG J Q，WANG S L.Existence of solutions of nonlocal cauchy problem for some fractional abstract differen-tial equationJ.Applied Mathematics Letters，2016，55：42-48.2 ASCIONE G.Abstract cauchy problems for the generalized fractional calculus J.Nonlinear Analysis,2021，209：112339.3 HENRQUEZ H R，MESQUITA J G，POZO J C.Existence of solutions of the abstract cauchy problem of fractional order J.Journal of 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of Mathematics and Statistics,Shanxi Datong University,Datong Shanxi,037009)Abstract:Using Banach fixed point theorem and Schauders fixed point theorem,this paper studies the existence of solutions tothe initial value problem of nonlinear fractional differential equations,where the fraction is a positive number less than 1,the initialpoint is zero,and the value of the lower first-order fractional derivative at zero point is a non-zero constant.Since the equivalent integral equation of the initial value problem contains singular terms that are unbounded at zero point,by choosing an appropriate complete space,if nonlinear terms satisfy some appropriate conditions,by applying the above two fixed point theorems,we obtain the existence of the unique solution and at least one nontrivial solution to the initial value problem,respectively.Key words:fractional differential equation;initial value problem;Banach fixed point theorem;Schauders fixed point theorem;solution责任编辑 王晓玲40